De las funciones lineales a las cuadráticas

(1)

MATEMÁTICAS

GUÍA PARA ESTUDIANTE

Actividades de apoyo II Medio UNIDAD 2

De las funciones lineales a las cuadráticas

GUÍA 1:

Tema: Funciones

FICHA 1 Funciones

GUÍA 2:

Tema: Caracterización de la función cuadrática

FICHA 1

Concepto de función cuadrática

GUÍA 3:

Tema: Análisis gráfico

FICHA 1 Análisis gráfico

Nombre:

Curso: Letra: Fecha:

Establecimiento:

(2)

2

GUÍA DEL ESTUDIANTE N°1 Funciones

La siguiente guía tiene como objetivo que adquieras, de manera eficiente, los conocimientos matemáticos correspondientes al siguiente objetivo de aprendizaje (OA):

OA 3: Mostrar que comprenden la función cuadrática ! " = $"^%+ '" + ( ($ ≠ 0):

- Reconociendo la función cuadrática ! " = $"^% en situaciones de la vida diaria y otras asignaturas.

- Representándola en tablas y gráficos de manera manual y/o con software educativo - Determinando puntos especiales de su gráfica

- Seleccionándola como modelo de situaciones de cambio cuadrático de otras asignaturas, en particular de la oferta y demanda.

Se ha elaborado 1 ficha de estudio, la que aborda los siguientes conocimientos:

Tema Ficha

1. Funciones

(Guía N°1) 1. Funciones

En la ficha encontrarás las siguientes secciones:

• Recordemos: Se activan los conocimientos previos.

• Práctica: Se proponen actividades que te permitirán aplicar los conocimientos previos.

• Desafío: Se compone de una o más actividades por medio de problemas o situaciones en contextos concretos o matemáticos, que te invitarán a la aplicación y reflexión de los aprendizajes adquiridos.

Introducción

(3)

Tema: Funciones Ficha 1

3

FICHA 1 FUNCIONES

Una relación es una asociación entre variables. Por ejemplo, lanzar una pelota hacia arriba y tiempo que se demora en alcanzar la altura máxima, relacionan la altura y el tiempo.

La definición formal de relación, dice que:

Es decir, una relación es un conjunto de pares ordenados, donde se utiliza la siguiente notación para identificar una relación:

.: 0 → 2 345 65 755, "7$ :57$(;ó= ., >5 0 $ 2"

Si el par ordenado ($, ') pertenece a la relación, donde $ pertenece al conjunto 0 y ' pertenece al conjunto 2, entonces podemos definir:

- Preimagen: elemento del conjunto de partida o Dominio, por lo tanto, en el par ordenado ($, '), el elemento $ corresponde a la Preimagen.

- Imagen: elemento del conjunto de llegada o Recorrido, por lo tanto, en el par ordenado ($, '), el elemento ' corresponde a la Imagen.

Ejemplo:

Si tenemos los siguientes conjuntos:

0 = 1,2,3,4,5 D 2 = 1,2,3,4 , podemos definir la siguiente relación:

.: 0 → 2, . = 1,1 , 1,2 , 2,3 , 2,4 , 4,1 , 4,2

Una relación se puede representar de diferentes formas:

1. Tabla de valores.

Si definimos la siguiente relación: .: 0 → 2, . = 1,1 , 1,2 , 2,3 , 2,4 , 4,1 , 4,2

Elemento del conjunto A

Elemento del conjunto B

1 1

1 2

2 3

2 4

4 1

4 2

Una relación en el conjunto numérico de los números Reales, es una regla de correspondencia que asocia a cada número real “E” de un conjunto de partida (llamado Dominio de la relación) uno o más números reales “F” de un conjunto de llegada.

Recordemos

(4)

4

2. Gráfico cartesiano.

En este caso, los pares ordenados que graficamos como puntos en el plano cartesiano, no se deben unir, ya que la relación está definida sólo para estos puntos.

3. Diagrama Sagital o Diagrama de Venn

4. Expresión algebraica.

Dependiendo de la relación entre las variables, se obtendrá una ecuación algebraica que representa dicha relación.

Por ejemplo: D = "^% , donde una de las variables es igual al cuadrado de la otra variable.

DEFINICIÓN DE FUNCIÓN

Una función es una relación entre dos conjuntos numéricos, que a cada número del primer conjunto le asocia un único número del segundo conjunto.

Además, para que una relación sea una función debe cumplir con la siguiente condición:

- A todos los elementos del conjunto de partida les corresponde un único elemento del conjunto de llegada.

En palabras simples, todos los elementos del conjunto de partida deben estar relacionados con un único elemento del conjunto de llegada.

