Continuación del Tema 1: Matrices OPERACIONES CON MATRICES
Suma de matrices
Dadas las matrices A y B de orden mxn, su suma A + B es la matriz m x n calculada sumando los elementos correspondientes ( (A + B)[i, j] = A[i, j] + B[i, j] ). Es decir, sumar cada uno de los elementos homólogos de las matrices a sumar. Por ejemplo:
=
+−
12 9 - 1/3 -
10 7 - 6 3/4
- 0 1
4 1/2 - 3
Propiedades de la suma de matrices
. AsociativaDadas las matrices m x n A, B y C A + (B + C) = (A + B) + C
Conmutativa
Dadas las matrices m x n A y B A + B = B + A
Existencia de matriz cero o matriz nula A + 0 = 0 + A = A
Existencia de matriz opuesta con -A = [-aij]
A + (-A) = 0
Propiedades del Producto Escalar
Sean A y B matrices y c y d escalares.Clausura: Si A es matriz y c es escalar, entonces cA es matriz.
Asociatividad: (cd)A = c(dA) Elemento Neutro: 1·A = A Distributividad:
o De escalar: c(A+B) = cA+cB
o De matriz: (c+d)A = cA+dA Resuelve los siguientes ejemplos:
Sea
C - B ; 5 2
; 4
; C A
; :
3 6 1
6 - 4 1 C - 5 8 -
4 1
0 9 - B 7
6
9 8 -
4 2
t A A B
B A hallar A
− +
+
=
=
=
Producto de matrices
El producto de dos matrices se puede definir sólo si el número de columnas de la matriz izquierda es el mismo que el número de filas de la matriz derecha. Si A es una matriz m x n y B es una matriz n x p, entonces su producto matricial AB es la matriz m x p (m filas, p columnas) dada por:
para cada par i y j.
Por ejemplo:
El producto de dos matrices no es conmutativo, es decir, AB ≠ BA. La división entre matrices, es decir, la operación que podría producir el cociente A / B, no se encuentra definida. Sin embargo, existe el concepto de matriz inversa, sólo aplicable a las matrices cuadradas.
Propiedades del producto de matrices 1. A·(B·C) = (A·B)·C
2. El producto de matrices en general no es conmutativo.
3. Si A es una matriz cuadrada de orden n se tiene A·In = In·A = A.
4. Dada una matriz cuadrada A de orden n, no siempre existe otra matriz B tal que A·B = B·A = In. Si existe dicha matriz B, se dice que es la matriz inversa de A y se representa por A–1 .
5. El producto de matrices es distributivo respecto de la suma de matrices, es decir:
A·(B + C) = A·B + A·C División de matrices
Es el producto del numerador multiplicado por la matriz inversa del denominador, es decir A / B = A * B-1
DETERMINANTE DE UNA MATRIZ
22 21 22
21 a a a
a
Menor: Es el determinante de orden inmediato inferior que se obtiene eliminando la fila y la columna a la que pertenece el número.
Cofactor: Sea A una matriz m x n, el i-ésimo cofactor de A, se denota por:
Aij= (-1) i+j Mij
Solución de un determinante de tercer orden:
a) Regla de Sarrus: Solo es posible para determinantes de tercer orden y se obtiene agregando al determinante original las dos primeras filas o columnas y realizar el producto de las diagonales principales menos la diagonal secundaria.
A= Resuelvepor mediodelaregladeSarrus
4 2 1 -
3 2 4
2 5 3 B 3 0 1 -
4 2 3
1 1 - 2
=
b) Método de los menores: Determinante de orden inmediato inferior que se obtiene al suprimir la fila y la columna a que pertenece dicho elemento. Este elemento esta precedido por el signo + o – si la columna de los subíndices del elemento (fila y columna) se par o impar respectivamente.
Ejemplo: Resuelve los ejemplos anteriores por el método de los menores.
Ejemplo: hallar el valor del cofactor indicado de la matriz:
A=
7 2 0 4
2 - 9 5 1
3 0 4 2
6 5 3 - 1
hallar A32
Matriz Adjunta
:
Sea A una matriz m x n; sea B la matriz de sus cofactores, entonces la matriz adjunta de A, adj(A) es la traspuesta de la matriz BAdj A= Bt
Hallar la matriz adjunta de A=
7 5 3
1 - 1 0
3 4 2
Inversa de una matriz
La inversa de una matriz es 1 dividido por el determinante de dicha matriz mutiplicado por sus adjuntos transpuestos.
Si tenemos una matriz tal que det (A) ≠ 0, se verifica:
