Enrique Guzmán y Valle Alma Máter del Magisterio Nacional
FACULTAD DE PEDAGOGÍA Y CULTURA FÍSICA Escuela Profesional de Educación Primaria
MONOGRAFÍA
DESARROLLO Y DIFICULTADES DE APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS EN LA ETAPA PRIMARIA.
Examen de Suficiencia Profesional Res. N° 0629-2019-D-FPYCF
Presentada por:
Ríos Vásquez, Darwin
Para optar al Título Profesional de Licenciado en Educación Especialidad: Educación Primaria
Lima, Perú 2019
Dedicatoria
A mi familia, por el apoyo constante que me han brindado y el soporte que han significado para mí durante esta etapa de mi vida.
Índice de contenidos
Portada ... i
Hoja de firmas de jurado ... ii
Dedicatoria... iii
Índice de contenidos ... iv
Lista de tablas ... vii
Lista de figuras ... viii
Introducción ... ix
Capítulo I. Desarrollo del aprendizaje de las matemáticas ... 11
1.1 Definición del aprendizaje ... 11
1.2 Actividades mentales durante el aprendizaje de las matemáticas ... 12
1.2.1 Memorización. ... 13
1.2.2 Aprendizaje algorítmico. ... 16
1.2.3 Aprendizaje conceptual. ... 18
1.2.4 Resolución de problemas. ... 21
1.3 Enfoques de estudio del aprendizaje de las matemáticas ... 23
1.3.1 Aprendizaje por asociación. ... 23
1.3.1.1 Edward Thorndike. ... 25
1.3.1.2 Burrhus Skinner. ... 27
1.3.2 Aprendizaje por reestructuración. ... 29
1.3.2.1 Piaget. ... 30
Capítulo II. Dificultades de aprendizaje en matemáticas (DAM) ... 35
2.1 Definición de las DAM ... 35
2.2 Etiología de las DAM ... 36
2.2.1 Origen interno de las DAM. ... 36
2.2.2 Origen externo de las DAM. ... 37
2.3 Tipología de las DAM ... 38
2.3.1 Tipología de Kosc. ... 38
2.3.2 Tipología de Natlie A. Badian. ... 39
2.3.3 Tipología de Geary. ... 40
2.4 Evaluación de las DAM ... 40
2.4.1 Clasificación de las pruebas y procedimiento de evaluación de las DAM. ... 40
2.4.1.1 Evaluación formal. ... 41
2.4.1.1.1 Test estandarizados. ... 41
2.4.1.1.2 Medidas basadas en el currículo y pruebas de diagnóstico. ... 44
2.4.1.2 Evaluación informal. ... 46
2.4.1.2.1 Valoraciones basadas en el currículo (CBA). ... 46
2.4.1.2.2 Test de referencia criterial (CRT). ... 46
2.4.1.2.3 Análisis de tarea. ... 47
2.4.1.2.4 Entrevista clínica. ... 47
2.4.1.2.5 Evaluación de la Zona de Desarrollo Próximo (ZPD). ... 47
2.4.1.2.6 Evaluación auténtica. ... 47
2.4.1.2.7 Portafolios o carpetas de trabajo. ... 48
2.4.1.2.8 Análisis de errores. ... 48
2.4.1.2.9 La observación. ... 49
2.4.2 Evaluación neuropsicológica. ... 49
2.4.3 Tendencias actuales en evaluación. ... 50
2.5 Intervención en el área de las matemáticas ... 51
2.6 Criterios para diagnosticar un estudiante con DAM ... 56
Capítulo III. Aprendizaje de las matemáticas en el Perú ... 58
3.1 Las matemáticas en el Currículo Nacional ... 60
3.2 Evaluación del aprendizaje de las matemáticas en el Perú, ECE ... 62
3.2.1 Logros y dificultades del aprendizaje de las Matemáticas, ECE 2018. ... 63
3.2.1.1 Competencia: Resuelve problemas de cantidad. ... 66
3.2.1.2 Competencia: Resuelve problemas de regularidad, equivalencia y cambio. ... 68
3.2.1.3 Competencia: Resuelve problemas de forma, movimiento y localización. ... 70
3.2.1.4 Competencia: Resuelve problemas de gestión de datos e incertidumbre. ... 71
Aplicación didáctica ... 73
Síntesis ... 84
Apreciación crítica y sugerencias ... 86
Referencias ... 88
Lista de tablas
Tabla 1. Fases de resolución de un problema ... 22 Tabla 2. Procesos de reforzamiento y castigo ... 28 Tabla 3. Etapas del desarrollo cognitivo de Piaget ... 32
Lista de figuras
Figura 1. Sistema de memoria del ser humano ... 14
Figura 2. Logro de aprendizaje ... 64
Figura 3. Mejora en matemáticas ... 65
Figura 4. Niveles de aprendizaje en el área de las Matemáticas en cada departamento ... 66
Figura 5. Aprendizajes esperados para el cuarto grado de Educación Primaria en la competencia resuelve problemas de cantidad ... 66
Figura 6. Problemas en la competencia resuelve problemas de cantidad ... 67
Figura 7. Aprendizajes esperados para el cuarto año de Educación Primaria en la competencia resuelve problemas de regularidad, equivalencia y cambio ... 68
Figura 8. Problemas en la competencia resuelve problemas de regularidad, equivalencia y cambio ... 69
Figura 9. Aprendizajes esperados para el cuarto año de Educación Primaria en la competencia resuelve problemas de forma, movimiento y localización ... 70
Figura 10. Aprendizajes esperados para el cuarto año de Educación Primaria en la competencia resuelve problemas de gestión de datos e incertidumbre ... 71
Figura 11. Problemas en la competencia resuelve problemas de de gestión de datos e incertidumbre ... 72
Introducción
Las Matemáticas conforman uno de los ejes de la formación educativa de los ciudadanos peruanos, siendo importante debido a su gran impacto en el desarrollo de estos, tanto a nivel cognitivo, como práctico. Por esto, en la presente monografía titulada Desarrollo y dificultades del Aprendizaje de las Matemáticas en la Educación Primaria, se realiza una recopilación de información al respecto de este tema, esperando que pueda servir como base para lograr un mejor entendimiento acerca del origen y las posibles soluciones de las dificultades presentadas para la comprensión de esta área en los estudiantes durante los primeros años de formación educativa.
Esta información ha sido estructurada en tres capítulos, siendo el primero de estos una extensa revisión de los procesos de desarrollo del aprendizaje. Durante el desarrollo de conocimientos, los estudiantes se sirven de una serie de actividades mentales que permiten asentar esta nueva información e interiorizarla, siendo algunas de estas la memorización, el aprendizaje algorítmico (o por receta), el aprendizaje conceptual y el aprendizaje por resolución de problemas. Estas actividades y otras más ligadas al aprendizaje han sido estudiadas por muchos personajes, encontrándose estos divididos en dos vertientes
principales: aquellos que enfocan el aprendizaje como un proceso de asociación y aquellos que lo enfocan como un proceso de reestructuración. Entendidas las distintas teorías involucradas en el desarrollo del aprendizaje, podemos abordar cómo es que este
aprendizaje no se da efectivamente en algunos individuos, entre los cuales se presentan las llamadas Dificultades del Aprendizaje.
