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Dinámica Molecular de Proteínas Modelado y Simulación Computacional

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Academic year: 2021

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Dinámica Molecular de Proteínas Dinámica Molecular de Proteínas

Modelado y Simulación Computacional Modelado y Simulación Computacional

Profesores: Eliana K. Asciutto & Ignacio J. General 2do cuatrimestre 2017

Escuela de Ciencia y Tecnología UNSAM

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Dinámica Molecular de Proteínas Dinámica Molecular de Proteínas

Modelado y Simulación Computacional Modelado y Simulación Computacional

Modelos de Redes Elásticas

Modelos de Redes Elásticas

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3

Modos normales vs Dinámica Molecular

Dinámica Molecular – UNSAM – 2017

Alta energía térmica (KT):

DM: la molécula explora todo el espacio conformacional DM: la molécula explora todo el espacio conformacional (la energía térmica le permite cruzar barreras)

MN: la molécula explora solo un mínimo local (la energía térmica le MN: la molécula explora solo un mínimo local permite tener mayor amplitud en la vibración alrededor del mínimo)

Baja energía térmica:

La DM queda atrapada en un mínimo local; DM → MN

Energía

Conformación

KBT

Aproximación armónica (Hooke) Perfil real de energía

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4

Modos normales vs Dinámica Molecular

Dinámica Molecular – UNSAM – 2017

Limitaciones de MN:

Válida para pequeñas oscilaciones (usaremos la ley de Válida para pequeñas oscilaciones Hooke→fuerza armónica). Si la estructura sufre grandes deformaciones, se introducen efectos anarmónicos.

No incluye efectos del solvente. Se hace en vacío.No incluye efectos del solvente

Diagonalización de grandes matrices (3N x 3N). Alto consumo de memoria

Ventajas de MN:

Solución analítica (en principio exacta)

Computacionalmente mucho más barato que DMmucho más barato que DM (aunque puede requerir uso intensivo de RAM)

Describe las fluctuaciones de la molécula correctamente.Describe las fluctuaciones de la molécula correctamente

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5

Pequeñas oscilaciones

Dinámica Molecular – UNSAM – 2017

Sistema de un cuerpo, una dimensión:

Notar que la derivada 1ra de V da la fuerza, y la 2da la constante elástica:

2da ley de Newton:

Solución:

k m

F=−k Δ r V =1

2 k Δ r2

(ley de Hooke)

(energía potencial)

V /∂ Δ r=−F ; ∂2V /∂ Δ r2=k

k Δ r=m ¨Δr

Δr (t )= A sen(ω t +ϕ) ; ω=

mk

Movimiento armónico simple Movimiento armónico simple

Δr

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6

Pequeñas oscilaciones – muchos cuerpos

Dinámica Molecular – UNSAM – 2017

Las ecuaciones para este sistema se pueden escribir de manera matricial:

En forma compacta:

Elemento del hessiano:

k23 m1

k12

m2 m3

M ¨Δ r=−K Δ r

Δr1 Δr2 Δr3

(

0m0 10m0 200m3

) (

ΔΔΔ¨¨¨rrr123

)

=−

(

k12+kk1312k13 k12kk+1223k23 k13kk+1323k23

)(

ΔΔΔrrr213

)

k13

M Δr K Δr

matriz de masas matriz hessiana vector desplazamiento

Kij= ∂2V

∂(Δri)∂(Δ rj) (ec. A)

∙∙

(7)

7

Pequeñas oscilaciones – muchos cuerpos

Dinámica Molecular – UNSAM – 2017

Suponiendo (como en el caso de 1 cuerpo) que existe una solución:

La (ec. A) queda:

Multiplicando por M-1 por la izquierda:

Δr (t )= A sen(ω t +ϕ) → ¨Δ r (t)=−ω2Δ r

M ¨Δ r=−K Δ r → ω2 M Δ r=K Δ r → K Δ r=ω2 M Δ r

(

M−1 K

)

Δ r=ω2Δ r

Ecuación de autovalores

Ecuación de autovalores: Δr y ω son los autovectores y autovalores de la matriz hessiana (normalizada por la masa)Δr

(8)

8

Pequeñas oscilaciones – muchos cuerpos

Dinámica Molecular – UNSAM – 2017

Entonces, dado un sistema:

Ecuación de autovalores y autovectores

Cada autovector, Δri, satisface la ecuación Δri(t)=Δri A sen(ωit+φ). Es decir, para cada Δri, todas las partículas del sistema oscilan con la misma frecuencia ωi, el autovalor correspondiente a Δri.

