4 AÑO
Admite por divisores
a 1 y a si mismo.
Todo polinomio de
grado no nulo que
divide en forma exacta
a otro polinomio.
P
(x;y)= xy
P
= xy
2(x;y)
P
(x;y)= x(y - 1)
P
= y
P
= xy
Factorización I
Aprendizaje y superación
Carlos A. Madrazo decía: “Conozco dos tipos de hombres: los que nunca fracasan y los que tienen éxito”. Por supuesto, los primeros nunca fracasan porque nunca intentan nada; en cambio, los segundos acumulan tal cantidad de fracasos que a través de ellos aseguran el éxito.
Si usted solamente intenta lo que está seguro que le va a salir bien, le puedo predecir que logrará pocas cosas en la vida. Si intenta muchas cosas y algunas le salen bien, también le puedo predecir que usted será un triunfador.
La madurez es la gran capacidad del ser humano de cambiar para ser mejor; el ser siempre joven es aquel que no ha detenido su crecimiento y día a día busca su superación; es el que sabe decir genuinamente cuando desconoce un tema: “No sé”, y esto le llega una gran cantidad de información que lo enriquece y que le asegura su permanente desarrollo.
No se detenga, siga adelante. El crecimiento es permanente y en la vida el poder destacar solamente está permitido para aquellos que tienen la osadia de buscar su superación día a día.
CONCEPTOS PREVIOS
Factor o Divisor
Factor Algebraico
Factor Primo
es
es
si
Todo polinomio que
divide en forma exacta
a otro polinomio.
así
así
así
sus
sus
Divisores son:
P
1(x;y)= 1
sus
Divisores son:
Divisores son:
P
1(x;y)= 1
P
= x
únicos
P
2(x;y)= x
P
3(x;y)= y
P
4(x;y)= xy
P
1(x;y)=1
P
2(x;y)=x
P
3(x;y)=y - 1
No es factor
algebraico
2(x;y)
P
3(x;y)= y
2 4(x;y)
P
5(x;y)= xy
factores
primos
P(x) = 4x - 3
Q = x + y - 1
R(x;y;z) = 2x - 3y + 4z 2
P(x) = 2x - 5x + 3
en ZZ (enteros)Z
3 2
Q(x) = 5x + 3 x -1x+1
2 en lR (reales)
R = 3x2
+ 2ix + i3
(x)
en C (complejos)
P = x2
- 4 no es primo
(x)
pues: P(x) = (x+2)(x-2)
Q(x) = x - 6 es primo
R = x2
+ 1 es primo
(x)
Factorizar en ZZ :Z
9x2-4y2 = (3x+2y)(3x-2y)
Coeficientes enteros
Factorizar en lR: 2x2
-3y2
= ( 2x + 3y)( 2x- 3y) Coeficientes reales
Factorizar en C: 4x2
+1 = (2x + i) (2x - i) Coeficientes complejos
Eligen las bases comunes afectadas al
menor exponente.
Seleccionan conveniente- mente los términos de tal manera que genere un
factor común.
la aplicación inmediata de algunos productos
notables.
Aplicable generalmente a trinomios. El proceso consta
de 3 pasos: * Descomponer los extremos * Prueba de aspa
* Escritura de los factores
A2
- B2
= (A+B) (A-B)
P = ax5y5+bx4y6
(x;y)
factor común : x4
y5
P = x2
+xy+xz+y2
+yx+yz
(x;y)
agrupando de 3 en 3
P = 2x2
+5xy+2y2
(x;y)
2x y = xy
x 2y = 4xy
5xy
A3+B3 = (A+B) (A2-AB+B2)
A3
-B3
= (A-B) (A2
+AB+B2
)
A2
+2AB+B2
= (A+B)2
2 2 2
A -2AB+B = (A - B)
(x;y)
FACTORIZACIÓN
Definición
Consiste en transformar un polinomio en otra equivalente expresada en una multiplicación de factores primos sobre un determinado campo numérico.
OBSERVACIONES
Un polinomio está sobre un determinado campo numérico si sus coeficientes pertenecen a dicho campo numérico.
Así
Factor primo o polinomio irre- ductible es todo polinomio de grado no nulo (no constante) que no se puede expresar co- mo la multiplicación de dos o más factores.
