APUNTES ANÁLISIS DE SISTEMAS DINÁMICOS

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(1)Departamento de Ingeniería Mecánica. APUNTES ANÁLISIS DE SISTEMAS DINÁMICOS. PROFESOR. PEDRO SAAVEDRA G. EDICIÓN. CRISTÓBAL SCHEEL L. ILUSTRACIONES. JUAN PARRA O. CRISTÓBAL SCHEEL L..

(2) Análisis de Sistemas Dinámicos. Capítulo 1 Sistemas de un grado de libertad Sistema lineal: Ecuación diferencial que rige su movimiento es lineal. Ejemplo:. m&x& + cx& + kx = f (t ). Propiedades:. 1.- Principio de superposición: Si e1(t)→s1(t) e2(t)→s2(t) ... .. . entonces e1(t)+ e2(t)+... → s1(t)+ s2(t)+... B. B. B. B. B. B. B. B. B. B. B. B. B. B. B. B. La presencia de una excitación, no afecta la respuesta del sistema a otras excitaciones. 2.- En el estado permanente: La respuesta de un sistema lineal a una excitación armónica Ω, es a la misma frecuencia Ω. f (t ) = F0 senΩt → x (t ) = X 0 sen(Ωt − φ ) Si Linealización de los sistemas para pequeñas oscilaciones respecto a su posición de equilibrio. senθ → θ. cosθ → 1 θ& 2 ,θ&θ&&, etc → 0 Ejemplo:. ∑M. 0. = I 0θ&&. l I 0θ&& + mg senθ = 0 2 3 5 l I 0θ&& + mg θ − θ + θ − ... = 0 3 ! 5! 2 l Para pequeñas oscilaciones: I 0θ&& + mg θ = 0 2. (. ).

(3) Análisis de Sistemas Dinámicos. 1.1- Componentes del modelo dinámico elemental -. Masa, m (concentrada en un bloque rígido). Propiedades elásticas, k (resorte sin masa). Disipación de energía o amortiguamiento, c (supuesto viscoso) Fuente de excitación: f(t), fuerzas y/o momentos xb(t), movimiento de la base. B. Rigidez. k=. B. Fuerza F F = = Deformación x 2 − x1 ∆x. σ = Eε F A = E ∆l l → k = F ∆l = EA l. θ = TL GJ → k =T θ =G J L. δ = Fl 3 48EI → k = F δ = 48 EI l 3. 1 1 1 = + k eq k1 k 2 k eq = k1 + k 2.

(4) Análisis de Sistemas Dinámicos Amortiguamiento viscoso. F = c (v 2 − v1 ) c : Coeficiente de amortiguamiento viscoso. Ecuaciones del movimiento. m&x& + cx& + kx = f (t ).

(5) Análisis de Sistemas Dinámicos. 1.2.- Vibraciones libres ( f(t)=0 ) 1.2.1.- Vibraciones libres y no amortiguadas ( f(t)=0 y c=0 ) Determinar el movimiento del sistema ideal cuando se le dá un desplazamiento y velocidad inicial (x0 y x& 0). B. B. B. B. Resolver: P.V.I. m&x& + kx = 0 ; x (0) = x 0 ; x& (0) = x& 0 Solución: x (t ) = C1e r1t + C 2 e r2t mr 2 + k = 0 → r = ± j. Ecuación característica:. k m. k k t + Bsen t ;movimiento armónico simple m m A y B se obtienen de las condiciones iniciales: x (t ) = Acos. x (t ) = x 0 cosω n t +. x& 0. senω n t ; ω n = k m. ωn x (t ) = X 0 sen(ω n t + ϕ ) X 0 = x 0 + (x& 0 ω n ) 2. 2. (1-2). tg ϕ = ω n x 0 x& 0. X0 T f B. B. ωn ϕ B. v a. B. = Amplitud del desplazamiento, valor pico (m) = Período del movimiento (s) = 1/T = Frecuencia del movimiento (Hz) = 2π fn = Frecuencia (circular) natural de vibrar (rad/s) = Ángulo de fase (rad) = x& = Velocidad (m/s) = &x& = Aceleración (m2/s) B. B. P. P. v(t) = x& (t) = X0ωncos(ωnt + ϕ) = V0sen(ωnt + ϕ + π ) 2 a(t) = &x& (t) = - X0ωn2sen(ωnt + ϕ) = A0sen(ωnt + ϕ + π ) B. B. B. B. B. B. B. B. PB. P. B. B. B. B. (1-1). B. B. B. B. B. B. B.

(6) Análisis de Sistemas Dinámicos V0 = Amplitud de la velocidad A0 = Amplitud de la aceleración B. B. B. B. La velocidad y aceleración están adelantados respecto al desplazamiento en 90° y 180° respectivamente.. ω = n B. B. k m. - Solo depende de las características del sistema (k y m) - Si disminuye la rigidez del sistema, disminuye ω - Si aumenta la masa del sistema disminuye ω n B. B. n B. 1.2.2.- Vibraciones libres amortiguadas Resolver: P.V.I. : m&x& + cx& + kx = 0. , x (0) = x 0. , x& (0) = x& 0. 2. Ecuación característica : mr + cr + k = 0 2. c k ⎛ c ⎞ ± ⎜ r1 , r2 = − ⎟ − 2m ⎝ 2m ⎠ m. ⎛ k ⎛ c ⎞2 ⎞ ⎟ Para que el sistema vibre, r deben ser imaginarios ⎜ > ⎜ ⎜ m ⎝ 2m ⎟⎠ ⎟ ⎝ ⎠ Definición = El máximo valor de c para que el sistema vibre se llama amortiguamiento crítico cc y vale: i B. B. k ⎛ c ⎞ =⎜ ⎟ m ⎝ 2m ⎠. B. B. 2. cc = 2 km = 2mω n. (1-3). Es más cómodo expresar en función de 2 parámetros fáciles de medir: ξ y ω n c ξ = Factor de amortiguamiento = (1-4) cc r1 , r2 = −ξω n ± ω n ξ 2 − 1 Caso I: Amortiguamiento sub-crítico ( ξ < 1 ) ⇒ Raíces complejas conjugadas ⇒ vibración. Existe. x(t) = e−ξωnt ( Asenωd t + Bcosωd t ) A y B determinados de las condiciones iniciales x0 y x& 0 B. B. B. B. Luego:. ⎞ ⎛ x& + x0ξω n x (t ) = e −ξωnt ⎜⎜ 0 senω d t + x0 cosω d t ⎟⎟ ωd ⎠ ⎝. (1-5).

(7) Análisis de Sistemas Dinámicos. ω d = ω n 1 − ξ 2 = frecuencia natural de vibrar amortiguada x (t ) = X 0 e −ξωnt sen(ω d t + ϕ d ) 2. X 0 = x0 +. tg ϕ d =. (1-6). ( x& 0 + ξω n x0 )2 ωd. 2. ω d x0 x& 0 + ξω n x 0. Efecto del amortiguamiento en las vibraciones libres -. Disminuir secuencialmente la amplitud de las vibraciones libres. Disminuir la frecuencia natural de ω n a ω d .. En la práctica generalmente ξ < 0,2 y ω n ≈ ω d . Decrecimiento logarítmico (δ) Una forma práctica de determinar el amortiguamiento es a partir de un registro de vibraciones como el indicado en la figura, midiendo el cuociente entre dos amplitudes Xn y Xn+1. ⎛ X ⎞ Definición: δ = ln⎜⎜ n ⎟⎟ (1-7) ⎝ X n+1 ⎠ Los valores de Xn y Xn+1 ocurren en un tiempo t y t + Td respectivamente. Para ambos casos sen (ωdt + ϕd )≈1. Entonces: B. B. B. B. B. B. B. B. B. B. B. B. B. B. ⎛ e −ξωnt. ⎞. δ = ln⎜⎜ −ξωn (t +Td ) ⎟⎟ = lneξωnTd = ξω nTd ⎠ ⎝e 2πξ δ = 1−ξ 2 Para pequeños valores de ξ, δ ≈ 2πξ. (1-8).

(8) Análisis de Sistemas Dinámicos Caso II: Amortiguamiento crítico (ξ = 1) ⇒ raíces reales e iguales ⇒ no existe vibración r1 = r2 = −ξω n. x (t ) = ( A1 + A2t )e −ξω n introduciendo las condiciones iniciales: x (t ) = [x0 (1 + ω nt ) + x&0 ]e −ξω n t. t. (1-9). Caso III: Amortiguamiento sobre-crítico (ξ > 1) ⇒ raíces reales y desiguales ⇒ no existe vibración r1 , r2 = −ξω n ± ω n ξ 2 − 1 x (t ) = C1e r1t + C2e r2. [. (. ). t. (. x (t ) = e −ξωn Asenh ω n ξ 2 − 1 + Bcosh ω n ξ 2 − 1 t. )]. (1-10). Se observa que la respuesta no es oscilatoria. El cuerpo solo retorna hacia la posición de equilibrio.. 1.2.3.- Estabilidad de un sistema La estabilidad de un sistema se analiza para sus vibraciones libres. La solución de la ecuación: m&x& + cx& + kx = 0 x (t ) = Ae st ,donde: s = σ + jω es: Planos s.

(9) Análisis de Sistemas Dinámicos Criterios de estabilidad Una condición necesaria y suficiente para que un sistema sea estable, es que todas las raíces de la ecuación característica tengan partes reales negativas. 2. Analizando. c k ⎛ c ⎞ ± ⎜ r=− ⎟ − 2m m ⎝ 2m ⎠. Esto sucederá cuando k y/o c sean negativos, es decir, no se oponen al movimiento, sino que lo ayudan. Ejemplo: Analice la estabilidad del péndulo invertido de la figura:. ∑M. 0. = I 0θ&&. l l − k sen θ cosθ + mgl sen θ = ml 2θ&& 2 2 2 kl θ − mglθ = 0 ml 2θ&& + 2 2{ mlθ&&(t ) + (kl − 2mg )θ (t ) = 0 14243 ∗ m. r2 = −. k∗. k ∗ kl − 2mg = 2ml m∗. Si la rigidez efectiva k* es negativa, es decir si kl - 2mg < 0, el movimiento del péndulo será inestable por divergencia. P. P.

(10) Análisis de Sistemas Dinámicos. 1.3.- Relaciones entre fuerzas y excitaciones 1.3.1.- Vibraciones forzadas con excitación armónica. F0 sen Ω t. m&x& + cx& + kx = F0 senΩt x (t ) = Ae sen (ω t − ϕ d ) + X sen (Ωt − φ ) 144424d443 1044244 3 −ξω nt. Vibración transiente ( Solución hom ogénea ). Vibración permanente o estacionaria ( Solución particular ). A y ϕd se determinan de las condiciones iniciales B. B. F0 X0 =. tgφ =. Gráficas:. k 2. (1-11). 2 ⎡ ⎛Ω ⎞ ⎤ Ω ξ 2 ⎡ ⎤ ⎢1 − ⎜ ω ⎟ ⎥ + ⎢ ω n ⎥⎦ n⎠ ⎦ ⎣ ⎣ ⎝ 2ξΩ 2. ωn. 1 − ⎛⎜ Ω ⎞⎟ ⎝ ωn ⎠. 2. (1-12).

(11) Análisis de Sistemas Dinámicos. Respuesta estacionaria es armónica a la misma frecuencia Ω de la excitación. La respuesta transiente desaparece rápidamente con el tiempo. A mayor amortiguamiento más rápido desaparece. Derivando la ecuación (1-11) se obtiene: F0 k X 0 max = , para Ω = ω n 1 − 2ξ 2 2 2ξ 1 − ξ F0 Para ξ pequeños X 0 máx = k = Xest * Q , para Ω ≈ ω n 2ξ Xest =. F0. k constante F0. B. Q=. 1 2ξ. ;es la respuesta estática, es decir, la respuesta del sistema a una fuerza. B. ;es el factor de amplificación..