A los autovectores se los llama modos normalesmodos normales de movimiento de movimiento

(

M−1 K

)

Δ r=ω2Δ r

Construyo el hessiano (K)

(9)

9

Pequeñas oscilaciones – muchos cuerpos

Dinámica Molecular – UNSAM – 2017

Ortogonalidad de los modos normales:

Son ortogonales y, por lo tanto, independientes entre si.

Cualquier movimiento se puede escribir como combinación lineal de ellos

La energía de un modo no se dispersa a otro modo (esto es consecuencia de no considerar otras interacciones entre nuestras partículas que las elásticas)

(10)

10

Pequeñas oscilaciones – muchos cuerpos

Dinámica Molecular – UNSAM – 2017

Ejemplo) Ejemplo)

3 masas y resortes homogéneos (mi=m y ki=k para todo i)

Diagonalizando,

Solución si y sólo si el determinante es 0:

M=m

(

100 0 1 0

0 0

1

)

K '≡M−1 K =−km

(

−1−12

−1 2

−1

−1

−1 2

)

|K '−ω21|=0 → −k

m

|

−1−12−ω2 −1−12−ω2 −1−12−ω2

|

=0

K ' Δ r=ω2Δ r ⇒ K ' Δ r−ω2Δ r=0

ω12=0, ω2,32 =3

→ (ω2)3−6(ω2)2+9(ω2)=0 →

(11)

11

Pequeñas oscilaciones – muchos cuerpos

Dinámica Molecular – UNSAM – 2017

Ejemplo) Ejemplo)

Calculando los autovectores de cada autovalor, 1)

2)

{

2 vvv11+12 vvv22+22 vvv333=0(1)=0(2)=0(3)

} {

(1)−(2)→3 v1−3 v2=0 ⇒ v1=v2 (2)−(3)→3 v2−3 v3=0 ⇒ v2=v3

}

1)2=0

v1=v2=v32,3)2=3

{

2 vvv111+2 vvv22+22 vvv333=3 v=3 v=3 v123(1)((2)3)

}

v1+v2+v3=0

{

las tres ecuaciones son iguales (1)+(2)+(3)→0=3(v1+v2+v3)

}

(12)

12

Pequeñas oscilaciones – muchos cuerpos

Dinámica Molecular – UNSAM – 2017

Ejemplo) Ejemplo)

u1 , ω1 u2 , ω2 u3 , ω2

v1=v2=v3 v1+v2+v3=0 (ω1)2=0 (ω2,3)2=3

(13)

13

Pequeñas oscilaciones – muchos cuerpos

Dinámica Molecular – UNSAM – 2017

¿Por qué son importantes los modos normales?

Son los movimientos más simplesSon los movimientos más simples

Todas las partículas se mueven con la misma frecuencia, es decir, se desacoplan los movimientos de distinta frecuencia.

Son ortogonales y, por lo tanto, independientes entre si.Son ortogonales y, por lo tanto, independientes entre si.

La energía de un modo no se dispersa a otro modo (esto es consecuencia de no considerar más interacciones entre nuestras partículas que las elásticas)

Cualquier movimiento del sistema se puede obtener como Cualquier movimiento del sistema se puede obtener como una combinación lineal de modos normales.

una combinación lineal de modos normales.

Cualquier movimiento complicado se puede entender como la superposición de modos normales simples.

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Modos normales

Dinámica Molecular – UNSAM – 2017

Una buena y completa introducción a modos normales y sus aplicaciones, en relación a polímeros y proteínas:

http://lezonlab.org/teaching/csb2015/lezon-textbook.pdf

Referencias

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