Así
La factorización de un polino- mio lo realizamos en el campo
de los números enteros (ZZ ) es Z
decir los factores primos de- ben presentar únicamente coeficientes enteros.
Así
Todo polinomio de primer
grado : P(x) = ax + b;
es irreductible en cualquier campo numérico.
Así
(x;y)
CRITERIOS DE FACTORIZACIÓN
FACTOR COMÚN AGRUPACIÓN IDENTIDADES ASPA SIMPLE
se se es es
Así
luego
P = x4
y5
(ax+by)
Nota:
Los factores primos de P(x;y) son:
P1(x;y) = x
P2(x;y) = y P3(x;y) = ax + by
Así
luego
P(x;y)= x(x+y+z)+y(y+x+z)
factor común: x + y + z P(x;y) = (x+y+z)(x+y)
Diferencia de cuadrados
Suma y Diferencia de cubos
Trinomio cuadrado perfecto
Identidad de Argand
A4
+A2
B2
+B4
= (A2
+AB+B2 )(A2 -AB+B2 ) Así luego
Problemas resueltos
1. Factorizar: a3b4c5 + a3b3c5y + a2b4c5x + a2b3c5xy
Dar como respuesta el número de factores primos
Solución:
Agrupando de 2 en 2:
M = (2x5 + 5x4) - (26x3 + 65x2) + (72x + 180)
Descomponiendo cada paréntesis:
2x 5 ) - 13x2 ( 2x 5 ) + 36 ( 2x 5 )
Solución:
Extraemos el factor común: a2b3c5
M = x4 (
Factor común : 2x + 5
E = a2b3c5 [ab + ay + bx + xy] M = (2x + 5) [x4 - 13x2 + 36]
Agrupando de 2 en 2: x2 -4 -4x2
E = a2b3c5 [(ab + ay) + (bx + xy)] x2 -9 -9x2
E = a2b3c5 [a(b + y) + x(b + y)]
E = a2b3c5 (b + y) (a + x)
Los factores primos son:
a; b; c; (b + y); (a + x) Total 5
Luego:
Suman: -13x2
M = (2x + 5) (x2 - 4) (x2 - 9) M = (2x + 5) (x2 - 22) (x2 - 32)
2. Factorizar : P(x;y) = x2 + y2 + x(y+z) + y(x+z)
Dar como respuesta la suma de factores primos
Solución:
Efectuando: P(x;y) = x2 + y2 + xy + xz + yx + yz
Agrupando convenientemente:
P(x;y) = (x2 + y2 + xy + yx)+(xz + yz)
P(x;y) = ( x 2 y 2 2xy ) + (xz + yz)
Trinomio cuadrado
Diferencia de cuadrados M = (2x + 5) (x + 2) (x - 2) (x + 3) (x - 3) Donde la suma de sus factores primos será:
(2x + 5) + (x + 2) + (x - 2) + (x + 3) + (x - 3) = 6x + 5
5. Factorizar: P(x) = 4x4 - 101x2 + 25
Solución:
P(x) = 4x4 - 101x2 + 25
perfecto 4x2 -1
2
-x2 2
P(x;y) = (x + y)2 + z(x + y) x -25 -100x
Factor común : (x+y)
P(x;y) = (x + y) (x + y + z)
Los factores primos son: (x + y); (x + y + z)
Luego: P(x) = (4x2 - 1) (x2
Suman:
-25)
-101x2
La suma de factores primos es: x + y + x + y + z
2x + 2y + z
3. Factorizar: R = (x - 3)3 + 125
Transformando cada factor a una diferencia de cuadrados:
P(x) = [(2x)2 - 12] [x2 - 52]
Finalmente:
P(x) = (2x + 1) (2x - 1) (x + 5) (x - 5)
Indicar la suma de coeficientes del factor primo de 2do grado.