(12) Análisis de Sistemas Dinámicos 1.3.2.- Método del álgebra compleja El uso del álgebra compleja generalmente simplifica el proceso de solución de la ecuación diferencial. La función x (t ) = X 0 sen(ωt + φ ) puede ser representada como la proyección de un vector X0 que gira con velocidad angular Ω. B. B. El vector rotatorio X0 expresado en función de los ejes R, I es: B. B. r X 0 = X 0 cos (ωt + φ ) + jX 0 sen(ωt + φ ) = X 0 e r X 0 = Xe ω j. X = X 0e. j. (ωt +φ ). = X 0e φ e j. j. ωt. t. φ. j. = amplitud compleja. Por lo tanto x (t ) = X 0 sen(ωt + φ ) puede ser expresado como:. (. ). x (t ) = Im Xe ω x (t ) = Xe ω (En la práctica generalmente se obvia escribir Im) j. j. t. t. Aplicación en determinar la respuesta estacionaria si f (t ) = Fe. Ωt. j. Por ser sistema lineal, la respuesta es a la misma frecuencia que la excitación: x (t ) = Xe Ω ; x& (t ) = jΩXe Ω ; &x&(t ) = −Ω 2 Xe Ω j. t. j. t. j. Reemplazando en las ecuaciones del movimiento, se obtiene: − mΩ 2 + jΩc + k Xe Ω = Fe Ω. (. ). j. t. j. t. F0 e φ F − mΩ 2 + jΩc + k por lo tanto el módulo (igual a ecuación (1-11)): F0 F0 k = X0 = 2 2 2 k − mΩ 2 + c 2 Ω 2 ⎡ ⎛Ω ⎞2 ⎤ ⎡2ξΩ ⎤ + 1 − ⎢ ⎜ ω ⎟ ⎥ ⎢⎣ ω ⎥⎦ ⎠ ⎦ ⎣ ⎝ x = X 0e. (. φ. j x. j. =. ). n. n. t.

(13) Análisis de Sistemas Dinámicos y las fases (igual a ecuación (1-12)): − cΩ =− k − mΩ 2. tg (φ X − φ F ) =. 2ξΩ. ωn. 1 − ⎛⎜ Ω ⎞⎟ ⎝ ωn ⎠. 2. si φ F = 0 y φ X = −φ , se tiene: 2ξΩ tgφ =. ωn. 1 − ⎛⎜ Ω ⎞⎟ ⎝ ωn ⎠. 2. Variación de la amplitud de la respuesta estacionaria X0 con la frecuencia Ω B. B. Variación de la diferencia de fase φ entre desplazamiento y fuerza con Ω. Resonancia: Grandes amplitudes para Ω≈ωn. X0 máx→∞ , si ξ→0. Cambio de fase del desplazamiento en ≈180° al pasar la resonancia. Amortiguamiento solo es efectivo en la zona resonante. Para Ω»ωn ; X0→0 . El cuerpo no vibra (f(t) se anula con las f de inercia). B. B. B. B. B. B. B. B.

(14) Análisis de Sistemas Dinámicos Las cuatro fuerzas que actúan sobre el sistema deben estar en equilibrio: f (t ) − m&x& − cx& − kx = 0. f (t ) + mΩ 2 x − jcΩx − kx = 0 Comportamiento resorte: Si Ω«ωn, ecuaciones (1-11) y (1-12) se transforman F en: X 0 ≈ 0 , φ ≈ 0° k f (t ) = F0 senΩt B. B. x (t ) =. F0 senΩt k. La acción de la fuerza f(t) queda equilibrada principalmente por la fuerza elástica (deformación) del resorte. Zona resonante: Si Ω=ωn, ecuaciones (1-11) y (1-12) se transforman en: F F X 0 = 0 = 0 , φ = 90° 2kξ cω n B. B. f (t ) = F0 senΩt x (t ) =. F0 sen(Ωt − φ ) cΩ. La acción de la fuerza f(t) queda sólo equilibrada por la acción del amortiguamiento. Zona másica: Si Ω»ωn, ecuaciones (1-11) y (1-12) se transforman en: X 0 ≈ B. B. φ ≈ 180°. F0 , mΩ 2. f (t ) = F0 senΩt x(t ) = −. F0 senΩt mΩ 2. La acción de la fuerza f(t) queda equilibrada principalmente por la fuerza de inercia, lo que hace que la deformación x del resorte sea pequeña..

(15) Análisis de Sistemas Dinámicos 1.3.3.- La función de transferencia y la función respuesta (en frecuencias) La función de transferencia de un sistema lineal se define como la relación de la transformada de Laplace de la variable de entrada, suponiendo que todas las condiciones iniciales se hacen igual a cero. Para el sistema ideal de 1 grado de libertad: m&x& + cx& + kx = f (t ). (. ) (. ). m s 2 X ( s) − sx (0 + ) − x& (0) + c sX ( s ) − x (0 + ) + kX ( s) = f (t ) x(0) = x& (0) = 0 si: 1 X (s) 1 m H ( s) = = = 2 2 F ( s) ms + cs + k s + 2ξω n s + ω n 2 Formas alternativas de la función de transferencia Diferentes funciones de transferencia son utilizadas en el análisis de vibraciones, dependiendo de si se usa el desplazamiento, velocidad o aceleración.. Función de Transferencia. Compliancia dinámica Receptancia =X. Flexibilidad dinámica Función de F Transf. inversa Rigidez dinámica = X. Movilidad =. V F. Acelerancia =. Impedancia =. F V. Masa efectiva =. F. A F F A. La función respuesta (en frecuencias) (FRF, Frequency Response Function), se define como la respuesta del sistema en el estado estacionario a una señal de entrada. Se representa por un complejo.. H( f ) = H( f )e. φH. j. donde: Su módulo, H ( f ) =. S0 ( f ). E0 ( f ). , es la razón de amplitudes entre la salida y la. entrada a una señal senoidal. Su fase, φ H = φ S − φ E , es el ángulo de desfase entre la salida y entrada.. Entrada. Sistema Lineal. Salida.

(16) Análisis de Sistemas Dinámicos Puesto que las transformadas de Fourier y Laplace están estrechamente relacionadas, especialmente cuando la función f(t) se define solo para t=0, como frecuentemente es el caso ¿ Por qué usar ambas transformadas? ∞. F ( s ) = ∫ f (t )e − dt 0 ∞. F (ω ) = ∫ f (t )e. st. ωt. j. −∞. dt. La transformada de Laplace nos permite investigar la ubicación en el plano s de los polos y ceros, y por lo tanto su estabilidad. La función respuesta en frecuencia es la facilidad para determinarla experimentalmente.. Formas de representación de las funciones respuestas 1.- Diagrama de Bodé: Módulo y fase v/s la frecuencia. 2.- Diagrama de Nyquist o polar: Parte real v/s parte imaginaria. 3.- Parte real e imaginaria v/s la frecuencia.. EJEMPLO: Función Respuesta del sistema ideal. m = 200kg k = 3160 kN. m. rad ω n = k m = 125,7 = 20Hz s. ωd = ωn 1 − ξ 2 = ωn c = 503 Ns. ξ=. c = 0,01 2mω n. Para Ω ≈ 0 :. :. m. H( f ) =. X0 1 = F0 k.

(17) Análisis de Sistemas Dinámicos. 1.4.- Amortiguamiento = disipación de energía - ¿Por qué se usa amortiguamiento viscoso en los modelos matemáticos cuando en la práctica es raro encontrarlo? - Facilita el análisis matemático. - Difícil de estimar el valor del amortiguamiento real. - El amortiguamiento tiene poco efecto en la respuesta forzada cuando se está alejado de resonancias o antiresonancias.. ξ = 0 → D0 → ∞. ξ = 0,2. - Mecanismos de disipación de energía - Rozamientos como el que ocurre en la conexión de elementos (Coulomb). - Fricción interna en el material o amortiguamiento estructural o histérico. - Resistencia de un cuerpo a moverse dentro de un fluido (aire por ejemplo). - Por radiación: por propagación de ondas en un medio infinito.(ejemplos: Boyas en el agua, fundaciones de máquinas y estructuras) Ejemplo: Fundaciones de máquinas. Pérdida de energía por propagación de ondas al ∞ (amortiguamiento geométrico).. - Amortiguador viscoso equivalente para utilizar el modelo ideal U. U. Para determinar Ceq se iguala: πC eq ΩX 0 2 14243 B. B. Energía disipada por el amortiguad or viscoso. =. Ud {. Energía real disipada por ciclo. (1-13).

(18) Análisis de Sistemas Dinámicos - Roce de Coulomb U. U. F0 sen Ωt ←→. F0 sen Ω t. Energía disipada por ciclo debido al roce:. Ud = 4µmgX 0 = πC eq ΩX 0 → C eq = 4µmg 2. πΩX 0. Trabajo de la fuerza de roce = Energía disipada por ciclo. Energía disipada por ciclo en un material viscoelástico e histérico (A partir de curvas σ - ε) Resorte ideal. Amortiguador viscoso. x (b) = X 0 sen(Ωt − φ ) x& (t ) = X 0 Ωcos(Ωt − φ ) = ± X 0 Ω 1 − sen 2 (Ωt − φ ) 2. = ±Ω X 0 − x 2 2. Fd = ± cΩ X 0 − x 2 2. 2. ⎛ Fd ⎞ ⎛ x ⎞ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ = 1 ⇒ ⎜⎜ ⎝ cΩX 0 ⎠ ⎝ X 0 ⎠.

(19) Análisis de Sistemas Dinámicos Material viscoelástico. F = kx + cx& = (k + jcΩ) Xe F = k ∗ Xe. j. Ωt. j. Ωt. k ∗ = k + jcΩ = rigidez compleja k ∗ = k ⎛⎜1 + jcΩ ⎞⎟ k⎠ ⎝. Amortiguamiento histérico, sólido o estructural U. Note que la trayectoria de carga es diferente a la de descarga. Atribuible a la fricción intermolecular. Similar al caso anterior, se puede expresar una rigidez compleja k ∗ = k (1 + jη ) η = factor de pérdida o constante de amortiguamiento histérico. Aunque el factor de pérdida de un material depende de su composición, temperatura, esfuerzo, tipo de carga usado; un valor aproximado de η se puede obtener de la tabla siguiente:. Material Aluminio puro Acero Plomo Fundición de fierro Goma natural Goma dura Vidrio Concreto. η 2x10 – 2x10-3 0,001 – 0,008 0,008 – 0,014 0,003 – 0,03 0,1 – 0,3 ≈ 1,0 0,0006 – 0,002 0,01 – 0,06 P. -5 P. P. P.

