BLOQUES BÁSICOS ACTIVOS

Labels T: 10 Labels L: 10 Labels F: 10 Labels E: 10ge

TEMA 10

BLOQUES BÁSICOS ACTIVOS

10.1 Introducción

Los A.O. se utilizan con tres propósitos: bien amplificar señales, bien sumar señales, o bien simular el comportamiento de condensadores y/o inductores. Esta última operación puede llevarse a cabo de dos maneras: integrando una señal mediante una simulación operacional de la función de inductores y condensadores, o bien, construyendo un circuito cuya impedancia si-mula la de un inductor.

Veamos cómo se lleva a cabo la simulación operacional de inductores y condensadores. Consideremos el inductor en serie y el condensador en paralelo de la Fig. 10.1. Están descritos por las ecuaciones:

(10.1) Las intensidades se han convertido en tensiones multiplicando por una resistencia de normali-zación R.

La misma función de integración (división por s) la realiza el circuito de la Fig. 10.1b:1

IR V1–V2 sL R⁄ ---= V I1R–I2R sCR ---=

Figura 10.1: (a) Inductor serie y condensador paralelo realizando "integración"; (b) Equivalente con amplificadores operacionales.

(10.2)

que para |A(jω)|>>1 se convierte en:

(10.3) La simulación de inductores se realiza como indica la Fig. 10.2. Se construye un circuito RC activo cuya impedancia se aproxima a la de un inductor a tierra o flotante, tan bien como sea posible en la frecuencia de interés. Para un circuito a tierra se necesita un circuito cuya im-pedancia de entrada sea Z_in(s)=sL y para un inductor flotante se necesita una bipuerta cuya ma-triz de admitancia sea,

1. El análisis del circuito proporciona un par de ecuaciones:

10.1 Introducción

(10.4)

siendo I₁=−I₂. Debido a las tolerancias de los elementos y las imperfecciones de los A.O. las simulaciones serán imperfectas y serán válidas únicamente en un rango limitado de frecuencias. El inductor realizado no sólo tendrá un valor incorrecto y tendrá además parásitos sino que tam-bién tendrá pérdidas:

(10.5) donde Q_L(ω) es el factor de calidad del inductor. Este concepto de inductor con pérdidas aparece claro en la simulación de inductores. Veamos cómo se puede hacer algo semejante con la simu-lación operacional de inductores y condensadores. Vamos a denominar T_L(s)=R/sL a la función de integración del inductor en (10.1). Sustituyendo jωL por jωL_r+R_L se obtiene:

(10.6)

Se puede definir entonces un factor de calidad del integrador como:

(10.7)

de manera totalmente análoga al factor de calidad de los inductores.

A partir de (10.6) podemos obtener la fase y el error de fase del integrador:

(10.8)

de donde se obtiene la fase y el error de fase:

I₁ I₂ 1 sL --- 1 –1 1 – 1 V₁ V₂ =

Figura 10.2: Ilustración de la simulación de (a) un inductor a tierra y (b) un inductor flotante mediante circuitos RC-activos.

(10.9)

Como era de esperar, el error de fase del integrador está determinado por el factor de calidad del integrador.

Similares resultados se obtienen para el integrador con condensador:

(10.10)

Los conceptos de integrador con pérdidas, factor de calidad del integrador y error de fase del integrador son muy útiles en el diseño de filtros activos. Proporcionan conocimiento acerca del funcionamiento de los circuitos, sugieren como corregir o compensar errores y permiten aplicar resultados de los filtros pasivos LC.

10.2 Amplificadores/sumadores

En muchas ocasiones durante el diseño de un filtro debe amplificarse una señal determi-nada o sumarse dos o varias señales escaladas. Los circuitos correspondientes están basados en los amplificadores inversores y no-inversores de la Fig. 10.3, cuyas ganancias son:2

2. La obtención para el primero es:

10.2 Amplificadores/sumadores

(10.11)

Si las expresiones tienden a:

(10.12)

donde K_o=R_F/R₁. En realidad la ganancia de estos amplificadores depende de la frecuencia ya que A(s) es finita y depende de la frecuencia. Si modelamos A(s) como:

(10.13) puede observarse que dichos amplificadores tienen un ancho de banda reducido:

Figura 10.3: Circuitos activos elementales: (a) amplificador inversor; (b) amplificador no inversor; (c) sumador inversor; (d) buffer de ganancia unidad.