Dentro de los trastornos de aprendizaje específico, se encuentran las dificultades del aprendizaje de las matemáticas (DAM) y se refiere al menor ritmo de aprendizaje visto
en algunos estudiantes, pudiendo ser estos causados por factores internos a los mismos estudiantes o externos a estos. Existen diversos tipos de dificultades, encontrándose estos divididos de muchas maneras, dependiendo de quién haga esta division. Las evaluaciones de estas dificultades son realizadas mediante pruebas formales (test) o informales
(herramientas de evaluación dentro del salón de clase), entre las más conocidas, que sirve como una introducción al diagnóstico de las dificultades del estudiante y una herramienta para la determinación de la intervención adecuada para poder ayudar a superarlos.
Descrito el panorama teórico del desarrollo y del aprendizaje de las matemáticas en la Educación Primaria, en el tercer y último capítulo se ahonda en el panorama peruano con respecto a estos puntos, mostrándose las dificultades vistas en estudiantes de Educación Primaria del 2018, información provista por los resultados dados por el ECE tomado ese mismo año.
Finalmente, esta información condensada en los tres capítulos que conforman el cuerpo del trabajo, se realiza una aplicación didáctica elaborada con una sesión de
aprendizaje, mediante la cual se consolidan las sugerencias provistas a lo largo del trabajo.
Este, además, se encuentra complementado con anexos que ayuden al estudiante a abordar conceptos matemáticos de forma más didáctica.
El trabajo culmina con la redacción final de una síntesis de toda la información provista en la monografía, además de una serie de sugerencias y críticas con las que se espera abrir la discusión para trabajos futuros realizados por otros colegas.
Capítulo I
Desarrollo del aprendizaje de las matemáticas
1.1 Definición del aprendizaje
Zapata-Ros (s.f.) define al aprendizaje como:
El proceso o conjunto de procesos a través del cual o de los cuales, se adquieren o se modifican ideas, habilidades, destrezas, conductas o valores, como resultado o con el concurso del estudio, la experiencia, la instrucción, el razonamiento o la observación (p. 5).
Mediante el aprendizaje es que el conocimiento adquirido desde cualquier medio pueda tener significado, de tal manera que este pueda ser identificado y utilizado en distintos contextos.
En el caso de las matemáticas, el aprendizaje de esta no se encuentra limitada por la repetición de reglas tradicionales o de nociones geométricas, sino a la aplicación de
nociones y conceptos matemáticos para la resolución de problemas que emerjan de la interacción del sujeto con el ambiente.
El desarrollo del aprendizaje en un individuo, especialmente en aquellos dentro del período escolar, se lleva a cabo mediante diversos procesos que ejercen cambios en el nivel cognitivo de la persona. Estos procesos de cambio se dan mediante ciertas
actividades, tales como la memorización de procedimientos matemáticos, la comprensión conceptual de las matemáticas, el adiestramiento en algoritmos de resolución y hasta en la resolución continua de problemas. Cada una de estas actividades crea en el estudiante las bases sobre las cuales las matemáticas más complejas se pueden realizar.
A lo largo de la historia, estas actividades y todos los otros procesos que subyacen durante el desarrollo de las habilidades cognitivas matemáticas, se ha estudiado el
aprendizaje desde distintas perspectivas, basadas en la percepción que se tiene del
aprendizaje. En el presente trabajo, tomamos consideración de aquellas que relacionan al aprendizaje como resultado de un proceso de asociación y al aprendizaje como resultado de una reestructuración cognitiva.
Entender cómo es que este aprendizaje se desarrolla en los estudiantes es el primer paso para poder entender, diagnosticar y solucionar las dificultades que se puedan dar en el aprendizaje de las matemáticas.
1.2 Actividades mentales durante el aprendizaje de las matemáticas
Durante el desarrollo de las capacidades matemáticas que permiten la aplicación del razonamiento matemático a problemas de relación de cantidades, se llevan a cabo diversas actividades mentales para estructurar el conocimiento provisto en puntos a los cuales recurrir cuando sea necesario.
De acuerdo con lo descrito por Lovell (1966) “las matemáticas son, ante todo, una actividad mental” (p. 33) que se complementa y se sirve de signos matemáticos para poder
ser expresada. La adquisición de conceptos matemáticos y modelos que ayuden a
establecer relaciones entre diversos fenómenos son parte fundamental del desarrollo de la capacidad matemática, pero no es lo único. La comprensión de estos conceptos y el dominio del lenguaje y la simbología matemática, además de la metodología y las herramientas demostrativas, completan este conocimiento, dando al estudiante la capacidad de retener, aprender y, más importante aún, reproducir las concepciones matemáticas.
Entre las tantas clasificaciones realizadas para estructurar estas actividades
mentales dadas durante el aprendizaje de las matemáticas, destaca una que establece cuatro tipos de aprendizaje matemático:
1. La memorización
2. El aprendizaje algorítmico 3. El aprendizaje conceptual 4. La resolución de problemas
1.2.1 Memorización.
El proceso de aprendizaje de las matemáticas de acuerdo con Bermejo y Castillo (2006) entre los primeros años de los niños, incluido el período comprendido en la educación primaria, se encuentra limitado al no poder establecer conexiones claras entre situaciones matemáticas como el conteo, la medición, la secuencia de eventos y
expresiones simbólicas, pudiendo ser capaz de desarrollar al inicio solo una de estas. Solo con un continuo y progresivo acercamiento a estos conceptos, es que estos nexos son establecidos y reforzados con vínculos cada vez más complejos.
Mientras mayor sea la cantidad de problemas o situaciones matemáticas a las que el niño se vea expuesto, mayor la probabilidad de que los vínculos y las estrategias mediante las cuales estos se construyen (además de las estrategias de resolución) se construyan y puedan después formar un concepto matemático mucho más claro.
De acuerdo con Orton (1988) “en el aprendizaje de las matemáticas, y sobre todo en los primeros años, parece inevitable que esté presente el aprendizaje memorístico o por simple asociación” (p. 39) siendo para esto más importante la memoria de corto plazo, también conocida como memoria de trabajo.
Figura 1. Sistema de memoria del ser humano. Fuente: Szabo, 2017.
La memoria de trabajo es un recurso de capacidad limitada que se encarga de almacenar y procesar la información que se recibe continuamente por medio de los canales sensoriales. Esta consiste en tres componentes:
1. Un sistema central de control que actúa como ejecutador.
2. Un sistema visoespacial de almacenamiento, responsable del registro de información espacial y visual.
3. Un sistema de bucle fonológico de almacenamiento, que retiene la información acústica cuya base se encuentra en el habla.
