     Prueba de Evaluación Continua 13-III-18

Prueba de Evaluación Continua 13-III-18

1.- Dada la variable x y la nueva variable y=a+bx, indicar (demostrándolo) la expresión existente entre las respectivas medias aritméticas.

(0,5 puntos)

2.- Investigados los precios de ordenadores de 50 marcas distintas se han obtenido los siguientes resultados:

700 300 500 400 500 700 400 750 700 300

500 750 300 700 1000 1250 500 750 500 750

400 500 300 500 1000 300 400 500 400 500

300 400 700 400 700 500 400 700 1000 750

700 800 750 700 750 800 700 700 1200 800

a) Determinar la distribución de precios agrupados en frecuencias absolutas.

b) Representar gráficamente el polígono de frecuencias acumuladas.

c) Calcular el precio medio y el más frecuente.

d) Calcular la varianza y el coeficiente de variación.

e) Obtener el sesgo y la curtosis o apuntamiento.

f) Si queremos un ordenador cuyo precio corresponda como mínimo al 10% de los precios más caros, ¿cuál será el precio correspondiente?

g) ¿Existen precios atípicos según el diagrama de cajas?

(2 puntos)

3.- Dada la gráfica correspondiente a un polígono de frecuencias relativas

acumulativo de una variable estadística agrupada en intervalos de una muestra de tamaño n=20. Se pide: a) Formar la tabla de distribución de frecuencias absolutas.

b) Encontrar la mediana, moda y media.

Fi

(1,5 puntos)

4.- Los siguientes datos representan los resultados, notas, de una determinada asignatura (Y) y el número de horas de estudio semanales (X) de 16 alumnos.

i 96

i

x 



i

y 



i

x y 



i

x 



i

y 



Se pide:

a) Estimar el modelo de regresión lineal que relaciona los resultados obtenidos con el número de horas dedicadas al estudio.

b) Calcule una medida de la bondad del ajuste e interprete el resultado.

c) Si un alumno ha estudiado 8 horas, ¿qué nota espera obtener en el examen?

(4 puntos) 1

0.85 0.45 0.15

0 20 40 60 80 100

1.- Dada la variable x y la nueva variable y=a+bx, indicar (demostrándolo) la expresión existente entre las respectivas medias aritméticas.

Solución:

 

k k

i i i i

i 1 i 1

y a bx a bx f a b x f a bx

 

  





2.- Investigados los precios de ordenadores de 50 marcas distintas se han obtenido los siguientes resultados:

700 300 500 400 500 700 400 750 700 300

500 750 300 700 1000 1250 500 750 500 750

400 500 300 500 1000 300 400 500 400 500

300 400 700 400 700 500 400 700 1000 750

700 800 750 700 750 800 700 700 1200 800

a) Determinar la distribución de precios agrupados en frecuencias absolutas.

b) Representar gráficamente el polígono de frecuencias acumuladas.

c) Calcular el precio medio y el más frecuente.

d) Calcular la varianza y el coeficiente de variación.

e) Obtener el sesgo y la curtosis o apuntamiento.

f) Si queremos un ordenador cuyo precio corresponda como mínimo al 10% de los precios más caros, ¿cuál será el precio correspondiente?

g) ¿Existen precios atípicos según el diagrama de cajas?

Solución:

a)

xi ni Ni

300 6 6

400 8 14

500 10 24

700 11 35

750 7 42

800 3 45

1000 _{3 48}

1200 1 49

1250 1 50

∑ 

b) Polígono de frecuencias absolutas acumuladas

xi ni xini

300 6 1800 599136 -189326976 59827324416

400 8 3200 373248 -80621568 17414258688

500 10 5000 134560 -15608960 1810639360

700 11 7700 77616 6519744 547658496

750 7 5250 125692 16842728 2256925552

800 3 2400 101568 18688512 3438686208

1000 3 3000 442368 169869312 65229815808

1200 1 1200 341056 199176704 1,16319E+11

1250 1 1250 401956 254840104 1,61569E+11

sumas 50 30800 2597200 380379600 4,28413E+11

momentos 616 51944 7607592 8568262592

c) Media

k k k

i

i i i i i

i 1 i 1 i 1

n 1 30800

X f x x n x

N N 50

  









Moda

El valor que más repite Mo=700 d) Varianza

k 2

2 i i

i 1

(x X) n

 N

 



Desviación típica

2 51944

     227,9123 Coeficiente de variación

227,9123

CV X 616

    0,369987 e) Sesgo

k 3

i i

3 i 1

1 3 3 3

(x X) f

7607592

g 227,9123



 

   

 



Curtosis

k 4

i i

i 1 4

2 4 4 4

(x X) f

8568262592

g 3 3 3

227,9123



 

      

 



que la distribución Normal de la misma media y misma desviación típica.

f) Percentil 90

El 90% de 50 es 45 que directamente según el polígono de frecuencias acumuladas es corresponde a los valores 800 y 1000 se toma el punto medio 900

g) Diagrama de cajas.

