Guía 101: Funcionalizate

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CH-FyA-0517

Guía 101: Funcionalizate

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Guía

101 Meta 34 GRADO 11

GUÍA DEL ESTUDIANTE

FUNCIONALIZATE : “A LA INVERSA O A TROZOS”

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Guías de Aprendizaje de Cualificar Matemáticas Fe y Alegría Colombia

Fe y Alegría Colombia Víctor Murillo

Director Nacional

Desarrollo de contenidos pedagógicos y educativos Jaime Benjumea - Marcela Vega

Autores de la guía 101

Joaquin Alberto Martinez Perez, I. E. D. Quinto Centenario Yacenis Maria Ariza Torregroza, I. E. D. Quinto Centenario

Coordinación pedagógica

Francy Paola González Castelblanco Andrés Forero Cuervo

GRUPO LEMA www.grupolema.org

Revisores

Jaime Benjumea

Brian Camilo Losada, Colegio San Vicente

Francy Paola González Castelblanco

Andrés Forero Cuervo

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Guía

101

GRADO 11

FUNCIONALIZATE : “A LA INVERSA O A TROZOS”

GRADO 11 - META 34 - PENSAMIENTO- NUMÉRICO-VARIACIONAL

Guía 100

(Duración 13 h)

● Números reales

(Representación en la recta númerica.

● Relación de orden, operaciones entre números reales.

● Intervalos.

● Inecuaciones

(desigualdades) lineales de una incógnita.

Guía 101 (Duración 13 h)

ACTIVIDAD 1

• Funciones a trozos ACTIVIDAD 2

• Funciones inversas

• Dominio y rango de una función inversa

Guía 102 (Duración 13 h)

● Funciones racionales

● Asíntotas de una función.

● Familias de funciones trigonométricas

● Funciones trigonométricas inversas.

● Ecuaciones trigonométricas sencillas

● Asíntotas de funciones trigonométricas.

META DE APRENDIZAJE N. 34

Analizo y resuelvo problemas en contextos en los que se estudian ingresos, utilidades según costo de producción, velocidad media, interés compuesto, crecimiento poblacional, tasa de natalidad y mortalidad, entre otros.

Represento estas situaciones con funciones (polinómicas, racionales, trigonométricas; funciones a trozos), identifico rangos de variación y procesos de aproximación sucesiva en algunos intervalos, para ver cómo varía la función cuando la variable se aproxima tanto como se quiera a un punto dado a infinito. Con gráficas, tablas numéricas y software o applets de Geogebra, analizo y visualizo intuitivamente límites de funciones (cuyo valor es un número o infinito).

PREGUNTAS ESENCIALES:

Actividad 1:

● ¿Cómo se aplican las funciones a trozos en situaciones de continuidad o discontinuidad?

● ¿Cómo podemos aplicar dominio y el rango de una función a trozos en contextos donde se estudian ingresos?

Actividad 2:

● ¿De qué manera puedo identificar que tipos de funciones son invertibles?

● ¿Qué métodos se pueden emplear para calcular el dominio y rango de las funciones inversas?

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EVIDENCIAS DE APRENDIZAJE Actividad 1:

● Interpreto situaciones con funciones a trozos.

● Analizo las expresiones algebraicas de una función a trozos y la grafico en Geogebra y en papel.

Actividad 2:

● Identifico cuáles funciones tienen inversas y reconozco sus propiedades

● Interpreto los diferentes métodos que puedo utilizar para calcular el dominio y el rango de una función inversa.

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Servicio 2: Desarrollo de contenidos pedagógicos y educativos La innovación educativa para las instituciones educativas de Fe y Alegría Colombia. Ambiente Cualificar. Documento interno

GUÍA 101 GRADO

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ACTIVIDAD

1 ACTIVIDAD 1: Intervalos Funcionales

Conozcamos los intervalos y su relación funcional para modelar el comportamiento de fenómenos reales de tu día a día.

RECUERDA QUE...

Las funciones son relaciones de correspondencia entre dos conjuntos, que se puede expresar matemáticamente en términos de las variables o asociaciones, entre los conjuntos dominio y condominio.

El dominio de una función, corresponde al intervalo de valores que están en el eje X, el codominio o Rango de una función es el intervalo de valores o imágenes, que puede tomar la función en el eje Y.

Para comprender su comportamiento o representación se debe saber que cada función corresponde a un intervalo de valores de la variable independiente X, según el dominio que justifique la función, Por esto se hace necesario que recordemos la representación de los intervalos a razón de poder representar situaciones prácticas.

Representación de Intervalos

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ACTIVIDAD

1

Recuerda que () significa que es un intervalo abierto que no incluye sus extremos

[] Es un intervalo cerrado que incluye sus extremos, la combinación de estos símbolos derivan en diferentes representaciones.

Practica

i) Escribe en todas las formas posibles los siguientes intervalos y semirrectas:

a) { x / –2 ≤ x < 3}

b) Números mayores que –1 c) (–∞, –5]

d) Números mayores o iguales que –7 y menores que 19.

e) Números mayores que 9 y menores que 5.

ii) Representa los intervalos en la recta real y exprésalos como conjuntos : A = [–4, 1]

B = [–1, 4) C = (2, +∞)

iii) La empresa B tiene un costo de Producción para un artículo X según se muestra a continuación si x≥ 4000 ; f(x) = 2x + 500 ; pero si 100 ≤x≤3999; :

A. ¿Cuál sería el costo para producir 200 y 6000 artículos ?

B. construye una gráfica que represente los valores de x en relación con el costo de producción C. Que se puede intuir en el costo de producción para valores mayores que 4000 y menores que 100.

Verifica las respuestas de la sección A con tu profesor.

