Electromagnetismo I. 1.- Problema: (20pts) Una corriente I fluye por un alambre de radio a.

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Electromagnetismo I Semestre: 2015-2 Prof. Alejandro Reyes Coronado Ayud. Carlos Alberto Maciel Escudero

Ayud. Christian Esparza L´opez Soluci´on a la Tarea 8

Soluci´on por Christian Esparza L´opez

1.- Problema: (20pts) Una corriente I fluye por un alambre de radio a.

a) Si la corriente se distribuye uniformemente sobre la superficie, calcula la densidad de corriente superficial ~K.

b) Si la corriente se distribuye de tal manera que la densidad volum´etrica de corriente es inver- samente proporcional a la distancia del eje, calcula ~J .

Soluci´on:

(a) Dado que la densidad superficial de corriente es uniforme tenemos I = KR dl. Para este caso dl = adϕ e integramos sobre todo el dominio de la variable angular. Entonces I = K2πa y por lo tanto K = I/2πa.

(b) Sabemos que J es proporcional a ρ⁻¹, donde ρ es la distancia al origen en coordenadas cil´ındricas. Entonces J = kρ⁻¹ con k constante, por tanto tenemos I = kR ρ⁻¹da. En este caso da = ρdρdϕ e integramos sobre toda el ´area transversal del alambre, as´ı I = k2πa, de donde k = I/2πa y por lo tanto J = I/2πaρ.

2. Problema: (20pts)

a) Un fonógrafo del siglo antepasado hace girar un disco cargado con una densidad estática de carga σ uniformemente distribu´ıda. Si el disco gira a una velocidad angular ω, calcula la densidad de corriente superficial ~K. También calcula el momento dipolar magnético del disco cargado girando.

b) Una esfera sólida uniformemente cargada, de radio R y de carga total Q, está centrada en el origen de coordenadas y gira con una velocidad angular constante ω alrededor del eje z. Considerando que la velocidad angular y el radio R son las misma que la del planeta Tierra, y que la carga total es de 1 Coulomb, calcula la densidad de corriente volumétrica J en cualquier punto (r, θ, ϕ) dentro de la esfera.~

Soluci´on:

(a) Sabemos que la velocidad tangencial a una distancia r del centro del disco es v = ωr y por definición K = σv = σωr. Por otra parte, conocemos la expresión para el momento magnético de un anillo con corriente I, entonces para calcular el momento magnético µ del disco, lo dividimos en anillos concéntricos de radio r y espesor dr, con momento magnético dµ = Kdr(πr²). Entonces por principio de superposición tenemos

µ = Z R

0

dµ = σωπ Z R

0

r³dr = σωπR⁴

4 . (1)

(2)

(b) La distancia al eje polar del punto con coordenadas esf´ericas (r, θ, ϕ) es s = r sin θ, entonces la velocidad tangencial en ese punto es v = sω = r sin θω y por definici´on J = ρv = rωρ sin θ, sustituyendo ρ = 3Q/4πR³ obtenemos finalmente J = 3Qrω sin θ/4πR³.

3. Problema: (20pts) Dos alambres paralelos e infinitos, separados por una distancia d, tienen una densidad de carga lineal λ cada uno (ambos con el mismo signo), y se mueven ambos con una rapidez constante v como se muestra en la figura. ¿Qué tan grande tendrá que ser la rapidez v para que la fuerza de atracción magnética cancele a la fuerza de repulsión eléctrica? ¿Es razonable la velocidad que calculaste? (calcula numéricamente la velocidad empleando unidades de m/s).

