MA 2115 Auto Evaluación 1 2008 Sep Dic pdf

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(1)Universidad Simón Bolı́var Departamento de Matemáticas Puras y Aplicadas Matemáticas IV (MA-2115) Septiembre-Diciembre 2008 1ra Autoevaluación Material Cubierto: La presente autoevaluación versa sobre el material cubierto en las clases 1 a 7 del cronograma del curso, es decir, las secciones 9.1 a 9.8 del Purcell, Varberg y Rigdon, 9na edición. Nota: La presente autoevaluación no tiene ningún valor para la nota final de este curso. Instrucciones: Esta autoevaluación consta de 3 partes, que preferiblemente deberı́an ser resueltas en orden (es decir, primero la parte 1, luego la parte 2, y por último la parte 3) y después que Ud. haya estudiado el material correspondiente. Cada parte tiene sus propias instrucciones. Las respuestas están al final de cada parte. Esta autoevaluación puede ser bajada de la página web del departamento de matemáticas http://www.ma.usb.ve/. Se le sugiere revise frecuentemente dicha página web, ya que a lo largo del trimestre irán apareciendo más autoevaluaciones. Notación La función logaritmo natural, es decir, la función inversa de g(x) = ex se denotará por f (x) = log(x) (siguiendo la convención usada en los problemarios de las preparadurı́as1 ). Sobre el tiempo estimado: El tiempo estimado de cada sección se obtuvo multiplicando por 5 el tiempo que me tomó a mı́ resolver los problemas (en algunos casos agregando unos minutos para tener, por ejemplo, 25min en vez de 22min 30seg). ¿Comentarios, preguntas o errores? Escriba a la dirección [email protected] (Prof. Francisco Ojeda). Por favor use el código (MA-2115) o nombre de este curso en el encabezado de su mensaje (ya que en caso contrario por desconocer al remitente probablemente borre su mensaje sin leerlo).. 1.. Sin desarrollo. Tiempo estimado: 25 minutos Instrucciones: Marque la respuesta correcta en cada una de las siguientes preguntas. No hace falta que justifique sus respuestas. Al finalizar, y antes, de proceder a la parte 2, verifique si sus soluciones son correctas. Si Ud. tuvo una o más preguntas erradas, o simplemente adivinó la(s) respuesta(s), se le sugiere revise el texto o sus apuntes antes de proseguir.. 1.1.. Preguntas. Pregunta 1.1. Suponga que la serie. P∞. n=1. an converge. Entonces el lı́m an es igual a n→∞. (a) 1 1. Observe que en el Purcell, Varberg y Rigdon a la función logaritmo natural se denota por f (x) = log(x).

(2) (b) ∞ (c) 0 (d) No se puede decir nada del lı́mite sin tener más información sobre la sucesión {an } (e) −1 ∞ X 1 Pregunta 1.2. La serie converge si y sólo si p n n=1. (a) p ∈ R (b) p > 0 (c) p = 1 (d) p > 1 (e) p ≥ 1 Pregunta 1.3. Suponga que |r| < 1. La serie. ∞ X. rn converge a. n=0. (a). 1 1−r. (b). r 1−r. (c). 1 r−1. (d). 1 1+r. (e). 1 r. Pregunta 1.4. Suponga que 0 ≤ an ≤ bn para n ≥ N , y que la serie (a) la serie. P. an diverge. (b) no se puede concluir nada sobre la convergencia de la serie P (c) la serie an converge P (d) la serie (an + bn ) diverge (e) ninguna de las anteriores Pregunta 1.5. Tenemos que ex = (a) an =. (−1)n n!. (b) an =. 1 n!. P∞. n=0. an xn con. 2. P. an. P. bn converge, entonces.