Solución:
A potencia 3:
Bloque I
1. Factorizar:
Problemas para la clase
F(x;y;z) = x2 + xy + xz + yz
R = (x - 3)3 + 53 suma de cubos
R = [(x - 3) + 5] [(x - 3)2 - (x - 3)(5) + 52]
Desarrollando y reduciendo:
R = (x + 2)(x2 - 6x + 9 - 5x + 15 + 25)
R = (x + 2) (x2 - 11x + 49)
Factores primos:
indicando la suma de factores primos.
a) 2x+y+z b) 2y+x+z c) 2z+x+y
d) x - y - z e) x + y - z
2. Factorizar:
(x 2)
Primer grado
(x 2 - 11x 49)
Segundo grado
P(x) = x3 (x - 3) + 3x2(x - 3)
indicando el número de factores primos.
Finalmente la suma de coeficientes del factor primo de 2do grado es: 1 - 11 + 49 = 39
4. Hallar la suma de los factores primos de: M = 2x5 + 5x4 - 26x3 - 65x2 + 72x + 180
a) 3 b) 2 c) 4
d) 1 e) 5
3. Factorizar:
P(x) = x2(x + 7) + 4x(x + 7) + 4x + 28
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
a) 3 b) 5 c) 7
d) 4 e) 2
a) x + 1 b) x + 2 c) x + 3
d) x + 8 e) x + 9
4. ¿Cuántos factores primos de segundo grado tiene el siguiente polinomio?
P(x;y) = x5y + ax4y + x3y + ax2y
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
5. Factorizar:
F(x) = 8x6 + 7x3 - 1
indicar el número de factores primos
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
6. Factorice:
P(x) = x4 - 16 indicando un factor primo.
a) x + 4 b) x2 + 4 c) x2 - 2 d) x2 + 2 e) x2 - 4
7. Factorizar:
P(x; y) = 2x2y + 3xy2 + xy Indicar el número de factores primos.
2. Indicar verdadero (V) o falso (F)
I. Un factor primo del polinomio:
P(x;y) = xm+n + ym+n + (xy)m + (xy)n
luego de factorizar es: xn + ym
II. Si factorizamos el polinomio:
P(x;y;z) = (x3+y3+z3)3 - x9 - y9 - z9
se obtienen 7 factores primos III. Factorizando:
P(x;y) = (x-y)3 - (x-y)2 - 2(x-y)
la suma de sus factores primos es: 3x - 3y - 1
a) FFF b) VFF c) FVF
d) VVV e) VFV
3. Factorizar:
P(a;b;c) = (a-b)(a3-c3) - (a-c)(a3-b3)
la suma de sus factores primos es:
a) 3a-b-c b) 3a+b+c c) 3a-b+c
d) 3a-b+1 e) 3a-3b+c
4. Factorizar:
P(x;y;z)=x3+y3+z3+x2y+x2z+y2x+y2z+z2x+z2y
a) (x2+y2+z2) (x+y+z) b) (x3+y3+z3) (x+y+z)
c) (x+y+z)3 d) (xy+xz+yz)2 (x+y+z)
e) (x+y+z)(x2+y2+z)
8. Factorizar:
P(x; y; z) = x2 + xy + zx + zy + x + y
5. Al factorizar:
P(x) = x2 (x+2)2 + x2+2x - 12
Indicar un factor primo.
a) x + y b) x + y + z c) x + 1 d) z + 1 e) x + z - 1
9. Factorizar:
P(x; y) = 3x2 + 20xy + 12y2 e indicar la suma de factores primos.
a) 4x - 8y b) 4x + 8y c) 2x - 4y d) 2x + 4y e) 3x2 + 12y2
10.Factorizar:
I. Existen 2 factores primos de 2do grado. II. Existe un factor primo de 1er grado. III. El polinomio P(x) tiene 3 factores primos.
a) FFF b) FVV c) FFV
d) VVV e) FVF
6. Factorizar:
P(x; y) = x9y - x3y7 Indicar un factor primo.
a) x2 + xy + y2 b) x2 - xy - y2 c) x2 + y2 P(x; y) = 15x2 + 11xy + 2y2 + 16x + 6y + 4
Indicar un factor primo.
d) x2 + y e) x2 - y
a) 3x + y b) 3x + y + 2 c) 5x + 2y
7. Factorizar:
M(a; b) = a2 - 4 + 2ab + b2 d) 5x - 2y + 2 e) 5x + 2
Bloque II
1. Dar la suma de los términos independientes de los factores primos de:
Indicar un factor primo.