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ACTIVIDAD

1 B) Conceptos

Exploración: ¿ En qué taxímetro debo invertir?

¿Crees que pagas lo justo cuando utilizas el servicio de taxi ? ¿ Cómo es posible que se calcule la tarifa con el uso del taxímetro? ¿Existe una relación funcional que nos ayude a comprender la tarifa de pago?

Todos conocemos los taxímetros, son aparatos electrónicos que nos permiten calcular la tarifa de pago, cuando utilizamos el servicio de taxis.

Martín un estudiante de 11° está en una clase de gestión contable y el docente, les indica que deben tener una idea creativa, con respecto a la creación de una empresa, y que debe presentar en un primer momento una relación de costo-beneficio. Él tiene la idea de montar una cooperativa de taxis en su ciudad, pero para esto debe proporcionar un servicio completo y según las normas establecidas, por lo que debe justificar en su presupuesto la compra de taxímetros. El mercado electrónico le ofrece dos marcas diferentes de esos aparatos como se muestra a continuación :

Taxímetro Precio Ajuste Marca A Alto Por función Piso Marca B Bajo Por función Cielo

Además al realizar un estudio de mercado, se identifica que los usuarios están dispuestos a utilizar el servicio si las tarifas cumplen con: $3 330,67 de tarifa básica por los primeros 100 metros y luego un costo adicional de $1 534,89 por cada 100 metros recorridos ; en un límite de 50 Kilómetros.

Su ideas de negocio va muy bien, pero no sabe que taxímetros comprar, el quiere invertir en un aparato de bajo costo, pero que sea proporcional con el las tarifas de los usuarios, además ajustar los valores con respecto a los datos arrojados por el estudio de mercado.

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ACTIVIDAD

1

Para poder avanzar en con su negocio obtiene la relación funcional, de los datos proporcionados por el estudio de mercado y se muestra a continuación:

Para realizar los ajustes y verificar las condiciones funcionales de las tarifas de pago Vs metros recorridos, lo que le permita a Martin validar su idea de negocio, el se pregunta lo siguiente :

¿cuánto paga el usuario que recorre 200m, ?

Reemplazando este valor en la función, Martin puede concluir que la tarifa que se debe pagar despues de recorrer 200

metros es de $4 865.56, cumple con la condición requerida por los usuarios, lo que garantiza que su función es correcta para ajustar el cobro en su empresa, sin embargo debe revisar con exactitud cuales son los ajustes ofrecidos por los Taxímetros que desea comprar. Por esto avanza en la siguiente pregunta

¿Cuales son las tarifas mostradas en el Taxímetro por ajuste de función cielo o piso?

Martin observa que un ajuste por función cielo, implica una aproximación por decimales, que considera al mayor valor entero, por lo que la tarifa aumente en un $0,11 .

Martin observa que un ajuste por función piso, implica una aproximación por decimales, que considera al menor valor entero, por lo que la tarifa disminuye en un $0,89.

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ACTIVIDAD

1

Estas aproximaciones se realizan aplicando los ajustes de las funciones Cielo o piso ya que como se indica en el cuadro de los Taxímetros ellos poseen estos ajustes y Martin quiere conocerlos para fijar sus tarifas aproximadas con las peticiones de los usuarios.

Para tener un comparativo mayor se construye la gráfica de tarifas Y

recorrido con ajustes por función parte entera, que se muestra a continuación y donde el eje vertical (Y), son el

conjunto de valores que representa la tarifa de pago del usuario y el eje Horizontal (X) representa los metros recorridos.

La función parte entera le asigna a cada número real el número entero Inmediatamente anterior, también conocida como función escalonada, tiene como principal característica un dominio definido por tramos, ramas o trozos, que le permitir comprender a Martin cuales son los ajustes de tarifa que

puede tener su empresa, con el uso de los Taxímetros, además logra ejemplificar el cobro tarifario en un rango de valores comprendido por cada trozo, por ejemplo Martin puede concluir que para

200𝑚 < 𝑥 < 400𝑚, La tarifa de pago del usuario debe estar en valores de $6 120,6896 a $8 362,0689.

Representado por dos Trozos puntiados de la gráfica .

Finalmente después de observar los valores y los ajustes realizados Martin decide que en su idea de negocio, puede invertir en la

compra de los Taxímetros de la marca B por son más económicos y los ajustes en las tarifas de los

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ACTIVIDAD

1

usuarios son mínimos, además siguiendo la relación costo- beneficio, el puede invertir menos y recibir más Ganancias.

Responde

a)¿ La función obtenida representa la situación planteada en el problema ? Explica b)¿Que Expresa la función para un usuario que recorre 0,9 m?

c)Utiliza la función encontrada para el cobro de tarifas y construye una gráfica con aproximación cielo, no te olvides de anexar la tabla con los valores para 0 < 𝑥 < 1 𝑘𝑚

d)¿La idea de negocio resulta atractiva según la relación costo beneficio ?

Mini-explicación: Funciones a Trozos

En matemáticas, una función definida a trozos (también conocida como función por partes) es una relación de asignación o imagen que cambia dependiendo del valor de la variable independiente, para un conjunto de valores o intervalos definidos, y que dan origen a una gráfica fragmentada cuyo dominio no es constante al realizar un recorrido de extremos.

La palabra "A trozos" se usa para describir cualquier propiedad de una función definida a trozos que se cumple para cada pedacito o “trozo” aunque podría no cumplirse para todo el dominio de f. observa la gráfica.