(20) Análisis de Sistemas Dinámicos Tabla comparativa amortiguamiento viscoso v/s estructural. Ecuaciones del movimiento Solución estacionaria. Amortiguamiento viscoso m&x& + cx& + kx = F0 senΩt. x = X 0 sen(Ωt − φ ). x = X 0 sen(Ωt − φ ) F0 X0 =. Energía disipada por ciclo. Amortiguamiento estructural m&x& + k (1 + ηj ) x = F0 senΩt. F0. k 2. 2 ⎡ ⎛ Ω ⎞2 ⎤ ⎡2ξ Ω ⎤ + 1 − ⎢ ⎜ ω ⎟ ⎥ ω n ⎥⎦ ⎢⎣ n⎠ ⎦ ⎣ ⎝. U d = πcΩX 0. 2. X0 =. k 2. ⎡ ⎛Ω ⎞2 ⎤ 2 ⎢1 − ⎜ ω ⎟ ⎥ + η n⎠ ⎦ ⎣ ⎝ U d = ηπkX 0. 2. kη Ω Independiente del valor de η F0 X st = k 1+η2 → c eq =. Frecuencia natural Desplazamiento estático. Decrece al aumentar c F X st = 0 k. Amplitud resonante X 0 máx. F0. k = 2ξ 1 − ξ 2. para Ω = 1 − ξ 2 ω n. Desfase φX-φF=φ B. B. B. B. tgφ =. F0 kη (independiente de la masa ) para Ω = ω n X 0 máx =. −η 1 − ⎛⎜ Ω ⎞⎟ ⎝ ωn ⎠. 2. tgφ =. − 2ξ Ω. ωn. 1 − ⎛⎜ Ω ⎞⎟ ⎝ ωn ⎠. 2.

(21) Análisis de Sistemas Dinámicos. c eq =. kη Ω. → ξ eq =. c kη η ωn = = c c Ω2mω n 2 Ω. Se observa que ξ eq no es una constante, es función de Ω. Para amortiguamiento ξ<0,1 como es en la mayoría de los casos, no hay. diferencia al utilizar un valor constante de ξ = η . Para mayores amortiguamientos hay 2 que usar el modelo de amortiguamiento real..

(22) Análisis de Sistemas Dinámicos. 1.5.- Ejemplo de sistemas que pueden modelarse como el sistema ideal de un grado de libertad 1.5.1- Conjunto de cuerpos rígidos donde las deformaciones del sistema se generan en unos elementos resortes Ejemplo: Determinar la amplitud de las vibraciones estacionarias del punto A de la placa de la figura.. A. F0 sen Ω t Se miden los z(t) a partir de su posición de equilibrio (no se considera por lo tanto el efecto del peso). Se supone que la placa se comporta como rígida respecto al resorte.. ∑M. 0. = I 0θ&&. − kbθ ⋅ b + F0 senΩt ⋅ a = I 0θ&& z (t ) = a ⋅ θ. kb 2 a2 + b2 z + F0 senΩt ⋅ a = b ⋅ γ ⋅ ⋅ &z& a 3 a2 + b2 kb 2 b ⋅γ ⋅ ⋅ &z& + z = F0 ⋅ asenΩt 3 a ∗ m ∗ &z& + k ∗ z = F0 senΩt −. con : m ∗ = b ⋅ γ ⋅. a2 + b2 : masa generalizada 3. kb 2 : rigidez a ∗ F0 = F0 ⋅ a : fuerza k∗ =.

(23) Análisis de Sistemas Dinámicos De la ecuación (1-11), con ξ=0:. F0 ⋅ a F0 kb 2 ∗ k k a = = 2 2 2 2 ⎛Ω ⎞ ⎛Ω ⎞ ⎡ ⎛Ω ⎞ ⎤ − − 1 1 ⎜ ω ⎟ ⎜ ω ⎟ ⎢1 − ⎜ ω ⎟ ⎥ n ⎠ n⎠ ⎝ ⎝ n ⎝ ⎠ ⎦ ⎣ F0. Z0 =. ωn =. ∗. kb 2 k∗ a = ∗ 2 m γb(a + b 2 ). 3. Tabla de rigideces:. k=. GJ l. ωn2 =. GJ lI. k= rigidez a la torsión barra circular. J= momento polar de la sección transversal de la barra.. k=. EA EA ωn2 = lM l. k= rigidez al desplazamiento longitudinal de la barra.. k=. 3EI l3. ωn2 =. 3EI ml 3. k= rigidez a la flexión de la barra en su extremo.. k=. Empuje por ∆l = Aρ g ω ∆l l. 2 n. =. Aρ g M l. k= rigidez.

(24) Análisis de Sistemas Dinámicos. k=. Gd 4 64ne R 3. kt =. Ed 4 c l 30ne R (0,408l 2 + 0,53 ?). ne= nú B. k= rigidez al movimiento axial. kt= rigidez al movimiento transversal. cl= constante f(l,R) B. B. k x , k y , k z , kθ , kϕ , kφ = rigidez del suelo a los. movimientos en las direcciones x, y, z, θ , ϕ , φ son f (G ,υ , geometría ). k eq =. 1 1 1 + k1 k 2. k eq = k1 + k 2. ke= rigidez del eje al movimiento transversal. kc= rigidez carcaza. kb= rigidez base. ks= rigidez del suelo. B. B. B. B. B. B. B. B. 1 1 1 1 1 = + + + k eq k e k c k b k s. B.

(25) Análisis de Sistemas Dinámicos 1.5.2- Sistemas con características elásticas repartidas donde se puede suponer una forma de deformación Para establecer un modelo de un grado de libertad de un sistema continuo elástico con características de masa y elasticidad repartidas a lo largo de él (teóricamente tiene ∞ grados de libertad), es necesario suponer una forma o modo de vibrar del cuerpo. La forma supuesta debe ser una función admisible (función que satisface las condiciones geométricas de borde y posee derivadas de un orden al menos igual a las que aparecen en la expresión de la energía de deformación). - Formas admisibles para la máxima deformación (amplitud) que toma la viga simplemente apoyada al vibrar: Y ( x ) = Y0 sen. πx l. ⎛ x ⎞⎛ x ⎞ Y ( x ) = Y0 ⎜ ⎟⎜ − 1⎟ ⎝ l ⎠⎝ l ⎠. - Formas no admisibles. No tiene derivada No cumple con las condiciones de borde La deformación de la viga en cualquier tiempo t será entonces y ( x, t ) = Y ( x) ⋅ v(t ) v(t)= desplazamiento generalizado (variable a determinar) Método de Rayleigh El objetivo del método es estimar en forma rápida la frecuencia fundamental de vibrar de un sistema mecánico. Los pasos a seguir son: 1.- Suponer una forma de deformación máxima. 2.- Escribir la igualdad (considerando el sistema conservativo) Ecmáx (en su posición de equilibrio)=Epmáx (posición de máxima deformación) (1-14) B. B. B. B.

(26) Análisis de Sistemas Dinámicos Ejemplo: Determinar la frecuencia fundamental ω1 de la viga uniforme de la figura: B. B. Y ( x ) = Y0 sen. πx. , Deformació n máxima l y ( x , t ) = Y ( x ) sen ω 1t , Deformació n en cualquier t. y (t ) = Y0 senωnt y& = Y0ωn cosωnt. y& = Y ( x )ω 1 cos ω 1t. 1 m( y&máx ) 2 2 2 mωn 2 = Y0 2 1 2 E p máx = kY0 2 Ec máx = E p máx Ec máx =. E c máx = =. 1 y& máx dm 2∫. ω1 2 2. l. ∫Y. 2. 0. ( x). m dx l 2. l ⎛d2y⎞ 1 E p máx = ∫ EI ⎜⎜ 2 ⎟⎟ dx 2 0 ⎝ dx ⎠. 2. mωn 2 1 2 Y0 = kY0 2 2 k ωn 2 = m. E c máx = E p máx l. ω1 2. 2. ⎛d2y⎞ ∫0 EI ⎜⎜⎝ dx 2 ⎟⎟⎠ dx π 4 EI 97 ,4 EI = = = l ml 3 ml 3 m 2 ( ) dx Y x ∫0 l. Notas: 1.- Si se hubiese asumido como forma de deformación una parábola: ⎛ x ⎞⎛ x ⎞ y ( x, t ) = Y0 ⎜ ⎟⎜ − 1⎟ senω1t ⎝ l ⎠⎝ l ⎠ se obtiene:. ω1 2 =. 120 EI ml 3. (20% mayor que el valor anterior). Cuando se usa la verdadera curva de deformación máxima se obtiene la frecuencia correcta. Para otra curva la frecuencia determinada será siempre mayor que la correcta. Esto se explica por el hecho que cualquier desviación de la verdadera curva requiere restricciones externas adicionales actuando sobre el sistema. Esto se traduce en un efecto rigidizante que aumenta ω . i B. B.

(27) Análisis de Sistemas Dinámicos 2.- Comparando este resultado con un método de discretización, que se verá posteriormente, consistente en considerar concentradas las masas en los extremos de barras, se obtiene:. 96 EI ml 3 3.- Masas concentradas: El método de Rayleigh puede utilizarse para determinar la frecuencia fundamental de una viga o eje con masas concentradas, utilizando la curva de deformación estática debido a fuerzas iguales a los pesos de las masas concentradas.. ωn2 =. 1 2 2 2 2 E c máx = ω1 ( M 1 y1 + M 2 y 2 + M 3 y 3 ) 2 1 E p máx = g ( M 1 y1 + M 2 y 2 + M 3 y 3 ) 2 g∑ M y ω1 2 = ∑M y 2 i. i. i. (1-15). i. Resolución del ejemplo utilizando las ecuaciones de Lagrange: πx q(t ) : incógnita o variable generalizada y ( x, t ) = Y ( x ) q (t ) = Y0 sen q(t ) l 2. q& 2 (t ) mY0 m q& 2 (t ) m ⎛ πx ⎞ 1 E c = ∫ Y 2 ( x) q& 2 (t ) dx = Y sen dx = ⎟ ⎜ 0 l l ⎠ 20 2l ∫0 ⎝ 4 l. l. 2. 2. l l ⎛ ∂2 y ⎞ EIπ 4 q 2Y0 EIπ 4 q 2 ⎛ πx ⎞ 1 E p = ∫ EI ⎜⎜ 2 ⎟⎟ dx = Y sen dx = ⎟ ⎜ 0 l ⎠ 2 0 ⎝ ∂x ⎠ 2l 4 ∫0 ⎝ 4l 3. d ⎛ ∂Ec ⎜ dt ⎜⎝ ∂q& 2. ⎞ ∂E p ⎟⎟ + = Qq ⎠ ∂q 2. mY0 EIπ 4Y0 q&& + q=0 2 2l 3 2 EIπ 4Y0 4 2l 3 = EIπ → ω2 = 2 ml 3 mY0 2. 2. 2.

(28) Análisis de Sistemas Dinámicos. 1.6.- Vibraciones forzadas por movimiento de la base Las vibraciones pueden ser generadas no solo por fuerzas variables en el tiempo, sino que también por movimiento de sus puntos de apoyo (sismos, transmisiones de una máquina a otra, etc.). Supongamos que la base del resorte y amortiguador se mueven con xb(t). B. B. Ecuaciones del movimiento: 1.- En función del desplazamiento absoluto x(t). m&x& + c( x& − x& b ) + k ( x − xb ) = 0 m&x& + cx& + kx = cx& b + kxb = f ∗ (t ) si : xb = X b senΩt ; x& b = ΩX b cosΩt. → f ∗ (t ) = cΩX b cosΩt + kX b senΩt = X b c 2 Ω 2 + k 2 sen(Ωt + φ f ) = F0 sen(Ωt + φ f ∗. De la ecuación (1-11): X b c 2Ω 2 + k 2 X0 =. 2. k. ⎡ ⎛Ω ⎞ ⎤ ⎡2ξΩ ⎤ ⎢1 − ⎜ ω ⎟ ⎥ + ⎢ ω n ⎥⎦ n⎠ ⎦ ⎣ ⎣ ⎝ 2. 2. = Xb. 1 + ⎛⎜ 2ξΩ ⎞⎟ ωn ⎠ ⎝. 2. 2. 2 ⎡ ⎛Ω ⎞2 ⎤ ⎡2ξΩ ⎤ 1 − + ⎢ ⎜ ω ⎟ ⎥ ω n ⎥⎦ ⎢⎣ n⎠ ⎣ ⎝ ⎦. (1-17). 2.- En función del desplazamiento relativo xr(t) Reemplazando x (t ) = x b (t ) + x r (t ) Se obtiene m&x&r + cx& r + kx r = − m&x&b = p eff (t ) p eff (t ) : representa la carga efectiva debido a la excitación de los apoyos. B. B. Nota: Para la determinación de esfuerzos en los elementos elásticos es más útil expresar las ecuaciones del movimiento en función de los desplazamientos relativos a la base.. ).