a) a - b - 2 b) a + b + 2 c) a + b
d) a - b e) ab
8. Indicar el número de factores primos de:
P(x,y) = x2 + 2x + xy + y + 1 P(x) = (x2+ 7x + 5)2 + 3(x2 + 1) + 21x + 2
a) 1 b) 2 c) 3
a) m - n b) m + n c) m + 2n d) a + 2b e) a - 2b
9. Factorizar:
P(x) = x2n + 1 + 3xn + 1 + xn + 3 - xn + 3x3 - 3 Indicar un factor primo.
a) xn + 3 b) xn + 1 + x3 c) xn + 1 d) xn - 1 - 2 e) xn - 1
10.Indicar el número de factores primos de: P(x; y; z) = (x2 - y2 - z2)2 - (2yz)2
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
Bloque III
1. Factorizar el polinomio:
P(a;b;c) = ac (a+c) + bc(a-b) - bc(b+c)
indicando un factor primo
a) a6 + 1 b) a6 + 1 - 5a2 c) a6 - 1 - a2 d) a6 - a2 e) a6 + a2 + 2
8. Indicar un factor de:
M(x; y; z) = (x + y + z)(x - y + z) - (x + y)(x - y)
a) 2x - z b) z c) z + x
d) z - x e) 2z - x
9. Factorizar:
T(a; b; m) = 12abm2 - (16a2 - 9b2)m - 12ab indicar un factor
a) 4am + 3b b) 3mb c) 3mb - 4
d) 3b - 4 e) 4am - 3b
10.Indicar el número de factores de:
P(m; n; p) = (2m + 3n - p)2 - 14m - 21n + 7p - 18
a) 2b + c + a b) 2b + c c) 2a - b a) 2 b) 3 c) 4
d) a - 2b e) a + 2c d) 5 e) 6
2. Factorizar:
P(x) = x7 + 2x5 + x4 + 2x3 + x2 + x + 1
indicando el número de factores primos
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
3. Factorizar:
P(x) = (x4 - x3 + x2 - x + 1)2 - x4
indicando el número de factores primos
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
4. Factorizar:
P(a;b;c) = a(b-c)2 + b(a-c)2 + c(a-b)2 + 9abc
indicando el factor de 2do grado
a) a2+b2+c2 b) ab+bc+ac c) a+b+c d) abc e) a2+ab+b2
5. Factorizar:
Autoevaluación
1. Factorizar: P(x;y) = x3y2 - y5
indicar la suma de factores primos.
a) y2 + x - y + x2 + xy b) x + x2 + xy + y2 c) y2 + x3 - y3 d) y + x3 - y3 e) xy + y + 1
2. Dar uno de los factores primos del polinomio:
P(a;b;c) = a(b2+c2) + b(c2+ba2)
a) 2a + b b) 2a - b c) a + b
d) a - 3b e) a + 3b
3. Factorizar: F(a;b;c) = (a - b) (a2 - c2) - (a - c) (a2 - b2)
indicando el número de factores primos.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
F(x;y) = 4x4 - y4 + 4xy2 + 1
a) (2x2+2x+1+y2) (2x2+2x+1+y2)
b) (2x2+2x+1+y2) (2x2+2x+1-y2)
c) (2x2+2x+1-y2) (2x2-2x+1-y2)
d) (2x2+2x+1-y2) (2x2-2x+1+y2)
4. Factorizar :
P(a;b;m;n) = 2003am + 2003bm - 2003an - 2003bn
indicando un factor primo.
e) (2x2-2x-1+y2) (2x2-2x-1-y2)
5. Factorizar: P (x) = (x + 3)2 - 49
6. Indicar el número de factores primos de: M(a; b; c) = 144a11b2 - 436a9b4 + 100a7b6
a) 2 b) 4 c) 5
d) 3 e) 6
7. Indicar un factor de:
P(a) = a12 - 6a8 + 5a4 + 2a6 - 6a2 + 1
indicando un factor primo.
a) x + 2 b) x + 10 c) x + 20
d) x + 18 e) x + 4
Claves
1. b 2. c 3. c
4 AÑO P = ax4n
+ bx3n
+ cx2n
+ dxn
+ f (x)
t1 t2 t3 t4 t5
si le faltase un término, completar con el cero
Procedimiento
Descomponer los términos "t1" y "t5" de modo
que el producto en aspa determine un término cuadrático.