Notación e interpretación

Las funciones definidas a trozos se expresan con una notación funcional común, donde el cuerpo de la función es una lista de expresiones matemáticas asociadas a un subdominio (intervalo). Por ejemplo, sea la función f definida a trozos de la función valor absoluto:

Se evalúan varias expresiones del dominio de f con la siguiente tabla de valores

Pero por definición de valor absoluto, todos los valores de x menores que cero, la primera expresión matemática (la función -x , que es un trozo de la función o rama 1 ), se les cambia el signo del valor, que

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ACTIVIDAD

1

asignamos a la variable independiente, haciendo el resultado siempre positivo. Para todos los valores de x mayores o iguales que cero, la segunda expresión matemática (la función x, rama 2 ) mantiene el signo positivo . Podemos observar la siguiente gráfica a trozos.

Por lo tanto, para evaluar una función definida a trozos en un determinado valor del dominio,

seleccionamos la expresión matemática cuyo subdominio contiene el valor a evaluar, para que el valor del rango sea el correcto.

Continuidad

La gráfica muestra una función definida a trozos con diferentes funciones cuadráticas a cada lado de X0 , para comprender el concepto de continuidad, piensa que puedes recorrer con el dedo los tramos de la función y existe de extremo a extremo un camino directo o mejor dicho continuo, es decir en todo momento al hacer tu recorrido tienes puntos que satisfacen la gráfica para cada valor de X, está es la llamada condición de continuidad, así por ejemplo si colocas tu dedo desde X0 , hacia arriba puedes seguir el camino de la curva, hasta perderse en el infinito o si

bajas en dirección contraria , la curva sube y se pierde en infinito, justo en estos tramos existe continuidad.

Pero en el Punto X0 la gráfica tiene una ruptura, es decir no hay un camino que te guíe, lo que significa que es discontinua para el valor mencionado.

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ACTIVIDAD

1

Paso 1: Ejemplo La gráfica muestra el proceso de calentamiento para un recipiente con agua.

Empezamos a calentar un recipiente con agua a 15°C; y en 7 minutos alcanza su temperatura de ebullición para finalmente, entrar en periodo de enfriamiento, con temperatura constante por 10 minutos aproximadamente, como se observa en la gráfica .

Encuentre :

i) Una expresión matemática que describa este fenómeno ii) Una expresión que defina el dominio para los eventos que suceden, antes y después de que el recipiente se enfría.

Solución :

i)

Por datos representados en la gráfica Para el tiempo

t = 0, escribimos la coordenada (0,15) como se muestra en la figura.

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ACTIVIDAD

1

Cuando el recipiente alcance la temperatura de ebullición tenemos el punto (7,100).

finalmente permanece con temperatura constante por 10 min, lo que permite escribir el punto (17,100) y se espera alcance una temperatura ambiente final.

El trozo de la función que pasa por los puntos : (0,15) y (7,100), es una línea recta definida para el intervalo 0 ≤ 𝑥 < 7, para encontrar una expresión algebraica que guarde todos los valores de temperatura en estos puntos, podemos aplicar la ecuación de la recta que paso por ellos, utilizando la fórmula:

Para los valores de x, después de 7 minutos la temperatura permanece constante (𝑦 = 100°𝐶), y podemos utilizar la expresión 𝟕 ≤ 𝒙 < 𝟏𝟕

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ACTIVIDAD

1

luego para 𝑥 ≥ 17 Existe una pendiente de caída, ya que se espera que la temperatura baje por acción de enfriamiento, con todo lo anterior se puede construir una expresión matemática que modela el fenómeno físico contemplado y que representa una función a trozos como se muestra a continuación.

ii) Para definir el dominio de la función a trozos que representa la situación planteada, imagina una lámpara ubicada en la parte superior, tal como se muestra a continuación:

Se puede observar que la sombra estaría toda en el primer cuadrante del sistema coordenado, y satisface la condición

0 ≤ 𝑥 ≤ 17 , esta sería la expresión para el dominio del tiempo durante los 17 minutos que se calienta el recipiente y se mantiene constante su temperatura.

PASO 2A : Arma su corazón … Pero a trozos

Vamos a utilizar diferentes funciones, para construir una gráfica en 2D, aplicando el concepto de funciones a trozos , por lo que debes seguir los siguientes pasos hasta obtener la figura final.

a) Se tiene la tabla de valores para la función 𝒇(𝒙) = 𝟓 − 𝟎. 𝟐(𝒙 − 𝟓) ^𝟐, y su gráfica. ¿Puedes escribir el intervalo, que define su dominio?

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ACTIVIDAD

1

b) Se sabe que la función a trozos pasa por los puntos (-10,0) y (0,-10) en −10 ≤ 𝑥 ≤ 0; ¿Cuál sería la ecuación de esta gráfica ? ¿ qué puntos la satisfacen en una tabla de valores?

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ACTIVIDAD

1

c) ¡Animate!.... vas a graficar con

números y funciones la palabra Amor…..

En este trozo, tenemos la función 𝑓(𝑥) =5 − 0.2(𝑥 + 5) ² 𝑠𝑖 − 10 ≤ 𝑥 ≤ 0, que corresponde con la tabla de valores que se muestra, construye su gráfica.

d) Para 0 ≤ 𝑥 ≤ 10 ; 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 10; tal como se muestra a continuación, completa la tabla de valores en este tramo.

e) Para finalizar debes construir en papel milimetrado, todas las gráficas

anteriores…comenta con tus compañeros qué

figura obtienes, y completa la siguiente información.

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ACTIVIDAD

1

Paso 2B: Completa el siguiente ejemplo.