! rv

d"

λ"

! rv

Soluci´on:

Dado que ambos alambres tienen densidad de carga del mismo signo y se mueven en la misma dirección, la fuerza eléctrica es repulsiva y la magnética atractiva, por lo que tiene sentido preguntarse si éstas se cancelan entre s´ı. Sabemos que el campo eléctrico que genera un alambre infinito es E = λ/2πε₀r y por lo tanto la fuerza eléctrica de un alambre sobre el otro, por unidad de longitud, es FE = λE = λ²/2πε0d. Por otra parte, la corriente en cada alambre es I = λv, entonces por ley de Ampère, el campo magnético que generan es B = µ0λv/2πr, por lo tanto la fuerza magnética de un alambre sobre el otro, por unidad de longitud, es F_B = λvB = µ0λ²v²/2πr. Entonces, la rapidez con que deben moverse los alambres es v = 1/√

µ0ε0

y por definición µ0 = (ε0c²), por lo tanto v = c = 3 × 10⁸m/s, lo cual es imposible a no ser que los alambres tuviesen masa en reposo nula. Esto quiere decir que la fuerza eléctrica siempre dominará en este tipo de sistemas.

a) Calcula el campo magn´etico en el centro de un cuadrado que porta una corriente estacionaria I. Considera R la distancia del centro a un lado del cuadrado, como se muestra en la figura.

b) Calcula el campo magn´etico en el centro de un pol´ıgono regular de n lados, que porta una corriente estacionaria I. Nuevamente R es la distancia del centro a cualquiera de los lados.

c) Revisa que tu resultado del incisco anterior reproduce el campo magn´etico en el centro de una espira circular, tomando el l´ımite n → ∞.

R"

I!

Soluci´on:

(a) El campo magn´etico en un punto P debido a un segmento de l´ınea con corriente I, que subtiende un ´angulo θ2 − θ₁ (con θi medido desde la perpendicular a la l´ınea en P ) es B = µ₀I(sin θ₂ − sin θ₁)/4πr, donde r es la distancia del punto a la l´ınea¹. Para cada uno de los lados del cuadrado tenemos θ₂ = −θ₁ = π/4, entonces B_i = µ₀I√

2/4πR y por

√

(3)

(b) Para un pol´ıgono regular se tiene θ₂ = −θ₁ = π/n con n el n´umero de lados. Entonces Bi = µ0I(2 sin π/n)/4πR y por lo tanto el campo total es

B = nB_i= nµ0I

2πR sin π/n = µ0I 2R

sin α α , donde α = π/n.

(c) En el l´ımite cuando n → ∞, se tiene α → 0. Entonces sin α/α → 1 y por lo tanto B → µ₀I/2R, lo cual coincide con el campo magn´etico en el centro de un anillo circular con corriente I.

a) Calcula la fuerza sobre una espira cuadrada de lado a localizada cerca de un alambre infinito, como se muestra en la figura. Tanto por la espira como por el alambre circula una corriente estacionaria I.

b) Calcula la fuerza del mismo sistema pero ahora en vez de espira cuadrada considera una espira triangular, como se muestra en la figura.

a"

I!

a)#

a"

I!

s"

b)#

I! s"

a"

I!

Soluci´on:

(a) Dado que la corriente circula en direcciones opuestas en los lados del cuadrado que son perpendiculares al alambre infinito, la fuerza magn´etica sobre uno de los lados cancela a la fuerza sobre el otro (suponiendo una espira r´ıgida indeformable). Por otra parte, en los lados del cuadrado paralelos al alambre infinito, se tiene una fuerza repulsiva en el lado inferior y atractiva en el lado superior, con magnitudes por unidad de longitud F1/a = µ0I²/2πs y F2/a = µ0I²/2π(s + a), respectivamente (ver problema 3). Por lo tanto, la fuerza total es

F = F1− F₂ = µ0I²a 2π

1 s− 1

s + a

= µ0I²a² 2πs(s + a).

