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UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE YUCATÁN
FACULTAD DE MATEMÁTICAS
EXPLORACIÓN DE APRENDIZAJES MATEMÁTICOS EN UNA PRÁCTICA DE OPTIMIZACIÓN EN EL CONTEXTO DE LA INDUSTRIA
TESIS
PRESENTADA POR:
Maria Rosa Gorocica Titla
ASESORA DE TESIS:
M. en C. Landy Elena Sosa Moguel
EN OPCIÓN AL TÍTULO DE:
Licenciado en Enseñanza de las Matemáticas
Mérida, Yucatán, México
Agosto, 2012
INTRODUCCIÓN i-iii
CAPÍTULO 1. ANTECEDENTES DE LA INVESTIGACIÓN 1
1.1 Rendimiento académico y aprendizaje matemático escolar 1
1.2 Rediseño del discurso matemático escolar 8
1.3 Unidades didácticas basadas en la práctica de optimización 11
1.4 Pregunta de investigación 13
CAPITULO 2. MARCO TEÓRICO 15
2.1 Construcción de conocimiento y aprendizaje matemático. Una visión socioepistemológica
15
2.2 Prácticas y conocimiento matemático escolar 17
2.3 La práctica de optimización como medio de construcción de conocimiento 19
CAPITULO 3. METÓDO DE INVESTIGACIÓN 23
3.1 Socioepistemología: Sustento y método para el diseño didáctico 23
3.2 Indicadores para un diseño basado en prácticas 24
3.2.1 Determinación de indicadores epistemológicos 24
3.2.2 Determinación de indicadores cognitivos 32
3.2.3 Determinación de indicadores didácticos 34
3.3 Elaboración de un diseño basado en prácticas 41
3.4 Experimentación del diseño 45
3.4.1 Población 45
3.4.2 Implementación de las actividades de práctica 46
3.4.3 Análisis de los datos 46
CAPITULO 4. DATOS Y RESULTADOS 47
4.1 Análisis e interpretación de datos 48
4.2 Resultados de la práctica 91
CAPITULO 5. REFLEXIONES Y CONCLUSIONES 94
BIBLIOGRAFÍA 97
ANEXOS
1. PRÁCTICA MATEMÁTICA EN LA INDUSTRIA 2. TRATAMIENTO DE LA PRÁCTICA
i
El presente trabajo se circunscribe en el marco de un proyecto de investigación en la disciplina de la Matemática Educativa, desarrollado con el propósito de analizar y entender los factores que posibilitan la apropiación de conocimiento matemático en escenarios escolares, por medio del diseño y exploración del alcance de unidades didácticas para matemáticas basadas en la noción de práctica.
La práctica que constituyó el eje de diseño de actividades para tales unidades fue la optimización en diversos ámbitos: en la ciencia, la industria, en empresas de servicios y en la cotidianidad. Por tal motivo y con la intención de contribuir al propósito del proyecto, en este trabajo se diseñó y experimentó un conjunto de actividades para optimizar en un contexto de la industria de motocicletas. Dichas actividades componen lo que se ha denominado Práctica Matemática en la Industria.
Por ende, la cuestión que orientó el desarrollo de esta investigación fue ¿En qué medida los diseños basados en la práctica de optimización en el contexto de la industria favorecen aprendizajes matemáticos en jóvenes de bachillerato? Con los resultados se espera contribuir en el reconocimiento de condiciones para generar unidades didácticas que funcionen como medio en el rediseño de un discurso matemático escolar que favorezca prácticas educativas más eficientes en matemáticas.
La emergencia de medios didácticos para el desarrollo de procesos de aprendizaje matemático óptimos aunada a una reinterpretación de dicho aprendizaje como epistémico contextual, colocan en un plano visible la pertinencia de diseñar unidades didácticas en las que la práctica se constituya como eje transversal para la reorganización del contenido matemático y como medio de aprendizaje. Pues, como se ha postulado en diversas investigaciones en la línea de la construcción social del conocimiento matemático, la práctica representa un medio de generación conocimiento matemático en la realización de una actividad humana específica y en contextos donde los individuos estudian y establecen relaciones matemáticas para entender su entorno.
ii
eficiente, radica no solo en la obtención de indicadores objetivos y fundamentados de diseño para la organización y tratamiento de cierto saber(es) matemático(s) en torno a cierta práctica, sino en la misma complejidad que encierra la construcción de conocimiento matemático.
En ese sentido, esta investigación se sustenta en la teoría Socioepistemológica, pues en la exploración de los aprendizajes matemáticos se centra la atención en el contexto de aprendizaje y en la práctica, más que en los conceptos matemáticos. Asimismo, para diseñar y fundamentar el diseño se adopta el enfoque sistémico de esta teoría en tanto el análisis de las dimensiones epistemológicas, didácticas, cognitivas y socioculturales asociadas a la construcción de conocimiento matemático.
Con la práctica de optimización en el contexto de la industria de motocicletas y su puesta en escena escolar con jóvenes de bachillerato, se observaron aprendizajes matemáticos ligados a nociones como función lineal, inversa y composición de funciones, así como el desarrollo de habilidades tales como el establecimiento de relaciones matemáticas, la codificación y decodificación de información y modelación de lo variacional. La articulación de la práctica, la actividad humana y la matemática en un diseño socioepistemológico adquirieron especial importancia en la generación de dichos aprendizajes.
A continuación se describen los cinco capítulos que conforman el desarrollo del trabajo.
En el capítulo uno se presentan resultados de investigaciones que sustentan la pertinencia de realizar diseños basados en la práctica de optimización como una vía para generar aprendizajes matemáticos funcionales en escenarios escolares.
El capítulo dos corresponde al marco teórico y se exponen los constructos y tesis que muestran la pertinencia de adoptar a la Socioepistemología como sustento teórico en la investigación, así como referente metodológico para el diseño de la práctica.
iii
investigación y el diseño de la Práctica Matemática en la Industria. En éste se explica cómo se determinaron los indicadores de diseño de la práctica a partir de la exposición de los resultados del análisis socioepistemológico efectuado con relación al concepto función y la práctica de optimización. Además, se detalla la forma en que se realizó la experimentación de la práctica con jóvenes de bachillerato y se describen brevemente las consideraciones para el análisis de datos.
En el capítulo cuatro se muestran los resultados obtenidos de la implementación individual y grupal del diseño basado en la práctica de optimización en el contexto de la industria. Los resultados se exponen en función de la discusión del alcance de la práctica según su objetivo, del análisis de los conocimientos y habilidades matemáticas desarrolladas en la práctica por los jóvenes con relación a los aprendizajes matemáticos esperados, y de la validez de los indicadores de diseño en la práctica.
Por último, en el capítulo cinco se presentan las reflexiones y conclusiones que derivan de la investigación acerca del alcance de diseños didácticos basados en la noción de práctica, la propuesta de reorganización y tratamiento didáctico de saberes matemáticos en una práctica y la pertinencia de considerar indicadores epistemológicos, didáctico y cognitivo en el diseño de la práctica.
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CAPITULO 1
ANTECEDENTES DE LA INVESTIGACIÓN
1.1 Rendimiento académico y aprendizaje matemático escolar
En México, el rendimiento académico de los jóvenes de bachillerato ha seguido en los últimos años una tendencia hacia un bajo aprovechamiento del conocimiento matemático escolar, que pone en evidencia la ineficacia de su “aprendizaje” para lograr éxito en la resolución de problemas matemáticos, al tiempo que denota la desarticulación y falta de funcionalidad de dicho conocimiento para transferirlo a situaciones del ámbito no escolar, sea de la cotidianeidad o de la ciencia.