(3) (c) an =. (−1)n (2n)!. (d) an =. (−1)n n. (e) ninguna de las anteriores Pregunta 1.6. Sea f una función tal que f (n) = an para n ≥ N . Si lı́mx→∞ f (x) = L, entonces (a) No se puede concluir nada sobre lı́mn→∞ an (b) lı́mn→∞ an = 0 (c) lı́mn→∞ an = −L (d) lı́mn→∞ an = L (e) ninguna de las anteriores Pregunta ¿Cuál de los siguientes no puede ser el conjunto de convergencia ninguna serie de P1.7. ∞ potencia n=0 an xn ? (a) {0} (b) (−R, R) para cierto número R mayor que cero. (c) (−R, R] para cierto número R mayor que cero. (d) R (e) [0, R] Pregunta 1.8. El criterio de la integral dice: Sea f una función continua, P∞ positiva no creciente en el intervalo [1, ∞) tal R ∞que f (n) = an para n ∈ N, entonces la serie n=1 an converge si y sólo si la integral impropia 1 f (x) dx converge. En el caso en él que la serie converja, el error que se PN P comete al aproximar ∞ n=1 an está acotado por n=1 an usando R∞ (a) N f (x) dx R∞ (b) N +1 f (x) dx R∞ (c) N +2 f (x) dx R∞ (d) 12 N f (x) dx (e) ninguna de las anteriores Pregunta 1.9. La función coseno tiene serie de potencia, centrada en 0, dada por (a) x −. x2 2. +. x3 3. −. x4 4. +. x5 5. − ···. (b) 1 + x + x2 + x3 + x4 + · · · (c) 1 +. x2 2!. +. x4 4!. +. x6 6!. +. x8 8!. + ··· 3.

(4) (d) x −. x3 3!. +. x5 5!. −. x7 7!. +. x9 9!. − ···. (e) 1 −. x2 2!. +. x4 4!. −. x6 6!. +. x8 8!. − ···. Pregunta 1.10. Si la serie. P. |an | converge, entonces. (a) lı́mn→∞ |an | = 1 P (b) la serie an diverge (c) no se puede concluir nada sobre la convergencia de la serie P (d) la serie an converge. P. an. (e) ninguna de las anteriores Las respuestas a esta parte se encuentran en la página siguiente. 4.

(5) 1.2.. Respuestas. Las siguientes son las respuestas de la primera parte: 1.1(c), 1.2(d), 1.3(a), 1.4(c), 1.5(b), 1.6(d), 1.7(e), 1.8(a), 1.9(e), 1.10(d).. 2.. Desarrollo. Tiempo estimado: 1hora 40 minutos Instrucciones: Resuelva los siguiente problemas, justificando sus respuestas. Marque la respuesta correcta en cada una de las siguientes preguntas. Al finalizar, y antes, de proceder a la parte 3, verifique si sus respuestas son correctas. Se le sugiere que también lea las resoluciones de los problemas proporcionados. Recuerde si su solución y la solución publicada difieren en el procedimiento, esto no necesariamente significa que su solución sea incorrecta, ya que puede haber más de una manera de resolver un problema. Por otro lado, el hecho que Ud. haya indicado la respuesta correcta, no significa que el procedimiento que Ud. usó esté necesariamente bien. Si Ud. tiene una duda respecto a su solución o a la solución proporcionada se le sugiere consulte a su profesor.. 2.1.. Preguntas. Pregunta 2.1. El lı́mite de la sucesión an = 1 −. 3 n n. cuando n tiende a infinito. (a) es igual a e−3 (b) es igual a e3 (c) diverge (d) es igual a e (e) Ninguna de las anteriores Pregunta 2.2. Estudie la convergencia de la serie. P∞. n=1. cos2 (n) √ . n3n. (a) Converge (b) Diverge Pregunta 2.3. Estudie la convergencia de la serie. P∞. n=1 sen. 1 n. . .. (a) Converge (b) Diverge Pregunta 2.4. Encuentre el conjunto y radio de convergencia de la serie (a) − 12 , 12 y R =. 1 2. (b) [−2, 2] y R = 2 (c) [−2, 2) y R = 2 5. P∞. n=1. n 2x √ n.

