Llei de Kirchhoff. Mètode de les malles. Càlcul resistència equivalent. on I>0, si la intensitat és entrant I<0, si la intensitat és isquent

Llei de Kirchhoff. Mètode de les malles. Càlcul resistència equivalent

A l’hora d’estudiar el règim d’intensitats que circula per una xarxa elèctrica, necessitem tantes equacions com branques té la xarxa, ja que hi ha una intensitat per branca. Per calcular el seu valor, disposem de les lleis de Kirchhoff. Aquestes les hem esta utilitzant ja en situacions anteriors i es deriven fàcilment de la teoria prèvia estudiada fins aquest moment.

La primera llei és la llei dels nusos. Ens diu que la suma d’intensitats entrants en un nus és igual a la suma d’intensitats que n’ixen. És un resultat lògic i ja ha estat analitzat amb anterioritat. En considerar el moviment de càrregues en el circuit, en règim permanent, en no haver acumulació de càrregues, la càrrega entrant en un volum ha de ser igual a la càrrega isquent.

Llavors, en un nus:

Si tenim N nusos, amb l’aplicació de la primera llei, en tenim N-1 equacions independents, ja que l’enèsima equació seria depenent de la resta i no ens aportaria res a la resolució.

La segona llei és la de tensions de malla i diu que la suma de diferències de potencial al llarg d’un circuit tancat és nul·la. Ja hem utilitzat aquesta descomposició d’una diferència de potencial en suma de les ddp en trams a l’hora de calcular la ddp entre dos punt d’un circuit. Si apliquem aquesta definició a la suma de les ddp al llarg d’una malla, tindrem una equació per cada malla present a la xarxa.

Llavors, en una malla:

Així, si en tenim M malles, tindríem M equacions independents a afegir per calcular les intensitats.

0 I =

∑ on I>0, si la intensitat és entrant I<0, si la intensitat és isquent

0 V =

∑ tot calculant totes les ddp en una malla en sentit horari o antihorari

ΣI=0

ΣV=0

El nombre de branques d’un circuit és igual a la suma del nombre de nusos més el de branques menys una unitat: M+N-1. Aquest és el nombre d’intensitats que hem de calcular i, per tant, el nombre d’equacions independents que ens cal. Com que la primera llei aporta N-1 equacions i la segona, M equacions, el resultat ens dóna les M+N-1 equacions necessàries per resoldre el sistema.

Mètode de les malles

L’aplicació directa de les lleis de Kirchhoff dóna lloc a un sistema d’equacions amb un nombre important d’incògnites. El mètode de les malles suposa la definició d’un nou conjunt de variables: les intensitats de malla, que representarem amb la lletra J i que no cal confondre amb la densitat de corrent. Fent-hi ús de les intensitats de malla, aconseguirem reduir el sistema d’equacions a M incògnites, una per cada malla present a la xarxa.

Utilitzarem un exemple particular per a deduir com quedaria el sistema d’equacions, arribant a una equació matricial amb M variables. El resultat obtingut es generalitzarà a qualsevol xarxa elèctrica.

Suposem el circuit següent (amb quatre nusos i tres malles), on hem numerat les malles i definit les intensitats de branca:

El subíndex que acompanya a cada intensitat de branca assenyala la branca a què fa referència: així la intensitat I₁ circula per una branca que pertany únicament a la branca 1 i la intensitat I₁₂, a una branca que comparteixen les malles 1 i 2. El sentit elegit per a les intensitats és arbitrari.

L’aplicació directa de les lleis de Kirchhoff ens donaria un total de 6 equacions (3 dels nusos i 3 de les malles). Però, si definim una intensitat fictícia, la intensitat de malla J, com un corrent format per càrregues que es mouen donant voltes dins d’una malla (sense eixir- ne), a la xarxa, tindríem únicament tres variables per definir els corrents que circulen per la xarxa. Per motius pràctics definirem totes les intensitats de malla en sentit horari o totes en sentit antihorari i les anomenarem amb un subíndex que fa referència al número de la malla per la qual hi circula cadascuna d’elles.

R₁

R₂

R₅

R₆ R₈

R₉

R₃ R4

R7

ε₁

ε₂

ε₃ I1

I12 I₁₃

I₃ I₂ I23

1

2 3

A partir de la definició d’intensitat de malla, podem deduir fàcilment la seua relació amb les intensitats de branca. Així:

- el valor d’una intensitat corresponent a una branca que pertany a una única malla serà igual al de la intensitat de la malla corresponent amb el mateix signe si els sentits són coincidents o ho serà amb signe contrari, si no és així.