Para la siguiente función se debe construir su gráfica y analizar cómo es su comportamiento por tramos. Revisa los literales i ii y completa la gráfica final en iii

i) Al reemplazar en la función 𝑦 = 𝑥 ²+2𝑥 + 1 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0,se construye la tabla de valores de 0 hasta -6, nota que 𝑓(−3) = (−3) ²+2(−3) + 1; 𝑦 = −14, y así se obtienen los valores

correspondientes, luego unimos los puntos para obtener la gráfica que se muestra en la imagen.

ii) En este tramo de la función 𝑦 = 1 ; 𝑠𝑖 0 < 𝑥 < 4 ;lo que significa que la función va estar definida de 0 hasta 4; notese ademas que la gráfica debe ser una función constante con valor de 1 .

Si unimos los dos trozos, tenemos como resultado la siguiente gráfica, observa que el punto cerrado indica que el tramo circular contiene en su extremo el valor de cero, caso contrario el punto sería abierto.

iii) Completa la función a trozos, para el tramo 𝑦 = 𝑥 − 3 , 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 4. Construye la gráfica e indica si incluye un punto o no. Puedes utilizar geogebra para construir tu gráfica, o utiliza papel milimetrado.

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ACTIVIDAD

1

si quieres construir funciones a trozos en geogebra, utiliza el comando si, como se muestra a continuación:

En condición, escribes el intervalo que define el tramo, y luego en la palabra entonces la función que deseas graficar, por ejemplo.

PASO 3: Descifrando las funciones a Trozos

observa la siguiente función a trozos y responde

a) ¿La función es continua?

b) El tramo en 𝑥 < −2 ¿Es una curva o una recta ? Explica.

c) ¿La tabla de valores corresponde a su dominio?. Explica.

Responde falso o verdadera a las siguientes afirmaciones : Afirmación #1: Toda función a trozos en continua

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ACTIVIDAD

1

Afirmación #2: Las ramas de una función a trozos están definidas para su dominio Afirmación #3: Los intervalos indican el dominio de las ramas en una función a trozos

C) Resuelve y practica

1) Dibuja las gráficas de las siguientes funciones en papel milimetrado:

a)

b)

c)

2. Busca una expresión analítica de estas funciones:

3. Juan es un estudiante de 11° que se dedica a vender telas, desea conocer cuál es la relación entre el precio que pagan los clientes en función de los metros pedidos, y para esto tiene la siguiente tabla que resume sus precios.

Ayuda a Juan a encontrar la relación funcional, para que pueda entender cómo es el comportamiento de sus precios, según los pedidos del cliente.

PROBLEMAS DE KHAN ACADEMY (u otros portales) Tema: funciones a Trozos

https://es.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-arith-prop/pre-algebra-place-value/v/place-value-1 https://www.geogebra.org/download

https://www.youtube.com/watch?v=dx8v-6_BoGQ

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ACTIVIDAD

1 D) Resumen

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ACTIVIDAD

1 E) Valoración

i) Califica tu comprensión por tema en tu cuaderno

Evidencias ⚫⚪⚪

Todavía no entiendo los

conceptos

Voy bien ⚫⚫⚪

pero quiero más práctica

Comprendí ⚫⚫⚫

muy bien el tema

Comprendo el concepto de las funciones a trozos Soy capaz de trazar gráficas en papel milimetrado o con ayuda de Geogebra para construir

funciones a trozos Identificó,

continuidad y dominio de las funciones a Trozos Modelo situaciones de mi entorno aplicando

funciones a Trozos

ii) Preguntas de comprensión

1) la gráfica a

continuación es : a) Continua b) Discontinua c) lineal d) a trozos 2) sea f(x)= x+10 si

0<x<10, una función a trozos [ ] Sí. [ ] No.

3) sea y=|x|

Completa:

4) Gráfica esta función:

(Verifica las respuestas con tu profesor)

iii) Resuelvo un problema

Una empresa de telefonía cobra por duración de llamadas de la siguiente manera:

a) Escribe una función que modela la situación.

b) Elabora una gráfica para esta situación.

d) ¿Cuál sería el costo para una llama de 3 horas?

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ACTIVIDAD

2 ACTIVIDAD 2: “DOM Y RANG AL INVERSO”

Aprendamos a identificar situaciones cotidianas en las que usemos la función inversa.

A) Activando saberes previos

RECUERDA QUE...

En el álgebra para despejar una variable incógnita es necesario que la x quede reducida:

Ejemplo: 2x - 34 = 120: 2x = 120 + 34 Se hace la transposición de términos.

2x = 154 Se reducen los términos semejantes.

x =154/2 = 77 Se despeja la incógnita.

Para despejar una incógnita se deben tener en cuenta los siguientes pasos o reglas:

En la imagen puedes observar las propiedades para mantener la igualdad al despejar una variable.

1. Si a los dos lados de una ecuación se suma una misma cantidad, la igualdad se mantiene.

Ecuación 1: x+8=7 ⇒ x+8+(-8)=7+(-8) ⇒ x = -1.

Ecuación 2: x-10 = -3 ⇒ x-10+10 = -3+10 ⇒ x = 7.

2. Si los dos lados de una ecuación se multiplican por una misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad se mantiene.

Ecuación 3: x/3 = 13 ⇒ (x/3)·3 = 13·3 ⇒ x = 39

Ecuación 4: x /-5 = 1/10 ⇒ (x/-5) (-5) = (1/10) (-5), ⇒ reduciendo, x = -5/10, x = -½.