(b) Este caso no es tan sencillo como el anterior pues la fuerza magn´etica en los lados que no son paralelos al alambre no se cancela por completo, aunque si descomponemos la corriente que circula a lo largo de estos lados en componentes paralelas y perpendiculares al alambre, sabemos que las componentes perpendiculares a ambos lados daran lugar a fuerzas que se cancelan entre s´ı. Por lo tanto, basta con calcular la fuerza debida a las componentes de la corriente paralelas al alambre, que tienen magnitud por unidad de longitud F (x) = µ₀I²/2πr(x), con r(x) = s+√

3x para 0 ≤ x ≤ a/2 y r(x) = s+√

3(a−x) para a/2 ≤ x ≤ a y es atractiva. Para obtener la fuerza total integramos F (x)dx de 0 a a, esto es

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F2 = Z a

0

F (x)dx = µ0I² 2π

Z a/2 0

1 s +√

3xdx + Z a

a/2

1 s +√

3(a − x)dx

!

= µ0I²

√ 3π

ln (s +

√

3a/2) − ln s

= µ0I²

√

3πln 1 +

√ 3a 2s

! .

Finalmente, la fuerza en el lado inferior es la misma que antes F₁ (repulsiva), por lo tanto la fuerza total sobre el tri´angulo es

F = F1− F₂ = µ₀I²a

2πs − µ₀I²

√

3πln 1 +

√3a 2s

!

= µ0I²a 2πs

"

1 − 2s

√

3aln 1 +

√ 3a 2s

!#

.

6. Problema TORITO: (30pts) Un toroide delgado (como una dona de chocolate muy flaquita), con carga total Q y masa M gira alrededor del eje ˆez.

a) Calcula el cociente de su momento dipolar magnético entre su momento angular. A esto se le conoce como la razón giromagnética del objeto.

b) Calcula la razón giromagnética de una esfera uniformemente cargada girando. No requieres hacer un cálculo nuevo, solamente describe a la esfera como si estuviera compuesta por anillos infinitesimales y aplica el resultado del inciso anterior.

c) De acuerdo a la mecánica cuántica, el momento angular de un electrón girando es ~/2, donde

~ es la constante de Planck reducida. Calcula el momento dipolar magnético del electrón en unidades de A · m². Este resultado semi–clásico está de hecho mal por casi un factor de 2.

La teor´ıa relativista para el electrón desarrollada por Dirac obtiene un factor de 2 exacto, y posteriormente Feynman, Schwinger y Tomonaga calcularon pequeñas correcciones a este factor. La determinación del momento dipolar magnético del electrón es probablemente el logro más fino de la teor´ıa electromagnética cuántica, y es uno de los mejores acuerdos encontrados entre la teor´ıa y el experimento en la historia de toda la f´ısica. A la cantidad (e~/2m), con e la carga del electrón y m su masa se le conoce como el magnetón de Bohr.

!rv

!ˆe^z

Soluci´on:

(a) Si la carga se distribuye de manera uniforme, tendremos una densidad superficial de corriente K = ωσr, con σ = Q/2πrdr. Entonces la corriente en el toro es Kdr = σωrdr y por lo tanto su momento dipolar magn´etico es µ = πr²I = πσωr³dr. Por otra parte, el

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(b) Notemos que la razón giromagnética del toro es independiente de las coordenadas, por lo tanto si dividimos la esfera en pequeños toros, cada uno de estos tendrá un momento dipolar magnético dµ = gdm(r sin θ)²ω y por principio de superposición, el momento dipolar de la esfera lo obtenemos integrando esta expresión sobre el volumen de la esfera, i.e.

µ = R dµ = gω R dm(r sin θ)² = gωR dI = gωI, donde I es el momento de inercia de la esfera. Por lo tanto la razón giromagnética de la esfera es G = µ/L = µ/ωI = g = Q/2M . Nótese que R dI en realidad no hace referencia al volumen de integración, bien podr´ıa ser cualquier sólido de revolución que pueda descomponerse en toros pequeños, por lo tanto la razón giromagnética para cualquier sólido de revolución es Q/2M .

(c) Suponiendo al electrón como una esfera uniformemente cargada de masa m_e = 9.11 × 10⁻³¹kg, carga e = 1.6 × 10⁻¹⁹ y momento angular ~/2 = 1.05 × 10⁻³⁴kgm²/s, su razón giromagnética es ge = e~/4me= 4.61 × 10⁻²⁴Am².