(10.14)

y se obtiene que el producto ganancia ancho de banda en lazo cerrado (1+K_o)ω_K es aproxima-damente igual al producto ganancia ancho de banda en lazo abierto GB.

El tercer circuito mostrado en la Fig. 10.3c es un sumador. Se ha construido a partir del amplificador inversor añadiendo nuevas entradas en el terminal de entrada inversor que es un nudo de tierra virtual. A partir de la expresión de la ganancia para el amplificador inversor puede obtenerse fácilmente la operación del circuito sumador:

3 (10.15)

siendo . En el caso ideal |A(jω)|

→∞

y se reduce esta ecuación a:

(10.16)

donde cada coeficiente se puede ajustar independientemente, lo que resulta muy adecuado para ajuste de filtros activos. La operación de suma puede llevarse a cabo siempre que se disponga de un nodo de tierra virtual en un circuito activo, no es necesario construir un sumador aislado. Otro circuito interesante es el buffer de la Fig. 10.3d. Es un caso especial del amplificador no inversor con R_F=0 y R₁=

∞

. Su ganancia es pues:

(10.17)

El ancho de banda de 3dB de este buffer es GB, y puede observarse que V_o/V_i

≅

1 para las fre-cuencias normales de funcionamiento ω<<GB. La utilidad de este amplificador de ganancia unidad es su alta impedancia de entrada y su baja impedancia de salida:

3. El análisis de este circuito es:

10.3 Integradores/sumadores

(10.18) Luego este circuito puede tener grandes cargas sin cargar los filtros activos puesto que no se extrae prácticamente ninguna intensidad del filtro.

10.3 Integradores/sumadores

Ya hemos visto que los integradores realizan una función importante en el diseño de fil-tros activos. No sólo simulan la operación de inductores y condensadores sino que pueden uti-lizarse para construir secciones de segundo orden, mediante la conexión de dos integradores en un bucle, como se muestra en la Fig. 10.4.

Si consideramos como modelo para cada integrador 1/s se obtiene la siguiente función de transferencia:

4 (10.19)

Combinando un integrador inversor y uno no inversor se obtiene una función de transferencia de segundo orden. El integrador inversor se necesita para que la ganancia del lazo de realimen-tación sea negativo y el sistema sea estable.

4. El análisis de este circuito es:

l

Z_in≅R_i Z_out Ro

1+A s( )

--- 0

≅ ≅

Figura 10.4: Lazo de dos integradores para implementar un filtro de segundo orden.

10.3.1 Integradores inversores

El integrador básico, el integrador Miller, puede obtenerse a partir del amplificador inver-sor sustituyendo R_F por 1/sC, tal como se muestra en la Fig. 10.5. Puede obtenerse pues la

fun-ción de transferencia a partir de la del amplificador inversor:

(10.20)

Sustituyendo A(s)=GB/s y suponiendo que GBCR>>1 se obtiene:

(10.21)

Para s=jω:

(10.22)

Comparando con las expresiones anteriores se obtiene el error de fase y el factor de calidad del integrador:

(10.23) El factor de calidad es negativo y viene determinado por la ganancia del A.O. a la frecuencia de interés. Por tanto, es importante tener ganancias grandes. Si el factor de calidad es demasiado bajo se pueden utilizar métodos de compensación pasiva o activa.

10.3.2 Integradores no inversores

Hemos visto que también son necesarios estos tipos de integradores para la implementa-ción de filtros activos. El método más simple para obtener un integrador no inversor es conectar un amplificador inversor y un integrador Miller en cascada como se muestra en la Fig. 10.6a.

Figura 10.5: Integrador Miller.