3. Si los dos lados de una ecuación se dividen entre una misma cantidad no nula, la igualdad subsiste.

Ecuación 5: 6x = - 12, ⇒ 6x / 6 = -12 /6 ⇒ x = -2 Ecuación 6: -12x = 2 ⇒ -12x/-12 = 2/-12 ⇒ x = - 2/-12 ⇒ x = - 1/6

RESTRICCIONES DEL DOMINIO Y RANGO DE FUNCIONES

Las funciones son correspondencias entre dos conjuntos, llamados dominio y el rango. Cuando defines una función, normalmente dices qué tipo de valores pueden tomar el dominio (x) y el rango (f(x)). Pero incluso si dices

que son números reales, eso no significa que se pueden tomar todos los números reales para x. Tampoco

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ACTIVIDAD

2

significa que todos los números reales pueden ser valores de la función, f(x). Puede haber restricciones en el dominio y en el rango. En este tema, todas las funciones están restringidas a valores de números reales.

Esto es, sólo los números reales pueden ser usados en el dominio y sólo los números reales pueden estar en el rango.

Veamos ahora un ejemplo en el que tenemos que definir el dominio y rango a partir de un gráfico:

Restricción del dominio:

Hay dos razones principales por los que algunos dominios pueden estar restringidos.

1. Denominadores que se anulan. Por ejemplo: y = 1/x .

2. Raíces cuadradas de números negativos. Por ejemplo: y= √-2.

¿En qué tipo de funciones sucederían estos problemas?

La división entre 0 podría ocurrir cuando la función tiene una variable en el denominador de una expresión racional. Esto es, hay que poner atención en las funciones racionales.

Veamos algunos ejemplos y observa que la “división entre 0” no necesariamente significa que x es 0.

Las raíces cuadradas de números negativos pueden ocurrir cuando la función tiene una variable dentro

de un radical con una raíz par. Veamos estos ejemplos y observa que “la raíz cuadrada de un número negativo” ¡no necesariamente significa que el valor dentro del radical es negativo! Por ejemplo, si x = −4, entonces −x = −(−4) = 4, un número positivo.

La tabla muestra varios ejemplos:

Te invitamos a analizar los siguientes ejemplos de

restricción de dominio y rango dada una función lineal y una racional.

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ACTIVIDAD

2

PRÁCTICA 1. Encuentra el dominio y el rango de las siguientes funciones

● f(x) = + 7. f (x) = f(x) = 3x - 2 2. Determina cuáles funciones del punto anterior tienen

restricciones en el dominio y el rango justifica tu respuesta.

3. ¿Qué tipo de función representa la siguiente expresión?

4. Dada la gráfica de la función anterior Determina su dominio y su rango.

Verifica las respuestas de la sección A con tu profesor.

Videos complementarios: restricciones del dominio y rango de una función

https://www.youtube.com/watch?v=mRLFEujl-ME

https://www.youtube.com/watch?v=4DIk2WiVv44 https://www.desmos.com/calculator?lang=es

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ACTIVIDAD

2 B) Conceptos

EXPLORACIÓN: ¿Cuál es la magnitud de un sismo?

Has visto muchos tipos distintos de funciones. Sabes que cada una puede usarse para modelar algún tipo de situación en el mundo real. ¡Las funciones exponenciales y logarítmicas no son la excepción!

Antes de comenzar reflexiona sobre estos interrogantes: ¿Cuándo un terremoto es considerado en la escala sismológica de Richter? ¿Qué pasaría con el número de habitantes de una población si vuelve a

temblar como en 1985? ¿Cuál es la relación matemática entre el crecimiento poblacional y los

fenómenos físicos?

Los terremotos son medidos por medio de dos escalas: la de Richter, que mide la magnitud de un sismo y que da a conocer la energía liberada, y la escala de Mercalli. La escala de Richter mide la energía del sismo en su epicentro y se basa en su modelamiento logarítmico común de la amplitud máxima de la onda medida en milímetros

La escala sismológica de Richter o escala de magnitud local (ML) es una escala logarítmica que asigna un número para cuantificar la energía liberada en un terremoto, denominada así en honor del sismólogo estadounidense Charles Richter.

Usando las funciones logarítmicas

El poder de los logaritmos consiste en su utilidad para resolver ecuaciones exponenciales. Algunos ejemplos incluyen sonido (medidas de decibeles), terremotos (escala Richter), el brillo de las estrellas y química (balance de pH, una medida de acidez y alcalinidad).

Veamos la escala Richter, una función logarítmica que se usa para medir la magnitud de los terremotos. La magnitud de un terremoto se relaciona con cuánta energía libera. Instrumentos llamados sismógrafos detectan el movimiento de la tierra; el movimiento más pequeño que puede detectarse en un sismógrafo tiene una donde con amplitud Ao.

A – la medida de la amplitud de la onda del terremoto

Ao – la amplitud de la onda más pequeña detectable (u onda estándar)

De aquí puedes encontrar R, la medida de la magnitud del terremoto, usando la fórmula 𝑅 =𝑙𝑜𝑔 (^𝐴).

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ACTIVIDAD

2

La intensidad de un terremoto típicamente se mide entre 2 y 10 en la escala de Richter. Cualquier terremoto que se registra por debajo de 5 es un terremoto menor; pueden mover un poco el suelo, pero normalmente no son lo suficientemente fuertes para causar algún daño. Los terremotos que miden entre 5 y 7.9 en la escala de Richter son mucho más severos y cualquier terremoto por encima de 8 causará mucho daño. (El grado más alto jamás registrado para un terremoto fue de 9.5, durante el terremoto de 1960 en Valdivia, Chile.)

Te invito a que reflexiones teniendo en cuenta la lectura:

● ¿Un fenómeno como este ha ocurrido en el lugar donde vives?

● ¿Crees que en lugar donde vives estás preparado para enfrentar un terremoto de escala Richter 7 en adelante?

● ¿Cuales son los daños que produce la intensidad de un terremoto con una magnitud mayor a 8?

● El grado más alto jamás registrado para un terremoto fue de 9.5, durante el terremoto de 1960 en Valdivia y Chile. ¿Qué daños sufrieron ambas poblaciones y cómo afectó su economía?

