CI 3725 Clase 17 pdf

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(1)TRADUCTORES E INTERPRETADORES Clase 17 (Y última del trimestre): Completitud. Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.

(2) Agenda • Reducciones • Dureza • Completitud. Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.

(3) Reducciones • ¿Es posible transformar un problema en otro?. Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.

(4) Reducciones • ¿Es posible transformar un problema en otro? – ¡Claro que si! – ¿Pero cuanto cuesta? ¿Realmente vale la pena?. Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.

(5) Reducciones • ¿Es posible transformar un problema en otro? – ¡Claro que si! – ¿Pero cuanto cuesta? ¿Realmente vale la pena? – Depende del problema.. Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.

(6) Reducciones • ¿Es posible transformar un problema en otro? – ¡Claro que si! – ¿Pero cuanto cuesta? ¿Realmente vale la pena? – Depende del problema.. • Diremos que una función f puede C-reducirse a otra función g si existe un computador que: – Transforme entradas para f en entradas para g.. Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.

(7) Reducciones • ¿Es posible transformar un problema en otro? – ¡Claro que si! – ¿Pero cuanto cuesta? ¿Realmente vale la pena? – Depende del problema.. • Diremos que una función f puede C-reducirse a otra función g si existe un computador que: – Transforme entradas para f en entradas para g. – Transforme salidas para g en salidas para f. Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.

(8) Reducciones • ¿Es posible transformar un problema en otro? – ¡Claro que si! – ¿Pero cuanto cuesta? ¿Realmente vale la pena? – Depende del problema.. • Diremos que una función f puede C-reducirse a otra función g si existe un computador que: – Transforme entradas para f en entradas para g. – Transforme salidas para g en salidas para f. – Ambas transformaciones estén en la clase C. Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.

(9) Reducciones • ¿Tiene sentido realizar una C-reducción para una función que pertenece a C?. Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.

(10) Reducciones • ¿Tiene sentido realizar una C-reducción para una función que pertenece a C? – Sería equivalente a computar la función.. Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.

(11) Reducciones • ¿Tiene sentido realizar una C-reducción para una función que pertenece a C? – Sería equivalente a computar la función.. • ¿Siempre es posible realizar una C-reducción de una función a otra?. Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.

(12) Reducciones • ¿Tiene sentido realizar una C-reducción para una función que pertenece a C? – Sería equivalente a computar la función.. • ¿Siempre es posible realizar una C-reducción de una función a otra? – ¡No! ¡De ser así, todas las clases de complejidad serían la misma!. Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.

(13) Reducciones • ¿Tiene sentido realizar una C-reducción para una función que pertenece a C? – Sería equivalente a computar la función.. • ¿Siempre es posible realizar una C-reducción de una función a otra? – ¡No! ¡De ser así, todas las clases de complejidad serían la misma! – ¿Y si todas las funciones involucradas pertenecen a una misma clase D? Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.

(14) Reducciones • Algunos ejemplos de Reducciones: – Sudoku se puede reducir al problema de colorear un grafo. • ¿Cuánto tiempo/espacio toma tal reducción?. Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.

(15) Reducciones • Algunos ejemplos de Reducciones: – Sudoku se puede reducir al problema de colorear un grafo. • ¿Cuánto tiempo/espacio toma tal reducción? • ¡Es una P-reducción!. Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.

(16) Reducciones • Algunos ejemplos de Reducciones: – Sudoku se puede reducir al problema de colorear un grafo. • ¿Cuánto tiempo/espacio toma tal reducción? • ¡Es una P-reducción!. – Buscar un elemento en un arreglo se puede reducir a ordenar el arreglo.. Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.

(17) Reducciones • Algunos ejemplos de Reducciones: – Sudoku se puede reducir al problema de colorear un grafo. • ¿Cuánto tiempo/espacio toma tal reducción? • ¡Es una P-reducción!. – Buscar un elemento en un arreglo se puede reducir a ordenar el arreglo. – Hallar un apareamiento máximo para un grafo bipartito, se puede reducir a conseguir un flujo máximo. Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.