(29) Análisis de Sistemas Dinámicos Ejemplo: Estanque de masa M soportado por una barra circular de diámetro d. Determine el máximo esfuerzo sobre la barra cuando actúa un terremoto horizontal: xb=XbosenΩt. Considere sólo el movimiento estacionario. B. ft. B. B. Mx = M Ω X sen Ωt. ( ) = − &&b. k=. M&x&r + kx r = − M&x&b = MΩ 2 X bo senΩt F0 X ro = desplazamiento relativo máximo =. k. 1 − ⎛⎜ Ω ⎞⎟ ⎝ ωn ⎠. X bo Ω 2 M. 2. =. k 2 ⎛ ⎞ Ω 1− ⎜ ⎟ ⎝ ωn ⎠. Para desplazamiento Xro es equivalente que actúe F0=k Xro, y por lo tanto: B. B. B. σ=. F0 l d I. 2=. B. X b 0 Ω 2 Ml d. B. B. 2. 2 ⎛ ⎞ kI ⎜⎜1 − ⎛⎜ Ω ⎞⎟ ⎟⎟ ωn ⎠ ⎝ ⎝ ⎠. 2. B. 2. b0. F 6EI = ϕ l3.

(30) Análisis de Sistemas Dinámicos Aplicación: Aislamiento de vibraciones Podemos distinguir dos clases de problemas de aislación de vibraciones: 1.- Reducir la magnitud de la fuerza transmitida de una máquina a su base soporte, figura a. 2.- Reducir la magnitud del movimiento vibratorio transmitido desde la base de apoyo a un equipo, figura b.. figura b figura a. Ejemplo: Figura a. Sea F=F0senΩt una fuerza que se genera en una máquina. Para evitar que se transmita en toda su magnitud a su base de apoyo se coloca un elemento resiliente o elástico entre base y máquina. Se desea determinar la rigidez k y amortiguamiento c de dicho elemento. B. B. F = fuerza transmitida a la base por el elemento elástico. t B. B. r r r F = cx& + kx = X 0 [k sen (Ωt − φ ) + cΩ cos(Ωt − φ )] t. 2 r 2 Ω ξ 2 2 2 ⎛ ⎞ F 0 = F = X 0 k + c Ω = kX 0 1 + ⎜ ω n ⎟⎠ ⎝ t. t. luego F 0 = t. F0 1 + ⎛⎜ 2ξΩ ⎞⎟ ωn ⎠ ⎝ 2. 2. ⎡ ⎛ Ω ⎞ 2 ⎤ ⎛ 2ξΩ ⎞ 2 ⎢1 − ⎜ ω ⎟ ⎥ + ⎜ ω n ⎟⎠ n⎠ ⎦ ⎝ ⎣ ⎝. (1-18).

(31) Análisis de Sistemas Dinámicos. De la curva anterior se observa: - El aislamiento sólo se produce para Ω ω n > 2 , sino se produce una amplificación . - Un elemento elástico sin amortiguamiento es más efectivo que uno con amortiguamiento. Sin embargo, una máquina que pase lentamente a través de la resonancia requiere del amortiguamiento. - A mayor Ω ω n , menor es la transmisibilidad, es decir, ωn y por lo tanto k debe ser lo más bajo posible. Esto está limitado, sin embargo, por el desplazamiento estático debido al peso : X est = mg k < espacio entre espiras en un resorte. B. B. Ejemplo: Figura b. Sea xb = X b 0 senΩt el movimiento de la base donde se va a montar una máquina. Se desea que el movimiento de la máquina, es decir el de la masa m sea lo menor posible. Para eso se coloca un elemento elástico entre base y máquina. Determinar k y c de dicho elemento. El movimiento de la masa m, queda expresado como: m&x& + cx& + kx = cx& b + kxb y su solución, por la ecuación (1-17): X0 = X b0. 1 + (2ξ Ω ω n ). [1 − (Ω ω ) ]. 2 2. 2. + (2ξ Ω ω n ) expresión idéntica a la ecuación (1-18). n. 2. = TR. (1-19).

(32) Análisis de Sistemas Dinámicos. 1.7.- Vibraciones forzadas con fuerza periódica cualquiera Vamos a ver que es posible utilizar las mismas ecuaciones anteriores para determinar la respuesta del sistema a una excitación periódica cualquiera. Para ello: 1.- Expresar la excitación en una serie de Fourier. 2.- Si el sistema es lineal, utilizar el principio de superposición: la respuesta total del sistema será la suma de las respuestas debido a cada término de la serie. Una función periódica x(t), de período T0 y frecuencia f 0 = 1 T 0 , se expresa mediante una serie de Fourier: B. B. ∞. ∞. ∞. n =1. n =1. n =1. x (t ) = a 0 + ∑ a n cosn2πf 0 t + ∑ bn senn2πf 0 t = a0 + ∑ X n sen(n2πf 0 t + ϕ n ) 1 T0. T0. 2 T0. T0. 2 bn = T0. T0. a0 = an =. ∫ x(t )dt. : Valor medio. 0. ∫ x(t )cosn2πf t dt 0. 0. ∫ x(t ) senn2πf t dt 0. 0. 2. X n = a n + bn. 2. : Amplitud de la armónica " n". ϕ n = arc tg ⎛⎜ a n b ⎞⎟ : Fase de la armónica " n" ⎝. n. ⎠. x (t ) = x0 + X sen ( 2π f 0t + ϕ 0 ). (1-20).

(33) Análisis de Sistemas Dinámicos. - Espectro (en frecuencias) de una función, es la representación de su contenido frecuencial. - Se observa que el espectro de una función periódica es un espectro a rayas, a frecuencias discretas nf0 (n=1,2,3...). - Una función no periódica puede ser considerada como periódica de periodo T0=∞. El intervalo de frecuencias tiende a cero y el espectro llega a ser continuo. Se calcula por su Transformada de Fourier: B. B. B. B. x( f ) =. ∞. ∫ x (t ) e. −∞. − j 2πft. dt.

(34) Análisis de Sistemas Dinámicos. 1.8.- Respuesta a una excitación dinámica cualquiera La respuesta del sistema ideal a una fuerza excitadora cualquiera puede determinarse siguiendo los pasos siguientes: 1.- Considerar la fuerza arbitraria como una serie de impulsos (como el achurado para t=η) y determinar la respuesta a cada impulso. 2.- Utilizar el principio de superposición (sistema lineal) para sumar la contribución de cada impulso. 1.8.1.- Respuesta a una impulso ( Iˆ ) Una fuerza impulsiva es una fuerza de gran magnitud que actúa durante un tiempo muy pequeño. El impulso Iˆ es: Iˆ = ∫ f (t )dt. Cuando ε → 0 e Iˆ = 1 , se denomina el impulso unitario o la función delta δ.. La acción de un impulso es comunicarle al sistema una velocidad inicial x& (0) = Iˆ m y por lo tanto la respuesta del sistema ideal será (ecuación (1-5)): x& (0) −ξωnt Iˆ −ξωnt x (t ) = e senω d t = e senω d t ωd mω d 1.8.2.- Respuesta impulsional h(t) Se define como la respuesta del sistema a un impulso unitario. Por lo tanto, para el sistema ideal: e −ξωn h(t ) = senω d t (1-21) mω d t.

(35) Análisis de Sistemas Dinámicos 1.8.3.- Respuesta a una excitación arbitraria La contribución del impulso achurado en el tiempo t=η a la respuesta en el tiempo t es:. x(t ) = f (η )dη ⋅ h(t − η ). La respuesta a la excitación arbitraria será (utilizando el principio de superposición): t. x (t ) = ∫ f (η )h(t − η )dη = f (t ) ∗ h(t ) 0. (1-22). Esta es la integral de convolución, superposición o de Duhamel ( ∗ indica producto de convolución). Nota: Debe tenerse presente que la ecuación (1-22) da la respuesta total, es decir la respuesta transiente más la respuesta estacionaria. Ejemplo: Determine la respuesta total del sistema ideal no amortiguado a una fuerza f (t ) = F0 senΩt . 1.- Utilizando las ecuaciones (1-1) y (1-11): x (t ) = Asenω n t + Bcosω n t +. F0. k. 1 − ⎛⎜ Ω ⎞⎟ ⎝ ωn ⎠. 2. senΩt. si : x (0) = 0 x& (0) = 0 → 0 = B 0 = Aω n + F0. x (t ) =. F0. k. 1 − ⎛⎜ Ω ⎞⎟ ⎝ ωn ⎠. F0 Ω 2. Ω→ A=−. ⎛ senΩt − Ω senω t ⎞ ⎜ n ⎟ ωn ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ Ω 1− ⎜ ⎟ ω n⎠ ⎝ k. 2. kω n. 1 − ⎛⎜ Ω ⎞⎟ ⎝ ωn ⎠. 2.

(36) Análisis de Sistemas Dinámicos 2.- Utilizando la integral de Duhamel: t. t. 0. 0. x (t ) = ∫ f (η ) h(t − η ) dη = ∫ F0 senΩη utilizando : senA ⋅ senB =. senω n (t − η ) dη mω n. 1 [cos( A + B) − cos( A − B)] 2. t F0 t x (t ) = cos[Ωη + ω n (t − η )]dη + ∫ cos[Ωη − ω n (t − η )]dη 2mω n ∫0 0. F0. x (t ) =. ⎛ senΩt − Ω senω t ⎞ ⎜ n ⎟ ωn ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ 1− ⎜Ω ⎟ ⎝ ωn ⎠ k. 2. Resumen representación sistemas en dominio tiempo y dominio frecuencias.. Dominio Tiempo. Dominio Frecuencias. 1.8.4.- Excitación impulsiva (o de impacto) ¿Qué es la fuerza de impacto? No existe una definición clara, generalmente se llama a una “transferencia rápida de energía” o “aplicación rápida de una fuerza”. “Rápida” es generalmente referida a su período natural de vibrar. Espectros respuesta: Para fines de diseño el ingeniero está generalmente interesado en el desplazamiento máximo. El gráfico de los espectros de respuesta o de choque es un gráfico X máx ( F0 k ) = X máx X est , debido a una fuerza impulsiva de un cierto valor máximo F0 y duración T0 versus T0 Tn con ξ como parámetro. B. B. B. B.

(37) Análisis de Sistemas Dinámicos Ejemplo: Determinar Xmáx (máximo desplazamiento del sistema ideal no amortiguado) cuando actúa un pulso senoidal de amplitud F0 y duración T0. B. B. B. Fase I: Mientras actúa la fuerza: f (t ) = F0 sen. x (t ) =. F0 k. πt T0. B. B. B. = F0 senω 0 t. senω 0 t −. ω0 senω n t ωn. 0 ≤ t ≤ T0. ⎡ ⎛ω0 ⎞ 2 ⎤ ⎢1 − ⎜ ω ⎟ ⎥ n ⎠ ⎣ ⎝ ⎦. Fase II: Vibraciones libres con condiciones iniciales: x(T0), x& (T0 ) B. x (t ) =. x& (T0 ). ωn. x (T0 ) = −. x& (T0 ) = −. senω n t + x(T0 )cosω n t F0. ⎡ ⎤ ω k ⎢1 − ⎛⎜ 0 ⎞⎟ ⎥ ω n⎠ ⎣ ⎝ ⎦ F0ω 0 2. ⎡ ⎛ ω0 ⎞ 2 ⎤ k ⎢1 − ⎜ ω n ⎟⎠ ⎥ ⎦ ⎣ ⎝. ω0. B. t ≥ T0. ω n senω nT0. (1 + cosω nT0 ).