Los indicadores de tal rendimiento pueden corroborarse en los resultados de pruebas estandarizadas como ENLACE, donde en los últimos tres años entre el 81.2% y 75.3% de los estudiantes de bachillerato han mostrado un rendimiento en nivel insuficiente y elemental de habilidad matemática en la prueba. Esto significa que los jóvenes sólo han sido capaces de resolver problemas simples donde la tarea se presenta directamente, pero no son capaces de identificar la combinación de operaciones y procedimientos necesarios para resolver un problema, ni de realizar diferentes procedimientos matemáticos e integrarlos para resolver problemas de la vida real.
Lo anterior no se aleja de los resultados de la evaluación de competencias matemáticas en la prueba internacional PISA en el 2009, donde México obtuvo el lugar cuarenta y ocho de sesenta países evaluados en nivel de aprovechamiento escolar. Es decir, tanto en la valoración efectuada por un organismo nacional sobre conocimientos y habilidades matemáticas escolares, como la de un organismo internacional sobre competencias matemáticas, se muestra la necesidad de que en el bachillerato mexicano se fomenten aprendizajes matemáticos más funcionales en consonancia con un discurso matemático escolar más eficiente y acorde a la construcción de conocimiento matemático.
T e s i s e n e l m a r c o d e l p r o y e c t o P R O M E P 1 0 3 . 5 / 1 1 / 1 0 7 3 Página 2 Bajo ese panorama, en los últimos años se han realizado reformas en el currículo matemático en bachillerato, en las que se contempla enseñar matemáticas con un carácter funcional, mediante un enfoque de competencias, con el cual se pretende que el estudiante construya conocimientos y desarrolle habilidades que le sean de utilidad en su vida futura, de tal manera que se forme como una persona capaz de ser crítico de su realidad y de transformarla hacia un bienestar común. Este ha sido el denominador común en las reformas educativas, con ligeras variantes en la forma de establecerlo en los documentos oficiales (planes de estudios) en los distintos subsistemas de bachillerato. Por ejemplo, en la reforma Integral de bachillerato de 2008, se concibe a la matemática como la aplicación de la ciencia, es decir, como una matemática “enfrentada” con la realidad, con la intención de acercarla a la cultura de los individuos (Canché, 2007 citado en Pérez, 2011).
No obstante, la práctica de enseñanza de las matemáticas en el aula se guía por un discurso escolar basado en la preexistencia de conceptos matemáticos, su secuenciación lineal, acumulación de contenidos (definiciones, fórmulas, algoritmos, etc.) y con un lenguaje con alto dominio en la sintaxis algebraica, más no en la semántica ni pragmática, es decir, se hace patente la necesidad de generar contextos en el aula para que el estudiante analice situaciones, conjeture, argumente, desarrolle procedimientos y formas de razonamiento matemático y apoyen sus procesos de pensamiento. Dicho discurso connota desarticulación del contenido, falta de funcionalidad del conocimiento matemático escolar y de formas de construcción por parte del aprendiz (Mc Nair, 1999; O’Connor, 1999).
Un discurso matemático escolar como el antes descrito se corresponde con un marco de concepción del aprendizaje matemático como producto exclusivamente de la cognición, empero de carácter conductual. En contraposición con tal concepción, en diversas investigaciones en Matemática Educativa (Godino y Llinares, 2000; Crespo, 2009; Aparicio, Jarero, Sosa y Tuyub, 2010; Aparicio, López, Sosa y Torres, 2011) se ha verificado que, en particular, las experiencias, situaciones y procesos de socialización en una práctica o actividad humana, y los aspectos sociales y culturales en general, son parte inherente al aprendizaje de una persona; incluso la cognición es de carácter situado.
T e s i s e n e l m a r c o d e l p r o y e c t o P R O M E P 1 0 3 . 5 / 1 1 / 1 0 7 3 Página 3 Desde esta perspectiva de la cognición, la construcción de conocimientos matemáticos implica el entendimiento e internalización de los símbolos y signos de la cultura y grupo social al que se pertenece, a partir de la negociación mutua de significados y la construcción conjunta de los saberes. Esto es, un conocimiento situado es parte y producto de la actividad, el contexto y la cultura en que se desarrolla y utiliza (Díaz, 2003; citado en Sosa, Pérez y Aparicio, 2012).
El significado de un concepto se deriva del contexto en que está implicado. Por tanto, es el estatuto como útil lo que entra en juego. También se deriva de las relaciones desarrolladas en el contexto con otros conceptos en el mismo dominio matemático o no (Douady, 1991, p. 116; citado en Godino y Batanero, 1994).
Según Brown, Collins y Duguid (1989, p. 34), “el conocimiento queda referido a la situación de la que surge y en la que se usa, las situaciones co-producen el conocimiento por medio de la actividad. Así, se puede argumentar que el aprendizaje y la cognición son fundamentalmente situadas”.
Más que por el estatus como “útil” de un concepto, se reconoce que el significado de un concepto y el razonamiento matemático se manifiestan en el momento que un individuo logra establecer relaciones matemáticas a partir de articular sus experiencias con la situación o práctica que realiza en una actividad humana en un contexto específico. Esto es, cuando se establecen conexiones entre la cognición de un individuo y los aspectos socioculturales ligados al desarrollo de una actividad específica.
Por ejemplo, en Pérez (2011) se mostró que estudiantes de bachillerato fueron capaces de establecer relaciones funcionales a partir de la fijación y discusión de la variación en la resolución de una unidad didáctica basada en la práctica de modelación lineal, conforme incorporaron sus experiencias y conocimientos en el contexto de situaciones de variación y cambio. Cabe resaltar, que ellos no contaban con experiencias previas de modelación matemática ni de estudio del Precálculo. Esto puede constatarse en lo que sigue.
T e s i s e n e l m a r c o d e l p r o y e c t o P R O M E P 1 0 3 . 5 / 1 1 / 1 0 7 3 Página 4 En la actividad que consistió en decidir entre dos compañías telefónicas cuál ofrece mejor costo del servicio por cierta cantidad de llamadas, por medio de la generación de estrategias y modelos matemáticos para calcular costos a partir de datos numéricos, los estudiantes identificaron y establecieron relaciones entre variables (costo del servicio y cantidad de llamadas).
Respuestas de los estudiantes en el reconocimiento de variables y establecimiento de una relación de lo que cambia (variable dependiente) con respecto a aquello que cambia (variable independiente):
¿Qué cambia en la situación?
La cantidad a pagar El costo de las llamadas
En que por las mismas llamadas el precio no es el mismo
¿Respecto a qué cambia aquello que cambia?
Cantidad de llamadas
El costo por renta y por llamada
La cantidad a pagar respecto a la cantidad de llamadas El costo con respecto al número de llamadas
Cuadro 1 . 1 Respuestas de los estudiantes en la Actividad: Costos de un servicio o producto, Tareas 1 y 2 (Pérez, 2011)
Aun cuando en los datos proporcionados en la actividad no se hacía referencia a la renta del servicio ni que hubiese un costo específico por llamada, con base en su experiencia ellos reconocieron tales condiciones en la situación, estableciendo con ello una relación lineal entre variables y fueron capaces de representarla con modelos matemáticos.
T e s i s e n e l m a r c o d e l p r o y e c t o P R O M E P 1 0 3 . 5 / 1 1 / 1 0 7 3 Página 5 Equipo 2 - Tarea 3
“La compañía B (le conviene) porque cada llamada cuesta $. 50 más la renta que son 100 y al llegar a las 100 llamadas de los dos se comparan los precios y es más barato la compañía B”
Equipo 2 - Tarea 5
Imagen 1.1Respuesta del Equipo 2 - Actividad: Costos de un servicio o producto (Pérez, 2011) Se concluye en ese trabajo que tanto la práctica de modelación lineal como el papel de las experiencias previas de los estudiantes en cada actividad, dieron la pauta para que ellos movilicen recursos matemáticos y atribuyeran significados a nociones matemáticas (variación contante, función), así como a las componentes de los modelos matemáticos que proporcionaron, de tal manera que al variar una condición en la situación, ellos lo tradujeron en su modelo.
Por su parte, López (2011) evidencia que el tipo de tareas (extra o intra matemáticas) en una práctica es la que rige el pensamiento y la forma de proceder del individuo, y que en su ejecución los estudiantes recurren sus experiencias. Una muestra de esto se observó en la tarea que consistía en establecer relaciones entre magnitudes, por ejemplo:
T e s i s e n e l m a r c o d e l p r o y e c t o P R O M E P 1 0 3 . 5 / 1 1 / 1 0 7 3 Página 6 Relación entre
variables Justificación
Distancia – Tiempo Para llegar a un sitio hay una distancia que recorrer por lo que hay un tiempo que se toma para recorrer dicha distancia
Pienso que la distancia y el tiempo están muy unidos pues para tener una distancia tenemos que recorrer un camino y eso implica tiempo
Distancia se relaciona con el tiempo porque distancia/tiempo=velocidad Presión-Tiempo La presión muchas veces es causa del tiempo que dan para elaborar algún
trabajo
A veces con la presión utilizamos menos tiempo para realizar ciertas cosas o dependiendo de la presión de algo es el tiempo que se utiliza algo
Mientras más te sientas presionado, más ansiedad tienes de ver el tiempo (la hora
Área – Volumen Es la unidad de medición y es una de las que se toman en cuenta para saber el espacio que ocupa un cuerpo
Área se relaciona con volumen porque ambas se usan en geometría Área – Longitud Porque para conocer el área debemos tener en cuenta la longitud
Por medio de la longitud se puede hallar el área
Tabla 1.1 Respuestas del Bloque 1 – Tarea: Relacionar magnitudes (López, 2011)
De modo que, dicha tarea la ejecutaron con base en los conocimientos previos de cursos escolares (por ejemplo, de Geometría al recordar los términos área y volumen en la medición del espacio de un cuerpo), en experiencias de su entorno social o en vivencias personales.
Por lo observado en la respuesta de los estudiantes en esa y otras tareas de establecimiento de relaciones funcionales que fueron experimentadas, en López (2011) se obtuvo como resultado que los pensamientos matemáticos de los estudiantes no son del dominio exclusivo de la matemática misma o cognición pura, de hecho sus tareas o actividades de índole matemático pasan por un medio contextual en el que se entrelaza lo cognitivo con lo social.
T e s i s e n e l m a r c o d e l p r o y e c t o P R O M E P 1 0 3 . 5 / 1 1 / 1 0 7 3 Página 7 Así, puede decirse que el aprendizaje y pensamiento matemático dependen del contexto1 en que se sitúa una persona. Más aun en este trabajo de investigación se reconoce que el aprendizaje tiene un carácter epistémico-conceptual, esto es:
El aprendizaje matemático es un proceso perneado por aspectos socioculturales que se entrelazan en forma sistemática con la cognición y con la posibilidad de establecer relaciones matemáticas, a partir de las cuales las personas logran conocer o poseer un conocimiento (Aparicio, Jarero y Sosa, 2011).
Sin embargo, los objetivos expuestos en las reformas curriculares de matemáticas en bachillerato respecto a la funcionalidad de los saberes matemáticos como herramienta para la resolución de problemas sociales en distintos contextos (cotidianos, científicos o profesionales) se disipan en la práctica y realidad en el aula; asimismo se soslayan los aspectos socioculturales ligados a la construcción de conocimiento matemático. Por tanto, se prevé la conveniencia y pertinencia de transformar el discurso escolar considerando no solo los aspectos que atañen meramente a la cognición de los estudiantes, sino también aquellos que posibiliten la incorporación de sus experiencias y den sentido a su práctica matemática en el estudio de relaciones matemáticas en situaciones específicas para favorecer el desarrollo de conocimiento y formas de pensamiento matemático.
Los resultados de investigaciones como las de (Aparicio y Torres, 2010; López y Sosa, 2011;
López, 2011; Pérez, 2011) apoyan la idea de concebir el aprendizaje matemático desde una perspectiva contextual, en la cual se considera que dicho aprendizaje se adquiere por un proceso mental del individuo que es influenciado por el contexto en que se desarrolla, es decir, los aprendizajes matemáticos se construyen o desarrollan por el individuo entrelazándose con aspectos socioculturales. Además, se resalta en éstos la pertinencia de reestructurar el discurso matemático escolar con un enfoque de prácticas.
1 Se entiende por contexto al conjunto de condiciones y circunstancias en las que física o simbólicamente se sitúa un hecho o persona, asimismo, supone la especificidad de los fenómenos o situaciones, pues éstos han de combinarse de manera única e irrepetible para tener influencia en lo que él acontece (Aparicio, Sosa, Jarero y Tuyub, 2010)
T e s i s e n e l m a r c o d e l p r o y e c t o P R O M E P 1 0 3 . 5 / 1 1 / 1 0 7 3 Página 8
1.2 Rediseño del discurso matemático escolar
Reinterpretar el aprendizaje matemático escolar en su acepción epistémica-conceptual conlleva un replanteamiento o rediseño del discurso matemático escolar. En Aparicio, Jarero, Ordaz y Sosa (2009) se hizo notar la necesidad de su reestructuración considerando aspectos que le den un carácter social a la matemática, de manera que su enseñanza no se centre solamente en los objetos matemáticos, y dejando ver la emergencia de reorientar el discurso matemático escolar en dos direcciones:
i. Reorganizar los contenidos curriculares, considerando la realidad en el contexto de los estudiantes y la posibilidad de transferir conocimientos entre disciplinas;
ii. Incorporar estrategias didácticas que favorezcan la realización por parte de los estudiantes, de prácticas empíricas y actividades de modelación matemática, que integren la utilidad y funcionalidad de la matemática con lo social, científico y tecnológico.
Este marco nos llama a la reflexión sobre los siguientes cuestionamientos ¿Cómo rediseñar el discurso matemático escolar en esa dirección? ¿Cómo organizar el conocimiento matemático escolar para el desarrollo de procesos de aprendizaje óptimos?
En Matemática Educativa, en investigaciones sobre la construcción social del conocimiento matemático desde una perspectiva socioepistemológica (Aparicio, Sosa, Jarero y Tuyub, 2010; Sosa, Aparicio y Pérez, 2011; Chan, 2011; López, 2011; Pérez, 2011) se ha concluido y corroborado que el conocimiento es producto de un aprendizaje, derivándose este de un proceso eminentemente social, y que los significados tanto de los conceptos como de las tareas matemáticas que desarrollan estudiantes en la realización de una práctica (matemática) dependen de sus experiencias y el contexto de la actividad.
En ese sentido se ha convenido la pertinencia de reorganizar y reestructurar el currículo matemático a partir de un discurso escolar que favorezca la articulación de la matemática, la práctica matemática y la actividad humana, en un escenario en el que pernee la dimensión
T e s i s e n e l m a r c o d e l p r o y e c t o P R O M E P 1 0 3 . 5 / 1 1 / 1 0 7 3 Página 9 social de la matemática. En Matemática Educativa se ha evidenciado (Buendía y Cordero, 2005; López, 2010; Moguel, 2011; Torres, 2010; Aparicio, López, Sosa y Torres, 2011; Pérez, 2011) que es posible crear tales escenarios a partir de diseños de actividades basados en prácticas como la modelación, predicción y optimización de situaciones o fenómenos, donde los estudiantes han desarrollado recursos y habilidades matemáticas al tiempo que construyen su conocimiento.