(18) Dureza • Diremos que una función f es C-dura, con respecto a D, si para cualquier otra función g, que pertenezca a C, se puede conseguir una D-reducción de f a g.. Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.

(19) Dureza • Diremos que una función f es C-dura, con respecto a D, si para cualquier otra función g, que pertenezca a C, se puede conseguir una D-reducción de f a g. – ¿Todas las funciones en C son C-duras, con respecto a algún D no trivial?. Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.

(20) Dureza • Diremos que una función f es C-dura, con respecto a D, si para cualquier otra función g, que pertenezca a C, se puede conseguir una D-reducción de f a g. – ¿Todas las funciones en C son C-duras, con respecto a algún D no trivial? – ¿Todas las funciones C-duras, con respecto a algún D no trivial, pertenecen a C? Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.

(21) Dureza • Demostrar que una función f es C-dura, con respecto a D: – Implica demostrar que cada posible función g que pertenece a C se puede D-reducir a f.. Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.

(22) Dureza • Demostrar que una función f es C-dura, con respecto a D: – Implica demostrar que cada posible función g que pertenece a C se puede D-reducir a f. – Si ya se sabe que una cierta función h es C-dura, con respecto a D, basta con demostrar que h se puede D-reducir a f. • Las demás funciones se pueden transformar, componiendo las transformaciones hasta y desde h. Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.

(23) Completitud • Diremos que una función f es C-completa, con respecto a D, si: – f es C-dura con respecto a D. – f pertenece a C.. Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.

(24) Completitud • Diremos que una función f es C-completa, con respecto a D, si: – f es C-dura con respecto a D. – f pertenece a C.. • Escogiendo una D pertinente, las funciones C-completas con respecto a D, vienen a ser las funciones “mas difíciles de computar” en la clase C. Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.

(25) Completitud • Para algunas clases, existe una clase de completitud, con respecto a un determinado D, que es tan común que el D se omite.. Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.

(26) Completitud • Para algunas clases, existe una clase de completitud, con respecto a un determinado D, que es tan común que el D se omite. – Las funciones NP-completas. • Trabajan con respecto a P-reducciones.. Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.

(27) Completitud • Para algunas clases, existe una clase de completitud, con respecto a un determinado D, que es tan común que el D se omite. – Las funciones NP-completas. • Trabajan con respecto a P-reducciones.. – Las funciones PSPACE-completas. • Trabajan con respecto a P-reducciones.. Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.

(28) Completitud • Para algunas clases, existe una clase de completitud, con respecto a un determinado D, que es tan común que el D se omite. – Las funciones NP-completas. • Trabajan con respecto a P-reducciones.. – Las funciones PSPACE-completas. • Trabajan con respecto a P-reducciones.. – Las funciones P-completas. • Trabajan con respecto a NC-reducciones. Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.

(29) Completitud • Si se llega a concluir que P ≠ NP, entonces las funciones NP-completas serían las funciones “mas difíciles de computar” en NP. – En este hecho se basa la criptografía moderna.. Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.

(30) Completitud • Si se llega a concluir que P ≠ NP, entonces las funciones NP-completas serían las funciones “mas difíciles de computar” en NP. – En este hecho se basa la criptografía moderna.. • Algunas funciones NP-completas: – Coloración mínima de un grafo.. Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.

(31) Completitud • Si se llega a concluir que P ≠ NP, entonces las funciones NP-completas serían las funciones “mas difíciles de computar” en NP. – En este hecho se basa la criptografía moderna.. • Algunas funciones NP-completas: – Coloración mínima de un grafo. – Problema del Agente Viajero.. Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.

(32) Completitud • Si se llega a concluir que P ≠ NP, entonces las funciones NP-completas serían las funciones “mas difíciles de computar” en NP. – En este hecho se basa la criptografía moderna.. • Algunas funciones NP-completas: – Coloración mínima de un grafo. – Problema del Agente Viajero. – Suma sobre subconjuntos. Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.