10.4 Giradores y convertidores de inmitancia

El amplificador operacional adicional reduce el factor de calidad Q_I de la cascada inver-sor-integrador Miller. Si A₁(jω)=A₂(jω) se obtiene:

5 (10.24)

Pero mediante el simple cambio de un cable como se muestra en la Fig. 10.6b resulta la siguiente función de transferencia:

6 (10.25)

Como esta es la misma ganancia del integrador Miller multiplicada por la ganancia del ampli-ficador inversor conectado como se indica en la Fig. 10.6b:

(10.26) Por tanto, la cascada modificada de integrador Miller e inversor tiene el mismo factor de calidad que el integrador Miller simple:

(10.27)

10.4 Giradores y convertidores de inmitancia

Uno de los propósitos de circuitos activos era la simulación de inductores, de forma que la impedancia de entrada fuera inductiva. La técnica más conocida para la simulación de

tores está basada en el uso de giradores. Un girador es una bipuerta cuya impedancia de entrada es:

(10.28) donde r es la resistencia del girador. Está claro que si Y_load=sC, Z_in será un inductor.

Sin más que utilizar la expresión de la impedancia de entrada Z_in en función de los pará-metros de impedancia del capítulo anterior y la relación entre las matrices de impedancia y ad-mitancia se obtiene que la impedancia de entrada es:

5. La cascada de inversor e integrador Miller tendrá como función de transferencia el producto de ambas ya que la impedancia de entrada es infinita:

donde se ha utilizado A(s)=GB/s y ambas iguales para los dos amplificadores. Sustituyendo s=jω para separar parte real e imaginaria y calcular el factor de calidad del integrador:

Suponiendo GBCR>>1 se tiene que

Por tanto el factor de calidad es:

Como para las frecuencias de interés ω<<ω_u se puede aproximar:

10.4 Giradores y convertidores de inmitancia

(10.29)

Para que Z_in sea proporcional a Y_load es necesario que y₁₁=y₂₂=0. Un girador, cuyo símbolo se muestra en la Fig. 10.7 viene descrito por las ecuaciones:

(10.30)

y la impedancia de entrada es:

(10.31) Para el girador no introduzca dependencias parásitas con la frecuencia y obtener la relación an-terior se diseñan los giradores de forma que y₁₂(s)=g₂, y₂₁(s)=−g₁ y g₁=g₂=1/r.

Ya que la mayoría de los diseños de giradores tienen tierra común entre las puertas de en-trada y salida, se simulan inductores conectados a tierra. Para simular inductores flotantes se suele recurrir a un circuito como el de la Fig. 10.8, construido a partir de dos giradores con tierra común. Si los dos giradores son idénticos se simula un inductor de valor L=r2C. 7

6. Veamos la ganancia del segundo amplificador. La conexión del cable no afecta al primero puesto que por ese cable no circula ninguna intensidad.

V₂ A₂ Vo1 A₁ ---– 1 2 ---V₂ – 1 2 ---V_o1 – = V₂ 1 A2 2 ---+ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ 1 2 ---A₂ 1 2 A₁ ---+ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞_V o1 – = V₂ V_o1 ---1 2 ---A₂ 1 2 A₁ ---+ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ 1 A2 2 ---+ ---– A₂ 1 2 A₁ ---+ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ 2+A₂ ---– 1 2 A₁ ---+ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ 1 2 A₂ ---+ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ---– = = = Z_in( )s y22+Yload y₁₁Y_load+Δy ---= I₁ = y₁₂V₂ I₂ = y₂₁V₁

Figura 10.7:(a) Símbolo del girador; (b) Modelo de pequeña señal equivalente.

La simulación de inductores con A.O. puede realizarse utilizando la configuración general de la Fig. 10.9. Supongamos para facilitar el análisis que la bipuerta tiene impedancia de entrada infinita y nula de salida. Del análisis de la bipuerta se obtiene que:

(10.32) y queremos que se comporte como un inductor:

(10.33)

Por tanto, se debe construir una bipuerta tal que

(10.34)

Es decir,

7. Veamos cómo se calcula el valor de la inductancia simulada:

I₁ 1 r ---V₂₁ = I₂₁ = –rV₁ I₂₂ = rV₂ I₂ = –rV₂₁ sCV₂₁ = –(I₂₁+I₂₂) sCrI₁ 1 r ---– V₁+rV₂ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ – = I₁ 1 sCr2 ---= (V₂–V₁) Fig.4.26 Schauman

10.4 Giradores y convertidores de inmitancia

(10.35)

Tenemos que restar una integración de una ganancia constante. Por tanto, se pueden utilizar los dos subcircuitos de la Fig. 10.10.