Aspa simple a los términos: t3; t5 y t6
Descomponer el término que resulta de hacer la diferencia del término central y el término cuadrático obtenido en el paso 1. Aspa simple de comprobación: t1; t4 y t6
Si esta expresión fuese correcta, al multiplicar en aspa debe verificar los
términos segundo (t2) y cuarto (t4).
Factorización II
Potencialidades
Todos los seres humanos poseemos potencialidades y también limitaciones; un ser humano sin cualidades sería un monstruo y un ser sin defectos no sería humano, sería un querubín. Todos los seres humanos tenemos una vocación, un llamado a ser; el problema es descubrir esa potencialidad y posteriormente pagar la colegiatura para realizar plenamente ese ser.
Debemos preguntarnos con toda sinceridad: “¿Quién deseo ser? ¿Qué deseo lograr en la vida? ¿Qué quiero realizar? ¿Qué me gustaría hacer?” Estoy seguro de que hay cierto tipo de actividades que usted goza plenamente al realizarlas, y es ahí donde usted expresa plenamente su potencialidad. ¿Cuáles son?, ¿ya las identificó? Desafortunadamente muchas de esas tareas las tenemos relegadas como pasatiempo de fin de semana y esperamos ansiosamente un día de descanso para dedicarnos a aquello en lo que nos sentimos plenamente realizados.
Muchas veces como padres de familia cometemos el error de forzar a nuestros hijos a ser lo que no desean ser. Imagínese: el padre de Miguel Ángel Buonarroti quería que su hijo fuera comerciante, pero el hijo, desafiándolo, luchó por ser escultor, y qué escultor, uno cuya obra ha trascendido a través de los siglos. Pero cuántos, tal vez miles, no han tenido el valor de Miguel Ángel y se han muerto con todo su potencial dormido. El más usual de los epitafios reza así: “Fulano de tal nació, vivió y murió, y nunca supo para qué existió”.
ASPA DOBLE
forma general
ASPA DOBLE ESPECIAL
forma general
P = ax2n
+ bxn
ym
+ cy2m
+ dxn
+ eym
+ f (x;y)
t1 t2 t3 t4 t5 t6
si le faltase un término, completar con el cero
Procedimiento
paso 1 paso 1
Aspa simple a los términos : t1; t2 y t3
paso 2
paso 3
paso 4
los factores se adoptan horizontalmente
paso 2
paso 3
paso 4
Determinar el rango de aquellos posibles valores que anulan al polinomio.
DIVISORES BINÓMICOS
se
Utiliza para factorizar polinomios de grado mayor o igual a tres.
Procedimiento
paso 1
si
paso 2
En base a estos valores realize evaluaciones hasta conseguir algún valor que logre anularlo
Nota: Todo valor que anula al polinomio genera un factor de 1er grado.
paso 3
Para conseguir el otro factor o factores aplicaremos Ruffini cuántas veces sea
(x)
(x)
Problemas resueltos
1. Factorizar: P(x;y) = 5x2 + 8xy + 3y2 + 2x - 3
Solución:
Completamos con 0 y; aplicamos luego aspa doble.