Actualmente, se sabe que estos tres componentes actúan juntos y son determinantes en el desarrollo de la habilidad matemática.
Las capacidades matemáticas se encuentran ligadas estrechamente a la información visoespacial que llega a la memoria de trabajo, pues es mediante este sistema que se recogen, por ejemplo, las representaciones mentales de los símbolos matemáticos, como los números. La memoria visoespacial contribuye directamente a la capacidad de un niño de poder realizar cálculos mentales y, además, es ampliamente usada en adultos que
poseen una gran facilidad para poder realizar cálculos mentales rápidamente. Por otro lado, el bucle fonológico y el sistema central de control actúan durante el proceso de resolución de problemas de los niños de primaria, cuyo proceso de aprendizaje se encuentra
dominado casi enteramente por el registro verbal de los problemas matemáticos a los que se enfrentan.
La habilidad de esta memoria de trabajo depende principalmente del flujo (cantidad y rapidez) de información que reciba de la memoria a largo plazo, trabajo que recae en el sistema central de control.
Por ejemplo, si un estudiante se encuentra desarrollando un problema de
matemática, podrá llegar a resolverlo si logra recordar reglas, estrategias de resolución y otro tipo de información que sea significativo para la actividad realizada. Mientras mayor sea la información almacenada en la memoria a largo plazo, y mientras más rápido pueda acceder a esta, mejor será su desempeño matemático para la resolución de problemas.
Al inicio, mucha de la información conservada en la memoria a largo plazo (o corto plazo) puede no encontrarse asociada a algún concepto o conocimiento previo, sin contar con algún significado, pero la adición continua de información puede ayudar a establecer estas conexiones y, finalmente, mejorar el aprendizaje de las matemáticas en el estudiante.
1.2.2 Aprendizaje algorítmico.
Los algoritmos durante el desarrollo del aprendizaje de las matemáticas permiten que los estudiantes se enfrenten y resuelvan los problemas matemáticos de manera más eficiente y eficaz. Según Flores (2005), los algoritmos básicos para el aprendizaje de la adición, la resta, la multiplicación y la división tienen sus bases en el trabajo realizado por el sabio árabe Mohamed ibn Musa Al’khwarizmi, quien a inicios del s. VIII d. C introdujo al sistema simbólico matemático la numeración hindú, el valor posicional de las cifras y, más importante aún, el cero.
Un algoritmo puede ser definido como el conjunto ordenado de pasos que se deben de tomar para poder resolver un problema. Buendía et al. (1990) complementan esta definición al establecer que un algoritmo es:
Una serie finita de reglas a aplicar en un orden determinado a un número finito de datos para llegar con certeza (es decir, sin indeterminación ni ambigüedades), en un número finito de etapas, a cierto resultado, y esto, independientemente a los datos (p. 7).
Son muchos los algoritmos usados a nivel de primaria, que por lo general son inicialmente llevados a los estudiantes como reglas generales a seguir, los cuales son adoptados por estos, quienes más adelante los usarán como una serie de pasos, a modo de receta, que les ayudarán a dar solución a problemas propuestos.
Por ejemplo, el algoritmo de resolución de la adición, generalmente, se da por reagrupación de valores. Es decir, cada una de las columnas de la adición es considerada un nuevo grupo, empezando desde el extremo derecho. Estos grupos son sumados y, si se obtiene un valor mayor a nueve, se añade un valor de una unidad a la columna inmediata
de la izquierda por cada diez unidades sobrepasadas. Gráficamente, esto se representa de la siguiente manera:
Se inicia sumando los números dentro de la columna (grupo) de la derecha.
Tenemos 12 unidades, pero solo un espacio para una cifra en el resultado. Realizamos una reagrupación de estas 12 unidades en una decena de unidades y dos unidades. De esta manera, trasladamos la decena de unidades al grupo de las decenas (columna inmediata de la izquierda) y dejamos los dos en el grupo de las unidades (columna de la derecha).
Terminamos al sumar las decenas del segundo grupo con la decena ya reagrupada, obteniendo que 2+3+1=6.
Este algoritmo, así como todos los otros utilizados para aprender ciertos aspectos de las matemáticas, permiten sistematizar la resolución de problemas de los estudiantes, sin dejar de ser pasos lógicos que, más que solo memorizar, permiten la comprensión de los pasos comprendidos en el desarrollo de problemas. Esto, sin embargo, solo se alcanza con la guía del maestro, pues existe el riesgo de que los estudiantes retengan el
procedimiento del algoritmo sin penetrar ni adentrarse en el significado detrás de cada paso del proceso.
Para la solución de un solo problema, de existir un algoritmo de resolución, se pueden definir otros tantos algoritmos para esta resolución que no sean necesariamente numéricos (simbología matemática). Esta es una práctica común desde hace mucho tiempo, el uso de los ábacos, como la yupana incaica, el sorobán japonés y otros, se sirven de un proceso algorítmico que permite realizar cálculos matemáticos sin usar notaciones matemáticas. De igual manera, los estudiantes, especialmente durante la etapa de
educación primaria, suelen acercarse a las nociones matemáticas desde sus propios algoritmos generados por sus propias situaciones vivenciales los cuales, más allá de ser
desestimados, deben de ser utilizados para, dentro de los mismos, introducir conceptos que permitan generalizar la aplicación de estos a otras situaciones problemáticas. En palabras de Steffe (1994) “es un grave error ignorar los algoritmos generados por los niños, a favor de los algoritmos estándares de lápiz y papel que actualmente se enseña en las escuelas primarias" (p. 60).
1.2.3 Aprendizaje conceptual.
Dentro de los distintos métodos de aprendizaje de las matemáticas, se diferencian dos tendencias o tipos de aprendizaje: aquel que se da mediante fuentes conceptuales y aquel que se da mediante los procedimientos de resolución.
Stelzer et al. (2016) expresan:
Por una parte, el conocimiento conceptual considera los principios abstractos que rigen un dominio y sus interrelaciones. Por otra parte, el conocimiento
procedimental refiere a la capacidad de ejecución de los diferentes pasos o algoritmos requeridos para la resolución de un problema (p. 14).
Aunque ambos procesos se asocian para poder lograr un adecuado aprendizaje de las matemáticas, a la fecha se desconoce el mecanismo mediante el cual esta relación se sustenta.
Los conceptos matemáticos cumplen un importante rol en el desarrollo del aprendizaje de las matemáticas puesto que en estos se fundamenta el pensamiento
matemático desarrollado por el niño. Es mediante estos conceptos que el fin último de las matemáticas se alcanza: el encontrar la relación entre las matemáticas como ciencia y la realidad objetiva que nos rodea.