La función de transferencia del integrador Miller es: Fig.4.28 Schauman

Figura 10.9: Circuito genérico de simulación de inductancias.

V₂ V₁ --- 1 R sL ---– = Fig.4.29 Schauman

Figura 10.10: Subcircuitos para simulación de inductores: (a) amplificador no inversor con ganancia 2 y (b) integrador Miller con terminal a tierra utilizado como en-trada adicional.

8 (10.36) Como V/V+=2 para el amplificador de la Fig. 10.10a la interconexión de estos dos subcircuitos y la resistencia de realimentación implementa un inductor de valor L=CR2. El circuito resultante se denomina circuito de simulación de inductores de Riordan y se muestra en la Fig. 10.11.

Otro circuito muy utilizado para simulación de inductores implementa la diferencia de la ecuación (10.35) utilizando directamente un integrador Miller, eliminando la conexión a tierra del terminal no inversor para hacer uso de la entrada diferencial del A.O. El circuito, mostrado en la Fig. 10.12, tiene como función de transferencia:

8. El cálculo de esta función de transferencia es:

V₂ V+ --- 1+sCR sCR --- 1 sCR --- V V+ ---– 1 1 sCR --- 1 V V+ ---– ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ + = = V₂ A V+ sCR 1+sCR ---V₂ – 1 1+sCR ---V – ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ = V₂(1+sCR) = A 1[( +sCR)V+–sCRV₂–V] V₂(1+sCR+AsCR) = A 1( +sCR)V+–AV Fig.4.30 Schauman

10.4 Giradores y convertidores de inmitancia

(10.37)

Si hacemos V+/V=1/2 obtendremos la función de transferencia en la forma de la ecuación (10.35). Para ello se hace un divisor de tensión con dos resistencias:

(10.38) Finalmente para eliminar el factor 1/2 es necesario multiplicar por una función de transferencia de valor 2, un amplificador no inversor como se muestra en la Fig. 10.12. Se puede ahorrar el uso de las dos resistencias mediante la conexión del terminal inversor del A.O. al nodo V/2. El circuito resultante es un tipo (tipo I) de los convetidores generales de impedancia de Antoniou (GIC), que se muestra en la Fig. 10.13a.

La estructura general de un convertidor de inmitancia se muestra en la Fig. 10.14. Utili-zando modelos ideales de los A.O. se obtiene que:

V₂ V --- V + V --- 1 SCR --- 1 V + V ---– ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ – = Fig.4.31 Schauman

Figura 10.12: Ilustrando el desarrollo del simulador de inductancias de Antoniou.

V₂ V --- 1 2 --- 1 1 sCR ---– ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ = Fig.4.32 Schauman

Figura 10.13: Convertidores generales de impedancia de Antoniou: (a) tipo I; (b) tipo II.

(10.39)

Por tanto, la impedancia del GIC es:

(10.40)

Para Z₂=1/sC y Z₁=Z₃=Z₄=Z₅=R conduce a Z_in=sL=sCR2, el GIC de tipo I que obtuvimos ante-riormente. Pero también se obtiene comportamiento inductivo si se intercambia Z₂ y Z₄, es de-cir, Z₄=1/sC y Z₁=Z₂=Z₃=Z₅=R. Este último se denomina GIC de tipo II y se muestra también en la Fig. 10.13

10.5 Diseño de funciones básicas usando amplificadores de

transconductancia

A continuación veremos bloques básicos activos contruidos con OTAs. Estos bloques contienen únicamente OTAs y condensadores. En general, es suficiente con estos dos elementos y los circuitos resultantes son fáciles de integrar.

I₄ = Y₅V₁ V₄ V₁ 1 Y5 Y₄ ---+ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ = I₃ I₂ Y3Y5 Y₄ ---V₁ – = = V₂ V₁ 1 Y3Y5 Y₂Y₄ ---– ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ = I₁ Y1Y3Y5 Y₂Y₄ ---V₁ = Fig.4.33 Schauman

Figura 10.14: Estructura general de un convertidor de inmitancias de Antoniou.