(6) (d) (−1, 1) y R = 1 (e) [−1, 1) y R = 1 Pregunta 2.5. Encuentre una representación en serie de potencias para la función su radio de convergencia. (a). P∞. (−1)n. (b). P∞. (−1)n+1. (c). P∞. (−1)n. x2n+1 4n+1. y radio 1. (d). P∞. (−1)n. x2n+1 22n+1. y radio 2. (e). P∞. (−1)n. x2n+1 22n+1. y radio 1. n=0. n=0 n=0. n=0 n=0. x2n+1 4n+1. y radio 2. x2n+1 4n+1. y radio 2. Las respuestas a esta parte se encuentran en la página siguiente. 6. x 4+x2. y halle.

(7) 2.2.. Respuestas. 2.1(a), 2.2(a), 2.3(b), 2.4(e), 2.5(a). 2.3.. Resolución de los problemas. Solución 2.1. Para calcular este lı́mite podemos usar el hecho que Si lı́m f (x) = L y f (n) = an para n ∈ N, entonces lı́m an = L. x→∞. Entonces calculamos. x→∞. x x 3 3 = lı́m exp log 1− lı́m 1 − x→∞ x→∞ x x y entonces por la continuidad de la función exponencial nuestro problema se reduce a calcular x log 1 − x3 3 3 = lı́m x log 1 − = lı́m lı́m log 1− . 1 x→∞ x→∞ x→∞ x x x . Ahora nuestro lı́mite es de la forma 00 por lo cual intentamos resolverlo usando la regla de L’hopital obteniendo 3 1 x 3 2 3 3 1− x x lı́m log 1− = lı́m − = −3. = lı́m 1 x→∞ x→∞ x→∞ x − x2 1 − x3 x Entonces lı́mx→∞ 1 − x3 = exp (−3) = e−3 y finalmente n 3 = e−3 . lı́m 1 − n→∞ n Solución 2.2. Recordemos que −1 ≤ cos(x) ≤ 1 para x ∈ R. Esto es equivalente a | cos(x)| ≤ 1, y elevando al cuadrado a ambos lados obtemenos que cos2 (x) < 1, donde hemos usado que para x ∈ R se tiene que x2 = |x|2 . Tenemos entonces que para n ∈ N que cos2 (n) 1 1 √ 0≤ ≤ √ = 4. 3 3 n n n n n3 Entonces por el criterio de comparación ordinaria y el criterio de la serie p (en este caso p = 34 > 1) P cos2 (n) √ se tiene que la serie ∞ n=1 n 3 n converge. Solución 2.3. En un primer (y rápido intento) calculamos lı́mn→∞ sen n1 con la esperanza que este lı́mite sea distinto de cero en cuyo caso la seria divergerı́a, pero como lı́mn→∞ n1 = 0 y la función seno es continua, tenemos que lı́mn→∞ sen n1 = sen(0) = 0. Tristemente esto no nos da ninguna información respecto a la convergencia de nuestra serie. Después de pensar un rato se nos ocurre que quizás podemos usar el criterio de comparación del lı́mite (para eso hace falta que sen n1 sea ≥ 0, pero como 0 < n1 < π2 y el seno es positivo en el intervalo 0, π2 esto es cierto). La pregunta es ¿con qué serie podrı́amos comparar? Recordamos P 1 ahora el lı́mite2 lı́mx→0 sen(x) = 1 y vemos que podemos usar la serie ∞ n=1 n . Entonces como x sen( 1 ) lı́mn→∞ 1 n = 1, tenemos por el criterio de comparación del lı́mite que ambas series convergen n P∞ 1 o divergen juntas, pero como la serie n=1 n diverge (por ejemplo usando el criterio de P∞armónica 1 la serie p), tenemos entonces que n=1 sen n diverge. 2. Este lı́mite se vió en MA1111.. 7.