De acuerdo con Montenegro (s.f.) la comprensión conceptual de los significados matemáticos permite:
1. Comprender las relaciones matemáticas.
2. Aplicar de forma creativa distintos conceptos, procedimientos y leyes matemáticas que, de otra manera, pueden verse inconexas.
3. Adiestrar vinculando el pensamiento lógico-lingüístico.
4. Entender y comprender las matemáticas como parte de un todo complejo, interdisciplinario y transdiciplinario.
5. Elaborar juicios y razonamientos que fundamenten el pensamiento crítico.
6. Dar significado a los objetos y simbología matemática.
Este proceso de conceptualización de nociones matemáticas es enteramente personal, siendo cada individuo el único responsable de construir sus propios conceptos, pudiendo cada uno de estos llegar de distintas maneras a la comprensión total de un solo concepto.
Estos, sin embargo, no son adquiridos de forma espontánea, ni inician como una estructura compleja, requieren de la guía y ayuda de los profesores, además de una amplia exposición a actividades que permitan cimentar estos fundamentos en el cerebro.
Durante la etapa de educación primaria de los estudiantes, los profesores tienen una gran responsabilidad al ser quienes deben garantizar no solo una memorización de
símbolos y metodologías matemáticas, sino también el aprendizaje conceptual y los esquemas matemáticos que serán necesarios para futuras (y presentes) necesidades.
Encontrar las oportunidades adecuadas para realizar estas conexiones entre los procesos algorítmicos (enseñados con mucha más frecuencia) y la comprensión profunda de los conceptos y los procesos matemáticos en los niños de educación primaria, depende
de los profesores. Al lograr esto, se logra que los niños puedan conectar un tema (que pueda parecer aislado) y otro, formando uno más complejo.
Por ejemplo, en la multiplicación de números decimales se puede conectar temas para lograr que el estudiante desarrolle una mejor comprensión del proceso y deje de omitir conexiones que serían claras al expresar la operación de otra manera. Una manera clásica de expresar la resolución de una multiplicación de este tipo sería:
3,5 × 0,13 = 3,5 , 13 105 35 455
×
Se suele enseñar que este tipo de operación se suele realizar como si el punto decimal no existiera y se tuvieran que multiplicar números enteros, como en el ejemplo previo. Tras esto, se debe de contar el número de cifras que se encuentren a la derecha del punto decimal en los dos números, siendo este el total de cifras que debe estar a la derecha del punto decimal en el resultado. Por lo tanto, la solución de este problema sería 0,445.
¿Cuál es el fundamento de este procedimiento? ¿Por qué se realiza esto?
Un acercamiento conceptual al enseñar (y comprender) este proceso, de tal manera que se mantenga la lógica y la comprensión de lo que la multiplicación de números
decimales es, sería:
35 10× 13
100= 35 × 13
10 × 100= 455 1000
Mostrando ahora que el proceso realizado al inicio, que, aunque era correcto, tiene mayor sentido matemático.
1.2.4 Resolución de problemas.
La resolución de problemas puede ser visto tanto como objetivo, contenido o como metodología: (1) como objetivo, la resolución de problemas es el fin de la enseñanza de las matemáticas, puesto que del aprendizaje de las matemáticas, se espera que los estudiantes puedan ser capaces de resolver este tipo de problemas; (2) como contenido, puesto que para lograr su solución se requieren técnicas y estrategias que permitan llegar a su solución; y (3) como metodología, al ser este uno de los métodos más eficientes (y más usado) para poder enseñar y aprender las matemáticas.
La finalidad de las otras tres actividades descritas previamente es el dar las herramientas necesarias al estudiante para que este pueda operar nociones matemáticas y poder así, dar solución a problemas propuestos, dándole a estas actividades un sentido preciso dentro del proceso educativo de las matemáticas.
El aprendizaje por resolución de problemas es, en contraste con el aprendizaje de ensayo y error, un aprendizaje por descubrimiento orientado hacia la hipótesis que exige la transformación y la reintegración del conocimiento existente para adaptarse a la demanda de una meta específica de una relación medio –fines.
Es así como la introducción de la resolución de problemas como parte de la metodología de enseñanza/aprendizaje de las matemáticas desde los primeros años de escolaridad se vuelve sumamente importante para garantizar que las capacidades matemáticas esperadas sean desarrolladas en el estudiante.
El aprendizaje mediante la resolución de problemas matemáticos se sirve de ciertos factores que determinarán la capacidad de poder dar soluciones:
1. Conocimiento de fundamentos matemáticos, conocimientos previos que puedan dar información inicial de la metodología de resolución del problema.
2. Estrategias de resolución de problemas, serie de pasos estándares que permitan resolver problemas matemáticos de cualquier índole.
3. Aspectos metacognitivos, que incluyan las habilidades matemáticas con las que se cuente.
4. Aspectos afectivos, que incluyan los constructos individuales que influyan en la forma en la que un problema se contextualiza.
Todos estos actúan de manera conjunta para determinar finalmente la habilidad del estudiante para el desarrollo matemático.
Si bien los problemas matemáticos presentados a los estudiantes en cualquier etapa de su proceso educativo son de diversas áreas, Polya determinó cuatro fases para poder dar solución a los problemas: la comprensión del problema propuesto, la concepción de un plan de resolución, la ejecución de este plan y la visión retrospectiva. Cada una de estas fases, a su vez, puede ser dividida en secciones menores que permitan facilitar la solución de problemas, las cuales pueden ser identificadas mediante ciertas preguntas:
Tabla 1
Fases de resolución de un problema
Comprensión del problema 1. ¿Cuál es la incógnita? ¿Cuáles son los datos?
Concebir un plan
1. ¿Se ha encontrado con un problema similar? ¿Se ha visto el mismo problema planteado en forma ligeramente diferente?
2. Si fuera así, ¿puede este ser utilizado? ¿Podría utilizar su resultado? ¿Podría emplear su método? ¿Haría falta introducir algún elemento auxiliar a fin de poder utilizarlo?
3. ¿Se puede enunciar el problema en otra forma?
4. ¿Se ha empleado todos los datos? ¿Se han considerado todas las nociones esenciales concernientes al problema?
Ejecutar el plan
1. Comprobar cada uno de los pasos al ejecutar el plan planteado para la solución.
2. ¿Se puede estar seguro de que el paso dado es correcto? ¿Hay alguna forma de poder demostrarlo?
Visión retrospectiva
1. ¿El resultado puede ser verificado? ¿El razonamiento seguido puede ser verificado?
2. ¿Se puede obtener el resultado de forma diferente? ¿Se puede usar el resultado obtenido o el método seguido en otro problema?
Nota: Detalle de las fases comprendidas durante la resolución de un problema. Fuente:
Bustamante, 2016.
Cada una de estas preguntas dentro de cada fase establece los procesos más básicos que se comprenden dentro del proceso de resolución y que asientan, finalmente, este tipo de aprendizaje. Cualquier problema matemático, aún los más complejos, requieren que este sea comprendido para, a partir de esto, concebir un plan que permita establecer la metodología y las operaciones que permitan llegar a un resultado.