Al respecto, en López y Sosa (2010) se reporta cómo a partir de la predicción en una situación variacional (predicción de estados ulteriores en el movimiento de partículas), se cambia el escenario de la actividad humana y matemática de estudiantes de diferentes niveles educativos, coadyuvando a la movilización de recursos matemáticos tales como:
cuantificación de cambios, el análisis de variaciones, establecimiento de supuestos, comparación de estados, generación de conjeturas, estudio de comportamientos puntuales y globales en tablas y gráficas, establecimiento de códigos que le permitan transitar entre diferentes registros de representación, etc.; y no matemáticos (por ejemplo, la argumentación gestual y discursiva). Con base en sus ideas intuitivas y en conjunción con su actividad, los jóvenes pusieron de manifiesto que, a la par del empleo de recursos y habilidades matemáticas, otorgaron significados a nociones matemáticas como cambio, variación, derivada y convergencia.
Otra investigación en que se señala a la práctica de predicción como generadora de conocimiento es la de Torres (2010), en la que se propone rediseñar el discurso matemático escolar incorporando un tratamiento temprano sobre la noción de predicción, pues se considera que con ésta se puede lograr generar un puente mediante el cual los estudiantes logren transferir sus conocimientos (matemáticos) a diferentes circunstancias en diversos escenarios.
En la práctica predictiva de comportamientos gráficos de funciones, en Torres y Aparicio (2010), se hace notar cómo en la actividad humana se generan producciones de orden sociocultural que pueden llevar al estudiante a realizar actividades matemáticas como medir, identificar variables, cuantificar cambios, establecer relaciones, etc., las cuales están ligadas a
T e s i s e n e l m a r c o d e l p r o y e c t o P R O M E P 1 0 3 . 5 / 1 1 / 1 0 7 3 Página 10 nociones y conceptos matemáticos. Las producciones de los estudiantes quedaron enmarcadas en su discurso, en el que se manifestaron procesos de orden social como el esto, el cual forma parte de la comunicación cultural y sirvió de enlace entre los significados y la comunicación de las sensaciones, nociones e imágenes internas.
En ámbitos no escolares, la matemática se constituye en un conocimiento funcional ante la necesidad de realizar una actividad humana para resolver un problema en una situación específica, por ejemplo, en el contexto de prácticas como la optimización (Tuyub, 2008;
Cetina, 2011), donde actividades humanas como la toma de decisiones se convierten en la razón de uso o construcción de conocimiento matemático como argumento para legitimar y validar un resultado. Por ejemplo, en Cetina (2011) se muestra cómo en la optimización de las condiciones del sistema de cultivo con mayor factibilidad de cierta especie de alga marina en una localidad costera de Yucatán, en el quehacer de biólogos marinos, se generan modelos gráficos que representan la variación exponencial en el crecimiento de algas marinas, los cuales adquieren significado en el contexto de la práctica y se usan como argumento para validar la elección del cultivo de cierta alga según su rendimiento.
En el contexto de una práctica (social), “la actividad humana se constituye como un conjunto de acciones que dan sentido y permiten la resignificación de saberes matemáticos al momento de entender, explicar o resolver situaciones o necesidades de orden social (incluyendo lo matemático)” (Aparicio, López, Sosa y Torres, 2011, p. 72).
Así, como parte de un estudio experimental para el diseño de unidades didácticas en matemáticas para bachillerato y bajo un enfoque centrado en la noción de práctica2, se pretende obtener información sobre procesos de diseño de actividades que privilegien el desarrollo de experiencias y tareas específicas ligadas a la construcción de saberes matemáticos en jóvenes de bachillerato. La idea en tal estudio es apoyarse en las actividades humanas de exploración y significación progresiva para conformar un cuerpo de
2 Se reconoce como práctica a las actividades humanas que posibilitan la construcción de conocimiento matemático en los usos de conocimiento y quehacer de una comunidad para resolver una situación o problema en un contexto específico.
T e s i s e n e l m a r c o d e l p r o y e c t o P R O M E P 1 0 3 . 5 / 1 1 / 1 0 7 3 Página 11 conocimientos escolares esenciales para la vida de los estudiantes. Tales formas de significar los “objetos” matemáticos permiten diversificar el funcionamiento de los procesos mentales y con ello, la posibilidad de búsqueda de situaciones de aprendizaje mejor adaptadas a los procesos de construcción de conocimiento.
Por tanto, se concibe a la práctica cómo generadora de conocimiento matemático y como el medio que permitirá al estudiante emplearlo como un conocimiento funcional otorgándole sentido y significado (Farfán y Lestón, 2009; citado en Torres, 2010). En esta dirección resulta pertinente también reestructurar los componentes del discurso escolar en matemáticas por medio de actividades de aprendizaje o unidades didácticas basadas en la noción de práctica.
1.3 Unidades didácticas basadas en la práctica de optimización
El reestructurar el discurso matemático escolar con eje en prácticas determina también la necesidad de medios y recursos didácticos en los que tanto el profesor como los estudiantes participen en un proceso compartido en torno a la construcción de conocimiento matemático; las unidades didácticas componen un medio con tal característica. Una unidad didáctica es toda unidad de trabajo que organiza un conjunto de actividades de enseñanza y aprendizaje para la consecución de objetivos didácticos, que responde en su máximo nivel de concreción a los componentes del currículo: objetivos y contenidos, secuencias ordenadas de actividades y contenidos, actividades, organización del espacio y del tiempo, materiales didácticos, criterios e instrumentos de evaluación (MEC, 1987, 1992 e Ibañez, 1992; citados en Díez, sf).
En la investigación de Pérez (2011), se muestra cómo la reorganización y tratamiento del contenido matemático de Precálculo en unidades didácticas basadas en la práctica de modelación de lo variacional, provee condiciones para que los estudiantes relacionen sus experiencias con situaciones en que se deja ver la función de la matemática en ámbitos de la física y compañías de servicios, otorgándole significado a conceptos matemáticos como función lineal, así como a su práctica matemática.
T e s i s e n e l m a r c o d e l p r o y e c t o P R O M E P 1 0 3 . 5 / 1 1 / 1 0 7 3 Página 12 En el presente trabajo se parte de la premisa que la organización y tratamiento de contenido matemático en unidades didácticas basadas en prácticas, posibilita que los estudiantes construyan conocimiento matemático, relacionando situaciones con la matemática a través de sus experiencias y realizando actividades humanas en contextos donde se hace presente el carácter tanto social como funcional de la matemática. Siendo así, se validarán los indicadores de diseño y explorarán los alcances de un conjunto de actividades basadas en la práctica de optimización en una industria, que conforman el diseño didáctico denominado Práctica matemática en la industria.
La práctica de optimización se reconoce no sólo como un medio para la transferencia del conocimiento científico al escolar, sino como una actividad humana que en un contexto específico favorece la constitución y funcionalidad del conocimiento matemático; lo cual conlleva una visión escolar de la matemática como ciencia funcional. La optimización en el quehacer científico rige en gran medida la movilización de conocimientos y recursos matemáticos como herramienta para realizar procesos propios de las disciplinas científicas, resolver problemas, tomar decisiones, legitimar y validar resultados.