1 2 3 4 5

1 2 3 4

G I H

(5)

5

Una función se representa con el símbolo !("), donde tenemos dos variables. La variable

“"" pertenece al conjunto Dominio de la función y la variable “D" o “!(")", pertenece al conjunto de llegada o Recorrido de la función.

Ejemplo:

J$ !4=(;ó= ! " = 3" − 1 , L$M';é= 65 O45>5 56(:;';: D = 3" − 1

Para determinar si una relación es una función, en sus distintas representaciones, utilizaremos las siguientes estrategias:

Para identificar si una relación es una función, teniendo una tabla de valores, solo debemos observar los elementos del primer conjunto (conjunto de partida o Dominio) o primera columna, quienes no se deben repetir, ya que los elementos del Dominio sólo se deben relacionar con un único elemento del Recorrido.

Ejemplo:

Element o del conjunto

A

B

1 1

1 2

2 3

2 4

4 1

4 2

A

B

1 1

2 2

3 2

4 3

5 3

Para identificar si una relación que se presenta es una función dado un Diagrama Sagital, solo debemos observar que de todos los elementos del conjunto de partida (Dominio), salga una única flecha hacia algún elemento del conjunto de llegada.

Ejemplo:

La siguiente relación no representa una función ya que existe un elemento en A, desde donde salen dos flechas, es decir, se relaciona con dos elementos. Nuevamente no interesa como se comporte el conjunto de llegada.

La siguiente relación sí representa una función ya que de todos los elementos de A, sale solo una única flecha hacia el conjunto de llegada.

A pesar de que en el conjunto de llegada existen elementos a los cuales llega más de una flecha.

Para identificar si una relación que se presenta es una función dado un gráfico cartesiano, se utiliza el criterio de la recta vertical, es decir, al dibujar rectas verticales sobre el gráfico estas deben intersectar en un único punto del gráfico.

H I

Existen elementos en el Dominio que se repiten por lo que esta relación NO representa una función.

Los elementos del Dominio no se repiten por lo tanto la relación representada Sí es una función, a pesar de existir elementos repetidos en el Recorrido.

1 2 3 4 5

1 2 3 4

G

1 2 3 4 5

1 2 3 4

G P(E) H

(6)

6

Al dibujar rectas paralelas al eje D, o verticales en el gráfico de una función, observarás que estas rectas intersectan esta función en más de un punto, por tanto, no corresponderá a una función.

Ejemplo:

Las rectas verticales intersectan al gráfico en dos puntos por lo tanto este no representa una función, ya que un elemento del conjunto de partida está relacionado con dos elementos del conjunto de llegada.

Cada recta vertical intersecta al gráfico en un único punto por lo que el gráfico sí representa una función, ya que un elemento del conjunto de partida está relacionado con un único elemento del conjunto de llegada.

(7)

7

1. Indica en cada caso si se encuentra representada una función.

a) d)

b) e)

c) f)

Práctica

(8)

8

FUNCIÓN LINEAL Y AFÍN

Las funciones Lineal y Afín, representan gráficamente una línea recta en el plano cartesiano y su forma algebraica corresponde a una ecuación de primer grado con una incógnita.

Si comparamos la función Lineal y Afín:

FUNCIÓN LINEAL FUNCIÓN AFÍN

Forma algebraica:

! " = M" , M ≠ 0

Por ejemplo: ! " = −5"

Forma algebraica:

! " = M" + = , M ≠ 0 , = ≠ 0

Por ejemplo: ! " =^QR

S " + 2 Gráficamente la función lineal corresponde

a una recta que pasa por el origen del plano cartesiano.

Por ejemplo:

Gráficamente la función afín corresponde a una recta que no pasa por el origen del plano cartesiano.

Por ejemplo:

No obstante existen dos elementos presentes en las funciones lineal y afín que vamos a analizar. Estos son los coeficientes M y =.

PENDIENTE DE LA RECTA.

El coeficiente T, pendiente de la recta, está relacionado a la inclinación de la recta con el eje ". Dependiendo de los valores de M, tendremos los siguientes casos:

Si M > 0.

La función es creciente.

Ejemplo:

1) ! " = 5" + 2, corresponde a una función afín cuya pendiente es 5.

2) ! " = 20", corresponde a una función lineal cuya pendiente es 20.

Si M < 0.

La función es decreciente.

Ejemplo:

1) ! " = −10" − 3, corresponde a una función afín cuya pendiente es −10.

2) ! " = −^%_S", corresponde a una función lineal cuya pendiente es −^%_S.

(9)

9

Si M = 0.