- el valor d’una intensitat corresponent a una branca que és comuna a dues malles serà la diferència entre la intensitat de malla que porta el mateix sentit menys la intensitat de malla que porta el sentit contrari.

Al nostre exemple: I₁=J₁; I₂ =J₂i I₃ =J₃

I₁₂ =J₂ −J₁; I₁₃ =J₃−J₁ i I₂₃ =J₂ −J₃

Això vol dir que, conegudes les intensitats de malla, es pot calcular fàcilment les intensitats de branca, que és l’objectiu de la resolució de la xarxa.

En primer lloc, plantejarem les tres equacions de les tensions de malla de Kirchhoff, fent ús de les intensitats de branca que hem definit en una figura anterior:

Per a la malla 1: R₁I₁ +R₂I₁ −R₄I₁₃ −R₃I₁₂ −ε₁ =0 Per a la malla 2: R₆I₂+R₅I₂ +R₃I₁₂ +ε₁+R₇I₂₃ +ε₂ =0 per a la malla 3: R₉I₃−ε₃+R₈I₃−R₇I₂₃−ε₂+R₄I₁₃=0

A continuació, substituirem cada intensitats de branca pel seu valor corresponent en intensitats de malla i passarem les fem a l’altre costat de les equacions:

Per a la malla 1: R₁J₁ +R₂J₁ −R₄

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

R₁

R2

R₅

R6 R₈

R₉

R3 R₄

R₇ ε₁

ε₂

ε₃

J

J

J

Reordenarem les equacions per agrupar i ordenar les variables:

Per a la malla 1:

(

)

Per a la malla 2: −R3J1+

(

)

per a la malla 3: −R₄J₁−R₇J₂+

(

)

Com a conseqüència, obtenim tres equacions amb tres incògnites que podem expressar, matricialment, com el producte de la matriu de coeficients per la matriu d’incògnites, que és igual a la matriu d’elements independents:















 ε + ε

ε

− ε

− ε

=































+ + +

−

−

− +

+ +

−

−

− +

+ +

3 2

2 1

1

3 2 1

4 7 8 9 7

4

7 7

3 5 6 3

4 3

4 3 2 1

J J J

R R R R R

R

R R

R R R R

R R

R R R R

Aquest sistema es pot resoldre fàcilment aplicant la regla de Cramer per a la resolució de sistemes d’equacions lineals¹.

Si ens fixem una mica, podrem escriure directament l’equació matricial sense passar per tot el procés anterior:

En la matriu de coeficients o matriu de resistències:

Els elements de la diagonal principal: són tots positius.

L’element ii ² serà el resultat de la suma de totes les resistències que es troben en les branques de la malla i

La resta d’elements: són tots negatius.

L’element ij serà el resultat de sumar les resistències de les branques comunes a la malla i i la malla j, amb signe negatiu.

En la matriu d’incògnites, en la posició i se situa la intensitat de malla de la malla i. És important recordar que totes les intensitats de malla han de tenir un mateix sentit: dextrogir o levogir.

En la matriu d’elements independents, l’element i es correspon amb la suma algebraica de totes del forces electromotrius que es troben en les branques de la malla i, que apareixeran amb signe positiu si la intensitat de malla corresponent, Ji, ix pel terminal positiu de la font

―és a dir, si la font es comporta com a generador d’energia respecte a la intensitat de malla― i negatiu, si la intensitat de malla ix pel terminal negatiu.

1 Podem recordar la regla de Cramer: El valor de la incògnita situada en la fila i de la matriu d’incògnites serà igual al determinant de la matriu que resulta de substituir, en la matriu de coeficients, la columna, i per la matriu d’elements independents, dividit pel determinant de la matriu de coeficients.

2 Recordeu que la posició d’un element en una matriu ve determinada per dos números: El primer indica la fila i el segon, la columna en què es troba.

El mètode de les malles es pot generalitzar per a qualsevol circuit lineal passiu i el procediment de treball seria el següent:

1) Transformació dels generadors d’intensitat en generadors de fem: en el cas en què hi hagueren generadors d’intensitat hauríeu de substituir-los pels generadors de tensió equivalent, ja que cal incorporar les fem a l’equació matricial.