(38) Análisis de Sistemas Dinámicos Espectros respuesta.

(39) Análisis de Sistemas Dinámicos Es aparente que para cortas duraciones del impulso, digamos T0 < Tn 2 , lo importante es el valor del impulso y la forma del impulso tiene menor efecto. Esto trae como consecuencia que en la práctica impulsos con T0 < Tn 2 sean considerados como velocidad inicial dado al sistema: T0. T. I (t ) 1 0 vi = ∫ dt = ∫ f (t )dt m m0 0. , para el caso de una fuerza impulso.. T0. vi = ∫ a b (t )dt. , para un movimiento de la base ab(t). B. B. 0. El factor de impacto raramente es mayor que 2. Terremoto de El Centro, California, 18 de Mayo de 1940. (″Shock Vibration Handbook″, Cyril M. Harris, 3° ed., pag. 24-5, 24-7). (A) Aceleración del terreno. (B) Variación de la velocidad del terreno, obtenida por integración de (A). (C) Variación del desplazamiento del terreno, obtenido por integración de (B)..

(40) Análisis de Sistemas Dinámicos Espectro de respuesta para sistemas elásticos sujetos al terremoto de El Centro, para varios valores de factor de amortiguamiento ξ.. Valores máximos de las gráficas: dm = 8,3 pulg. vm = 13,7 pulg/s am = 0,32g Movimientos relativos de la masa m: D = amplitud del desplazamiento relativo V = pseudo - velocidad (movimiento supuesto armónico) = ωnD A = pseudo - aceleración = ωnV = ωn2D B. B. B. B. B. P. PB. Nota: Un sistema de ωn bajo corresponde a una masa grande y resorte poco rígido. En este caso D dm → 1,0 ; es decir , máxima deformación en el resorte = máximo desplazamiento del suelo (el suelo se mueve relativo a la masa y ésta no tiene tiempo para moverse). En el otro extremo para ωn altos y resortes rígidos, la masa y suelo se mueven de la misma manera (tiene igual aceleración). B. B. B. B.

(41) Análisis de Sistemas Dinámicos Ejemplo: Determine para el sismo de El Centro: a) Desplazamiento relativo máximo b) Fuerza de corte máximo.. m = 1500 lb. k = 1840 lb.. pie. ξ = 0,05. fn =. 1840 × 32,2 1500 ωn = = 1 Hz 2π 2π. D ≈ 0,4 → D = 0,4 × 8,3 = 3,32 pulg. dm a) del gráfico A ≈ 1,2 → A = 1,2 × 0,32 = 0,38 g am lb pie pie b) f s = kD = mA = 1500 lb × 0,38 × 12 2 = 6840 s s2.

(42) Análisis de Sistemas Dinámicos. Capítulo 2. Sistemas de N grados de libertad. 2.1.- Ecuaciones del movimiento Los sistemas de N grados de libertad pueden escribirse en forma matricial.. [M ]{&x&} + [C ]{x&} + [K ]{x} = {F } [M ] : Matriz de masas [C ] : Matriz de amortiguamiento vis cos o [K ] : Matriz de rigidez [ f ] : Vector fuerzas externas {x} : Vector desplazamiento Ejemplo:. m&x&1 + (c1 + c 2 )x&1 − c 2 x& 2 + 2kx1 − kx 2 = f1 (t ) m&x&2 + c 2 x& 2 − c 2 x&1 − kx1 + kx 2 = f 2 (t ). ⎡m 0 ⎤ ⎧ &x&1 ⎫ ⎡c1 + c 2 ⎢ 0 m⎥ ⎨ x ⎬ + ⎢ − c 2 ⎣ ⎦ ⎩ &&2 ⎭ ⎣. − c 2 ⎤ ⎧ x&1 ⎫ ⎡ 2k ⎨ ⎬+ c 2 ⎥⎦ ⎩ x& 2 ⎭ ⎢⎣ − k. − k ⎤ ⎧ x1 ⎫ ⎧ f 1 (t ) ⎫ ⎬ ⎨ ⎬=⎨ k ⎥⎦ ⎩ x 2 ⎭ ⎩ f 2 (t )⎭.

(43) Análisis de Sistemas Dinámicos. 2.2.- Vibraciones libres no amortiguadas. [M ]{&x&} + [K ]{x} = 0 Las soluciones son de la forma: x (t ) = X e i. rt. (2-1). i. ⎧ x1 (t ) ⎫ ⎧ X 1 ⎫ ⎪ x (t ) ⎪ ⎪ X ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎪ 2 ⎪ rt rt ⎨ ⎬ = ⎨ ⎬e ⇒ {x(t )} = {X }e ⎪ ... ⎪ ⎪ ... ⎪ ⎪⎩ x n (t )⎪⎭ ⎪⎩ X n ⎪⎭. (2-2). Ecuación (2-2) en (2-1):. [Mr. 2. ]. + K {X } = 0. (2-3). La solución no trivial de este sistema de ecuaciones se obtiene para los valores de r que satisfagan la ecuación característica:. [. ]. det Mr 2 + K = 0. (2-4). Ejemplo:. det. (mr. 2. r4 +. mr 2 + 2k −k. −k =0 mr 2 + k. )(. ). + 2k mr 2 + k 2 − k 2 = 0 3k 2 k 2 r + 2 =0 m m. r12 = −0,382 k. m. → r1 = ± 0,618. k j = ±ω 1 j m. r22 = −2,618 k. m. → r2 = ± 1,618. k j = ±ω 2 j m. r1 , r2 = valores propios, eingenvalores ω1 , ω 2 = frecuencias naturales de vibrar.

(44) Análisis de Sistemas Dinámicos 2.2.1.- Modos de vibrar o vectores propios Son los vectores determinados por la ecuación (2-3) que corresponden a cada valor propio. Ejemplo: para r12 = − 0,382 1,618kx1 − kx 2 = 0. k : m. − kx1 + 0,618 x 2 = 0 ⇒ x 2 = 1,618 x1 k : m − 0,618kx1 − kx 2 = 0 para r22 = −2,618. − kx1 − 1,618kx 2 = 0 ⇒ x 2 = −0.618 x1. Normalización de los modos: Los valores x obtenidos no son independientes. Si hay x valores, existen i-1 ecuaciones independientes. Para determinar un valor hay que agregar una nueva ecuación, lo que se llama normalización. i B. i. B. B. 1.- Hacer una de las componentes igual a 1.. ⎧X 1⎫ ⎧ 1 ⎫ Si x1 = 1 ⇒ X 1 = ⎨ 11 ⎬ = ⎨ ⎬ ⎩ X 2 ⎭ ⎩1,618⎭ ⎧X 2 ⎫ ⎧ 1 ⎫ ⇒ X 2 = ⎨ 12 ⎬ = ⎨ ⎬ ⎩ X 2 ⎭ ⎩− 0,618⎭. { }. { }. X : Amplitud de masa i cuando vibra con el modo j. j. i. 2.- Hacer su longitud igual a uno.. X =. X 12 + X 22 + ... X n2 = 1,0 → {X } {X } = 1,0 T. (. X 12 + X 22 = 1 → X 11 + 1,618 X 11. (. → X 12 + − 0,618 X 12. ). ⎧0,526⎫ =1→ X1 = ⎨ ⎬ ⎩ 0,851⎭ ⎧ 0,851 ⎫ 2 =1→ X 2 = ⎨ ⎬ ⎩− 0,526⎭. 2. ). { }. { }. B.

(45) Análisis de Sistemas Dinámicos 3.- Hacer el producto XTMX =1,0. P. P. ⎡m ⎤ ⎧ x1 ⎫ 2 2 x 2 }⎢ ⎨ ⎬ = mx1 + 2mx 2 = 1,0 ⎥ 2m ⎦ ⎩ x 2 ⎭ ⎣ ⎧ 0,40 ⎫ −12 2 0,160 mx12 + 2m 1,618 x12 = 1,0 → x 12 = → X1 = ⎨ ⎬m m ⎩0,648⎭. {x1. (. ). { }. ⎫ {X } = ⎧⎨−00,753 ⎬m ,465 2. ⎩. −1. 2. ⎭. 2.2.2.- Ecuaciones del movimiento Si el sistema vibrara sólo con el modo r = rs (ω = ω s ), entonces de ecuación (22):. {x(t )}. s. { }. = ( As senω s t + Bs cosω s t ) X s. (2-5). En el caso general: El sistema vibra con una combinación lineal de los modos: N. N. s =1. s =1. {x(t )} = ∑ {x(t )}s = ∑ ( As senω s t + Bs cosω s t ){X s } La solución para el caso i, será: N. xi (t ) = ∑ ( As senω s t + Bs cosω s t ) X is. (2-6). s =1. para sistemas amortiguados: N. xi (t ) = ∑ e −ξ ω t ( As senω ds t + Bs cosω ds t )X is s. s. (2-7). s =1. Ejemplo: Determinar x1(t) y x2(t) B. B. B. Se había determinado :. x1 (0) = x10. Si:. B. ⎫ ⎧ 1 ⎫ ⎧ X 21 ⎫ ⎧ 1 ⎫ 2 ⎬; X = ⎨ 2 ⎬ = ⎨ ⎬=⎨ ⎬ ⎩ X ⎭ ⎩1,618⎭ ⎩ X 2 ⎭ ⎩− 0,618⎭. {X } = ⎧⎨ X 1. x 2 (0) = x&1 (0) = x& 2 (0) = 0 1 1 2 1. { }. Aplicando ecuación (2-6): x1 (t ) = ( A1 senω1t + B1cosω1t ) X 11 + (A2 senω 2 t + B2 cosω 2 t )X 12. x 2 (t ) = ( A1 senω1t + B1cosω1t ) X 21 + (A2 senω 2 t + B2 cosω 2 t )X 22.

(46) Análisis de Sistemas Dinámicos Usando las condiciones iniciales: x1 (0) = x10. x 2 (0) = 0. x&1 (0) = 0 x& 2 (0) = 0. → x10 = B1 + B2. → B1 = 0,276 x10. → 0 = 1,618 B1 − 0,618B2. → B2 = 0,724 x10. → 0 = A1ω1 + A2ω 2. → A1 = A2 = 0. → 0 = 1,618 A1ω1 − 0,618 A2ω 2. x1 (t ) = x10 (0,276 cos ω1t + 0,724 cos ω 2 t ). x 2 (t ) = X 10 (0,446 cos ω1t − 0,446 cos ω 2 t ). x1 (t )⎫ 1 2 ⎬ = 0,276 x10 cosω1t X + 0,724 x10 cosω 2 t X ( ) x t ⎩ 2 ⎭. {x(t )} = ⎧⎨. { }. { }. ⇒ El sistema vibra con una combinación (ponderada) de sus modos de vibrar Modo {X2}. Modo {X1} P. P. P. Deformación inicial. P. + =. 0,276 x10 {X1} B. B. P. 0,724 x10 {X2}. P. B. B. P. P. +. ⇒ El modo que más participa en la vibración será el que es preponderante en la deformación inicial. Si la deformación inicial es la forma de un modo el sistema vibrará sólo con ese modo (“condiciones apropiadas”)..

(47) Análisis de Sistemas Dinámicos. 2.3.- Vibraciones forzadas sin amortiguamiento 2.3.1.- Método directo Para excitaciones armónicas, la respuesta estacionaria puede ser determinada usando el álgebra compleja. Para esto hay que reemplazar en las ecuaciones del movimiento: f (t ) = F e Ω j. i. t. i. x (t ) = X e i. Ωt. j. i. x& (t ) = jX Ωe i. Ωt. j. i. 2 &x& (t ) = −Ω X e i. Ωt. j. i. y resolver el sistema de ecuaciones resultantes. Ejemplo: Determinar x1(t) y x2 (t) estacionarios B. B. B. B. ω1 = 0,618 k m. m&x&1 + 2kx1 − kx2 = F0 senΩt m&x&2 − kx1 + kx2 = 0. ω 2 = 1,618 k m F1 (t ) = F0 senΩt. Reemplazando: F0 sen Ωt = F0 e x (t ) i. &x& (t ) i. =Xe. j. Ωt. j. Ωt. i. = − X Ω2e. Ωt. j. i. (. ). X 1 − mΩ 2 + 2k − X 2 k = F0. (. ). − X 1 K + k − mΩ 2 X 2 = 0. ⇒. X1 =. F0. −k. 0. k − mΩ 2 ∆. =. (. ). F0 k − mΩ 2 ⎞ ⎞⎛ ⎛ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ m 2 ⎜ Ω 2 − 0,382 k ⎟⎜ Ω 2 − 2,618 k ⎟ m m 1424 3 1424 3 ⎟ ⎟⎜ ⎜ 2 2 ω1 ω2 ⎠ ⎠⎝ ⎝.

(48) Análisis de Sistemas Dinámicos. X2 =. 2k − mΩ 2 −k. F0 0. =. ∆. 2 k − mΩ 2 ∆= −k. − F0 k m 2 Ω 2 − ω 12 Ω 2 − ω 22. (. )(. ). −k = 2 k − mΩ 2 k − mΩ 2 − k 2 2 k − mΩ. (. )(. ). ⎛ k2 ⎞ 3k = m 2 ⎜⎜ Ω 4 − Ω 2 + 2 ⎟⎟ m m ⎠ ⎝ 2 2 = m Ω − 0,382 k Ω 2 − 2,618 k m m. (. x1 (t ) =. (. )(. ). ). F0 k − mΩ 2 senΩt m 2 Ω 2 − ω12 Ω 2 − ω 22. (. )(. ). - Sistema de N=2 grados de libertad tiene N=2 frecuencias naturales. - Cuando la frecuencia de la excitación Ω coincide aproximadamente con cualquiera de las ω se generan grandes amplitudes de vibración → Resonancia. i.

(49) Análisis de Sistemas Dinámicos 2.3.2- Método modal Las coordenadas x1, x2 elegidas para definir el movimiento del sistema están acopladas, en el sentido en que ambas coordenadas aparecen en cada ecuación y por lo tanto si varía x1, varía también x2. B. B. B. B. B. B. B. B. m&x&1 + 2kx1 − kx2 = 0 m&x&2 − kx1 + kx2 = 0. Sin embargo, siempre es posible en un sistema no - amortiguado encontrar un sistema de coordenadas, qi, sin ningún tipo de acoplamiento o desacopladas, llamadas coordenadas principales. B. B. Propiedades de ortogonalidad de los vectores propios: Consideremos dos modos cualesquiera i y j. De ecuación (2-3). [K ]{X } = −Ω 2 [ ]{X }. (. i. i. (2-a). [K ]{X } = ω 2 [M ]{X }. (2-b). [K ]{X } = ω 2 [M ]{X }. (2-c). {X j }T [K ]{X i } = ω i {X j }T [M ]{X }. Premultiplicando ec.(2-a) por X. (2-d). {X j }T [K ] = ω i {X j }T [M ]. Transpuesta de ecuación (2-b). (2-e). {X j }T [K ]{X i } = ω i {X j }T [M ]{X }. i. i. i. j. j. j. 2. i. 2. 2. ){ j }T [M ]{X } = 0. ⇒ ω i2 − ω 2j X -. ; ω 2 = −r 2. i. i. { j }T. { }. Postmulplicando ec.(2-d) por X. i. Ecuación (2-c) - (2-e). Para i ≠ j, si ω ≠ ω : i. j. {X } [M ]{X } = 0 {X j }T [K ]{X } = 0 i T. i. i. Relaciones de Ortogonalidad (2-8) i, j = 1,2,...N. es decir, los vectores propios son ortogonales respecto a las matrices [M ] y [K ].

(50) Análisis de Sistemas Dinámicos -. Para i = j:. {X i }T [M ]{X i } = µ ii {X i }T [K ]{X } = γ. (2-9). i. ii. µ = Masa modal correspondiente al modo i. γ = Rigidez modal correspondiente al modo i. ii. ii. Nota: µ , γ. { }. ii. ii. son constantes que dependen de cómo fue normalizado el vector. propio X . i. Para eficiencia operacional se define la matriz modal [ X ] , como la matriz cuyas columnas son los vectores propios de los diferentes modos, o sea como:. [ X ] = [X 1. X2 −−− X N. ]. (2-10). Se puede demostrar que [ X ] [M ][X ] y [ X ] [K ][X ] son matrices diagonales. Como ejemplo consideremos un sistema con dos grados de libertad: T. { } { }. T. T T { } [ M ]{X } {X } [M ]{X }⎤ [{ }{ }] { }T [M ]{X } {X }T [M ]{X }⎥⎦⎥. ⎡ 1 ⎡ X1 T ⎤ [X ] [M ][X ] = ⎢ 2 T ⎥[M ] X 1 X 2 = ⎢ X 2 ⎥⎦ ⎢⎣ X ⎣⎢ X T. 1. 1. 2. 1. 2. 2. µ11 ο ⎤ ⎥ ⎣ ο µ 22 ⎦. [X ]T [M ][X ] = ⎡⎢. Ecuaciones del movimiento en coordenadas principales. Introduciendo la siguiente transformación lineal de coordenadas:. {X (t )} = [ X ]{q(t )}. (2-11). en las ecuaciones del movimiento y premultiplicando por [ X ] , se obtiene: T. [X ]T [M ][X ]{q&&} + [X ]T [K ][X ]{q} = [X ]T { f } [← µ → ]{q&&} + [←γ → ]{q} = {P}. (2-12). Las coordenadas q (t), se llaman coordenadas principales y generalmente no tienen significado físico. Es una herramienta de cálculo para desacoplar las ecuaciones del movimiento. El sistema de ecuación (2-12) son N ecuaciones desacopladas: i B. B. µ q&& + γ q = P (t ) ii. i. ii. i. i. (2-13).

(51) Análisis de Sistemas Dinámicos. P (t ) = [ X ] { f } T. (2-14). i. Cuando los modos son normalizados respecto a la matriz de masa, a veces se llaman modos normales : {X N } y las matrices de (2-12) se transforman en : i. [X N ]T [M ][X N ] = [← 1→ ] [X N ]T [K ][X N ] = [←ω 2 → ]. (2-15). i. Ejemplo: Resolver por el método modal x1 (t ), x 2 (t ) si x1 (0 ) = x10 ; x 2 (0 ) = x&1 (0 ) = x& 2 (0 ) = 0. ⎡m ⎤ ⎧ &x&1 ⎫ ⎡ 2k ⎨ ⎬+ ⎢ m⎥⎦ ⎩ &x&2 ⎭ ⎢⎣− k ⎣. − k ⎤ ⎧ x1 ⎫ ⎨ ⎬=0 k ⎥⎦ ⎩ x2 ⎭. 1 ⎫ ⎧ 1 ⎫ {X } = ⎧⎨1,618 ⎬; {X } = ⎨ ⎬; ω − 0,618 1. 2. ⎩. ⎭. ⎩. ⎭. 2 1. = 2,618 k. m. ; ω 22 = 0,382 k. m. - Desacoplando las ecuaciones del movimiento: ⎡m. µ11 = {X 1 } [M ]{X 1 } = {1 1,618}⎢ T. ⎣. ⎡m. ⎤⎧ 1 ⎫ ⎨ ⎬ = 1,382m m⎥⎦ ⎩− 0,618⎭. µ 22 = {1 − 0,618}⎢ ⎣. ⎡ 2k ⎣− k. γ 11 = {1 1,618}⎢. − k ⎤⎧ 1 ⎫ ⎬ = 1,382 k ⎨ k ⎥⎦ ⎩1,618⎭. ⎡ 2k ⎣− k. γ 22 = {1 − 0,618}⎢. ⎤⎧ 1 ⎫ ⎨ ⎬ = 3,618 m m⎥⎦ ⎩1,618⎭. − k ⎤⎧ 1 ⎫ ⎬ = 3,618 k ⎨ k ⎥⎦ ⎩− 0,618⎭. Comprobación de relaciones de ortogonalidad (verificar si fueron bien calculados los X ):. { } i. ⎡m. µ12 = {1 1,618}⎢ ⎣. ⎤⎧ 1 ⎫ ⎨ ⎬ = m − m = 0 ; idem γ 12 = 0 m⎥⎦ ⎩− 0,618⎭.

(52) Análisis de Sistemas Dinámicos Verificación de las frecuencias naturales (las frecuencias naturales son independientes del sistema de coordenadas elegido): 3,618 m q&&1 + 1,382 k q1 = 0 1,382 m q&&2 + 3,618 k q 2 = 0 Ecuación del movimiento en coordenadas principales (ecuaciones del movimiento desacopladas):. ω12 =. γ 11 1,382 k k = = 0,382 µ11 3,618 m m. ω 22 =. ;. γ 22 3,618 k k = = 2,618 µ 22 1,382 m m. Solución de cada ecuación: q (0) q (t ) = q (0 ) cosω t + & i. i. i. i. ω sen ω t i. i. Cálculo de las condiciones iniciales en coordenadas q (q (0 ) , q& (0 )) , usando ecuación (2-11): i. i. i. {x(t )} = [ X ]{q(t )} 1 ⎤ ⎧ q1 (t )⎫ ⎧ x1 (t )⎫ ⎡ 1 ⎬ ⎬=⎢ ⎨ ⎥⎨ ⎩ x 2 (t )⎭ ⎣1,618 − 0,618⎦ ⎩q 2 (t )⎭ ⇒ q1 (t ) = 0,276 x1 (t ) + 0,447 x 2 (t ) q 2 (t ) = 0,724 x1 (t ) − 0.447 x 2 (t ) Luego. q1 (t ) = 0,276 x10 cosω1t. ⇒ q1 (0) = 0,276 x10 q 2 (0) = 0,724 x10. Solución en coordenadas q (t).. q 2 (t ) = 0,724 x10 cosω 2 t. i B. La solución en coordenadas x (t): i B. B. x1 (t ) = 0,276 x10 cos ω1t + 0,724 x10 cosω 2 t x 2 (t ) = 0,447 x10 cos ω1t + 0,447 x10 cosω 2 t Verificación para t = 0 :. x1 (0) = 0,276 x10 + 0,724 x10 = x10 x 2 (0) = 0,447 x10 − 0,447 x10 = 0. B.

(53) Análisis de Sistemas Dinámicos Ejemplo: Determine las respuestas estacionarias x1 (t), x2 (t) usando método modal. B. De ecuación (2-14): {P (t )} = [ X ]. T. i. B. B. B. {f }. 1 1,618 ⎤ ⎧ F0 senΩt ⎫ ⎧ F0 senΩt ⎫ ⎬=⎨ ⎬ ⎥⎨ ⎣1 − 0,618⎦ ⎩ 0 ⎭ ⎩ F0 senΩt ⎭. {P (t )} = ⎡⎢ i. F0 senΩt Por lo tanto las ecuaciones desacopladas del movimiento de acuerdo a ecuación (2-13) son: 3,618 m q&&1 + 1,382 k q1 = F0 senΩt 1,382 m q&&2 + 3,618 k q 2 = F0 senΩt Cuyas soluciones para el movimiento estacionario son:. q (t ) = i. q1 (t ) = q 2 (t ) =. F0 / γ. ii. 1 − (Ω / ω. i. ). 2. senΩt =. F0 senΩt µ ω 2 − Ω2 ii. F0. (. ) senΩt. (. ) senΩt. 3,618m ω12 − Ω 2 F0. 1,382m ω 22 − Ω 2. (. ). i. Luego:. x1 (t ) = q1 (t ) + q 2 (t ) =. x1 (t ) =. (. ⎡ ⎤ F0 1 1 + senΩt ⎢ 2 2 2 2 ⎥ m 1,382 m ω 2 − Ω ⎦ ⎣ 3,618 m ω1 − Ω. (. ). F0 k − mΩ 2 sen Ωt = X 1 sen Ωt m 2 ω11 − Ω 2 ω 22 − Ω 2. (. )(. ). x 2 (t ) = 1,618 q1 (t ) − 0,618 q 2 (t ) x 2 (t ) =. ). − F0 k senΩt = X 2 senΩt m ω − Ω 2 ω 22 − Ω 2 2. (. 2 1. )(. ). (. ).

(54) Análisis de Sistemas Dinámicos Análisis de la participación de los modos de vibrar F0 sen Ωt F0 sen Ωt 2 2 + 3,618 m ω 1 − Ω 1,382 m ω 22 − Ω 2 144 42444 3 144 42444 3. x1 (t ) = q1 (t ) + q 2 (t ) =. (. q1 (t )= participación 1er. ). mod o. (. q 2 (t )= participación 2°. ). mod o. Notas: 1.- Para Ω cercanas a ω la respuesta es aproximadamente la del modo i. 2.- Para un sistema de N grados, en la respuesta a una excitación a Ω , los modos predominantes son aquéllos (dos o tres) con ω cercanos a Ω . Es decir, un sistema de N grados de libertad puede ser analizado en ese caso como un sistema de dos o tres grados de libertad. i. i.

(55) Análisis de Sistemas Dinámicos. 2.3.4.- Absorbedor de vibraciones Al igual que para los sistemas de un grado de libertad cuando se produce un problema de resonancia se puede evitar: 1.- Eliminando la fuente excitadora. 2.- Cambiar la masa y/o rigidez. 3.- Amortiguar el sistema. Sin embargo, hay situaciones donde no es factible o es muy caro estas soluciones . En un sistema con varias excitaciones Ω y varias ω cercanas, cambiar k o m para variar un ω que coincidía con un Ω puede hacer coincidir otro Ω con otro ω . i. i. i. i. j. i. Otra alternativa para solucionar un problema de altas vibraciones, es utilizar un absorbedor dinámico de vibraciones. Supongamos que la máquina tiene altas vibraciones (por ejemplo porque la excitación Ω está cerca de un ω ). A este sistema lo llamaremos el sistema primario. i. F0 senΩt Sistema Primario. F0 senΩt. ω1 2 = k1 m. 1. Sistema Primario + absorbedor. F0 senΩt F0 senΩt. ω2 2 = k 2 m m1 &x&1 + (k1 + k 2 )x1 − k 2 x 2 = F0 senΩt m2 &x&2 − k 2 x1 + k 2 x 2 = 0. 2.

(56) Análisis de Sistemas Dinámicos Ωt. x1 = X 1 sen Ωt = X 1e. j. x 2 = X 2 senΩt = X 2 e F0 senΩt = F0 e. (− m Ω 1. 2. j. Ωt. j. Ωt. ). + k1 + k 2 X 1 − X 2 k 2 = F0. (. ). − k 2 X 1 + k 2 − m2 Ω 2 X 2 = 0 ⎛ Ω2 ⎞ ⎜1 − 2⎟ k w F0 k 2 − m 2 Ω 1⎝ 2 ⎠ X1 = = 2 2 2 2 2 k1 + k 2 − m1Ω k 2 − m 2 Ω − k 2 ⎛ k 2 ⎞ k ⎞⎛ ⎜ 1 + k − Ω 2 ⎟⎜ 1 − Ω 2 ⎟ − 2 k ω1 ⎠⎝ w2 ⎠ 1 1 ⎝ (2-*) F F k k X = = k +k −m Ω k −m Ω −k ⎛ k ⎞⎛ Ω ⎞ k ⎜1 + k − Ω ⎟⎜1 − ⎟− k w ⎠ ω ⎠⎝ 1 ⎝ (2-**) De la ecuación (2-*), si Ω = ω 2 ⇒ X 1 = 0; Es decir, el sistema primario (máquina) queda detenido (no vibra) si se hace que la frecuencia natural del sistema absorbedor = Ω . Un caso importante de altas vibraciones es debido a la resonancia: Para este caso Ω = ω1 .. (. (. 2. )(. F0. ). ). 0. 2. (. )(. 0.. 2. 1. 2. 1. 2. 2. 2. 2. ). 1. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 1. 1. 2. 2. El adsorbedor a agregar para eliminar las vibraciones debe tener según la ecuación (2-*): ω2 = Ω k k m k o sea : Ω = ω 2 = ω1 ⇒ 2 = 1 ⇒ µ = 2 = 2 m2 m1 m1 k1. F0 F F ⇒ x 2 (t ) = − 0 senΩt = 0 sen(Ωt + 180º ) k2 k2 k2 es decir, el absorbedor vibra en contrafase con F0 senΩt . De ecuación (2-**): X 2 = −.

(57) Análisis de Sistemas Dinámicos. ⎯ : Respuesta del sistema primario (estaba en resonancia: Ω = ω 1 = ω 2 ). − − : Respuesta con absorbedor (para Ω = ω 1 = ω 2 : X 1 = 0) . De la figura se observa que el absorbedor no será efectivo si Ω no es constante.. En el caso de que exista amortiguamiento no se tendrá amplitudes → ∞ en las resonancias ni amplitud = 0 en la antiresonancia.. 2.3.5.- Funciones respuestas para sistemas de N grados de libertad H. ij. (f )= X. i. /F. j. - Funciones respuestas directas o puntuales ( point ) si i = j. - Funciones respuestas de transferencia: si i ≠ j. Frecuencias de antiresonancias (o ceros): Son las frecuencias para las cuales las amplitudes de la respuesta de un sistema no-amortiguado son cero. Las funciones respuestas directas presentan siempre (n-1) antiresonancias, mientras que las de transferencias raramente la presentan..

(58) Análisis de Sistemas Dinámicos. 2.3.6.- Movimientos de cuerpo Rígido Los sistemas no restringidos a moverse, presentan movimientos de cuerpo rígido (el sistema se mueve sin deformarse). Ellos están caracterizados por ω = 0 . i.

(59) Análisis de Sistemas Dinámicos Ejemplo: Determinar las frecuencias naturales y modos de vibrar del sistema.. m&x&1 + kx1 − kx2 = 0 m&x&2 + kx2 − kx1 = 0. 2. mr + k −k. ⇒ r12 = 0. −k = 0 = m 2 r 4 + 2kmr 2 = 0 2 mr + k. r22 =. − 2k m. Para r12 = 0; (ω 1 = 0) :. mr 2 + k −k. − k ⎧ x1 ⎫ ⎨ ⎬=0 mr 2 + k ⎩ x 2 ⎭. ⇒. X1 = X 2. {X } = ⎧⎨11⎫⎬ . 1. ⎩⎭. Es decir, si la masa 1 se desplaza 1, la masa 2 también se desplaza 1, o sea el sistema se mueve sin deformarse, o sea como cuerpo rígido. Para r22 = −2 k − 2k. ; ⎛ ω = 2 k ⎞⎟ : m ⎜⎝ 2 m⎠. m+k m −k. −k. ⎧ x1 ⎫ =0 − 2k m + k ⎨⎩ x 2 ⎬⎭ m. ⇒. X1 = −X 2. {X } = ⎧⎨−11⎫⎬ 2. ⎩. ⎭. 2.3.7.- Matrices de flexibilidad y rigidez Los sistemas matriciales son una aproximación sistemática para lograr claridad y simplicidad en el cálculo de sistemas con muchos grados de libertad. Coeficiente de influencia o flexibilidad, f Se define como el desplazamiento en i debido a una fuerza unitaria aplicada en j. x f = F ij. i. i j. j. Coeficientes de rigidez, k Se define como la fuerza sostenedora en i para un desplazamiento unitario en j (siendo nulos los otros desplazamientos). F k = x ij. i. i j. j.

(60) Análisis de Sistemas Dinámicos Ejemplo: Determinar a) f y b) k para el sistema de la figura ij B. ij. B. B. B. a). kx1 − k ( x 2 − x1 ) = 1. k ( x 2 − x1 ) − kx1 = 0. k ( x 2 − x1 ) = 0. ⇒ x 2 = x1 ⇒. k ( x 2 − x1 ) = 1. x1 = f11 = 1 / k x 2 = f 21 = 1 / k. ⇒ x 2 = 2 x1 ⇒. x1 = f12 = 1 / k x 2 = f 22 = 2 / k. Matriz de flexibilidad o de coeficientes de influencia 1/ k ⎣1 / k. [ f ] = ⎡⎢. 1/ k ⎤ ⎡ 2k −1 ⇒ [k ] = [ f ] = ⎢ ⎥ 2/ k⎦ ⎣− k. − k⎤ k ⎥⎦. b). kx1 + kx1 = F1. − kx 2 = F1. − kx1. kx 2 = F2. ⇒. = F2. F1 = k11 = 2k F2 = k 21 = − k ⎡ 2k ⇒ [k ] = ⎢ ⎣− k. ⇒. F1 = k12 = − k F2 = k 22 = k. − k⎤ k ⎥⎦. Nota: Para este ejemplo, determinar las matrices de rigidez o flexibilidad no presenta ventaja operativa para determinar las ecuaciones del movimiento. Sin embargo, en el próximo problema si que será de gran utilidad..

(61) Análisis de Sistemas Dinámicos Ejemplo: Determinar las ecuaciones del movimiento para las vibraciones libres en flexión de la barra de la figura.. [M ]{X&& }+ [K ]{X } = 0 En este caso es más fácil determinar en primer lugar la matriz de flexibilidad y por su inversa determinar la matriz [k ] . Las coeficientes f son determinados utilizando las tablas de deflexiones (mecánica de sólidos).. Para determinar los k. ij B. B. Para determinar los f. ij B. B. ij B. B. f11 = l 3 / 24 ΕΙ f 21 = 5l 3 / 48ΕΙ f 22 = l 3 / 3ΕΙ f12 = 5l 3 / 48ΕΙ l3 ⇒ [f ]= 48 EI. ⎡2 5 ⎤ ⎢5 16⎥ ⎣ ⎦. [k ] = [ f ]−1 = 48Ε3 I l. ⎤ ⎧ X&&1 ⎫ 48 ΕΙ ⎨ ⎬+ 3 m2 ⎥⎦ ⎩ X&& 2 ⎭ l. ⎡m ⇒⎢ 1 ⎣. ⎡ 16 − 5⎤ ⎢− 5 2 ⎥ ⎦ ⎣. ⎡ 16 − 5⎤ ⎢− 5 2 ⎥ = 0 ⎣ ⎦. Notas: 1.- Observe que las matrices de rigidez y flexibilidad son simétricas. 2.- Los coeficientes de rigidez k deben ser positivos para que el sistema sea estable. ii. k11 positivo significa que la fuerza elástica se opone a F1. k11 negativo significa que k11x1 tiene la misma dirección que F1, es decir, tiende a aumentar la deformación → Inestable. B. B. B. B. B. B. B. B. 3.- Los coeficientes k pueden ser (+) 0 (-). ij B. B. B. B. B. B.