La función es constante

Ejemplo:

! " = −3, corresponde a una función afín cuya pendiente es 0.

Recordemos que la pendiente de una recta se determina a partir de dos puntos que pertenezcan a ella:

M =D_%− D_W

"_%− "_W , >X=>5 0 "_W, D_W D 2 "_%, D_% 6X= O4=LX6 345 O5:L5=5(5= $ 7$ :5(L$.

Ejemplo:

Determinar la pendiente de la siguiente recta.

M =D_%− D_W

"_%− "_W >X=>5 0 1, 2 D 2 2, 7

Reemplazando las coordenadas de los puntos en la fórmula, tenemos que:

M =D_%− D_W

"_%− "_W → M = 7 − 2

2 − 1 → M =5 1 M = 5

Ejemplo:

M =D_%− D_W

"_%− "_W >X=>5 0 1, 2 D 2 −3, 4

Reemplazando las coordenadas de los puntos en la fórmula:

M =D_%− D_W

"_%− "_W → M = 4 − 2

−3 − 1 → M = −2 4= M = −1

2

Ejemplo:

M =D_%− D_W

"_%− "_W >X=>5 0 −3, 3 D 2 5, 3

Reemplazando las coordenadas de dos puntos en la fórmula:

M =D_%− D_W

"_%− "_W → M = 3 − 3

5 − −3 → M =0 8 M = 0

(10)

10

COEFICIENTE DE POSICIÓN

El coeficiente \, coeficiente de posición, esta asocaido al punto de intersección con el eje de las ordenadas, que es (0, \). Este coeficiente es un punto donde la coordenada ubicada en el eje " o eje de las abscisas es cero.

Ejemplo:

Se tiene la siguiente función afín: ! " = −5" + 12. Al releer la función observamos que

= = 12, ya que la función está escrita en su forma ! " = M" + =. El punto de intersección con el eje D es (0,12).

Ejemplo:

Se tiene la siguiente función lineal: ! " = 5". Al releer la función, observamos que = = 0, ya que la función está escrita en su forma ! " = M" + =. Podemos decir también que el punto de intersección con el eje D es (0,0).

Recuerda que el coeficiente de posición es un punto, cuya forma es (0, =)

Ejemplo:

Si observamos la siguiente gráfica con su respectiva expresión algebraica, notaremos que la intersección con el eje D corresponde al punto (0,1)

INTERSECCIONES CON LOS EJES.

Una función lineal o afín va a intersectar a los ejes de las abscisas y ordenadas, de acuerdo a las características de la función, considerando que puede no intersectar al eje ", como en la función constante.

Algebraicamente se pueden determinar las intersecciones a partir de los coeficientes M y = de la función.

TIPO DE FUNCIÓN Intersección eje E Intersección eje F FUNCIÓN LINEAL

! " = M" (0,0) (0,0)

FUNCIÓN AFÍN

(0, =)

(11)

11

! " = M" + = (−= M, 0)

Ejemplo:

Determina las intersecciones con los ejes, de la función ! " = −5" + 3.

Es una función afín por lo que:

FUNCIÓN AFÍN Intersección eje " Intersección eje D

! " = M" + = − =

M, 0 (0, =)

! " = −5" + 3 − 3

−5, 0 3 5, 0

(0,3)

Ejemplo:

Determina las intersecciones con los ejes, de las siguientes gráficas de funciones.

La función que representa la gráfica es una función afín, ya que intersecta con los ejes en puntos distintos al origen del plano cartesiano.

Intersección con el eje " : (2,0) Intersección con el eje D : (0, −4)

La función que representa la gráfica es una función lineal, ya que intersecta a los ejes en el origen del plano cartesiano.

Intersección con el eje " : (0,0) Intersección con el eje D : (0,0)

(12)

12

2. Clasifica las siguientes gráficas como función lineal o función afín.

a.

b.

c.

3. Determina para cada función:

a) La pendiente.

b) El coeficiente de posición.

c) Intersecciones con los ejes.

a. ! " =^%_S" − 2 b. ! " = −4" + 1

Pendiente Pendiente

Coeficiente de Posición Coeficiente de Posición

Intersecciones con los ejes Eje "

Eje D

Práctica

(13)

13

c) d)

Pendiente Pendiente

Coeficiente de Posición Coeficiente de Posición

Eje D

0,5

(14)

14

Utilizando lo que aprendiste, resuelve la siguiente actividad:

En la clase de matemática, el profesor presenta una gráfica que representa el tiempo (en días) y la medida del crecimiento de una planta (en centímetros).