Por ejemplo, en Tuyub (2010) se puede observar cómo la optimización (economizar tiempo, esfuerzo, recursos sin perder la calidad y certeza de sus datos) es una práctica clave en la modificación de un protocolo y realización de la práctica de un toxicólogo que consiste en obtener DNA en tejidos animales a partir de un protocolo de referencia, influyendo también en su práctica sus experiencias, conocimientos, creencias, concepciones, sentido común y socialización de resultados. En dicha práctica adquiere sentido y funcionalidad el conocimiento matemático como el relativo a funciones de varias variables, que emerge en el contexto de la práctica misma.
El sentido funcional que adquieren los conocimientos matemáticos cuando se usan como medio para resolver una actividad humana, da pauta a pensar que se deben incluir en el aula diseños de aprendizaje basados en prácticas análogas o similares a las del quehacer científico, no solo como una manera de relacionar el conocimiento de la matemática con el de otras disciplinas, sino como una forma de generar aprendizajes.
T e s i s e n e l m a r c o d e l p r o y e c t o P R O M E P 1 0 3 . 5 / 1 1 / 1 0 7 3 Página 13 En un sentido distinto al que la caracteriza en el quehacer científico y con una connotación estrictamente matemática, la optimización en la escuela guarda un estatus como herramienta para maximizar o minimizar valores y magnitudes por medio de técnicas matemáticas predefinidas, esto es, como una aplicación de la matemática (véanse los ejemplos del capítulo tres). En cambio, por lo documentado respecto a las prácticas científicas, en este trabajo se concibe a la optimización como una práctica de naturaleza social que consiste en determinar las condiciones óptimas para la realización de procesos y maximización de recursos, que responde a una necesidad social de entender, explicar o tomar decisiones en una situación específica.
Por ende, en esta investigación se explorará, en un escenario escolar, un diseño basado en la práctica de optimización en contextos de la industria, esto es, en la práctica de determinar las condiciones óptimas (eficiencia en tiempo, recursos, espacio, medidas, valores, diseño de productos, etc.) para la ejecución de procesos, soluciones y elaboración de productos en el ámbito industrial.
1.4 Pregunta de investigación
La pertinencia de reestructurar el discurso matemático escolar basado en prácticas, se apoya en la idea de considerar a la matemática como resultado de una actividad humana y al aprendizaje como un proceso social de los individuos. Con tal enfoque se asume que se ampliarán las posibilidades de que sea el propio estudiante quien otorgué sentido y significado a sus conocimientos y práctica matemática, en pro de favorecer aprendizajes matemáticos con un carácter funcional y social.
Desde esta perspectiva resulta importante elaborar diseños de unidades didácticas que permitan construir y usar la matemática como una herramienta para entender y explicar los fenómenos, situaciones y procesos como los que tienen lugar en ámbitos de la ciencia, la vida cotidiana, las empresas de servicios y la industria. Por ende, con fundamento socioepistemológico, en esta investigación se diseñó una práctica matemática de
T e s i s e n e l m a r c o d e l p r o y e c t o P R O M E P 1 0 3 . 5 / 1 1 / 1 0 7 3 Página 14 optimización en la industria de motocicletas en las que subyacen conocimientos matemáticos asociados al concepto función (lineal, inversa y composición de funciones).
Con la experimentación de la Práctica matemática en la industria con estudiantes de bachillerato se provee información respecto al alcance del diseño en la construcción de conocimiento matemático y sobre la validación de aquellos indicadores de diseño que se consideraron ampliarían la posibilidad de éxito de la práctica. En ese sentido, nos cuestionamos ¿En qué medida diseños basados en la práctica de optimización en el contexto de la industria favorecen aprendizajes matemáticos en jóvenes de bachillerato?
Se espera que dicha información permita evidenciar la construcción de saberes matemáticos escolares cuando se organizan y estudian a través de prácticas como la optimización, e identificar aquellos aspectos en la práctica que favorecen la apropiación de conocimiento matemático, así como sus alcances y/o limitaciones.
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CAPÍTULO 2 MARCO TEÓRICO
La presente investigación se enmarca en la Teoría Socioepistemológica o de epistemología de las prácticas relativas a cierto saber para el examen de la construcción social de conocimiento matemático. Asimismo, la fundamentación del diseño de la Práctica matemática en la industria y el análisis de resultados se basó en la Socioepistemología, a partir del análisis sistémico de los aspectos epistemológicos, sociales, cognitivos y didácticos asociados al conocimiento matemático que subyace en las unidades.
2.1 Construcción de conocimiento y aprendizaje matemático. Una visión socioepistemológica
La investigación se sustenta en la teoría socioepistemológica para el estudio de los fenómenos de producción y difusión de conocimiento matemático, que centra la atención en las prácticas generadoras de tal conocimiento más que en los objetos matemáticos, enfatizando el papel que desempeñan las herramientas, los contextos y las prácticas (Cantoral, Farfán, Lezama y Martínez, 2006).
Respecto a la construcción (social) del conocimiento matemático, la noción de contexto adquiere especial importancia, pues de la interpretación de las prácticas que ejercen y las construcciones que hacen determinados grupos sociales se concluye que no están determinadas fuera de su existencia y no son unívocas, por el contrario, “es en contextos sociales específicos donde se brinda un abanico de posibilidades de construcciones, si bien variado, restringido”, es decir, el contexto social es una totalidad que da significado a las partes (Arrieta, 2003).
T e s i s e n e l m a r c o d e l p r o y e c t o P R O M E P 1 0 3 . 5 / 1 1 / 1 0 7 3 Página 16 Así, con esta teoría se analizan los procesos de construcción y organización del conocimiento matemático a partir del análisis de los contextos y prácticas específicas de las comunidades sociales, pues se asume que los seres humanos utilizan sistemas de razón contextualizada, es decir, su pensamiento y aprendizaje obedecen al contexto donde se desarrollan (Cantoral, 2009; citado en Aparicio, Jarero, Sosa y Tuyub, 2010).
Por lo anterior, con base en una perspectiva socioepistemológica, se considera que el conocimiento que se produce en la sociedad se construye bajo un contexto específico, esto es, en el conjunto de condiciones y circunstancias en las que física o simbólicamente se sitúa un hecho o persona, el cual supone la especificidad de los fenómenos o situaciones, pues éstos han de combinarse de manera única e irrepetible para tener influencia en lo que él acontece. Dicho así, el contexto influye en las formas de pensar, aprender y actuar de los individuos de una comunidad (Aparicio, Jarero, Sosa y Tuyub, 2010).
En particular, respecto al aprendizaje matemático, se ha evidenciado en diversas investigaciones (Véanse Chan, 2011; López, 2011 y Pérez, 2011) que dicho aprendizaje es un proceso relacional epistémico contextual. Esto es, las nociones matemáticas se desarrollarán y constituirán como un conocimiento en los individuos, solo hasta que estas aparezcan como resultado de estudiar y establecer en forma sistémica, un conjunto de relaciones en diversidad de contextos (Aparicio, Jarero y Sosa, 2011).
Por tanto, se considera que el aprendizaje escolar ha de ser contextual, es decir, los estudiantes deberán movilizar su cognición en función de los contextos en los que se ubiquen, donde la relación sujeto-objeto viene determinada por el contexto mismo de dicha relación.
Por ello, se concibe que para un rediseño del discurso matemático escolar por medio de diseños basados en prácticas se debe necesariamente considerar las variables de contexto, así como tener en cuenta que el desarrollo de los procesos cognitivos asociados a razonamientos matemáticos en un individuo guardan una estrecha relación con la naturaleza de las actividades y las condiciones socio-culturales en las que él se sitúa, las cuales tienen un papel determinante en lo que piensa y hace.
