Polinomio m´ınimo de una matriz de Jordan.

Polinomio m´ınimo de una matriz de Jordan.

C´ alculo del polinomio m´ınimo

si se sabe la forma can´ onica de Jordan

Objetivos. Aprender como se calcula el polinomio m´ınimo de una matriz de Jordan.

Aprender como se calcula el polinomio m´ınimo de una transformaci´on lineal o de una matriz si se sabe su forma can´onica de Jordan.

Requisitos. Matriz de Jordan, polinomio m´ınimo.

1. Observaci´on (polinomio caracter´ıstico y espectro de una matriz de Jordan).

Sea A ∈ M_n(C) una matriz de Jordan:

A = diag J_m1(λ₁), . . . , J_mk(λ_k)
,

donde λ₁, . . . , λ_k ∈ C, algunos de los λj pueden ser iguales. Como A es una matriz triangular superior, su polinomio caracter´ıstico y su espectro est´an determinados por los elementos diagonales de A de la siguiente manera:

CA(x) =

k

Y

j=1

(x − λj)^mj, sp(A) = {λ1, . . . , λk}.

Formalmente, si {λ₁, . . . , λ_k} = {α₁, . . . , α_q}, donde α₁, . . . , α_q son diferentes por pares, entonces

C_A(x) =

q

Y

i=1

(x − α_i)^si, donde

s_i = X

1≤j≤k λj=αi

m_j.

2. Proposici´on (polinomio m´ınimo de una matriz de Jordan). Sea A ∈ M_n(C) una matriz de Jordan:

A = diag J_m1(λ₁), . . . , J_mk(λ_k)
, donde λ₁, . . . , λ_k ∈ C, algunos de los λj pueden ser iguales.

Entonces el polinomio m´ınimo de A es el producto de factores lineales correspondientes a los elementos diagonales de A, y el exponente del factor (x − α) es igual al tama˜no m´aximo de los bloques de Jordan con elemento diagonal µ.

Formalmente, si {λ₁, . . . , λ_k} = {α₁, . . . , α_q}, donde α₁, . . . , α_qson diferentes por pares, entonces

µ_A(x) =

q

Y

i=1

(x − α_i)^pi, donde

p_i = m´ax{m_j: j ∈ {1, . . . , k}, λ_j = α_i}.

p´agina 1 de 2

Idea de la demostraci´on. Sabemos el valor de un polinomio en una matriz diagonal por bloques se calcula por bloques. Para que un polinomio anule el bloque J_mj(λ_j), es necesario y suficiente que contenga el factor (x − λ_j) con un exponente ≥ m_j. Por lo tanto el polinomio

q

Y

i=1

(x − αi)^pi

anula la matriz A y tiene grado m´ınimo entre todos los polinomios que la anulan.

3. Ejemplo. Sea

A = diag J₂(−4), J₃(−4), J₃(−4), J₂(i), J₂(i), J₁(7), J₁(7)
.

Entonces sp(A) = {−4, i, 7},

C_A(x) = (x + 4)⁸(x − i)⁴(x − 7)², µ_A(x) = (x + 4)³(x − i)²(x − 7).

4. C´alculo del polinomio m´ınimo de una transformaci´on lineal si se sabe su FCJ. El polinomio m´ınimo de una transformaci´on lineal coincide con el polinomio m´ınimo de su matriz asociada con respecto a cualquier base. Por lo tanto, si C es una FCJ de una transformaci´on lineal T , µ_T se puede calcular facilmente como µ_C.

5. C´alculo del polinomio m´ınimo de una matriz si se sabe su FCJ. Matrices similares tienen el mismo polinomio m´ınimo. Por lo tanto, si C es una FCJ de una matriz A, entonces µ_A= µ_C.

p´agina 2 de 2