El profesor indica que si conocemos la expresión algebraica que rige esta gráfica, podremos conocer otros valores que no están presentes en la gráfica, como, por ejemplo, conocer cuánto podría medir la planta después de 10 días.

¿Podrías encontrar la expresión algebraica de esta función?

];5MOX [>í$6]

a:5(;M;5=LX [(M

]

Desafío

(15)

15

GUÍA DEL ESTUDIANTE N°2

Caracterización de la función cuadrática

OA 3: Mostrar que comprenden la función cuadrática ! " = $"^%+ '" + ( ($ ≠ 0):

- Representándola en tablas y gráficos de manera manual y/o con software educativo - Determinando puntos especiales de su gráfica

Analizando los respectivos nudos de aprendizaje, se ha elaborado 1 ficha de estudio, la que aborda los siguientes conocimientos:

Tema Ficha

2. Caracterización de la función cuadrática

(Guía N°2)

1. Concepto de función cuadrática

• Desafío: Se compone de una o más actividades por medio de problemas o situaciones en contextos concretos o simplemente matemáticos, que te invitarán a la aplicación y reflexión de los aprendizajes adquiridos.

Introducción

(16)

16

FICHA 1

CONCEPTO DE FUNCIÓN CUADRÁTICA

Una función es una relación entre dos conjuntos numéricos, que a cada número del primer conjunto le asocia un único número del segundo conjunto.

Además, para que una relación sea una función debe cumplir con la siguiente condición:

- A todos los elementos del conjunto de partida le corresponde un único elemento del conjunto de llegada.

En palabras simples, todos los elementos del conjunto de partida deben estar relacionados con sólo un elemento del conjunto de llegada.

Una función se representa con el símbolo !("), donde tenemos dos variables. La variable

“"" pertenece al conjunto Dominio de la función y la variable “D" o “!(")", pertenece al conjunto de llegada o Recorrido de la función.

Por ejemplo:

J$ !4=(;ó= ! " = 3"^%− 1 L$M';é= 65 O45>5 56(:;';: D = 3"^% − 1 Una función se puede representar o relacionar con:

1. TABLA DE VALORES

E P(E)

1 1

2 4

3 9

4 16

5 25

2. DIAGRAMA SAGITAL

3. GRÁFICO CARTESIANO 4. EXPRESIÓN ALGEBRAICA P E = E^b

Todas las representaciones anteriores son de un tipo de función, llamada FUNCIÓN CUADRÁTICA. No obstante ¿qué es una función cuadrática? ¿Cuáles son sus características?, ¿para qué sirve una función cuadrática?

Recordemos

I

1 2 3 4 5

1 4 9 16 25

G H

(17)

17

FUNCIÓN CUADRÁTICA

Una función cuadrática se relaciona con una ecuación de segundo grado donde se cumple que la variable independiente " está al cuadrado y se puede escribir como:

! " = $"^%+ '" + ( Esta expresión algebraica también se puede escribir como:

D = $"^%+ '" + (

A estas dos escrituras se les denomina forma general de la función cuadrática.

Se debe cumplir que:

- $ sea distinto de cero, ya que si es cero, la función se transforma en una función lineal o afín.

- $, ' D ( sean números que pertenecen al conjunto de los Números Reales.

En ciertas ocasiones la función cuadrática puede no estar escrita en su forma general, por lo que debemos aplicar procedimientos algebraicos, para obtener su escritura de forma general.

Ejemplo

a) ! " = 2"^%+ 5" − 2 La función está escrita en su forma general.

b) D = "^%− 3" La función está escrita en su forma general c) ! " = (" − 3)^%− 5 La función NO está escrita en su forma general d) 0 = −3"^%+ 2" − D La función NO está escrita en su forma general

En el caso del ejemplo c), se debe desarrollar el cuadrado de binomio y luego reducir términos para obtener la forma general de la función cuadrática, es decir:

! " = (" − 3)^% − 5

! " = "^%− 6" + 9 − 5 P E = E^b− eE + f

En el caso del ejemplo d), se deben ordenar los términos para obtener la forma general de la función cuadrática, es decir:

0 = −3"^% + 2" − D F = −gE^b+ bE

COEFICIENTES DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA

La función cuadrática al estar asociada a una ecuación cuadrática, considera los siguientes elementos:

P E = hE

^b

+ iE + j

Término cuadrático Término lineal Término independiente

(18)

18

El término cuadrático posee un coeficiente numérico, simbolizado por la letra $.

El término lineal posee un coeficiente numérico, simbolizado por la letra '.

El término independiente es un coeficiente numérico simbolizado por la letra (.

Las letras $, ' D ( son los llamados coeficientes (en algunos casos el coeficiente ' X ( pueden ser cero).

