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Interpolaci´ on de Newton en diferencias progresivas

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Academic year: 2022

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Interpolaci´ on de Newton en diferencias progresivas

Objetivos. Estudiar la contrucci´on del polinomio interpolante a trav´es de las diferencias progresivas en el caso cuando las abscisas de los nodos de interpolaci´on son equidistantes.

Requisitos. Diferencias progresivas de una sucesi´on, diferencias divididas, f´ormula de Newton para el polinomio interpolante.

1. F´ormula de Newton para el polinomio interpolante (repaso). Sea f una funci´on definida en algunos puntos x0, . . . , xn. Denotemos por y0, . . . , yn sus valores correspon- dientes. Recordamos la f´ormula de Newton para el polinomio interpolante que tiene valores yi = f[xi] en los puntos xi:

P(x) = Xn

k=0

f[x0, . . . , xk] Yk−1

j=0

(x − xj).

Aqu´ı las diferencias divididas f[x0, . . . , xk] se definen de manera recursiva:

f[xi] = f(xi) = yi, f[xi, . . . , xj] = f[xi+1, . . . , xj] − f[xi, . . . , xj−1]

xj− xi .

2. El caso de puntos equidistantes. En esta secci´on se considera el caso particular cuando los puntos x0, . . . , xn son equidistantes:

xk = x0+ kh, 0≤ k ≤ n.

En este caso es c´omodo hacer el cambio de variables x = x0+ hs.

3. Ejercicio: Expresi´on del producto a trav´es de la variable nueva. Haga el cambio de variables x = x0+ hs y exprese a trav´es de s el siguiente producto:

Yk−1 j=0

(x − xj) = (x − x0)(x − x1)· . . . · (x − xk−1).

Para escribir la respuesta en una forma corta use la notaci´on del coeficiente binominal:

 s k



= s(s − 1)· . . . · (s − k + 1)

k! .

Interpolaci´on de Newton en diferencias progresivas, p´agina 1 de 3

(2)

4. Diferencias progresivas de una sucesi´on (repaso). Las diferencias progresivas de una sucesi´on y0, y1, y2, . . .se definen de manera recursiva:

(∆0y)i := yi, (∆k+1y)i := (∆ky)i+1− (∆ky)i. En particular,

(∆1y)i := (∆0y)i+1− (∆0y)i = yi+1− yi,

(∆2y)i := (∆1y)i+1− (∆1y)i = yi+2− 2yi+1+ yi.

5. Ejercicio: Expresi´on de las diferencias divididas a trav´es de las diferencias progresivas. Los puntos xison equidistantes, por eso los denominadores de las diferencias divididas se escriben en t´erminos de h y los numeradores en t´erminos de las diferencias progresivas, por ejemplo

f[xi, xi+1] = yi+1− yi

xi+1− xi = (∆y)i

h .

Las diferencias divididas de orden 2 se expresan a trav´es de h y (∆2y)i: f[xi, xi+1, xi+2] = . . .

. . . = . . .

Las diferencias divididas de orden 3 se escriben en t´erminos de h y (∆3y)i: f[xi, xi+1, xi+2, xi+3] = . . .

. . . = . . .

Adivine la f´ormula general, esto es, exprese f[xi, . . . , xj] a trav´es de h y (∆ky)i: f[xi, . . . , xi+k−1] =

6. Proposici´on (interpolaci´on de Newton en diferencias progresivas). Sea P el polinomio de grado ≤ n que en los puntos x0, x0 + h, . . . , x0 + nh toma los valores y0, y1, . . . , yn, respectivamente. Entonces

P(x0+ hs) = Xn

k=0

 s k



(∆ky)0. (1)

Demostraci´on. Partimos de la f´ormula de Newton para el polinomio interpolante:

P(x) = Xn

k=0

f[x0, . . . , xk] Yk−1

j=0

(x − xj). (2)

Interpolaci´on de Newton en diferencias progresivas, p´agina 2 de 3

(3)

Hacemos el cambio de variable x = x0+ hsy escribimos el producto de los binomios x − xj

en t´erminos de la variable s:

Yk−1 j=0

(x − xj) = hks(s − 1)· . . . · (s − k + 1) = k! hk s k



. (3)

Expresamos las diferencias divididas f[x0, . . . , xk] a trav´es de las diferencias progresivas (∆ky)0:

f[x0, . . . , xk] = 1

k! hk(∆ky)0. (4)

Sustituyendo (3) y (4) en (2) obtenemos (1).

7. Ejemplo. Construir el polinomio P de grado ≤ 3 que en los puntos −1/2, 0, 1/2, 1 tome los valores −4, 3, 13/2, 8.

Soluci´on. Primero construimos la tabla de las diferencias divididas:

−4 7 −7/2 3/2

3 7/2 −2

13/2 3/2 8

Aplicamos la f´ormula (1):

Q(t) = P(−1/2 + t/2) = −4 + 7s − 7 2

s(s − 1)

2 +3

2

s(s − 1)(s − 2) 6

= −4 + 37s 4 − 5s2

2 + s3 4. Luego

P(x) = Q(2x + 1) = 2x3− 7x2+ 10x + 3.

8. Ejercicio. Construya el polinomio P de grado ≤ 3 que en los puntos −3, −1, 1, 3 tome los valores −144, −16, 8, 24.

Interpolaci´on de Newton en diferencias progresivas, p´agina 3 de 3

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