● ¿Cual es la diferencia entre la magnitud del terremoto ocurrido en 1960 y el ocurrido en 1985?

● ¿Cómo se llama el aparato que mide la amplitud del movimiento telúrico?

Reflexiona sobre el ejemplo:

1. En la ecuación, ¿que representa A? ¿Es posible determinar su valor?

2. ¿Cual es el símbolo con que se representa la amplitud de la onda más pequeña detectable?

3. Un terremoto se mide con una amplitud de 425 veces más grande que ¿Cuál es la magnitud de este terremoto usando la escala de Richter usando décimas?

Algunas funciones poseen inversa y la de la función logarítmica es la exponencial, analicemos su aplicabilidad en el crecimiento poblacional de un país.

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ACTIVIDAD

2

Ejemplo 2: Chile, durante los años 1996, 1997 y 1998, tenía una población aproximada de 14.419.000, 14.622.000 y 14.822.000 habitantes respectivamente. Actualmente, según el censo del año 2002, tiene una población aproximada de 15,5 millones de habitantes y está creciendo a una tasa anual de 1,3%. Crecimiento que se ha ido desacelerando desde el año 1992.

Si se observan estos datos, o si se estudia esta situación con datos más completos del Instituto Nacional de Estadísticas (INE) se puede observar que este crecimiento no es constante; y si lo fuese, tendríamos un crecimiento lineal, pero no ocurre así. Este tipo de crecimiento atiende más bien a un crecimiento exponencial que está determinado por la función:

Acá:

Po : es la población inicial (cuando t = 0 ) t : es el tiempo medido en años, k : es la tasa de crecimiento en porcentaje anual P (t) : es la población en el tiempo t.

Observa cómo puedes aplicar esta fórmula.

Solución: Para resolver el problema es necesario determinar la función , en este caso, los datos permiten escribir la función así:

= 15,5 millones es la población inicial año 2002, cuando t=0).

k= 13 % →

Ambas funciones podemos interpretarlas gráficamente como se muestra en las imágenes.

En ambas gráficas podemos observar:

● Que el dominio de

la función

exponencial el dominio está conformado por el conjunto de los valores

x∈ 𝑅/x≠ 𝑎

𝑏 ^{b=0 y} su rango está definido para y en [0,∞)

Para la función logarítmica su

dominio está comprendido de [0, ∞) y su rango desde [0, - ∞)

● Son continuas

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ACTIVIDAD

2

● Son simétricas con respecto a un eje.

Responde:

1. Teniendo en cuenta la fórmula de la escala de Richter ¿Es posible saber la magnitud de un terremoto?

2. ¿Explica por qué en algunos países ocurren terremotos con mayor frecuencia que en otros?

3. ¿Qué país fue el afectado por el terremoto de 1985, cuál fue su magnitud?

4. Un terremoto se mide con una amplitud 594 veces más grande que Ao. ¿Cuál es la magnitud de este terremoto usando la escala Richter, en décimas?

Ten en cuenta la información presentada en el ejemplo 2 y resuelve:

a) ¿Qué población habrá en Chile en 10 años más y en 50 años más, si sigue creciendo a esta misma tasa?

b) ¿Qué población habrá en Chile en 10 años más, si la tasa de crecimiento cae a la mitad de la actual?

c) Si la tasa de crecimiento se duplica respecto de la tasa actual. ¿Qué población habrá en Chile en 10 años más?

Las funciones logarítmicas y exponenciales son un caso particular de las funciones inversas.

Mini-explicación: Función inversa

Se llama función inversa o recíproca de una función f a una nueva

función cuyo dominio es la imagen de la función inicial, y su imagen es el dominio de la función inicial.

Es decir, si la función g es la función inversa de f, entonces se cumple que si f (b) = a, entonces g(a)=b.

PROPIEDADES 1. La

primera propiedad coincide con la que habíamos visto anteriormente en la función compuesta. Si

realizamos la función inversa de una composición de funciones obtenemos la composición de sus inversas permutando el orden de la composición:

2. Si hacemos la inversa de la inversa de una función, obtenemos la función inicial.

3. La composición de una función y su inversa nos da la función identidad.

4. La función inversa no siempre existe.

5. Si una función es continua también lo es su inversa y viceversa, si la inversa es derivable también lo será la función inicial.

(30)

11

ACTIVIDAD

2

6. Análogamente, si una función es derivable su inversa también lo es y viceversa.

GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN INVERSA

La gráfica de una función f, y la de su inversa g, son simétricas respecto a la recta y = x, como podemos ver:

Por tanto si M(b,a) es un punto de f, y por tanto sabemos que M´(a,b) será un punto de g, entonces las pendientes de las tangentes en M y en M´son inversas. Es decir si la pendiente de la tangente en M es m, entonces la pendiente de la tangente en M´ será 1/m.

Observación: Recordad que no es lo mismo la función inversa, que la inversa de una función.

función inversa y la 𝑓⁻¹inversa de una función

El ejemplo más conocido e importante de funciones inversas es la función exponencial y la función logarítmica. Y como podemos ver sus representaciones gráficas son simétricos respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante:

PASOS PARA CALCULAR LA FUNCIÓN INVERSA:

Para poder calcular la función inversa de una dada debemos seguir unos pasos:

1º. Realizamos un cambio de variable, cambiando y por x, y viceversa. Recordad que y=f(x).

2º. Una vez que ya hemos cambiado las variables, tenemos que despejar la variable y en función de x.

3º. El resultado final, es la función inversa que hemos buscado.

Ejemplo 1: Hallar la función inversa de f(x)=3x+5.