(33) Completitud • ¿Cómo demostramos que una función f es NP-completa?. Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.

(34) Completitud • ¿Cómo demostramos que una función f es NP-completa? – Hay que demostrar que es NP. – Hay que demostrar que es NP-dura.. Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.

(35) Completitud • ¿Cómo demostramos que una función f es NP-completa? – Hay que demostrar que es NP. – Hay que demostrar que es NP-dura.. • Hace falta una función h que sepamos ya es NP-dura y lograr P-reducir h a f.. Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.

(36) Completitud • ¿Cómo demostramos que una función f es NP-completa? – Hay que demostrar que es NP. – Hay que demostrar que es NP-dura.. • Hace falta una función h que sepamos ya es NP-dura y lograr P-reducir h a f. – ¿Pero y si aún no se conoce tal función h?. Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.

(37) Completitud • ¿Cómo demostramos que una función f es NP-completa? – Hay que demostrar que es NP. – Hay que demostrar que es NP-dura.. • Hace falta una función h que sepamos ya es NP-dura y lograr P-reducir h a f. – ¿Pero y si aún no se conoce tal función h? – Hace falta una primera función NP-completa que nos sirva como guía. Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.

(38) Completitud • Consideremos el siguiente problema: – Se tiene una fórmula booleana, compuesta por: • Constantes: true y false. • Variables proposicionales. • Operadores de: conjunción, disyunción y negación.. Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.

(39) Completitud • Consideremos el siguiente problema: – Se tiene una fórmula booleana, compuesta por: • Constantes: true y false. • Variables proposicionales. • Operadores de: conjunción, disyunción y negación.. – ¿Existe una asignación de valores para las variables involucradas que resulte en la misma evaluando a true?. Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.

(40) Completitud • Consideremos el siguiente problema: – Se tiene una fórmula booleana, compuesta por: • Constantes: true y false. • Variables proposicionales. • Operadores de: conjunción, disyunción y negación.. – ¿Existe una asignación de valores para las variables involucradas que resulte en la misma evaluando a true? – Este problema se conoce como SAT (Boolean SATisbafility problem). Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.

(41) Completitud • El teorema de Cook-Levin enuncia:. SAT es NP-completo.. Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.

(42) Completitud • El teorema de Cook-Levin enuncia:. SAT es NP-completo. – Para cada función en NP, sea M una Computador no determinista, que la computa en tiempo polinomial.. Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.

(43) Completitud • El teorema de Cook-Levin enuncia:. SAT es NP-completo. – Para cada función en NP, sea M una Computador no determinista, que la computa en tiempo polinomial. – Se codifica M con su entrada E, de tal forma que resulte una formula booleana. • Si la máquina acepta la entrada, la fórmula será satisfacible. De lo contrario, será insatisfacible. • Revisar los detalles de la construcción, queda como ejercicio. Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.

(44) Completitud • Contando con una función que es NP-completa, podemos probar la NP-completitud de muchas otras, tomándola como base.. Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.

(45) Completitud • Contando con una función que es NP-completa, podemos probar la NP-completitud de muchas otras, tomándola como base. – ¡El Teorema de Cook-Levin es uno de los resultados más importantes de las ciencias de la computación!. Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.

(46) Completitud • Contando con una función que es NP-completa, podemos probar la NP-completitud de muchas otras, tomándola como base. – ¡El Teorema de Cook-Levin es uno de los resultados más importantes de las ciencias de la computación! – Aunque si P = NP, dicho resultado se haría obsoleto.. Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.

(47) Completitud • ¿Existe alguna función similar en el caso de las funciones PSPACE-completas?. Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.

(48) Completitud • ¿Existe alguna función similar en el caso de las funciones PSPACE-completas? – Consideremos el siguiente problema: • Se tiene una fórmula booleana, compuesta por: – – – –. Constantes: true y false. Operadores de: conjunción, disyunción y negación. Cuantificadores: universal y existencial. Variables proposicionales ligadas a los cuantificadores.. Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.