(8) Solución 2.4. Sea bn =. n 2x √ n. para x 6= 0 3 , calculamos. |bn+1 | = lı́m lı́m n→∞ n→∞ |bn |. √. n+1 2x √ n+1. = lı́m √. 2xn √. n→∞. n. n |x| = |x| . n+1. P n 2x 4 √ Entonces por el criterio del cociente absoluto tenemos que ∞ n=1 n converge para |x| < 1 y diverge para |x| > 1. Entonces el radio de convergencia es 1. Para hallar el conjunto deP convergencia √2 nos hace falta ver que ocurre en x = 1 y x = −1. Cuando x = 1, tenemos la serie ∞ n=1 n que diverge por el criterio de la serie p (en este caso p = 21 ≤ 1). Cuando x = −1 tenemos la serie P∞ P∞ 2(−1)n n √ √2 que claramente que es una serie alternante de la forma n=1 an (−1) con an = n=1 n n es positivo, decreciente y satisface lı́mn→∞ √2n = 0. Entonces por el criterio de la serie alternante tenemos que la serie converge en x = 1. Entonces el conjunto de convergencia es [−1, 1). Solución 2.5. Tenemos que x x = 2 4+x 4. 1 2 1 + x4. !. x = 4. 1 2 1 − − x4. ! .. Usando la fórmula para la serie geométrica tenemos (bajo la suposición que. . 2. − x4. . < 1) que. n X ∞ ∞ 2n+1 xX x x2 n x = − = (−1) 4 + x2 4 n=0 4 4n+1 n=0 Como la serie geométrica. P∞ n=0. 2. − x4. . tenemos que la serie. 3.. P∞. n=0. (−1)n. n. x2 − 4. x2n+1 4n+1. . converge solamente cuando. . 2. − x4. . <1y. < 1 ⇔ x2 < 4 ⇔ |x| < 2. tiene radio de convergencia 2.. Desarrollo. Más problemas. Tiempo estimado: 1 hora 55 minutos Instrucciones: Resuelva los siguiente problemas, justificando sus respuestas. Marque la respuesta correcta en cada una de las siguientes preguntas. Al finalizar, verifique si sus respuestas son correctas. Se le sugiere que también lea las resoluciones de los problemas proporcionados. Recuerde si su solución y la solución publicada difieren en el procedimiento, esto no necesariamente significa que su solución sea incorrecta, ya que puede haber más de una manera de resolver un problema. Por otro lado, el hecho que Ud. haya indicado la respuesta correcta, no significa que el procedimiento que Ud. usó esté bien. Si Ud. tiene una duda respecto a su solución o a la solución proporcionada se le sugiere consulte a su profesor. P∞ Una serie de potencia n=0 an xn siempre converge en x = 0, ası́ que realmente sólo hace falta analizar que ocurre cuando x 6= 0. 4 Siendo más precisos, el criterio del cociente absoluto nos dice que nuestra serie converge para |x| < 1 y x 6= 0. 3. 8.

(9) 3.1.. Preguntas. Pregunta 3.1. Sea {an } la sucesión definida por a1 = 2, an+1 = 12 (an + 4) para n ≥ 2. Determine si la sucesión {an } es convergente o no. En caso afirmativo calcule el lı́mite. (a) diverge (b) converge a 2 (c) converge 4 (d) converge −2 (e) converge a. 1 2. Pregunta 3.2. Justificando su razonamiento encuentre una cota para el error, que se comete al n+1 P P (−1)n+1 con la suma finita 4n=1 (−1)n . aproximar la suma de la serie ∞ n=1 n (a) Una cota para el error es. 1 5. (b) Una cota para el error es. 1 7. (c) Una cota para el error es − 41 (d) Una cota para el error es. 1 6. (e) Ninguna de las anteriores Pregunta 3.3. Determine si la serie su lı́mite.. P∞. 1 n=1 n(n+1). converge. En caso de que la serie converja calcule. (a) converge a 1 (b) converge a 2 (c) diverge (d) converge a 3 (e) converge a. 1 3. Pregunta 3.4. Halle la representación en serie de potencias para la función f (x) = sen(x) alrededor del punto c = π4 . Notación: [n/2] es la parte entera de n/2 (a). (b). ∞ X (−1)n 2n+1 x (2n + 1)! n=0 ∞ X n=0. (c). ∞ X n=0. √. 2 (−1)[n/2] π (x + )n 2 n! 4. √. 2 (−1)[n/2] π (x + )n 2 n! 4 9.