2) Numeració de les malles

3) Fixació d’un únic sentit per a totes les intensitats de malla 4) Aplicació de l’equació matricial

5) Càlcul de les intensitats de malla (per Cramer) 6) Càlcul de les intensitats de rama:



 









 









 









 







−

−

−

−

−

−

=



 









 







ε ε ε

m 2 1

mm m

2 m

1

23 22

12

13 12

11

m 2 1

J J J

R R

R

R R

R

R R

R

M L

M O M

M

L L

M

I

=J

-J

A

B

J

J

Rii=ΣR malla i

Rij=ΣR comunes malles i,j



 ε

<

ε

generador 0,

>

receptor ,

0

EXEMPLE A. Calculeu les intensitats que circulen per cadascuna de les branques del circuit de la figura:

10 kΩ A

5 V 20 kΩ

1 kΩ

3 kΩ

C 5 V 30 V

B

D 5 V

Es pot resoldre a partir del mètode de les malles, tenint en compte que les tensions de 30 V i 5 V es poden substituir per fonts de tensió ideals equivalents. Llavors, tindríem dues malles. Fixem-hi un sentit a les intensitats de

branca. Anomenem (1) la malla de l’esquerra i (2), la de la dreta, i adoptem el sentit horari per a les intensitats de malla:

L’equació matricial resultant serà:



 



=



 







 





−

−

0 30 J

J 24 4

4 14

2 1

Llavors:

mA 875 , 1 J J I

I mA 375 , 320 0 120 4 x 4 24 x 14

4 x 30 24

4 4 14

0 4

30 14 J

I mA 25 , 320 2 720 4 x 4 24 x 14

24 x 30 24

4 4 14

24 0

4 30 J

2 1 2

3 2

1 1

=

−

=

→



















=

=

− =

=

−

−

= −

=

=

− =

=

−

−

−

=

10 kΩ A

5 V

20 kΩ

1 kΩ

3 kΩ

C

30 V 5 V B

D 5 V

J1 J₂

I1

I2

I₃

CLP

A

I

B A

Re

I

ε

R

= ε I

Mètode dels nusos

Existeix un mètode anàleg al mètode de les malles on les variables a calcular són les tensions de cada nus respecte un nus de referència. Llavors, el nombre d’incògnites és N-1 (sent N el nombre de nusos) i coneguda la ddp de tots el nusos respecte el nus de referència, es pot calcular qualsevol diferència de potencial i, per tant, qualsevol intensitat.

A partir de l’aplicació de la llei dels nusos i havent fixat el nus de referència, es pot arribar a una equació matricial que es podrà resoldre pel mètode de Cramer.

Aquest mètode, que es pot trobar fàcilment en la bibliografia, està fora dels objectius del curs, però pot ser molt útil per a la resolució de xarxes amb moltes malles però pocs nusos, ja que suposa una gran simplificació.

Càlcul de la resistència equivalent

A banda de les associacions de resistències en sèrie i en paral·lel hi ha la possibilitat d’associar resistències de tal forma que no estiguen ni en sèrie ni en paral·lel ni en cap combinació d’aquestes, com succeeix a l’exemple de la figura.

A partir del mètode de les malles, podem deduir-ne un mètode senzill per conèixer la resistència equivalent entre dos punts de qualsevol circuit lineal passiu.

Considerem un circuit lineal passiu i considerem dos punts qualsevol. El representem com una caixa negra que presenta dos terminals, A i B. La resistència equivalent d’aquest circuit serà aquella que es comporte exactament igual que el circuit lineal passiu entre els dos terminals: És a dir, si en connectar una força electromotriu ε entre el terminals A i B circula una intensitat I entre A i B, el mateix passaria si en comptes del circuit tinguérem la seua resistència equivalent:

Com que ε és conegut (és un valor que hi afegim nosaltres), n’hi haurà prou amb calcular I per conèixer el valor de la resistència equivalent.

Per aplicar el mètode de les malles per al càlcul de I, en primer lloc, numerarem les malles del circuit lineal passiu amb el generador incorporat entre els terminals A i B:

B A

R

CLP

A B

Anomenarem malla 1 la malla que conté el generador i, per tant, serà J₁ la intensitat de malla que travessa el generador. Llavors, calculant J1 estem calculant I.