Ejemplos:

! " = 2"^%+ 5" − 2 La función tiene presente los tres coeficientes $, ' D ( (distintos de cero).

! " = "^%− 3" En la función, ( = 0.

! " = "^%+ 10 En la función, ' = 0.

! " = −3"^% En la función, ' y ( es igual a cero.

Más adelante, los coeficientes tomarán mayor importancia al usarse para encontrar los elementos de la gráfica de una función cuadrática.

4. Determina si las siguientes funciones corresponden a funciones cuadráticas.

a) ! " = "^% d) ! " = " − 3

b) D = −2

5"^%+ 3 e) ! " = (" − 5)^%− 2 c) D − "^% = "^%+ 5" − 2 f) D − 4"^% = (2" + 1)^%

5. Determina los coeficientes $, ' D (, de las funciones:

a) ! " = "^% $ = d) ! " = " − 3 $ =

' = ' =

( = ( =

b) D = −^%_R"^%+ 3 $ = e) ! " = (" − 5)^%− 2 $ =

' = ' =

( = ( =

c) D − "^% = "^%+ 5" − 2 $ = f) D − 4"^% = (2" + 1)^% $ =

' = ' =

( = ( =

Práctica

(19)

19

MODELAMIENTO DE ECUACIONES CUADRÁTICAS A PARTIR DE ENUNCIADOS Muchos problemas cotidianos en las áreas como ciencias, economía, medicina, ingeniería y otras, se pueden traducir a lenguaje algebraico, en forma de ecuación para su posterior resolución. Ésta es una razón por la que el álgebra es útil. Por esto usaremos las ecuaciones como modelos matemáticos para resolver problemas de la vida cotidiana.

Para plantear ecuaciones que nos permitan modelar situaciones enunciadas de forma verbal, se pueden utilizar los siguientes pasos:

A través de los siguientes ejemplos se expondrá la manera en que estos criterios se aplican para traducir el enunciado de un problema al lenguaje algebraico y a su posterior resolución.

Ejemplo:

Dimensiones de un terreno aplicado a la construcción.

Un terreno donde se construirá debe medirse. Este es de forma rectangular, el largo mide 8 metros más que el ancho y su área es de 2 900 metros cuadrados. Determine las dimensiones del terreno.

Paso 1

• Identificar la variable. Identifique la variable que el problema le pide determinar. Casi siempre, esta se puede determinar por medio de una lectura cuidadosa de la pregunta planteada al final del problema. Asigne una notación para la variable ( lo mas usual una letra como", D X k ).

Paso 2

•Expresar los datos en términos de la variable. Lea una vez más cada oración del problema, y exprese todas las cantidades mencionadas en el problema en términos de la variable que definió en el paso 1. Para organizar esta información, a veces es útil dibujar un esquema o elaborar una tabla.

Paso 3

•Plantear el modelo. Plantee una ecuación o modelo, que exprese la relación entre la información del enunciado.

Paso 4

•Resuelva la ecuación y compruebe su respuesta. Resuelva la ecuación,verifique la respuesta y exprésela como una oración que responde a la pregunta hecha en el problema.

(20)

20

Ejemplo:

Número desconocido.

El producto de un número con el mismo número aumentado en nueve unidades, es igual a

−14. ¿Qué número(s) cumple(n) con esta condición?

TABLA DE VALORES

Cuando evalúas una función de cualquier tipo, le asignas valores a la variable independiente

", los cuales son reemplazados en la expresión algebraica y nos permite obtener el valor de la variable dependiente D. Al encontrar estos valores obtendremos un par ordenado (o punto).

Dado varios puntos, podemos obtener su gráfica en el plano cartesiano.

Generalmente el procedimiento para obtener una tabla de valores tiene tres pasos:

Paso 1

• Identificar la variable. Se pide determinar el ancho y el largo del terreno. Entonces, asignaremos l = ancho del terreno

Paso 2

•Expresar los datos en términos de la variable. Expresamos la información dada en lenguaje algebraico.

•Ancho del terreno l

•Largo del terreno l + 8

Paso 3

•Plantear el modelo. Planteamos la ecuación que expresa la relación entre la información del enunciado.

•$=(ℎX >57 L5::5=X o 7$:pX >57 L5::5=X = á:5$ >57 L5::5=X

• l o l + 8 = 2 900

Paso 4

•Resuelva la ecuación y compruebe su respuesta.