(62) Análisis de Sistemas Dinámicos. 2.4.- Vibraciones amortiguadas Generalmente el amortiguamiento se puede ignorar en las zonas alejadas de las resonancias o antiresonancias, pero no así en estas zonas (es de importancia fundamental). 2.4.1.- Vibraciones libres La solución del movimiento en vibraciones libres:. [M ]{&x&} + [C ]{x&} + [K ]{x} = 0. (2-16). Son de la forma: {x} = {X }e Ω. t. (2-17). [. ]. (2-17) en (2-16): Mr 2 + Cr + K {X } = 0. [. ]. para que exista solución det Mr 2 + Cr + K = 0. Para que exista vibración los valores propios (r) conjugados, es decir. (2-18) (2-19). deben ser complejos. ri = −α i ± jβ i. α i = ξ iω i. (2-20). βi = ωd = ω 1− ξ 2 i. i. i. Nota: α debe ser negativo para que el sistema sea estable. i. Reemplazando (2-20) en (2-18) se obtienen los modos de vibrar. Estos vectores propios serán complejos. Físicamente significa que las diferentes masas no llegan a sus posiciones extremas al mismo tiempo, sino que desfasadas (por lo tanto ya no se puede hablar de la deformada o forma de vibrar). 2.4.2.- Amortiguamiento proporcional Se llama al amortiguamiento que es proporcional a la matriz de masa y/o matriz de rigidez, es decir:. [C ] = a[M ] + b[K ]. a, b = constantes. (2-21). Cuando el amortiguamiento es proporcional: 1.- Los modos de vibrar son reales, iguales al sistema conservativo asociado..

(63) Análisis de Sistemas Dinámicos 2.- Se pueden desacoplar las ecuaciones del movimiento. En efecto:. [M ]{&x&} + [C ]{x&} + [K ]{x} = {F }. (2-22). Con la transformación: {x} = [X ]{q} y premulplicando por [ X ] : T. [X ]T [M ][X ]{q&&} + [X ]T [C ][X ]{q&} + [X ]T [K ][X ]{q} = [X ]T {q}. (2-23). si [C ] = a[M ] + b[K ] Diagonal Diagonal 647 48 64 748 T T [X ] [C ][X ] = a [X ] [M ][X ] + b[X ] [K ][ X ] ⇒ Diagonal T. y la ecuación (2-12) queda desacoplada:. [ Donde:. ←. µ → ]{q&& } + [ ← ϕ → ][q& ] + [ ← γ → ]{q} = {P}. (2-24). i. ϕ ii = {X i } [C ]{X T. i. }. (2-25). Ejemplo: a) Con amortiguamiento proporcional. c1 = c 2 = 0,2 km. ⎡m ⎤ ⎧ &x&1 ⎫ ⎡ 0,4 km ⎨ ⎬+⎢ ⎢ m⎥⎦ ⎩ &x&2 ⎭ ⎣ − 0,2 km ⎣ Observe: [C ] proporcional a [K ]. − 0,2 km ⎤ ⎧ x&1 ⎫ ⎡ 2k ⎥⎨ ⎬ + ⎢ 0,2 km ⎦ ⎩ x& 2 ⎭ ⎣ − k. − k ⎤ ⎧ x1 ⎫ ⎨ ⎬=0 k ⎥⎦ ⎩ x 2 ⎭.

(64) Análisis de Sistemas Dinámicos. [. ]. det Mr 2 + Cr + K = 0 ⎡ mr 2 + 0,4 km r + 2k det ⎢ − 0,2 km − k ⎣ r 4 + 0,6r 3 km + 3,04r 2. ⎤ ⎥=0 mr 2 + 0,2 km r + k ⎦ − 0,2 km − k. k k k k2 + 0,41 + =0 m m m m2. k = α 1 ± jβ 1 m ⇒ k r2 = (−0,2618 ± 1,5967 j ) = α 2 ± jβ 2 m r1 = (−0,03819 ± 0,6168 j ). Usando ecuación (2-20):. ω d1 = 0,6168 k m. ; ω 1 = 0,618 k. m. ;ξ1. = 0,0618. ω d 2 = 1,5967 k m. ; ω 2 = 1,618 k. m. ;ξ 2. = 0,1618. Usando ecuación (2-18):. para. r12 = (α 1 ± jβ 1 ). para. r22 = (α 2 ± jβ 2 ). 2. 2. [Mr. 2. ]. + Cr + K {X } = 0. ,0 ⎫ {X } = ⎧⎨1,1618 ⎬ 1. {X } 2. ⎩ ⎭ ⎧ 1,0 ⎫ =⎨ ⎬ ⎩− 0,618⎭. Nota: Se observa que los modos de vibrar son reales e idénticos a los modos sin amortiguamiento.. b) Con amortiguamiento no – proporcional c1 = 0,4 km c 2 = 0,2 km. ⎡m ⎤ ⎧ &x&1 ⎫ ⎡ 0,6 km ⎨ ⎬+⎢ ⎢ m⎥⎦ ⎩ &x&2 ⎭ ⎣ − 0,2 km ⎣. − 0,2 km ⎤ ⎧ x&1 ⎫ ⎡ 2k ⎥⎨ ⎬ + ⎢ 0,2 km ⎦ ⎩ x& 2 ⎭ ⎣ − k. − k ⎤ ⎧ x1 ⎫ ⎨ ⎬=0 k ⎥⎦ ⎩ x 2 ⎭.

(65) Análisis de Sistemas Dinámicos. [. ⇒ r1 = −0,0659 ± 0,6156 j. ]. det Mr 2 + Cr + K = 0. r2 = −0,3341 ± 1,58 j. ω d 1 = 0,6156 ω d 2 = 1,58. Usando ecuación (2-20):. [. ;ω 1 = 0,619 ; ξ 1 = 0,1064 ;ω 1 = 1,615 ; ξ 2 = 0,207. ]. Usando ecuación (2-18): Mr 2 + Cr + K {X } = 0. para. r1 = α 1 ± jβ1 :. {X } = ⎧⎨1,618 ± 01,09017 j ⎫⎬ = ⎧⎨1,6211e. para. r2 = α 2 ± jβ 2 :. 1 {X } = ⎧⎨0,5982 ±10,08714 j ⎫⎬ = ⎧⎨− 0,6045 e. 1. ⎩. ⎭. ⎩. ± 3, 2 º. ⎫ ⎬ ⎭. 2. ⎩. ⎭. ⎩. ± 8.3 º. ⎫ ⎬ ⎭. 2.4.3.- Método pseudo modal 1.- Si el sistema tiene N grados de libertad se usa un sistema sólo de n grados de libertad de modo que: Ω máx < (ω ) n i. (máxima frecuencia de excitación)< (frecuencia natural del modo n). Para lo cual es necesario determinar ω 1 , ω 2 ...ω n. X 1 , X 2 ... X n 2.- Se resuelve el sistema:. [. ←. µ → ]{q&&} + X T CX {q&} + [ ← γ → ]. ⎧ q1 ⎫ ⎧ P1 (t ) ⎫ ⎪q ⎪ ⎪ P (t )⎪ ⎪ 2⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎨ ⎬=⎨ ⎬ ⎪:⎪ ⎪ : ⎪ ⎪⎩q n ⎪⎭ ⎪⎩ P3 (t ) ⎪⎭. Si el amortiguamiento es no-proporcional y pequeño, se puede aproximar la solución no considerando los términos diagonales de matriz X T CX (Hipótesis de Basile) y desacoplando el sistema de ecuaciones..

(66) Análisis de Sistemas Dinámicos 2.4.4- Método de resolución de valores y vectores propios Cuando el amortiguamiento [C] no es proporcional, es inapropiado usar un método de resolución de valores propios estándar en las ecuaciones:. [M ]{&x&} + [C ]{x&} + [K ]{x} = 0. (2-16). Para transformar (2-16) a un problema estándar, se le suma la ecuación (2-26):. [K ]{x&} − [K ]{x&} = 0. (2-26). obteniendo después de ordenar ⎡M ⎢0 ⎣. 0 ⎤ ⎧ &x&⎫ ⎡ C ⎨ ⎬+ − K ⎥⎦ ⎩ x& ⎭ ⎢⎣ K. K ⎤ ⎧ x& ⎫ ⎨ ⎬=0 0 ⎥⎦ ⎩ x ⎭. (2-27). llamando M ⎣0. [A] = ⎡⎢. 0 ⎤ ⎡C ; [B ] = ⎢ ⎥ − K⎦ ⎣K. K⎤ ⎧ x& ⎫ ; {y} = ⎨ ⎬ ⎥ 0⎦ ⎩x⎭. (2-28). se obtiene. [A]{y& (t )} + [B]{y (t )} = 0. (2-29). {y (t )} = {Y }e Ω. (2-30). Forma estándar. (2-31). t. las soluciones son de la forma:. [A]−1 [B]{Y } = −r{Y } [A`]{Y } = λ{Y } Ejemplo: Resolver por Matlab los ω y X . i B. a.-. Si. c1 = 0,4 km. B. i B. B. , c 2 = 0,2 km. ⎡1 0⎤ ⎧ &x&1 ⎫ ⎡ 0,6 − 0,2⎤ ⎧ x&1 ⎫ ⎡ 2 − 1⎤ ⎧ x1 ⎫ ⎢0 1⎥ ⎨ x ⎬ + ⎢ − 0,2 0,2 ⎥ ⎨ x ⎬ + ⎢− 1 1 ⎥ ⎨ x ⎬ = 0 ⎦⎩ 2 ⎭ ⎦⎩ &2 ⎭ ⎣ ⎣ ⎦ ⎩ &&2 ⎭ ⎣. ⇒ [C ] : Amortiguamiento no proporcional.

(67) Análisis de Sistemas Dinámicos Programa Matlab para resolver el ejemplo. »A A= 1 0 0 0. 0 1 0 0. 0 0 -2 1. 0 0 1 -1. »B B= 0.6000 -0.2000 2.0000 -1.0000. -0.2000 2.0000 -1.0000 0.2000 -1.0000 1.0000 -1.0000 0 0 1.0000 0 0. » [E,EE]=eig(inv(A)*B) E= -0.3774 - 0.6221i -0.3774 + 0.6221i 0.2433 + 0.1313i 0.2433 - 0.1313i 0.1715 + 0.4050i 0.1715 - 0.4050i 0.4055 + 0.1905i 0.4055 - 0.1905i 0.4252 - 0.1489i 0.4252 + 0.1489i -0.2527 + 0.3681i -0.2527 - 0.3681i -0.2673 + 0.0520i -0.2673 - 0.0520i -0.3757 + 0.6184i -0.3757 - 0.6184i EE = 0.3341 + 1.5802i 0 0 0 0 0.3341 - 1.5802i 0 0 0 0 0.0659 + 0.6156i 0 0 0 0 0.0659 - 0.6156i Matriz E = Matriz Modal del vector. Matriz EE = Matriz de valores propios λ Observe que r = -λ i B. B. i B. ⎧ x&1 ⎫ ⎪x ⎪ ⎪ &2 ⎪ ⎨ ⎬ ⎪ x& 3 ⎪ ⎪⎩ x& 4 ⎪⎭ i B.