Z_in( )s Z1( )Zs 3( )Zs 5( )s Z₂( )Zs ₄( )s

10.5 Diseño de funciones básicas usando amplificadores de transconductancia

El circuito de la Fig. 10.15 se utiliza para simular una resistencia a tierra. El análisis de esta estructura con el modelo de la Fig. 9.16 es:

(10.41)

donde

(10.42)

Para OTAs ideales Y_i=Y_o=0 por lo que el valor de la resistencia simulada es:

(10.43) Si se intercambian los terminales de entrada se obtiene −g_m en lugar de g_m por lo que pueden implementarse también resistencias negativas.

Para simular una resistencia flotante debemos "despegar" el circuito de tierra y hacer que la intensidad I₁ fluya a través del segundo terminal. El resultado es el circuito de la Fig. 10.16. Por simple análisis se obtiene:

(10.44) Si los OTAs están apareados g_m1=g_m2=g_m por lo que tenemos una resistencia flotante de valor

R=1/g_m.

Para implementar sumadores con OTAs se necesita un OTA por cada señal a sumar como se muestra con el circuito de la Fig. 10.17. La intensidad I_s, suma de la que circula por todos los

I₁ = (g_m+Y_i+Y_o) V( ₁–0) Z_in 1 g_m+Y_i+Y_o ---= Y_i = sC_i+G_i Y_o = sC_o+G_o Fig.4.13 Schauman

Figura 10.15: Simulación de resistencia a tierra.

R_in 1 g_m ---= I₁ = g_m1(V₁–V₂) I₂ = g_m2(V₁–V₂) Fig.4.34 Schauman

OTAs se transforma en la tensión de salida mediante una resistencia simulada a tierra. Para el circuito de la Fig. 10.17 se han sumado dos señales escaladas:

(10.45)

La extensión a más de dos señales es obvia. Intercambiando simplemente los terminales de en-trada de cualquier OTA se obtiene la diferencia de dos señales.

La Fig. 10.18 muestra un integrador con pérdidas que implementa la siguiente función:

(10.46) Si los OTAs son ideales el integrador puede hacerse sin pérdidas eliminando g_m4. Si V_s del su-mador de la Fig. 10.17 se conecta al terminal + o − del integrador y se conecta a tierra el otro se tendrá un integrador sumador inversor o no inversor.

Para simular inductores se han visto giradores, en los que vimos que necesitábamos dise-ñar una impedancia a tierra que fuera inversamente proporcional a otra impedancia:

(10.47)

Sabemos que en los OTAs la intensidad de salida es proporcional a una tensión. Si hacemos esta tensión proporcional a Z_L y la intensidad de salida del OTA es la intensidad de entrada de la

V_s gm1 g_ms ---V₁ gm2 g_ms ---V₂ + = Fig.4.35a Schauman Figura 10.17: Sumador g_m-C. V_o gm3 sC+g_m4 --- V( _i + –V_i– ) = Fig.4.35b Schauman

Figura 10.18: Integrador diferencial g_m-C con pérdidas.

Z_in r

2

Z_L

10.5 Diseño de funciones básicas usando amplificadores de transconductancia

impedancia, tendremos una admitancia proporcional a Z_L. El circuito de la Fig. 10.19 simula in inductor a tierra sin más que hacer Z_L=1/sC. El análisis de este circuito proporciona:

(10.48)

Por tanto, la impedancia de entrada corresponde a la de un inductor controlable variando g_m:

(10.49)

La simulación de inductores flotantes es muy fácil sin más que eliminar la conexión a tie-rra del OTA1 y generar un circuito que proporcione I₂=I₁ en el segundo terminal. Esto se realiza con el circuito de la Fig. 10.20 con un solo OTA adicional. El análisis de este circuito es:

(10.50)

Si los OTAs están apareados g_m2=g_m3=g_m se simula un inductor de valor:

V_C gm1 sC ---V₁ = I₁ g_m2V_C gm1gm2 sC ---V₁ = = Fig.4.36a Schauman

Figura 10.19:Simulación g_m-C de un inductor a tierra.

(10.51)

Con todos estos bloques se pueden contruir fácilmente secciones de segundo orden y simulacio-nes en escalera. L C g_mg_m1 ---= Fig.4.36b Schauman