Vamos a seguir los pasos anteriormente descritos, antes que nada tendremos en cuenta que f(x)=y, por tanto empezaremos nuestros pasos a partir de la siguiente función: y=3x+5.

1º. Hacemos el cambio, obteniendo: x=3y+5.

2º. Despejamos y en función de x: 3y=x-5; y=(x-5)/3.

3º. Por tanto la función inversa es y=(x-5)/3.

(31)

11

ACTIVIDAD

2

Ejemplo 2: Calcular la función inversa de f, donde:

1º. Hacemos el cambio de y por x:

2º. Despejamos la y:

3º. Finalmente, la función inversa es:

RELACIÓN ENTRE LA GRÁFICA DE UNA

FUNCIÓN Y LA GRÁFICA DE SU FUNCIÓN INVERSA

Suponer que f es una función 1-1 y que (a,b) ∈ f. o sea que f(a) = b como f es función 1- 1 , existe . 𝑓⁻¹Tenemos entonces que (b,a) ∈ 𝑓⁻¹. Si marcamos los puntos (a,b) y (b,a) en el mismo sistema cartesiano, observamos que el segmento que tiene estos puntos como extremos es

perpendicular a la recta y = x y además esta recta biseca dicho segmento. Por lo tanto, el punto (b,a) es la reflexión del punto (a,b) a través de la recta y = x y viceversa. Este resultado está expresado en el siguiente teorema:

TEOREMA:

Sea f una función uno a uno. Entonces la gráfica de f y la gráfica de 𝑓⁻¹son simétricas con respecto a la recta y = x.

EJEMPLO 1: Traza las siguientes gráficas en el mismo sistema cartesiano:

(32)

11

ACTIVIDAD

2

OBSERVACIÓN: Las gráficas de f y 𝑓⁻¹son simétricas con respecto a la recta y = x.

Ejemplo: Cuota por servicios: Por sus servicios un investigador privado requiere una cuota de retención de

$750 más $150 por hora. Sea x el número de horas que el investigador pasa trabajando en un caso.

a) Halle una función f que modela la cuota del investigador como una función de x.

b) Encuentra 𝑓⁻¹. ¿Que representa 𝑓⁻¹? Solución:

Paso 1: para dar respuesta al inciso

i) debemos traducir del lenguaje verbal al simbólico para poder expresar mediante una fórmula matemática que nos permita determinar la cuota de retención del investigador.

F(x) = 750 + 150x

ii). Analicemos el comportamiento de esta función para ciertas cuotas, haciendo una tabla de valores, dándole valores arbitrarios a x para hallar el valor de F(x).

X 0 ... 750 800 850 900 950 ...

Y 750 113.250 120.750 128.500 135.750 143.250 ...

Y = 750 + 150(0) y = 750 + 150(750) y = 750 + 150(900) Y = 750 + 0 y = 750 + 112500 y = 750 + 135000

Y = 750 y = 113250 y = 135750 y = 750 + 150(800) y = 750 + 150(850) y =750 + 150(950)

y = 750 + 120000 y = 750 + 127500 y = 750 + 142500 y = 120750 y = 128500 y = 143250

Observa que a medida que aumentan el valor de x aumenta el valor de y

ii). debemos despejar x en función de y es decir calcular su inversa. Pon en práctica las reglas que hay que

aplicar para despejar una variable.

F(x) = 750 + 150x

Recuerda que: F(x) = Y x = ^{𝑦 − 750}₁₅₀

y = 750 + 150x

y - 750 = 150x

(33)

11

ACTIVIDAD

2

Formamos la inversa cambiando de y por x:

y = 𝑥 − 750 150

𝑓

⁻¹representa la función inversa de f (x). Analiza el comportamiento de la función inversa:

X 750 800 850 900 950 1.000...

𝑓

⁻¹

0 0,3 0,7 1 1,3 1.7

iv). Determinemos

𝑓

⁻¹? (1500). ¿Qué representa su respuesta?

Tenemos en cuenta la función inversa para hallar su valor cuando la variable x = 1500.

𝑓

⁻¹

(𝑥)=

^{𝑥 − 750}₁₅₀

𝑓

⁻¹

( 1500)=

^{1500 − 750}₁₅₀

𝑓

⁻¹

( 1500)=

⁷⁵⁰₁₅₀

𝑓

⁻¹

(1500)=5

v) Podemos observar la representación gráfica de ambas funciones:

(34)

11

ACTIVIDAD

2

Paso 2A: completa este ejemplo

Costo de una pizza. Marcello's Pizza fijó como precio base de la pizza grande $3.500 más $250 por cada ingrediente. Por tanto, si usted ordena una pizza grande con x ingredientes, el precio lo dará la función f(x) = 250x + 3.500. Encuentra

𝑓

⁻¹ . ¿Qué representa la función

𝑓

⁻¹?

i) Analiza el comportamiento de la función f(x) = 250x + 3.500 completando la siguiente tabla de valores:

X Y

5 ?

10 ?

15 7.250

20 ?

25 ?

30 11.000

35 ?

40 ?

(35)

11

ACTIVIDAD

2 ii)

Recuerda que para hallar la inversa de cualquier función debes tener en cuenta los siguientes pasos:

Paraencontrar la inversa de una función, hay que seguir estos pasos:

1. Escribir y = f(x).

2. Despejar x (en función de y).

3. Intercambiar x y y. La ecuación resultante es y =

𝑓

⁻¹f(x).

4. Comprobar el resultado usando la propiedad de la función inversa:

𝑓

⁻¹(f(x)) = x para toda x en A.