P(x;y) = 5x2 + 8xy + 3y2 + 2x + 0y - 3
* Paso 3: Se debe verificar 13x3 y 20x mediante la descomposición apropiada de:
7x 42x2
6x
P = x4
+ 13x3
+ 45x2
+ 20x + 2 x2
7x 1 x2
6x 2
5x 3y - 3
I III II
x y 1 * Paso 4: P(x) = (x2 + 7x + 1) (x2 + 6x + 2)
I. 5xy 3xy + 8xy
Luego:
II. 3y -3y +
0y
III. 5x
-3x + 2x
4. Factorizar : P(x) = 16x4 - 8x3 - 16x2 - 22x - 15
Solución:
P = 16x4
- 8x3
- 16x2
- 22x - 15
P(x;y) = (5x + 3y - 3) (x + y + 1)
2. Factorizar: Q(x;y;z) = 2(x2 + y4 + z6) - 5y2 (x + z3) + 4xz3
4x2
4x2
3 Aspas = -8x2
-5
2x
Solución:
= -16x2
- (-8x2
) = -8x2
4 3 2
-4x
Efectuando: P(x) = 16x - 8x - 16x - 22x - 152
Q(x;y;z) = 2x2 + 2y4 + 2z6 - 5y2x - 5y2z3 + 4xz3
Ordenando convenientemente para aplicar el aspa
doble: Finalmente :
4x 4x2
2x 3
-4x -5
Q(x;y;z) = 2x2 - 5xy2 + 2y4 + 4xz3 - 5y2z3 + 2z6 P(x) = (4x
2 + 2x + 3) (4x2 - 4x - 5)
2x
x
luego:
-y2
I III II
-2y2
2z3
z3
5. Factorizar: P
Solución:
* Paso 1:
(x) = x3 - x2 - 2x - 12
Q(x;y;z) = (2x - y2 + 2z3) (x - 2y2 + z3)
3. Factorizar: P(x) = x4 + 13x3 + 45x2 + 20x + 2
Solución:
* Paso 1: Descomponemos los extremos y obtenemos el resultante de las aspas.
4 3 2
Cálculo de los posibles valores que anulan al polinomio: cómo el polinomio es mónico usaremos los divisores de 12: ±(1; 2; 3; 6).
* Paso 2:
Evaluando:
Para: x = 1 P(1) = 13 - 12 - 2(1) - 12 = -14 (No)
P(x) = x + 13x + 45x + 20x + 2 3 2
x2
1 Aspas = 3x2
Para: x = -1 P(-1) = (-1) = -12 (No)
- (-1) - 2(-1) - 12
x2
2 Para: x = 2 P (2) = 23 - 22 - 2(2) - 12 = - 12 (No)
* Paso 2: Obtenemos :
= 45x2
término central
- 3x2
Aspas = 42x2
Para: x = 3 P(3) = 33 - 32 - 2(3) - 12 = 0 P(3) = 0 (x - 3)
es un factor del polinomio P(x)
* Paso 3:
x = 3
1 -1 -2 -12
3 6 12
1 2 4 0
x = 1 2
2 1 1 -1
1 1 1
2 2 2 0
a) 5x+2y+3 b) 5x+y-3 c) 5x+2y-3
d) x+y+1 e) x+2y+3
Finalmente:
q(x) = x2 + 2x + 4
P(x) = (x - 3) (x2 + 2x + 4)
2. Factorizar:
P(x;y) = 3x2 + 4xy + y2 + 4x + 2y + 1
indicando uno de los factores primos
a) x-y-1 b) 3x-y+1 c) 3x+y-1
d) x+y-1 e) 3x+y+1
6. Factorizar: P(x) = 2x3 + x2 + x - 1
Solución:
3. Factorizar:
P(x) = x4 + 5x3 + 9x2 + 11x + 6
* Paso 1:
El polinomio no es mónico, usaremos opcionalmente:
divisores del término independiente divisores del coeficiente principal
1
Indique el número de factores primos
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
4. Factorizar:
P(x) = x4 - 2x3 -10x2 + 5x + 12
1;2
* Paso 2: Evaluamos:
Para: x = 1 P(1) = 2(1)3 + 12 + 1 - 1 = 3 (No)
Para: x = -1 P(-1) = 2(-1)3 + (-1)2 + (-1)
- 1
= -3 (No)
a) (x2 + x - 3) (x - 4) (x + 1)
b) (x2 + x - 3) (x + 4) (x - 1)
c) (x2 + x + 3) (x - 4) (x + 1)
d) (x2 + x + 3) (x - 4) (x - 1)
e) (x2 + x - 3) (x - 4) (x - 1)
5. Factorizar: 1
Para: x = 2
3
1
P 1 22
2
1
2
1
1 0
2
P(x) = x3 - 11x2 + 31x - 21
2
x 1
a) (x - 1) (x - 7) (x + 4) b) (x + 1) (x + 7) (x + 3) c) (x - 1)(x + 7)(x - 3) entonces
* Paso 3:
es un factor
2 d) (x - 1)(x - 7)(x + 3)
e) (x - 1)(x - 7)(x - 3)
6. Factorizar: Utilizando Ruffini :
Finalmente:
x - 1
P( x )
x 1
2
2x -
1
P(x; y) = 15x2 + 11xy + 2y2 + 16x + 6y + 4 Indicar un factor primo.