•Desarrollando la ecuación

•l o l + 8 = 2900

•l^%+ 8l = 2900 → l^%+ 8l − 2900 = 0 r$(LX:;k$MX6

• l − 50 l + 58 = 0 → sX: 7X 345 ∶ l = 50 X l = −58

•RESPUESTA : Como el ancho del terreno debe ser un número positivo, este sería de 50 metros y el largo (l + 8) sería de 58 metros.

Paso 1

• Identificar la variable. Se pide determinar un número que cumpla ciertas condiciones.

•Entonces, asignaremos " = número desconocido

Paso 2

•Expresar todas los datos en términos de la variable. Expresamos la información dada en lenguaje algebraico.

•Un número "

•Un número aumentado en nueve unidades " + 9

Paso 3

•Plantear el modelo. Planteamos la ecuación que expresa la relación entre la información del enunciado.

•s:X>4(LX >5 4= =úM5:X (X= 57 M;6MX =úM5:X $4M5=L$>X 5= =45v5 4=;>$>56 = −14

• " o " + 9 = −14

Paso 4

•Resuelva la ecuación y compruebe su respuesta.

•Desarrollando la ecuación

•" o " + 9 = −14

•"^%+ 9" = −14 → "^%+ 9" + 14 = 0 r$(LX:;k$MX6

• " + 7 " + 2 = 0 → sX: 7X 345 ∶ " = −7 ó " = −2

•RESPUESTA : Los dos números que cumplen con la condición del problema son−7 y −2.

(21)

21

Recuerda que para representar un punto en el plano cartesiano, debes ubicar la primera coordenada (") en el eje horizontal y luego ubicar la segunda coordenada (D) en el eje vertical e intersectarlas en el plano.

Por ejemplo para ubicar el punto 0(3,2):

0 3,2 , >X=>5 " = 3 5 D = 2

Ejemplo:

Obtener una tabla de valores para la función cuadrática

! " = "^%− 2" + 5

E ! " ="^%− 2"+ 5 (E , P(E))

−g ! " = (−3)^%− 2 ∙−3+ 5 = 20 (−g , bx)

−b ! " = (−2)^%− 2 ∙−2+ 5 = 13 (−b , yg)

−y ! " = (−1)^%− 2 ∙−1+ 5 = 8 (−y , z)

x ! " = (0)^%− 2 ∙0+ 5 = 5 (x , {)

y ! " = (1)^%− 2 ∙1+ 5 = 4 (y , f)

b ! " = (2)^%− 2 ∙2+ 5 = 5 (b , {)

g ! " = (3)^%− 2 ∙3+ 5 = 8 (g , z)

Paso 1

Asignar valores a la variable independiente "

Los valores utilizados para la variable independiente

puedes asignarlos arbitrariamente

Paso 2

Reemplazar los valores de "

en la función y valorizar

Debes tener cuidado con las operaciones y signos al

valorizar la función

Paso 3

Obtener el par ordenado o punto (", !("))

Se debe representar el punto como un par ordenado, donde la primera coordenada corresponde al valor de " y la segunda coordenada al valor

de !(")

A

(22)

22

A partir de la tabla de valores se puede graficar la función cuadrática y observar su comportamiento.

! " = "^%− 2" + 5

0 5 10 15 20 25

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

(23)

23

I. Determina la expresión algebraica que resuelve los siguientes problemas.

a) Un terreno rectangular se va a utilizar para construir una plaza de juegos, donde el largo de la plaza excede en 5 metros el ancho del terreno. El área a utilizar es de 250 M^%. b) El producto del doble de un número con su triple es 450.

c) Un triángulo tiene una altura tres veces mayor que su base y su área es de 120 M^%.

II. Completa la tabla de valores para cada una de las siguientes funciones cuadráticas:

a) ! " = "^%

E ! " = "^% (E , P E )

−g

−b

−y x y b g

b) ! " = "^%− 2"

E ! " = "^%− 2" (E , P E )

−yf

−yb

−yx

−z

−e

−f

−b

Práctica

(24)

24

c) ! " = −"^%+ 2" − 3

E ! " = −"^%+ 2" − 3 (E , P E )

y b g f { e

|

Aplica lo visto anteriormente para resolver la siguiente actividad.

El lanzamiento de un proyectil se puede modelar con una función de tipo cuadrática, como la siguiente.

} E = −ye~^b+ yff~

dónde } E corresponde a la altura alcanzada por el proyectil en metros y ~ corresponde al tiempo utilizado por el proyectil para alcanzar cierta altura en segundos.

Dibuja la trayectoria aproximada que sigue el proyectil, graficando la función cuadrática, desde su lanzamiento hasta los 9 segundos de vuelo.