Ejercicio: Escribe y = f(x). es decir f(x) = 250x + 3.500

1. y = 250 x + 3.500 Despejar x (en función de y).

y - ______ = 250 x ⇒ y - ______ = x

𝑥 −

= x

iii) Formamos la inversa cambiando de y por x

𝑓

⁻¹(x)

iv) ¡Animate!.... llegó tu turno de graficar una función y analizar el comportamiento de la función inversa, elabora la tabla de valores y su respectiva gráfica, que puedes concluir la función f(x) = 250x + 3.500 y

(36)

11

ACTIVIDAD

2

su inversa:

X Y

? ?

Paso 2B Completa el siguiente ejemplo:

A continuación se muestra la gráfica de f(x) = √(2 x - 3).

a) Teniendo en cuenta la gráfica completa la tabla de valores.

x y

1.5 ?

2 ?

3.5 2

4 ?

4.5 ?

5 2.6

5.5 ?

6 ?

(37)

11

ACTIVIDAD

2

a) La variable independiente (x) puede reemplazarse por valores menores que 1. ¿si, no porque?

b) ¿Existen restricciones en el dominio y rango de la función dada?

c) Al realizar la tabla de valores para la función inversa de f(x) = √(2 x - 3) que pasa con los valores registrados en la tabla anterior?

d) Dibuje el inverso de f en el mismo gráfico.

e) Encuentra el inverso de y verifica tu respuesta usando algunos puntos.

f) Te invito a representar ambas gráficas haciendo uso de la siguiente herramienta https://www.desmos.com/calculator?lang=es

Paso 3: Es tu turno de demostrar lo que sabes sobre las propiedades de la función inversa

De las 6 afirmaciones, 2 son verdaderas y 4 son falsas. Detecta cuales son las afirmaciones falsas, encuentra una secuencia de evidencias que demuestren la falsedad de las afirmaciones, por último verifica con tu compañeros y tu profesor

Afirmación #1: La notación N no se refiere a la inversa de la función f si no al exponente

−1 usado para números reales. Únicamente se usa como notación de la función inversa.

Afirmación #2:La inversa de una función cuando existe, es única.

Afirmación #3: La inversa de una función cualquiera siempre existe, pero la inversa de una función biyectiva no siempre existe.

Afirmación #4: Las gráficas de f y 𝑓 ⁻¹ no son simétricas respecto a la función identidad y = x Afirmación #5: El dominio y el rango de f son los mismos que el dominio y el rango de

𝑓

⁻¹

Afirmación #6: si el punto (a, b) pertenece a la función f(x), entonces (b, a) pertenece a

𝑓

⁻¹(x)

(38)

11

ACTIVIDAD

2 C) Resuelve y practica

1. Dadas las siguientes funciones 1-1. Halla su función inversa.

2. Si f(x) = f(x) = 2 x³ + 1, halla

𝑓

⁻¹

3. Demuestra que una función es la inversa de la otra:

4. Halla la función inversa , si existe:

5. La gráfica de la función f aparece a continuación. Traza la gráfica de

𝑓

⁻¹en el mismo sistema cartesiano. Por conveniencia también aparece la gráfica de y = x .

6. A continuación se muestra la gráfica de f(x) = 2 x³ - 1

1) Dibuje el gráfico de la inversa de f en el mismo sistema de ejes.

2) Encuentra el inverso de y verifica tu respuesta usando algunos puntos.

(39)

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ACTIVIDAD

2

7. A continuación se muestra el gráfico de 6 funciones. Dibuje el gráfico de la inversa de cada función.

PROBLEMAS DE KHAN ACADEMY (u otros portales) Tema: función inversa

(Mira los videos y responde las preguntas) https://www.youtube.com/watch?v=XpUdUtnlu84 https://www.youtube.com/watch?v=vKqRC-aZIZA) Resumen

(40)

11

ACTIVIDAD

2 D) Resumen

(41)

11

ACTIVIDAD

2

(42)

11

ACTIVIDAD

2 E) Valoración

i) Califica tu comprensión por tema en tu cuaderno

Evidencias ⚫⚪⚪

Todavía no entiendo

los conceptos

⚫⚫⚪

Voy bien pero quiero más

práctica

⚫⚫⚫

Comprendí muy bien

el tema

Reconozco que no todas las funciones poseen inversa

Establezco relaciones de semejanza y diferencia entre el dominio y rango de una función y su inversa

Utilizo diversas herramientas digitales (geogebra, desmos,...) para representar analítica y gráficamente funciones inversas Aplicó correctamente las diferentes reglas de despeje para calcular la inversa de una función

ii)

Demuestra que una función es la inversa de la otra:

f(x) =

(𝑥 + 1)

³; g(x) =

3 √𝑥 − 1

Las siguientes funciones son uno-a-uno. Halla su inversa.

a) f (x) = 4x + 12 b) g (x) =

𝑥

²

+ 6, x ⩾ 0

iii) Preguntas de comprensión

1) Obtén la función inversa de:

a) ¿La función dada es lineal o racional? explica tu respuesta b) Representa la gráfica de la función

inversa obtenida

c) ¿Qué función representa la gráfica obtenida?

2) Dada la gráfica de la función y = f(x):

a) Calcula

𝑓

⁻¹(-1) y

𝑓

⁻¹(0).

b) Representa gráficamente en los mismos ejes

𝑓

⁻¹(x), a partir de la gráfica de f(x).

3) Calcula la inversa de f(x) =

√𝑥 + 1

3

Calcula la preimagen de 0,2 y -1.

(Verifica las respuestas con tu profesor)

(43)

11

ACTIVIDAD

2 iv) Resuelvo un problema

Determinar cuáles de las siguientes funciones tienen o no tienen inversa y por qué. No es necesario calcular la inversa: f(x) = x; g(x)= -x: h(x) =

𝑥

²