(10) ∞ X (−1)n π 2n+1 (d) x− (2n + 1)! 4 n=0. (e). ∞ X n=0. √. π 2 (−1)[n/2] (x − )n 2 n! 4. Pregunta 3.5. Encuentre el conjunto y radio de convergencia de la serie (a) − 31 , 13 y R =. 1 3. (b) (−3, 3] y R = 3 (c) (−2, 2) y R = 2 (d) (−1, 1) y R = 1 (e) [−3, 3] y R = 3 Las respuestas a esta parte se encuentran en la página siguiente. 10. (−1)n n=0 n+1. P∞. x 2n 3.

(11) 3.2.. Respuestas. 3.1(c), 3.2(a), 3.3(a), 3.4(e), 3.5(e). 3.3.. Resolución de los problemas. Solución 3.1. En el caso en él que la sucesión {an } convergiera a un número L tendrı́amos dejando que n → ∞ en la igualdad 1 an+1 = (an + 4) 2 que 1 L = (L + 4) ⇒ L = 4. 2 Ası́ que si la sucesión converge, tiene que converger a 4. Pero todavı́a no sabemos si converge o no. Para ello usamos el teorema de la sucesión monótona, es decir, vamos a ver que nuestra sucesión es no decreciente y acotada superiormente y una vez verificado esto tendremos que la sucesión converge. Primero probamos que la sucesión es no decreciente usando inducción. Para n = 1, tenemos que a1 = 2 ≤ 3 = 21 (2 + 4) = a2 . Suponemos ahora que an ≤ an+1 y queremos ver que an+1 ≤ an+2 . Tenemos que an ≤ an+1 ⇔ an + 4 ≤ an+1 + 4 ⇔. 1 1 (an + 4) ≤ (an+1 + 4) 2 2. La última desigualdad dice, recordando la definición de an , que an+1 ≤ an+2 , que es lo que querı́amos probar. Por lo tanto hemos probado que {an } es no decreciente. De manera análoga se puede probar por inducción que an ≤ 4 para n ∈ N (recuerden que 4 es el candidato al valor del lı́mite). Si no se quiere usar inducción se puede dar el siguiente argumento (que funciona ahora que sabemos que nuestra sucesión es no decreciente): para n ∈ N an ≤ an+1 =. 1 (an + 4) ⇔ 2an ≤ an + 4 ⇔ an ≤ 4. 2. Esto termina la verificación de que {an } converge y ya vimos que entonces el lı́mite es 4. Solución 3.2. Observamos que nuestra serie es alternante satisface las hipótesis del P∞ y además n+1 criterio de la serie alternante (ya que es de la forma n=1 (−1) an con an = n1 , y an es claraP (−1)n+1 mente decreciente, positiva y satisface lı́mn→∞ n1 = 0). Sabemos entonces que la suma N n=1 n P∞ (−1)n+1 1 aproxima a n=1 n con un error menor o igual a aN +1 = (N +1) . En nuestro caso particular estamos interesados en N = 4 y por lo tanto una cota para el error en el que estamos interesados es 15 = 0, 2. Solución 3.3. Usamos el método de fracciones parciales5 (o simples) para reescribir mos que existen constantes A y B tales que 1 A B = + . x (x + 1) x x+1 5. Esto se vió en MA1112 en el contexto de integración de funciones racionales.. 11. 1 . n(n+1). Sabe-.