La importancia de la resolución de problemas como actividad requerida para el desarrollo de las matemáticas en un individuo recae en que, para lograr dar solución a un problema, el estudiante debe haber sido capaz de reorganizar sus conocimientos previos para poder ajustarlo a lo requerido por el problema al que se enfrente, siendo un referente del nivel de capacidad matemática alcanzada.
1.3 Enfoques de estudio del aprendizaje de las matemáticas
El desarrollo de las capacidades matemáticas y la metodología de enseñanza que se plantee para lograrlo, varían de acuerdo con el principio psicológico desde el que se describa.
Existen dos corrientes que predominan en el campo del aprendizaje de las matemáticas: el aprendizaje por asociación y el aprendizaje por reestructuración.
1.3.1 Aprendizaje por asociación.
Basa sus principios en los enfoques conductistas. Bajo esta perspectiva, el aprendizaje es el cambio de conducta que las personas experimentan cuando estas
adquieren algún conocimiento. Este cambio de conducta puede ser dado de manera condicionada por parte del instructor (profesor), y en ella, el aprendiz (estudiante) brinda una respuesta al recibir un estímulo particular al que se ha creado un vínculo, una
asociación.
Este aprendizaje por asociación se basa en:
1. El aprendizaje se da sobre la base de la relación entre estímulos y respuestas sucesivos que se encuentran asociados y persisten en la memoria.
2. Al secuenciar y fragmentar los contenidos, se puede dar el aprendizaje a partir de la continua repetición. Este aprendizaje puede ser medido y observado de forma objetiva mediante la actitud vista en el estudiante.
3. Los ejercicios y las prácticas provistas a los estudiantes permiten aumentar la velocidad y precisión de respuesta del estudiante, lo cual se traduce en un aumento de la destreza matemática.
Además, dentro del aprendizaje dado por asociación se pueden establecer las siguientes características:
1. El aprendizaje se da por asociación, pues es el aprendizaje de datos y técnicas el que permite establecer relaciones entre los conocimientos.
2. El aprendizaje es pasivo y receptivo por parte del estudiante, estando este limitado al copiado de datos y procedimientos de resolución.
3. El aprendizaje es acumulativo, pudiendo aumentarse el conocimiento al proveer una mayor cantidad de datos y técnicas.
4. La enseñanza es activa, puesto que, para producir una correcta asociación en los estudiantes, el profesor debe de moldear la respuesta que el estudiante da mediante el uso de castigos o premios.
De los distintos personajes que se han visto vinculados con esta línea psicológica, resaltan John B. Watson, considerado el padre del conductismo al ser quien puso en la práctica educativa lo estudiado por Pavolv, Edward L. Thorndike, Burrhus Skinner y Robert Gagné.
1.3.1.1 Edward Thorndike.
La teoría desarrollada por Edward Thorndike es también conocida como la teoría del aprendizaje mediante el éxito y de acuerdo con Alcalde (2010) se rige por tres leyes: la ley del efecto, la ley de la disponibilidad y la ley del ejercicio.
De acuerdo con la ley del efecto, si se realiza una asociación entre un estímulo y una respuesta, esta última se ve reforzada y cimentada si es que se acompaña
inmediatamente por una acción satisfactoria (como un premio), asimismo, se ve debilitada si es que se acompaña de una acción insatisfactoria (como un castigo).
Con respecto a la ley de la disponibilidad, se requiere de una motivación, una predisposición al aprendizaje, para poder establecer una conexión entre el estímulo y la respuesta esperada.
Según la ley del ejercicio, se puede fortalecer estas asociaciones al incrementarse la frecuencia de uso.
De estas, la ley del efecto es el punto central de la teoría de aprendizaje de
Thorndike, pues en esta se enfatiza las consecuencias del comportamiento del estudiante:
las respuestas obtenidas que conlleven a consecuencias satisfactorias (recompensas) son aprendidas, mientras que las respuestas obtenidas que conlleven a consecuencias
insatisfactorias (castigos) no son aprendidas.
De acuerdo con Stelzer et al. (2016) Thorndike establece la metodología mediante la cual lo conocido en los experimentos con animales, se aplica en el aprendizaje humano, específicamente, en el aprendizaje del cálculo numérico a partir del establecimiento de asociaciones entre estímulos y respuestas para resolver una suma simple por columnas:
Aprender a no salirse de la columna al ir sumando.
Aprender a recordar el resultado de cada suma hasta pasar a la siguiente.
Aprender a sumar un número que se ve a otro que se recuerda.
Aprender a saltarse los espacios vacíos de la columna.
Aprender a saltarse los ceros de la columna.
Aprender a aplicar las combinaciones a las decenas superiores.
Aprender a escribir la cifra de las unidades, en lugar de toda la suma total de la columna.
Aprender a llevarse, que supone por lo menos dos procesos diferentes, se enseñe como se enseñe. (p. 7)
Ya establecidas estas asociaciones, las mismas pueden ser reforzadas al establecer un sistema de prácticas y ejercicios, desde los más sencillos a los más complejos, que permita un aprendizaje gradual de los contenidos.
Además de esto, Thorndike estableció que, para mejorar el aprendizaje de los estudiantes, era necesario que las habilidades y los contenidos sean introducidos por los profesores de la siguiente manera:
1. En el momento o justo antes de que este sea necesitado para un fin.
2. En el momento en el que el estudiante se encuentra consciente de la necesidad de aprender para poder satisfacer un requerimiento.
3. Cuando el nivel de dificultad se encuentre acorde a las habilidades innatas del estudiante.
4. Cuando se tenga una base de conocimientos previos ya consolidada y, además, se requiera de este nuevo conocimiento para crear otros pronto.
1.3.1.2 Burrhus Skinner.
Skinner, tras realizar experimentos con animales, identificó en ellos respuestas y fenómenos que, muy temprano en su carrera, introdujo en la educación y la enseñanza, conociéndose esto como el condicionamiento operante.
El condicionamiento operante es aquel proceso mediante el cual se puede regular la frecuencia de ocurrencia de una conducta mediante las consecuencias: aquella conducta que tenga consecuencias agradables para el individuo se ve fortalecida y puede presentarse con mayor frecuencia, por lo contrario, aquella conducta que tiene consecuencias negativas para el individuo se ve debilitada y va desapareciendo.
Skinner identificó que el aprendizaje de los estudiantes no estaba dado por alguna motivación positiva, sino que se daba con la finalidad de evitar alguna consecuencia desfavorable, por lo que planteó el que estos deberían de recibir una retroalimentación inmediata y constante tras cada resultado, instaurando así un reforzamiento inmediato en lo que se conoce como aprendizaje programado.
Los procesos básicos en los que se basan la teoría de Skinner son el reforzamiento y el castigo.