T e s i s e n e l m a r c o d e l p r o y e c t o P R O M E P 1 0 3 . 5 / 1 1 / 1 0 7 3 Página 17 De modo que, la realización de diseños basados en prácticas se sustenta en la interpretación del aprendizaje matemático como un proceso perneado por aspectos socioculturales que se entrelazan en forma sistémica con la cognición y con la posibilidad de establecer relaciones matemáticas, a partir de las cuales las personas logran conocer o poseer un conocimiento (Aparicio, Jarero y Sosa, 2011).
2.2 Prácticas y conocimiento matemático escolar
En la socioepistemología se reconoce a la matemática no como un saber fijo y preestablecido, sino como un conocimiento con significados propios que se construyen y reconstruyen en el contexto mismo de la práctica que realiza el hombre (Arrieta, Buendía, Ferrari, Martínez y Suárez, 2004).
A manera de ejemplo, Minguer (2005) revela que tanto los conceptos como los procesos asociados a nociones de cambio y variación fueron construidos en su época con motivaciones que van más allá de la matemática pura, como pueden ser: prácticas humanas, procesos de comunicación y construcción de consensos, articulación del conocimiento científico a reclamos sociales y a basamentos filosóficos de la época.
En esta teoría se parte entonces del supuesto de que las prácticas sociales son generadoras de conocimiento y se caracteriza a la noción de práctica social como aquella práctica de naturaleza social asociada a nociones o conceptos matemáticos (escolares o no) que es poseedora de mecanismos o procesos de construcción de conocimiento matemático.
Según Arrieta (2003), el concepto de “práctica” connota hacer algo pero no simplemente hacer algo en sí mismo y por sí mismo; es algo que en un contexto histórico y social otorga una estructura y un significado a lo que hacemos. En ese sentido, la práctica es siempre una práctica social. La principal característica de ésta reside en la normatividad, esto es, en los aspectos que hacen a hacer las personas lo que hacen y no propiamente lo que hacen (Covián y Cantoral, 2005; citado en Aparicio y Sosa, 2009).
T e s i s e n e l m a r c o d e l p r o y e c t o P R O M E P 1 0 3 . 5 / 1 1 / 1 0 7 3 Página 18 En cuanto a las prácticas como generadoras de conocimiento matemático, esto también ha podido verificarse en lo escolar. Por ejemplo, en Buendía (2006) se reporta cómo la práctica de predicción se transforma en el argumento que a través de significados y procedimientos situacionales propicia una reconstrucción de significados acerca de lo periódico. Se obtuvo que ellos fueron capaces de emplear lo periódico en el análisis de gráficas para poder predecir comportamientos posteriores respecto al movimiento de un objeto, e identificaron que existían distintas formas de repetición de tal movimiento, siendo la periodicidad uno de estos.
Así, las prácticas rigen la construcción de conocimiento matemático determinando la matemática que se produce como un medio o argumento para resolver la práctica, permitiendo a su vez, dotar de significado a dicho conocimiento. Empero, el contexto resulta ser una componente inseparable de las prácticas, porque incide en la forma en que los estudiantes llevan a cabo las actividades y, por consiguiente, también en la construcción de conocimiento matemático (Pérez, 2011).
Por lo antes mencionado, desde una perspectiva Socioepistemológica, la organización de saberes matemáticos en textos y la construcción escolar de conocimiento matemático comportará el uso de verbos como predecir, argumentar, gesticular, estabilizar y acumular, las cuales representan prácticas vinculadas al uso social y funcionalidad de la matemática (Cantoral, 2004).
En un sentido estricto, no podría hablarse de prácticas sociales en la construcción escolar de conocimiento matemático, por el carácter normativo de dichas prácticas. No obstante, en el marco de un estudio sobre el papel de los contextos en el aprendizaje matemático, nos referiremos a la noción de práctica en ámbitos escolares y profesionales como aquellas actividades humanas que posibilitan la construcción de conocimiento matemático en los usos de conocimiento y quehacer de una comunidad para resolver una situación o problema en un contexto específico (Aparicio, Sosa y Jarero, 2011).
T e s i s e n e l m a r c o d e l p r o y e c t o P R O M E P 1 0 3 . 5 / 1 1 / 1 0 7 3 Página 19 Por lo anterior, en la presente investigación se exploran los alcances, en cuanto a la construcción de conocimiento matemático, de un diseño basado en cierta práctica: la optimización.
2.3 La práctica de optimización como medio de construcción de conocimiento
En el quehacer científico, el desarrollo de la práctica de optimización ha posibilitado la movilización y uso de conocimiento matemático, mostrando la funcionalidad de dicho conocimiento a propósito de la realización de una actividad humana de naturaleza social, por ejemplo, decidir, validar un resultado o resolver un problema. Como resultado de dicha práctica se ha producido conocimiento en distintas comunidades científicas. En ese sentido, se reconoce a la práctica de optimización como medio de construcción de conocimiento.
Lo anterior puede mirarse en investigaciones en Matemática Educativa (García-Torres y Cantoral, 2009; Tuyub, 2008; y Cetina, 2011) que han tomado como objeto de estudio el uso y construcción de conocimiento en torno a una práctica científica. Así, es posible identificar en el quehacer científico de ingenieros biomédicos que por medio de la optimización se moviliza conocimiento matemático (gráficas de funciones). En efecto, pues se ha documentado (véase García-Torres, 2008) que ellos desarrollan una práctica que consiste en determinar las condiciones óptimas en el desarrollo y caracterización de cerámicas (ferroeléctricas) con innovación (implante en ellas de un alambre de platino) que se emplearían como instrumento quirúrgico, en la cual usan conocimiento matemático en la comparación de una gráfica testigo (curva que se obtiene de la cerámica sin implante) y las gráficas implante (experimentales), a fin de tomar decisiones sobre las condiciones óptimas de temperatura en el diseño de las cerámicas.
T e s i s e n e l m a r c o d e l p r o y e c t o P R O M E P 1 0 3 . 5 / 1 1 / 1 0 7 3 Página 20 Imagen 2.1 representa un máximo o un punto de inflexión: Punto de temperatura a partir del cual
la cerámica pierde unas propiedades ferroeléctricas (García-Torres y Cantoral, 2009)
También, en Cetina (2011) se evidencia la generación de conocimiento en una comunidad de Biología Marina, a partir de un proceso que es regido por la práctica de optimización, tanto al interior de su disciplina (por ejemplo, en el establecimiento de condiciones ambientales para obtener un mayor crecimiento de las algas en menor tiempo) y al exterior de ésta (búsqueda de condiciones que permitirían minimizar los costos de producción de materias primas y de importación de productos derivados de algas).
En dicha práctica el conocimiento matemático emerge y se usa como argumento para responder a cuestiones sociales (explicar, comunicar, decidir), es decir, surge en el contexto de una actividad humana en la práctica, no se desarrolla de y para la matemática. Una muestra de ello es cuando se usa un modelo gráfico exponencial (matemática como argumento) en la descripción del proceso de crecimiento de una especie de alga marina para predecir un estado ulterior (Imagen 2.2). El argumento giraba en torno a la búsqueda de una explicación con respecto a la variación que presenta el comportamiento del crecimiento de la especie de alga, es decir, si corresponde a un crecimiento rápido, constante o muy lento. El científico con base en sus experiencias y análisis de la variación logarítmica, determina el alga con mayor rendimiento en su crecimiento y las condiciones para su cultivo.
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Días en cultivación
Imagen 2.2. Curvas exponenciales de crecimiento de cierta alga en 30 días de cultivo (Cetina, 2011)
Por tanto, en la práctica de optimizar por parte de los biólogos marinos, no solo se constituye conocimiento en su disciplina, sino que la matemática adquiere significación y funcionalidad en el contexto de la práctica.