Calculamos los 5 valores: Mínimo, Q1, M, Q3, Máximo

Mínimo = 300

Q1 es el valor que deja a su izquierda el 25% de la población, es decir, ^{N 50} 12,5 4  4  que no se corresponde con un valor de la columna de frecuencias absolutas acumuladas y por tanto es el siguiente 400.

M 700 es el valor central.

Q3 es el valor que deja a su izquierda el 75% de la población, es decir, 3^{N 50} 37,5 4  4  que no se corresponde con un valor de la columna de frecuencias absolutas acumuladas y por tanto es el siguiente 750.

Máximo = 1250

Observando el rango intercuartílico IQR = Q3-Q1= 350, tenemos como límites Q1- 1,5 IQ= -125; quedando como límite inferior el mínimo 300.

Q3+ 1,5 IQ= 1275 quedando como límite superior el máximo 1250.

No hay valores atípicos.

3.- Dada la gráfica correspondiente a un polígono de frecuencias relativas acumulativo de una variable estadística agrupada en intervalos de una muestra de tamaño n=20. Se pide: a) Formar la tabla de distribución de frecuencias absolutas.

b) Encontrar la mediana, moda y media.

Solución:

a)

CLASE fi Ni ni xi xini

0-20 0,15 3 3 10 30

20-40 0,45 9 6 30 180

40-60 0,85 17 8 50 400

60-80 0,85 17 0 70 0

80-100 1 20 3 90 270

sumas   20     880

momentos  mi    44

b) Media

k i i i 1

1 880

X n x =

N _ 20





La mediana es el valor que deja a su izquierda el 50% de la población, es decir, N 20

2  2 10 que no se corresponde con un valor de la columna de frecuencias absolutas acumuladas y por tanto hay interpolar en el intervalo (40, 60).

4 00,0 0 600 ,00 8 00 ,0 0 100 0 ,00 1 20 0 ,00

Precios

Por consiguiente, la mediana es:

 

j 1 j 1

j

N N a

10 9 20

M e 2 40

n 8





  

  

 

     42,5

La moda corresponde al intervalo de mayor frecuencia que es (40, 60).

4.- Los siguientes datos representan los resultados, notas, de una determinada asignatura (Y) y el número de horas de estudio semanales (X) de 16 alumnos.

i i

x 96



i

y 64



i

x y 492



i

x 657



i

y 526



Se pide:

a) Estimar el modelo de regresión lineal que relaciona los resultados obtenidos con el número de horas dedicadas al estudio.

b) Calcule una medida de la bondad del ajuste e interprete el resultado.

c) Si un alumno ha estudiado 8 horas, ¿qué nota espera obtener en el examen?

d) ¿Cuál es el número de horas mínimo que un alumno debe estudiar para superar la asignatura? Considerad que el 5 es el aprobado.

Solución:

a)

16 16

i i

i 1 i 1

x y

96 64

X 6;Y 4

n 16 n 16

 







 

16 2

i 2

2 i 1 2

x

x 657

X -6 5,0625

n 16

 



 

16 2

i 2

2 i 1 2

y

y 526

Y 4 16,875

n 16

 



16 i i i i

xy

x y n

XY 492 6 4 6, 75

n 16

 



La ecuación de la recta de Y sobre X es:

  ^{ }

xy 2 x

y Y x X y 4 6,75 x 6

5,0625

        



y 4x 4

 3  b) _xy ^xy

x y

r 6,75

5,0625 16,875

   

  0,7302967433

por tanto, la relación lineal es directa y buena c) Si x=8 horas, entonces y ⁴ 8 4 6, 6

   3

d) Recta de regresión de X sobre Y: ^xy2

 

y

x X  y Y

  

 e y=5

 

x-6 6,75 5 4 16,875

   x 6, 4 horas