1. Reforzamiento. El reforzamiento es el responsable del fortalecimiento de ciertas respuestas. Un estímulo reforzador es cualquier estímulo o evento que se da después de una respuesta y con el que se pretende reforzar este estímulo. Estos reforzamientos son
específicos para cada situación: lo que puede causar un reforzamiento de una actividad durante una lectura, puede no funcionar para lograr un reforzamiento de una actividad ligada a las matemáticas. De acuerdo con Schunk (2012) este condicionamiento puede ser modelado en un esquema de tres términos:
𝑆𝐷 → 𝑅 → 𝑆𝑅
𝐴𝑛𝑡𝑒𝑐𝑒𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒 → 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 → 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎
Un estímulo discriminador (𝑆𝐷) que conlleva a una respuesta (𝑅), es seguida por un estímulo de reforzamiento (𝑆𝑅) que incrementará la probabilidad de que esta respuesta sea repetida en el futuro cada que el estímulo discriminador se presente. Un reforzamiento positivo es un estímulo que, cuando se presenta después de una respuesta, aumenta la probabilidad de que esta respuesta se repita. Un reforzamiento negativo implica, por otro lado, remover un estímulo (o una situación) tras una respuesta, lo cual incrementa la probabilidad de que esta respuesta se repita en el futuro.
2. Castigo. El castigo permite disminuir la probabilidad de que se dé una respuesta a cierto estímulo. Este puede involucrar el retirar un reforzamiento positivo o, por otro lado, el presentar un reforzamiento negativo tras una respuesta a eliminar.
Tabla 2
Procesos de reforzamiento y castigo
𝑺𝑫→ 𝑹 → 𝑺𝑹
Estímulo discriminativo Respuesta Reforzamiento Reforzamiento positivo (refuerzo positivo presente)
Profesor da tiempo de estudio independiente
Estudiante estudia Profesor felicita al estudiante por el buen trabajo
Reforzamiento negativo (refuerzo negativo ausente) Profesor da tiempo de
estudio independiente
Estudiante estudia Profesor no le da más tarea al estudiante Castigo (reforzamiento negativo presente)
Profesor da tiempo de estudio independiente
Estudiante desperdicia el tiempo
Profesor le da tarea al estudiante
Castigo (reforzamiento positivo ausente) Profesor da tiempo de
estudio independiente
Estudiante desperdicia el tiempo
El profesor no le da más tiempo libre al estudiante
Nota: Estímulo, respuesta y reforzamiento establecidos en el proceso básico. Fuente:
Schunk, 2012.
1.3.2 Aprendizaje por reestructuración.
La concepción inicial dada por el aprendizaje por asociación, también conocida como conductismo, en la que el aprendizaje se ve como una respuesta pasiva a estímulos a los que se expone repetidamente, cambia desde el punto de vista del aprendizaje por reestructuración. En este, el aprendizaje de conocimientos se da mediante la
reestructuración de contenidos en la mente de los individuos.
Mediante esta perspectiva, el interés recae en entender cómo es que los individuos construyen una representación del ambiente con el que interactúan y cómo es que
responden a los estímulos provenientes de este con cada cambio cognitivo realizado.
Desde el punto de vista del aprendizaje por reestructuración, y a diferencia del provisto por el aprendizaje por asociación, la adopción de conocimientos y habilidades depende de la acción activa del sujeto, siendo este el responsable de lograr la asimilación y reestructuración de conceptos, y ya no un simple receptor.
En esta rama de estudio del aprendizaje se pueden determinar los siguientes rasgos:
1. Debe existir una motivación intrínseca para buscar información.
2. La comprensión va más allá de la información que se provee.
3. Las representaciones mentales cambian con el desarrollo.
4. Los niveles de entendimiento van afinándose progresivamente.
5. Existen ciertas dificultades propias del desarrollo del sujeto para lograr el aprendizaje.
6. La reflexión y la reconstrucción de contenidos estimulan el aprendizaje.
1.3.2.1 Piaget.
A diferencia de los gestálticos, Piaget tuvo principal interés en el proceso y el desarrollo específico del pensamiento. Dentro de sus postulados, se puede ver que este priorizaba la conducta humana como una forma de comprender las características
fundamentales del pensamiento humano. Además, de su prolífera producción, resalta los numerosos estudios que este desarrolló con respecto al pensamiento de los niños,
centrándose en las etapas de desarrollo de estos.
Para este, el desarrollo cognitivo dependía de cuatro factores:
1. La madurez biológica
2. Las experiencias dadas con el ambiente físico que rodea 3. Las experiencias dadas con el ambiente social que rodea 4. La equilibración.
Los tres primeros requieren de poca explicación adicional, pero todos estos dependen del cuarto. La equilibración hace referencia a las reacciones biológicas que conllevan a un adecuado sentido de equilibrio entre las estructuras cognitivas presentes y el ambiente. Por lo tanto, la equilibración se posiciona como el factor central y el empuje motivador detrás del desarrollo cognitivo. De esta manera, cuando se introducen nuevas ideas sobre algunas que se encontraban presentes previamente en las estructuras
cognitivas, el desequilibrio mental formado se ve equilibrado con un efecto de equilibración. Este el aspecto más importante de la teoría de aprendizaje de Piaget.
Esta equilibración actúa, según Piaget, bajo dos procesos: la asimilación y la acomodación. La primera de estas hace referencia a la adopción o aceptación de nuevos datos a una estructura presente previamente; la segunda, involucra las modificaciones que se deben de dar en estas estructuras para poder lograr esta primera asimilación.
Según Piaget, el desarrollo cognitivo solo puede darse cuando el desequilibrio, o los conflictos cognitivos se presentan, alterando la relación que creía encontrar entre las creencias del niño y la realidad observada, lo cual es resuelto por la equilibración y sus procesos de asimilación y acomodación.
Durante el aprendizaje de las matemáticas en la etapa escolar primaria, los niños deben migrar de conceptos continuamente. Por ejemplo, en un inicio, los niños son expuestos a la idea de adición de números reales como un incremento de valores con un resultado igual o mayor al que se contaba al inicio. Al migrar de esto a la adición dada en números enteros, esta adición no siempre presenta un incremento de cantidades, pudiendo presentarse casos como:
(+6) + (−2)
en el que el resultado final ha decrecido, generando conflictos mentales que solo serán resueltos mediante la interacción de la asimilación y la acomodación durante la
equilibración.
Sin embargo, la disponibilidad del sujeto (el estudiante) para poder lograr este aprendizaje se ve determinado por la adecuación cognitiva del estudiante para entender esta nueva tarea. Esto, depende de dos factores: los conocimientos previos con los que cuente y la etapa intelectual en la que el sujeto se encuentre.