Por lo antes expuesto, en investigaciones como la de Cetina (2011), el lector puede percatarse de la forma de la matemática como argumento para tomar decisiones, validar o legitimar un resultado en la práctica científica, poniendo de manifiesto de esta manera la dimensión social de la matemática y contextos donde se torna funcional.
Asimismo, se coincide con Tuyub (2010) al afirmar que la optimización es una actividad humana que está regida por una lógica social en la búsqueda de la solución de una situación o necesidad, permitiendo al individuo utilizar la matemática como medio para la toma de decisiones. Tal lógica se basa en las creencias, concepciones, el sentido común, la experiencia, la socialización, entre otros aspectos socioculturales.
En el trabajo de Tuyub, lo anterior se detectó en el seguimiento de la definición de un nuevo protocolo en Toxicología en el subyace el uso de conocimiento matemático (gráficas y análisis de funciones de más de una variable). En este proceso los toxicólogos optimizan (economiza tiempo, esfuerzo, recursos sin perder la calidad y certeza de sus datos) con la intención de estandarizar (tener resultados constantes, sin importar quién realice la técnica por medio de los pasos de su protocolo). La práctica se modifica mediante el ajuste de variables, los cuales realizan con base en sus conocimientos, el sentido común, el intercambio de opiniones entre colegas, la experiencia, etc.
T e s i s e n e l m a r c o d e l p r o y e c t o P R O M E P 1 0 3 . 5 / 1 1 / 1 0 7 3 Página 22 Con base en lo reportado en las investigaciones antes citadas, se entiende por optimizar aquella práctica que consiste en determinar las condiciones óptimas (eficiencia en tiempo, recursos, espacio, medidas, valores, diseño de productos, etc.) para la ejecución de procesos y elaboración de productos en cierto ámbito y que, según Tuyub (2008) y Cetina (2011), está sujeta a condiciones socioculturales tales como las creencias, concepciones, interrelación personal y experiencias de las personas que intervienen en la realización de dicha práctica.
Como se evidencia en esas investigaciones las condiciones socioculturales en particular y el contexto de la práctica, en general, determinan los usos y significados de la matemática que subyace en la práctica de optimizar.
Nótese que, a diferencia de la práctica escolar, el optimizar en la ciencia responde a requerimientos sociales de una comunidad, por ejemplo, una necesidad social, buscar y generar explicaciones de una situación o tomar decisiones. Es bajo condiciones como ésta, que la matemática adquiere un estatus funcional. Por el contrario, en la escuela la optimización juega el papel de herramienta para maximizar o minimizar, por medio de técnicas ya definidas, es decir, como aplicación de la matemática, tal como se ejemplificará en el capítulo siguiente.
Así, la práctica de optimización se reconoce no sólo como un medio para la transferencia del conocimiento científico al escolar, sino como una actividad humana que en un contexto específico favorece la constitución y funcionalidad del conocimiento matemático; lo cual conlleva una visión escolar de la matemática como ciencia funcional (Cetina, 2011).
En consecuencia, en este trabajo de investigación se asume que es viable construir conocimiento matemático funcional, a partir de diseños didácticos basados en la práctica de optimización (en el sentido anteriormente mencionado), siendo importante para el estudio analizar el contexto en que se enmarca el desarrollo de la práctica, así como los conceptos y habilidades matemáticas que se generan en ésta por parte de los estudiantes.
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CAPITULO 3
MÉTODO DE INVESTIGACIÓN
El desarrollo de la presente investigación cualitativa y experimental, radicó en la exploración de la posible apropiación de conocimiento matemático en jóvenes de bachillerato por medio de un diseño basado en la práctica de optimización en la industria, así como en la determinación y verificación de los criterios de diseño de la práctica. Se consideró a la Socioepistemología como referente en el método y fundamento del diseño, el cual se desarrolló en tres etapas:
1) Identificación de indicadores de diseño
2) Elaboración de un diseño basado en la práctica de optimización 3) Experimentación de la unidad y análisis de datos
3.1 Socioepistemología: Sustento y método para el diseño didáctico
La complejidad que guarda la construcción de conocimiento matemático precisa de criterios e indicadores menos subjetivos y más efectivos en la elaboración de diseños de aprendizaje mejor adaptados en el escenario escolar para la generación de aprendizajes funcionales (Rico, 1998; citado en Pérez, 2011).
La Socioepistemología puede aportar información y un método para determinar tales indicadores e intentar intervenir en el sistema didáctico, pues trata el estudio de los procesos de construcción y difusión de conocimiento matemático desde una perspectiva múltiple sistémica que incorpora el análisis de la epistemología del conocimiento, su dimensión sociocultural, los procesos cognitivos asociados y los mecanismo de institucionalización vía la enseñanza (Cantoral y Farfán, 2003 citado en Cantoral, Farfán, Lezama y Martinez, 2006).
Dado que el contexto y la práctica influyen en el aprendizaje y construcción de conocimiento matemático, aporta también elementos para explicar la producción de dicho conocimiento a partir de un referente sociocultural, analizando los mecanismos sociales de difusión e institucionalización de los saberes matemáticos y de sus prácticas asociadas (Castañeda, 2004 citado en Pérez, 2011).
T e s i s e n e l m a r c o d e l p r o y e c t o P R O M E P 1 0 3 . 5 / 1 1 / 1 0 7 3 Página 24 Por tanto, en este trabajo se consideró también a la Socioepistemología como un método sistémico para la realización de diseños didácticos basados en prácticas, permitiendo analizar no sólo la producción matemática de los estudiantes que resultó de la unidad experimentada, sino también el contexto en donde se enmarca y los aspectos que facilitaron o dificultaron el éxito en su resolución.
Tal como señala López (2011), el estudiar de manera sistémica las dimensiones didáctica, epistemológica, cognitiva y sociocultural respecto a un concepto matemático, permite entender formas alternativas de tratamiento escolar y, por consiguiente, proponer escenarios mejor adaptados para que los estudiantes construyan su conocimiento matemático de manera óptima y funcional.
De modo que, los conocimientos derivados del análisis de información relativa a los procesos cognitivos que le son asociados al concepto función, la organización y tratamiento didáctico de lo variacional, su dimensión epistemológica en cuanto a la práctica de optimización y los aspectos sociocultural ligados a dicha práctica (en lo escolar y la ciencia) se tradujeron en indicadores de diseño y análisis de resultados de la práctica matemática experimentada.
3.2 Indicadores para un diseño basado en prácticas
Los indicadores se obtuvieron a partir de la revisión documental y análisis de investigaciones socioepistemológicas, donde la atención no se centró en los objetos matemáticos sino en las prácticas que posibilitan su construcción. En particular, aquellas en las que se analiza el papel de los contextos en el aprendizaje matemático escolar y aquellas en las que se da cuenta de del uso de conocimiento matemático en torno a prácticas en comunidades científicas.
3.2.1 Determinación de indicadores epistemológicos
Indicador 1. Establecer la práctica de optimización como eje transversal de diseño en la unidad didáctica, en tanto medio para movilizar conocimiento matemático a propósito de actividades humanas tales como tomar decisiones, predecir, explicar y validar.
T e s i s e n e l m a r c o d e l p r o y e c t o P R O M E P 1 0 3 . 5 / 1 1 / 1 0 7 3 Página 25 La Práctica matemática en la industria se diseñó bajo una concepción de optimización que se reconoció en el análisis de ciertas actividades del quehacer de comunidades científicas (véase García-Torres, 2008; Tuyub, 2010; y Cetina, 2011), y que se percibe distinta a la epistemología que tiene optimizar en el discurso matemático escolar.