(49) Completitud • ¿Existe alguna función similar en el caso de las funciones PSPACE-completas? – Consideremos el siguiente problema: • Se tiene una fórmula booleana, compuesta por: – – – –. Constantes: true y false. Operadores de: conjunción, disyunción y negación. Cuantificadores: universal y existencial. Variables proposicionales ligadas a los cuantificadores.. • ¿La fórmula en cuestión evalúa a true?. Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.

(50) Completitud • ¿Existe alguna función similar en el caso de las funciones PSPACE-completas? – Consideremos el siguiente problema: • Se tiene una fórmula booleana, compuesta por: – – – –. Constantes: true y false. Operadores de: conjunción, disyunción y negación. Cuantificadores: universal y existencial. Variables proposicionales ligadas a los cuantificadores.. • ¿La fórmula en cuestión evalúa a true? • Este problema se conoce como TQBF (True Quantified Boolean Formula) o QSAT (Quantified SAT). Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.

(51) Completitud • Y con esto culmina nuestro tratamiento de las funciones computables, los lenguajes decidibles y todas sus clasificaciones.. Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.

(52) Completitud • Y con esto culmina nuestro tratamiento de las funciones computables, los lenguajes decidibles y todas sus clasificaciones. – Esperamos hayan disfrutado y aprendido bastante de este curso de Traductores e Interpretadores.. Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.

(53) Completitud • Y con esto culmina nuestro tratamiento de las funciones computables, los lenguajes decidibles y todas sus clasificaciones. – Esperamos hayan disfrutado y aprendido bastante de este curso de Traductores e Interpretadores. – Hemos visto apenas la punta del iceberg que es la teoría de la computación, queda mucho por discutir aún. Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.

(54) Completitud • Hemos aprendido a definir y reconocer Lenguajes.. Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.

(55) Completitud • Hemos aprendido a definir y reconocer Lenguajes. – Incluso hemos aprendido a implementar Lenguajes de Programación.. Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.

(56) Completitud • Hemos aprendido a definir y reconocer Lenguajes. – Incluso hemos aprendido a implementar Lenguajes de Programación. • ¿Pero que hace de un Lenguaje un buen Lenguaje?. Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.

(57) Completitud • Hemos aprendido a definir y reconocer Lenguajes. – Incluso hemos aprendido a implementar Lenguajes de Programación. • ¿Pero que hace de un Lenguaje un buen Lenguaje? • ¿Qué ventajas tiene cada uno y que problemas le son más aplicables para solucionar?. Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.

(58) Completitud • Hemos aprendido a definir y reconocer Lenguajes. – Incluso hemos aprendido a implementar Lenguajes de Programación. • ¿Pero que hace de un Lenguaje un buen Lenguaje? • ¿Qué ventajas tiene cada uno y que problemas le son más aplicables para solucionar? • ¿Existen diferentes paradigmas y formas de programación?. Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.

(59) Completitud • Hemos aprendido a definir y reconocer Lenguajes. – Incluso hemos aprendido a implementar Lenguajes de Programación. • ¿Pero que hace de un Lenguaje un buen Lenguaje? • ¿Qué ventajas tiene cada uno y que problemas le son más aplicables para solucionar? • ¿Existen diferentes paradigmas y formas de programación? • Eso quedará… Para el curso de Lenguajes de Programación I… Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.

(60) Completitud • Hemos aprendido a definir y reconocer Lenguajes. – Incluso hemos aprendido a implementar Lenguajes de Programación. • ¿Pero que hace de un Lenguaje un buen Lenguaje? • ¿Qué ventajas tiene cada uno y que problemas le son más aplicables para solucionar? • ¿Existen diferentes paradigmas y formas de programación? • Eso quedará… Para el curso de Lenguajes de Programación I… ¡Hasta entonces! Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.

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