Schunk (2012) hace referencia a este último factor, mencionando que Piaget determina cuatro etapas de desarrollo que determinan la clase de operaciones que el niño puede aprender de acuerdo con su edad o madurez mental. Cada una de estas etapas es construida en base a ciertos preceptos que establecen que:
1. Las etapas son discretas y se encuentran diferenciadas por diversos rasgos cualitativos. La transición de una etapa a la siguiente no se da de manera gradual ni continua, es abrupta.
2. El desarrollo de las estructuras cognitivas de un determinado momento depende enteramente del desarrollo previo.
3. Cada una de las etapas son consecutivas y su orden de aparición no puede ser alterado en un sujeto. Sin embargo, las edades a las que aparecen pueden ser diferentes en sujetos distintos.
Tabla 3
Etapas del desarrollo cognitivo de Piaget a
Etapa de desarrollo Rango aproximado de edades (años)
Sensoriomotor Nacimiento - 2
Preoperacional 2 – 7
Operaciones concretas 7 – 11
Operaciones formales 11 - adultez
Nota: Detalle de las edades que corresponden a determinadas etapas de desarrollo.
Fuente: Schunk, 2012.
Las etapas establecidas tienen las siguientes características:
1. Período sensoriomotor. Desde que el niño nace hasta que alcanza aproximadamente los dos años, el aprendizaje se da como producto de las interacciones sensoriales y motoras que pueda tener con el ambiente que lo rodea. Dado el rápido y constante cambio que el aprendizaje experimenta, los niños requieren de la utilización de la equilibración
continuamente: las estructuras cognitivas formadas por los estímulos ambientales se construyen y se alteran frecuentemente. Al terminar esta etapa, los niños son capaces de desarrollar ciertas nociones matemáticas como el desplazamiento y la concepción del objeto permanente (no hay necesidad de ver continuamente al objeto para saber que
existe). Además de esto, se han desarrollado ciertas concepciones matemáticas (de manera bastante primitiva) como el tamaño, la cantidad, las dimensiones, que le permiten hacer actividades como el armar una torre de figuras.
2. Período preoperacional. Durante este período, el niño empieza a usar símbolos para poder representar el mundo que lo rodea sin necesidad de tener con él una interacción inmediata. Se sirve de procesos como la imitación y la representación para poder acceder a las concepciones matemáticas, siendo todo esto un cimiento para el desarrollo del
pensamiento abstracto y la lógica. Esta edad se encuentra caracterizada por presentar rasgos de egocentrismo, animismo, centración, irreversibilidad y transducción. Entre las nociones matemáticas desarrolladas a esta edad se encuentran las transformaciones espaciales de figuras, aunque aún sin tener una concepción de conservación.
3. Período de las operaciones concretas. A lo largo de esta etapa es que los niños empiezan a desarrollar un pensamiento lógico para poder entender las cosas que lo rodean.
Es en esta etapa en la que la capacidad verbal y lógica de los niños se acelera dramáticamente, haciendo ver un acelerado crecimiento cognitivo. El pensamiento
abstracto se va consolidando en esta etapa, dejándose de lado el aspecto egocéntrico de su personalidad. Dentro del desarrollo cognitivo, resalta el desarrollo de la reversibilidad y de otras nociones matemáticas que serán esenciales para la adquisición de las habilidades matemáticas. En esta etapa, el niño es capaz de categorizar y clasificar, estableciendo relaciones concretas de objetos, sin poder alcanzar ideas abstractas en su totalidad.
Conceptos como la seriación, la clasificación, las operaciones numéricas (suma y
multiplicación), orden, entre otros. Algunas de las actividades que se pueden realizar son:
(a) la seriación, (b) la clasificación, (c) el concepto de número, (d) el simbolismo matemático, (e) las operaciones con los números, (f) as relaciones espaciales, reconociendo transformaciones
4. Período de las operaciones formales. En la etapa de las operaciones formales, el pensamiento no se encuentra centrado solo en cosas tangibles, siendo capaces de poder formular situaciones hipotéticas, caracterizados por tener cualidades abstractas. A diferencia del niño del período anterior, el sujeto de esta etapa trata de prever todas las relaciones existentes que puedan ser válidas entre los datos con los que se cuenta, desarrollando así una capacidad de reorientación mucho más allá de la simple
organización de datos obtenidos por medios sensoriales. El pensamiento, en esta etapa, es fundamentalmente hipotético-deductivo, y se sirve de bases proposicionales para poder expresar sus ideas. En conclusión, las operaciones formales realizadas en esta etapa son operaciones realizadas sobre las operaciones concretas de la etapa anterior, sirviéndose de dos aptitudes: la aptitud abstracta y la aptitud dialéctica (noción temporal de las cosas, identificando en ellas su origen y sus etapas). En cuanto al desarrollo matemático, durante este período, se destacan los siguientes aspectos: (a) capacidad de elaborar suposiciones, hipótesis y leyes matemáticas, (b) capacidades de hacer definiciones y símbolos, (c) concepto de continuidad e infinidad y (d) realizar relaciones entre otras relaciones (aumento del nivel de complejidad).
Capítulo II
Dificultades de aprendizaje en matemáticas (DAM)
2.1 Definición de las DAM
Las dificultades de aprendizaje en Matemáticas son englobadas bajo la denominación de Trastornos de Aprendizaje Especifico, en el Manual Diagnóstico y Estadístico de los Trastornos Mentales-DSM-V, el cual incluye dificultades de aprendizaje en lectura, expresión escrita y matemática. Este tipo de déficit en matemáticas está referido al menor ritmo de aprendizaje que presentan algunos estudiantes a comparación de sus compañeros.
Algunos términos aceptados para referirse a este tipo de deficiencia tenemos: acalculia, discalculia, trastornos de cálculo. La acalculia (o discalculia adquirida) es el déficit en el procesamiento numérico o aritmético y está relacionada a la existencia de una lesión cerebral. Mientras que el término discalculia (del desarrollo) se refiere a una anomalía neuroevolutiva. En resumen, desde un punto de vista educativo se prefiere el termino Dificultades de aprendizaje de las Matemáticas (DAM) y de un punto de vista
neuropsicológico el término discalculia.
Durante los años escolares se observa un gran número de niños y niñas con dificultades en las matemáticas, a raíz de ello se empezó a estudiar este tipo de DAM y
darle un gran impulso al estudio del desarrollo del pensamiento matemático del niño en las tres últimas décadas.
2.2 Etiología de las DAM
Las DAM pueden ser consecuencia de circunstancias internas del estudiante, pero también son influencia de circunstancias externas como la propia naturaleza de las matemáticas o metodología de enseñanza y actitud del profesor.
2.2.1 Origen interno de las DAM.
Muchos estudios demuestran poca relación entre las DAM y alteraciones neuropsicológicas pero que a su vez las relacionan con otros tipos de deficiencias. De acuerdo con Granados (2003) las causas de las DAM de origen interno se pueden clasificar según:
1. Deficiencias perceptuales: Las áreas perceptivas como diferenciación figura-fondo, orientación espacial y discriminación afectan las matemáticas provocando dificultades al hacer comparación de semejanzas.