Tras una visión del quehacer científico se entiende por optimización aquella práctica que consiste en determinar las condiciones óptimas para la ejecución de procesos, la búsqueda de soluciones y elaboración de productos en cierto ámbito, a propósito de actividades humanas como tomar decisiones, comunicar, explicar, predecir y validar un resultado o proceso. Es decir, la optimización en la ciencia responde a cuestiones de naturaleza social, no propiamente matemáticas.
En Biología Marina se optimiza por ejemplo, cuando en el análisis de la situación socioeconómica de México respecto a los altos costos de importación de materias primas y productos derivados de cierto tipo de alga, un grupo de científicos precisa decidir sobre la pertinencia de establecer una planta de cultivo de esa alga. Con tal intención, usan conocimiento matemático para analizar y explicar los comportamientos tendenciales respecto a los valores de importación, de modo que esta y otras acciones relacionadas con la predicción del tiempo de crecimiento y cantidad de cultivo de algas les permita validar su decisión.
Gráfica 3.1. Valores de importación en dólares de algas rojas ficocoloides a México para el período 1990-2009 (Robledo y Freile-Pelegrín, 2010; extraído de Cetina, 2011)
Así, un grupo de biólogos marinos justifican la importancia social de su investigación respecto a la producción de carragenina (sustancia derivada de cierta alga), empleando un modelo matemático lineal (Gráfica 3.1) en la tarea de analizar y comunicar la variación en la
T e s i s e n e l m a r c o d e l p r o y e c t o P R O M E P 1 0 3 . 5 / 1 1 / 1 0 7 3 Página 26 demanda de esa sustancia, con lo cual argumentan la pertinencia de su cultivo en el país.
Esto puede detectarse en el siguiente extracto de la entrevista realizada a uno de los científicos de la investigación antes referida:
En este caso (el modelo lineal) lo interpreté como inicio y final. Elegí 1990 porque hubo un fenómeno llamado fenómeno del niño en la costa de Baja California que produjo una caída en la disponibilidad de algas en ese lugar, lo que bajó la producción de algas y su exportación... también hubiera sido a lo mejor interesante hacer la parte central (del gráfico) y hacer una función de cómo ha ido variando y de qué otras variables, como pueden ser variables ecológicas, o qué factores o épocas son criticas, pero en particular el interés fue simplemente ver la oportunidad de que hay mayor demanda, .., esto es un poco la intención de mostrar algo que crece... El interés no era analizar a detalle la gráfica (modelo lineal), sino ver si se logra una tendencia general para justificar la necesidad del cultivo (Cetina, 2011, p. 44).
En las actividades de Biología Marina que se han citado, la matemática adquiere sentido y significado en el contexto de la situación, tanto lo exponencial (ver Capítulo 2) como lo lineal adquieren significado en función de una situación específica y de los aspectos socioculturales inmersos en cada una. En efecto, “lo lineal se usa como una cualidad que denota comportamientos globales, de inicio a fin, en una situación variable... el uso de lo lineal está asociado a la descripción e interpretación de lo tendencial en comportamientos” (Aparicio, Sosa y Jarero, 2011).
La epistemología de la optimización en lo escolar resulta disonante a la noción de optimización en el quehacer científico. Esto pudo observarse en la revisión y análisis sobre el estatus que ésta guarda en libros de texto del área de Cálculo, de donde se concluye que optimizar en la escuela consiste en emplear herramientas para maximizar o minimizar a partir de métodos, técnicas u objetos matemáticos previamente definidos o preexistentes, es decir, optimizar es una forma de mostrar la aplicación de las matemáticas. Por tanto, no se favorece con esta actividad la construcción de conocimiento matemático por parte de los estudiantes, pues dicho conocimiento ya está determinado de antemano.
T e s i s e n e l m a r c o d e l p r o y e c t o P R O M E P 1 0 3 . 5 / 1 1 / 1 0 7 3 Página 27 En el libro “Calculo I con geometría analítica” (Larson, 2006), la optimización se ubica en un apartado de aplicaciones de la derivada de una función para calcular valores máximos y mínimos de una situación. En los ejemplos del libro se muestra cómo aplicar la herramienta matemática (derivada) como un método para determinar dichos valores. El método puede reducirse en los siguientes pasos: obtener un modelo algebraico (función) de la situación por sustitución, determinar el dominio de la función obtenida, derivar algebraicamente la función, igualar a cero para determinar valores críticos y evaluar los valores en la función original. Corrobórese esto en el siguiente ejemplo:
Imagen 3.1. Ejemplo de optimización como aplicación de la derivada: determinación del volumen máximo (Larson, 2006, p. 218)
En el ejemplo de la Imagen 3.1, puede detectarse que la matemática a emplear está predeterminada y la situación se determina a partir de buscar la que mejor se adapte a dicha
T e s i s e n e l m a r c o d e l p r o y e c t o P R O M E P 1 0 3 . 5 / 1 1 / 1 0 7 3 Página 28 matemática, cuando en ámbitos no escolares como la ciencia, ésta se usa en función de la situación o contexto de la práctica científica, evidenciándose con ello la contrariedad entre la lógica social y la lógica escolar de uso del conocimiento matemático.
Asimismo, se enfatiza la optimización sólo en el sentido de determinar máximos y mínimos, y no se aclara que existen otras maneras y situaciones para optimizar (en un sentido más amplio), en el que las decisiones en las situaciones no precisa solamente determinar valores numéricos en específico, sino condiciones de equilibrio en una situación como en los casos del quehacer científico que se han ejemplificado, o bien, en el equilibrio de un ecosistema (Ek, 2012) y en los insumos, tiempos y precios en la definición de un bufete de alimentos (Rosado, 2012).
A diferencia de lo que sucede al optimizar en ámbitos no escolares donde son las personas quienes determinan las condiciones óptimas en función del contexto de una situación, en lo escolar inclusive cuando se trata de optimizar en contextos intra-matemáticos, las condiciones de optimización están dadas como punto de partida en la situación, limitándose así a la mera aplicación de técnicas o procedimientos matemáticos. Tal es el caso del problema ilustrado en la Imagen 3.2.
Imagen 3.2. Ejemplo de optimización: Área máxima. “Calculo 1” (Quijano,M. y Navarrete, C. , 2003)
T e s i s e n e l m a r c o d e l p r o y e c t o P R O M E P 1 0 3 . 5 / 1 1 / 1 0 7 3 Página 29 Esto es, en los textos analizados no se hace hincapié ni se presentan escenarios de optimización en donde sea precisamente la situación y la experiencia de los individuos quienes determinan la matemática a usar. Es decir, tanto los recursos matemáticos, los procedimientos y las condiciones de optimización están predeterminados (véanse los problemas propuestos en la Imagen 3.3), concluyéndose que optimizar en la escuela es un asunto de la aplicación de la matemática y no de búsqueda de recursos para el entendimiento/explicación de una situación de carácter social.
Imagen 3.3. Ejemplo de optimización: Área máxima. “ Calculo I con geometría Analítica”
(Larson,2006)
Por tanto, en la Práctica matemática en la industria se propone optimizar, no en el sentido escolar antes expuesto, sino bajo la idea de práctica, es decir, como una actividad humana regida por lo social en la cual el contexto de dicha práctica determina la matemática que se empleará como argumento para entender una situación en particular o el entorno de un individuo, en general. Se asume que por este medio (la práctica) puede favorecerse el desarrollo y uso de conocimiento matemático por parte del estudiante, así como dotarlo de significado y funcionalidad.