(12) Entonces multiplicando por x(x + 1) a ambos lados de la igualdad obtenemos 1 = (x + 1)A + xB. Sustituyendo primero x = 0 y luego x = −1 en la igualdad anterior obtenemos que A = 1 y B = −1 y entonces 1 1 1 = − . n (n + 1) n n+1 Por lo tanto N X n=1. Entonces. 1 1 1 1 1 1 − + − + − 1 2 2 3 3 4 1 1 1 1 1 1 + − + ··· − + − 4 5 N −1 N N N +1 1 = 1− . N +1. 1 = n (n + 1). ∞ X n=1. . N X 1 1 1 = lı́m = lı́m 1 − = 1. n (n + 1) N →∞ n=1 n (n + 1) N →∞ N +1. Por lo tanto la serie es convergente y su suma es 1. Solución 3.4. Recordamos que conocemos las series de potencias del seno y el coseno centradas en c = 0 ∞ ∞ X X (−1)n 2n (−1)n 2n+1 x y cos (x) = x . sen (x) = (2n + 1)! (2n)! n=0 n=0 Tenemos que sen(x) = sen Como cos. π 4. . = sen. π 4. . π π π π π π x− + = sen x − cos + sen cos x − . 4 4 4 4 4 4 √. =. 2 , 2. tenemos que. √ n 2 π π o sen(x) = sen x − + cos x − 2 4 4 ) √ (∞ ∞ n X 2 (−1) π 2n+1 X (−1)n π 2n = (x − ) + (x − ) 2 (2n + 1)! 4 (2n)! 4 n=0 n=0 √ 2 (x − π4 ) (x − π4 )3 (x − π4 )5 (x − π4 )7 (x − π4 )9 = − + − + − ··· 2 1! 3! 5! 7! 9! (x − π4 )2 (x − π4 )4 (x − π4 )6 (x − π4 )8 1− + − + − ··· . 2! 4! 6! 8!. 12.

(13) Tenemos entonces que √. √ √ √ 2 2 (x − π4 ) 2 (x − π4 )2 2 (x − π4 )3 + − − sen(x) = 2√ 2 1! √ 2 2! √ 2 3! √ π 4 π 5 π 6 2 (x − 4 ) 2 (x − 4 ) 2 (x − 4 ) 2 (x − π4 )7 + + − − 4! 5! 2 6! 2 7! √2 √2 π 8 π 9 2 (x − 4 ) 2 (x − 4 ) + + − ··· 2√ 8! 2 9! ∞ X π 2 (−1)[n/2] = (x − )n 2 n! 4 n=0 donde [n/2] es la parte entera de n/2. n x 2n para x 6= 0 6 , calculamos Solución 3.5. Sea bn = (−1) n+1 3 |bn+1 | lı́m = lı́m n→∞ |bn | n→∞. (−1)n+1 (n+1)+1 (−1)n n+1. x 2n+2 3 x 2n 3. n + 1 |x|2 |x|2 = lı́m = . n→∞ n + 2 9 9. Entonces por el criterio del cociente absoluto tenemos que |x|2 9. (−1)n n=0 n+1. P∞. x 2n 3. converge7 para. |x|2 9. <1. y diverge para > 1, es decir, converge para |x| < 3 y diverge para |x| > 3. Entonces el radio de convergencia es 3. Para hallar el conjunto de convergencia nos hace falta ver que ocurre en x = −3 y x = 3. Cuando x = −3, tenemos la serie ∞ X (−1)n n=0. n+1. 2n. (−1). =. ∞ X (−1)n n=0. n+1. ,. 1 que es una serie alternante y que converge por el criterio de la serie alternante (ya que an = n+1 es decreciente, positiva y converge a 0 cuando n tiende a infinito). Cuando x = 3, tenemos la P P 2n (−1)n (−1)n serie ∞ = ∞ n=0 n+1 (1) n=0 n+1 y ya vimos que esta serie converge. Entonces el conjunto de convergencia es [−3, 3].. P∞ Una serie de potencia n=0 an xn siempre converge en x = 0, ası́ que realmente sólo hace falta analizar que ocurre cuando x 6= 0. 7 Siendo más precisos, el criterio del cociente absoluto nos dice que nuestra serie converge para |x| < 1 y x 6= 0. 6. 13.

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