a) 3x + y b) 3x + y + 2 c) 5x + 2y d) 5x - 2y + 2 e) 5x + 2
7. Factorizar:
P(x; y) = 10x2 + 11xy - 6y2 - x - 11y - 3 Indicar un factor.
a) 5x - 2y - 3 b) 5x - 2y c) 2x + 3y d) 2x - 3y + 1 e) 2x - 3y
P(x) = 2 (2x2+2x+2) = 2 (2)(x2+x+1)
P(x) = (2x - 1) (x2 + x + 1) 8. Indicar un factor de:
P(x) = x4 + 7x3 + 14x2 + 7x + 1
Bloque I
1. Factorizar:
Problemas para la clase
P(x;y) = 6x2+7xy-3y2+11x-11y-10
a) x2 + 3x - 1 b) x2 + 3x + 1 c) x2 - 4x d) x2 + 4x - 1 e) x2 + 1
9. Indicar un factor de:
a) FVFF b) VVVV c) FVVV
d) FVVF e) VVVF
a) x b) 6x c) 7x 3. Factorizar:
d) x2 e) 9
a) x - 3 b) x + 2 c) x - 1
d) x + 1 e) x
a) x2 - 5 b) x2 + 5 c) x2 - x - 3 d) x2 - 3 e) x2 + 3
10.Indicar un factor de:
P(x) = x3 + 5x + 6
a) x - 1 b) x + 1 c) x + 3
d) x - 3 e) x + 2
Bloque II
1. Factorizar:
P(x;y;z) = 2x2 - 2y2 - 3z2 - 3xy + 7yz - xz
indicando la suma de sus factores primos
a) 3x-y-2z b) 3x+y+2z c) x-y-2z
d) x-y+z e) 3x-3y-2z
2. Factorizar:
P(x) = x4 + 5x3 - 7x2 - 29x + 30
indicar la suma de todos los factores primos.
a) 4x + 3 b) 4x + 4 c) 4x + 5
d) 4x + 6 e) 4x + 7
8. Indicar un factor de:
B(x) = x4 + 4x2 + 16
a) x2 + 2x + 4 b) x2 + 2x c) x2 - 2x d) x2 - 2x + 3 e) x2 + 6x - 1
9. Indicar la suma de coeficientes de los factores primos de:
I(x) = x4 - 4x3 + 11x2 - 14x + 10
a) 4 b) 5 c) 6
d) 8 e) 10
10.Indicar un factor de:
M(x) = 6x6 - 5x5 - 6x4 - 13x2 - 6
a) 2x3 - 2 b) 2x3 - 3x2 + 2
c) 2x3 - 3x2 - 2 d) x3 e) x3 - 1
Bloque III
1. Factorizar:
3. Factorizar:
P(x) = x3 + 2x2 - 5x - 6
P(x) = x5 + 5x4 + 7x3 + x2 - 8x - 4
indique V o F
indicar la suma de coeficientes de un factor primo
a) -3 b) 0 c) 2
d) -4 e) 1
4. Factorizar:
I. El polinomio tiene 5 factores primos. II. El polinomio tiene 3 factores primos III. La suma de sus factores primos es 3x + 2 IV. Uno de los factores primos es (x + 2)2
P(x) = x3 - 5x2 - 2x + 24
indicar la suma de los términos independientes de los factores primos
a) -7 b) -5 c) -3
d) 4 e) 6
5. Factorizar:
P(x) = x4 + 2x2 + 9
indicar un término de un factor primo
2. Factorizar:
P(x;y) = 24x3y2+60x2y2-6xy4 + 6xy3 + 36xy2
a) 6xy2 (x + y + 1)(2x - y + 3)
b) 6xy2 (x + y + 2)(2x - y + 3)
c) 6xy2 (2x + y + 2)(x - y + 3)
d) 6xy2 (2x + y - 2)(2x - y - 3)