Desafío

(25)

25

GUÍA DEL ESTUDIANTE N°3 Análisis Gráfico

OA 3: Mostrar que comprenden la función cuadrática ! " = $"^% + '" + ( ($ ≠ 0):

- Representándola en tablas y gráficos de manera manual y/o con software educativo.

- Determinando puntos especiales de su gráfica.

Se ha elaborado 1 ficha de estudio, la que aborda los siguientes conocimientos:

Tema Ficha

3. Análisis Gráfico

(Guía N°3) 1. Análisis Gráfico

• Desafío: Se compone de una o más actividades por medio de problemas o situaciones en contextos concretos o matemáticos, que te invitarán a la aplicación y reflexión de los aprendizajes adquiridos.

Introducción

(26)

26

FICHA 1

ANÁLISIS GRÁFICO

Una función se puede relacionar a diferentes representaciones:

1. TABLA DE VALORES

E P(E)

1 1

2 4

3 9

4 16

5 25

2. DIAGRAMA SAGITAL

3. GRÁFICO CARTESIANO 4. EXPRESIÓN ALGEBRAICA P E = E^b

Todas las representaciones anteriores son de un tipo de función, llamada FUNCIÓN CUADRÁTICA. En las fichas anteriores hemos abordado las representaciones de tipo algebraica, diagrama de Venn y tabla de valores. No obstante, ¿cómo se representa gráficamente una función cuadrática? ¿Qué relación existe entre la expresión algebraica que contiene los coeficientes $, ' D (, y la representación de este tipo de funciones en el plano cartesiano?

Recordemos

I

1 2 3 4 5

1 4 9 16 25

G H

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REPRESENTACIÓN GRÁFICA: PARÁBOLA

Al graficar una función cuadrática en el plano cartesiano utilizando una tabla de valores, obtenemos una curva llamada Parábola, que podría estar en distintas ubicaciones del plano.

La posición que adoptará la parábola en el plano cartesiano dependerá de los valores de los coeficientes de la función cuadrática.

A continuación, conoceremos la relación que existe entre los coeficientes $, ' y (, respecto a la ubicación de la parábola en el plano.

CONCAVIDAD

La concavidad de una parábola está asociada a su apertura, es decir, sus “ramas” pueden estar abiertas hacia arriba o hacia abajo.

Esta característica está relacionada con el coeficiente $ de la función.

! " =$"^%+ '" + ( , donde se cumple:

- Si $ < 0, la parábola se abre hacia abajo o es cóncava hacia abajo.

Si $ > 0, la parábola se abre hacia arriba o es cóncava hacia arriba.

Ejemplo:

En ! " =3"^%+ 5" − 2, $ = 3, es decir, la gráfica de la función es una parábola con sus ramas abiertas hacia arriba.

En p " = −^S_R"^% + 5" − 2, $ = −^S_R, es decir, la gráfica de la función es una parábola con sus ramas abiertas hacia abajo.

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VÉRTICE

El vértice de una parábola es el punto máximo (si la parábola se abre hacia abajo) o punto mínimo (si la parábola se abre hacia arriba) de la gráfica.

Se pueden determinar las coordenadas del vértice a través de:

− i

bh,fhj − i^b fh

, donde $, ' D ( son los coeficientes numéricos de la función cuadrática ! " = $"^%+ '" + (.

Ejemplo:

Determina el vértice de la función ! " = "^% − 4" − 32.

El primer paso, es determinar los coeficientes $, ' D ( de la función cuadrática.

! " = 1"^%− 4" − 32 Entonces: $ = 1, ' = −4, ( = −32 Reemplazamos en la relación anterior:

Ä − '

2$,4$( − '^% 4$

Ä − −4

2 ∙ 1,4 ∙ 1 ∙ −32 − −4 ^%

4 ∙ 1 → Ä −−4

2 ,4 ∙ −32 − 16

4 → Ä 4

2,−128 − 16

4 → Ä 2,−144 4 Ä 2, −36

Si analizamos la función, $ es positivo, por lo tanto, la gráfica de la parábola se abre hacia arriba y el vértice Ä 2, −36 es el punto mínimo de esta gráfica.

Punto máximo ($ < 0)

Punto mínimo ($ > 0)

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EJE DE SIMETRÍA

Existe un elemento asociado al Vértice llamado Eje de Simetría. Tal como has conocido en cursos anteriores, este eje de simetría es una recta, que actúa como si fuera un espejo.

Considera que el eje de simetría siempre pasa por el vértice, y es igual a la abscisa de las coordenadas del vértice, tal como vimos en la página anterior:

ÅÇ5 >5 É;M5L:í$ → " = − ' 2$

Ejemplo:

Determina el eje de Simetría de ! " = "^% − 4" − 32.