L’equació matricial serà:

on m és el nombre de malles del circuit lineal passiu més la malla 1 que afegim en incorporar el generador. Cal observar que l’únic generador és el que tenim entre A i B i; per això, la matriu d’elements independents té un únic valor a la posició 1. Aplicant-hi Cramer pel càlcul de J_1:

A A A

R R

R R

R R

R

R R

R

R R

R

R R

0

R R

0

R R

J ^{2m mm 11}

m 2 22

mm m

2 m

1

m 2 22

12

m 1 12

11

mm m

2

m 2 22

m 1 12

1

=ε

−

− ε

=

−

−

−

−

−

−

−

−

−

− ε

= K

M O M

K

L M O M

M

L L L

M O M

M

L L

on hem anomenat A al determinant de la matriu de resistències i A11 al determinant de l’adjunt de l’element 11 de la matriu de resistències. Fixeu-vos-hi que hem calculat el determinant del numerador a partir dels elements de la primera columna. Això ens ha permés calcular J1. Llavors:

11 11 1

e A

A A

J A

R I =

ε

= ε

= ε

= ε

Aquesta expressió ens permet calcular la resistència equivalent de qualsevol circuit lineal passiu de manera independent al tipus d’associació existent entre les resistències.

CLP

A

J

1









































−

−

−

−

−

−

=



















 ε

m 2 1

mm m

2 m

1

m 2 22

12

m 1 12

11

J J J

R R

R

R R

R

R R

R

0 0

M L

M O M

M

L L

M

5 kΩ

5 kΩ 10 kΩ

15 kΩ

C B

B 5 kΩ

1

2 2

J1

J2 J3

5 kΩ 10 kΩ

15 kΩ C

Ω

=

−

−

−

−

−

−

= k

7 20 30

20 20 25

30 20 0

20 25

5

0 5 5

R EXEMPLE B: calculeu la resistència equivalent del circuit de la figura entre els terminals B i C

Solució: El primer pas serà dibuixar el circuit lineal passiu que resulta d’eliminar les forces electromotrius del circuit.

Com que el que tenim són dues resistències en sèrie que es trobem en paral·lel amb les altres dues, la resolució, fent ús de les expressions conegudes per a associacions en sèrie i paral·lel, serà:

 = Ω



 



= + +

+

=

−

− k

7 20 20

) 7 10

1 15 5

1 5 (1 R

1 1

eq

També podíem haver obtingut aquest valor fent ús del mètode matricial desenvolupat en aquestes pàgines. Per a fer això, hi incorporarem un generador ε entre A i B. Obtindrem una xarxa amb tres malles que numerarem, tot reservant el número 1 per a la malla amb el generador.

L’equació de la matriu de resistències:

















−

−

−

−

30 20

0

20 25

5

0 5

5

Llavors la resistència equivalent:

Indubtablement, en aquest exemple, la resolució més senzilla es correspon a la primera opció. Però no sempre serà així o simplement no serà possible per no estar les resistències en sèrie o en paral·lel.

5 kΩ

5 kΩ 10 kΩ

10 V 5 V

15 V 15 kΩ

30 V 20 V

A

C B

D

EXEMPLE C: Calculeu la resistència equivalent entre A i B del circuit de la figura, tenint en compte que totes les resistències tenen un mateix valor:

Solució: En aquest cas, les resistències no estan ni en sèrie ni en paral·lel i, per tant, hem de recórrer necessàriament al procediment derivat del mètode de les malles.

Numerem les malles, reservant el número 1 per a la nova malla incorporada en introduir el generador, i calculem la matriu de resistències:





















−

−

−

−

−

−

−

−

R 3 R R 0

R R 3 R 0

R R R 3 R

0 0 R R

Llavors, la resistència equivalent entre A i B s’obtindrà operant de la manera següent:

( )

( )

2 R 16 R 8 16

3 2 3 1 1 R18 16

3 1 1

1 3 1

1 1 2

R Re

3 3 3 1 1 27

3 1 1 0

1

´ 3 1 0

1 1 2 1

0 0 0 1 R

3 1 1

1 3 1

1 1 3 R

3 1 1 0

1

´ 3 1 0

1 1 3 1

0 0 1 1 R

R 3 R R

R R 3 R

R R R 3

R 3 R R 0

R R 3 R 0

R R R 3 R

0 0 R R

Re

3 4

= + =

+

−

−

= −

−

−

−

−

−

−

=

+ +

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

=

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

=

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

=

on hem aplicat propietats dels determinants, com ara que, si multipliquem per un número tots els valors d’una fila o columna d’una matriu, el determinant de la matriu es veu multiplicat per aquell número (així, hem pogut traure el valor d’R de la matriu); o també que, si sumen dues files o dues columnes de la matriu, el valor del determinant no canvia (això ens ha permés simplificar el càlcul del determinant del numerador). Hem calculat el determinant del numerador a partir dels components de la primera fila (ja reduïda a un únic valor) i hem calculat els determinants 3x3 pel mètode de l’estrella.

B A

R

B A

R

1 2 3 4