e) 6xy2 (2x + y + 2)(2x - y + 3)
6. Factorizar:
Indicar un factor. H(x) = x
3 - 7x + 6
P(x) = x5 + x + 1
a) (x2 + x + 1) (x3 - x2 + 1)
b) (x2 + x + 1) (x3 + x2 + 1)
c) (x2 - x - 1) (x3 - x2 + 1)
d) (x2 - x - 1) (x3 + x2 + 1)
e) (x2 + x + 1) (x3 + x2 - 1)
7. Indicar un factor de:
M(x) = 2x3 - 5x2 - 23x - 10
4. Factorizar:
P(x) = 12x3 + 8x2 - 3x - 2
a) x - 2 b) x + 5 c) 2x
d) x - 5 e) x + 3
c) (3x + 2)(2x - 1)(x - 1) d) (3x + 2)(2x + 1)(2x - 1) e) (3x + 2)(2x + 1)(x - 1)
1. Factorizar:
Autoevaluación
5. Factorizar:
P(x) = x12 - 3x9 - 7x6 + 27x3 - 18 P(x;y) = 4x
2 + 12xy + 5y2 + 12x + 18y + 9
indicar un factor primo a) (x-1)(x2+x+1)(x3-2)(x3-5)(x3-3)
b) (x-1)(x2+x+1)(x3-2)(x3+3)(x3-3)
c) (x+1)(x2-x+1)(x3-2)(x3+3)(x3-3)
d) (x-1)(x2+x+1)(x3+2)(x3+3)(x3-3)
e) (x-1)(x2+x+1)(x3-2)(x3+4)(x3-3)
6. Indicar un factor de:
P(x; y; z) = 6x2 - 20y2 - 14z2 + 7xy + 38yz - 17xz
a) 3x - 4y + 2z b) 3x - 4y + 2
c) 3x + 2y d) 2x + 5y
e) 2x + 5y - 7
7. Indicar un factor de:
P(x; y; z) = 10x2 - yz + 3y2 - 17xy + 5xz
a) y - x b) 2x + 3y + z c) 5x - y d) 2x - 3y - z e) 5x + y
8. Dar un factor primo de:
P(x) = x5 - x4 + 2x2 - 2x + 1
a) x2 + x + 1 b) x3 + x + 1 c) x2 + x - 1
a) 2x + 5y + 3 b) 2x + 5y + 4 c) 2x + 5y + 5 d) 2x + 5y + 6 e) 2x + 5y + 7
2. Factorizar:
P(x;y) = 4x2 + 13xy + 10y2 + 18x + 27y + 18
indicar la suma de factores primos
a) 5x + 7y + 8 b) 5x + 4y + 8 c) 5x + 7y + 9 d) 4x + 7y + 6 e) 4x + 6y + 7
3. Factorizar:
P(x) = x4 + 7x3 + 19x2 + 36x + 18
a) (x2 + x + 3) (x2 - x + 6) b) (x2 + 5x + 6) (x2 - 2x + 6) c) (x2 - 5x + 3) (x2 - 2x + 6) d) (x2 + 5x - 3) (x2 + 2x - 6)
e) (x2 + 5x + 3) (x2 + 2x + 6)
4. Factorizar: d) x3 - x - 1 e) x2 - x + 1
P(x) = x3 - x - 6
9. Factorizar:
F(n) = (n + 1)2[n2 + 2n + 9] + 5(n + 1)[n2 + 2n + 2] + 1 indicar un factor primo.
a) n + 7 b) n + 8 c) n + 2
d) n + 6 e) n + 10
10.Indicar la suma de términos independientes de sus factores primos:
P(n) = (n2 + n - 1)2 + (2n + 1)2
a) 3 b) -1 c) 4
d) 2 e) -2
a) (x + 2) (x2 + 2x + 3)
b) (x - 2) (x2 + 2x + 3)
c) (x + 1) (x2 + 2x + 6)
d) (x - 1) (x2 - 2x + 6)
e) (x - 2) (x2 - 2x + 3)
5. Factorizar: P(x) = x3 - 6x2 + 11x - 6
indicar un factor primo
a) x - 1 b) x + 2 c) x + 3
d) x + 4 e) x + 6
Claves
1. a 2. c 3. e