El primer paso, es determinar los coeficientes $, D ' de la función cuadrática.

! " = 1"^%− 4" − 32

$ = 1, ' = −4 Reemplazamos en la relación anterior:

" = − −4

2 ∙ 1= −−4 2 =4

2

" = 2

Podemos concluir que el eje de simetría de esta parábola es una recta vertical que pasa por el 2 en el eje de las abscisas.

Ä (2, −36) es un punto mínimo

" = 2

$ > 0

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INTERSECCIÓN CON EJES COORDENADOS

La parábola puede intersectar con los ejes del plano cartesiano. Esto dependerá de los coeficientes asociados a la función cuadrática y al desarrollo de la ecuación de segundo grado.

INTERSECCIÓN CON EL EJE DE LAS ABSCISAS (ÑÖÑ E).

Esta intersección corresponde a las soluciones de la ecuación cuadrática asociada a la función respectiva.

Existe una expresión que nos sirve para "discriminar" o decidir qué tipo de soluciones o

“raíces” tendrá la ecuación cuadrática que queremos resolver, sin conocer los valores de las soluciones, es decir, antes de resolver la ecuación, para saber cómo serán sus soluciones (conjunto numérico al que pertenecen y si son valores iguales o distintos).

Esta expresión se denomina discriminante y se simboliza con

∆

^:

Dada la fórmula que nos permite encontrar los valores de x donde intersecta la curva, (serán

"_W y "_%):

" =−' ± '^%− 4$(

2$

Tenemos:

∆= '

^%

− 4$(

Dependiendo del valor que tome el discriminante será la naturaleza de las soluciones o

“raíces” de la ecuación cuadrática y las intersecciones que tendrá la función cuadrática asociada a esta ecuación:

- Si ∆ > 0, las soluciones o raíces serán distintas y, por lo tanto, habrá dos intersecciones con el eje x, las cuales serán los puntos "_W, 0 D "_%, 0 , provenientes de la fórmula.

- Si ∆ = 0, las soluciones o raíces serán iguales y habrá una sola intersección con el eje x, la cuál será ", 0 .

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- Si ∆ < 0, no tendrá soluciones reales y no habrá intersección.

Ejemplo:

Determina las intersecciones con el eje " de la función:

! " = "^%− 6" + 5

Debemos resolver la ecuación "^%− 6" + 5 = 0, que nos permitirá obtener las soluciones y encontrar los puntos de intersección.

1° Determinamos los valores de los coeficientes numéricos de los términos en

la ecuación cuadrática. h = y, i = −e F j = {

2° Reemplazamos los coeficientes $, ' y ( en la fórmula general.

E =−i± i^b− fhj

bh

E =−(−e) ± (−e)^b− f ∙y∙{

b ∙y

3° Resolvemos las operaciones dentro de la raíz.

E =e ± ge − bx

b

E =e ± ye

b

4° La expresión ya desarrollada nos lleva al valor de "_W y "_%, de acuerdo al signo

según la fórmula. E =e ± f

b 5° Desarrollamos cada ecuación para

obtener las raíces o soluciones.

E_y= e + f b E_y=yx

b

E_b= e − f b E_b= b

b

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E_y= {

E_b= y

Por lo tanto, la parábola que se asocia a la función cuadrática, intersecta al eje x en los puntos:

5,0 D (1,0)

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INTERSECCIÓN CON EL EJE DE LAS ORDENADAS (ÑÖÑ F).

La intersección con el eje de las ordenadas es más simple de obtener, ya que se asocia al coeficiente ( de la función cuadrática y es el punto (0, ().

Ejemplo:

Determina la intersección con el eje D de la función:

! " = "^%− 6" + 5 Como ( = 5, el punto de intersección con el eje D es (0,5).

Determina, para las funciones cuadráticas, los siguientes elementos:

1) Concavidad.

2) Vértice.

3) Eje de Simetría.

4) Intersección con el eje ".

5) Intersección con el eje D.

a) ! " = −"^%+ 6" − 9 b) !(") = −3"^%− " + 2 c) ! " = 2"^%+ 5" + 4

Práctica

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Aplica lo visto anteriormente para resolver un paso más de la siguiente actividad, cuyo contexto ya conocemos.

El lanzamiento de un proyectil se puede modelar con una función de tipo cuadrática, como la siguiente.

} ~ = −ye~^b + yff~

, donde } E corresponde a la altura alcanzada por el proyectil en metros y ~ corresponde al tiempo utilizado por el proyectil para alcanzar cierta altura en segundos.

¿Podrías determinar la altura máxima que podría alcanzar este proyectil?