2. Deficiencias simbólicas: dificulta la decodificación e interpretación de palabras y números, así como en su escritura.
3. Deficiencias memorísticas: las deficiencias en memoria dificultan el
reconocimiento visual, auditiva y de forma gráfica afectando los cálculos mentales y los procesos a seguir en la resolución de problemas. Conlleva además a dificultades en el conteo.
4. Deficiencias cognitivas: dificultad en la integración y procesamiento de la información de manera rápida y continua al establecer relaciones causales.
5. Deficiencias conductuales: Mercer establece tres factores: la impulsividad provoca un bajo grado de reflexión en los requisitos, el proceso a seguir y el planteamiento de hipótesis absurdas; la perseveración excesiva hace que el estudiante continúe con la operación más allá de lo necesario; finamente la atención poco duradera.
2.2.2 Origen externo de las DAM.
Pueden ser definidos dos factores:
1. DAM y la naturaleza de las matemáticas. Las matemáticas generan acierta ansiedad por su naturaleza, debido a la fácil percepción de aciertos y errores, además del alto nivel de abstracción en sus conceptos el cual se amplifica si el estudiante no los relaciona con sus experiencias cotidianas. Por su funcionalidad, el aprendizaje de los contenidos es afectado cuando los estudiantes no ven su utilidad causando una pérdida de interés y desmotivación. En este sentido estos contenidos deben relacionarse a su entorno y ayudarle a resolver situaciones de su vida cotidiana. El lenguaje propio de las matemáticas es otro factor importante en su aprendizaje, por su diferencia con el lenguaje natural de los estudiantes, generando dificultades causadas por su complejidad sintáctica y vocabulario (Fernández, 2013).
2. DAM y metodología de enseñanza. La metodología y la postura del profesor durante la enseñanza de matemáticas es un factor crucial, determinando la predisposición e interés de los estudiantes. Los métodos de enseñanza deben aplicarse pesando en los alumnos, con un análisis y valoración de los contenidos y su forma de exposición.
Además, se debe considerar el ritmo de trabajo, conocimientos previos, competencias para
afrontar nuevos contenidos, nivel de abstracción para la introducción de nuevos conceptos que tengan los estudiantes. Deben adecuarse los recursos de aprendizaje y la forma de evaluación. El estudiante debe recibir una educación más personalizada y debe participar en todo momento de este proceso. El profesor, por otro lado, además de poseer una buena preparación matemática y pedagógica, debe disfrutar enseñar generando un ambiente de respeto y confianza lo cual motiva a los escolares. En los últimos años se aplica una metodología que fomenta el aprendizaje cooperativo, formando grupos heterogéneos.
(Fernández, 2013)
2.3 Tipología de las DAM
Las DAM se pueden clasificar de acuerdo con diferentes criterios, entre las clasificaciones más conocidas tenemos la tipología clásica de Kosc, la tipología de Geary y la tipología de Natlie A. Badian.
2.3.1 Tipología de Kosc.
Kosc menciona que existen seis subtipos de discalculias, y se presentan de forma aislada o combinada:
1. Discalculia gráfica: Al estudiante se le dificulta escribir número y símbolos de las operaciones. Sin embargo, él puede comprender operaciones matemáticas que son presentadas oralmente además de poder leer información numérica.
2. Discalculia operativa: El estudiante tiene dificultad para resolver operaciones aritméticas.
3. Discalculia practognóstica: el estudiante tiene dificultad para traducir los conocimientos abstracto-matemáticos alcanzados a conceptos reales. Comprende
conceptos matemáticos, pero se le dificulta enumerar, comparar y ordenar objetos reales.
No puede diferenciar si un objeto es más grande, más pequeño o del mismo tamaño.
4. Discalculia verbal: Dificultad el estudiante para expresar verbalmente términos y relaciones matemáticas, aun cuando él pueda escribir o leer el número.
5. Discalculia léxica: Deficiencia en la lectura de simbología matemática (números, signos, dígitos) aun cuando el estudiante puede emplear estos conceptos mediante lenguaje oral.
6. Discalculia ideognóstica: Deficiencia en la comprensión de ideas y relaciones matemáticas las cuales se necesitan para realizar cálculos mentales. Pueden leer y escribir números mas no los comprenden, tampoco puede relacionar números.
2.3.2 Tipología de Natlie A. Badian.
Este menciona que se pueden adquirir cuatro tipos de discalculia:
1. Dislexia: Dificultad del estudiante en la lectura y escritura de números, la cual muchas veces está relacionada a dificultades de lectura. Este tipo de dificultad se asocia a lesiones en el hemisferio izquierdo.
2. Discalculia espacial: Dificultad en representar información numérica en el espacio, tales como omisión y rotación de números, problemas con los signos en operaciones matemáticas, dificultad con las posiciones de los dígitos y los decimales. Está relacionado con daños en la región posterior del hemisferio derecho.
3. Disaritmética: Dificultad en los cálculos.
4. Discalculia atencional-secuencial: Dificultad con problemas de secuenciales, sumas que requieren llevar o recordar operaciones durante la multiplicación.
2.3.3 Tipología de Geary.
De acuerdo con los estudios de Geary, las DAM en niños y niñas son causadas por deficiencias cognitivas o neuropsicológicos y considera que pueden ser heredables. De acuerdo con Geary, existen tres subtipos:
1. Subtipo de Memoria semántica: Dificultad para recordar acciones numéricas que pueden observarse en operaciones sencillas, en el que el estudiante emplea el recuerdo.
Está relacionado con lesiones cerebrales corticales izquierdas o subcorticales.
2. Subtipo de procedimientos: Dificultades al ejecutar procedimientos y en la secuenciación de pasos para procedimientos más difíciles. En él se observan deficiencias en la memoria y los procesos de ejecución. Se observa también problemas en el conteo. Se relacionan con lesiones frontales y/o parietales del hemisferio derecho.
3. Subtipo visoespacial: Dificultades en habilidades espaciales por lo cual el
estudiante no puede representar ni interpretar información aritmética. Afectan áreas como geometría y resolución de problemas complicados.
2.4 Evaluación de las DAM
2.4.1 Clasificación de las pruebas y procedimiento de evaluación de las DAM.
Con las nuevas tendencias educativas es necesario aplicar evaluaciones para medir la competencia matemática y las dificultades de su aprendizaje. Los procedimientos desarrollados en la actualidad son de distinta naturaleza en los que se evalúa la referencia criterial, se mide la base curricular y análisis de errores, entre otros.
Blanco (2009) clasifica y analiza estas pruebas y procedimientos de evaluación desde un punto de vista de la formalidad en su aplicación y los divide en 2 grandes grupos:
evaluación formal e informal.
2.4.1.1 Evaluación formal.
Procedimientos con reglas específicas de administración, calificación e
interpretación. Dentro de él tenemos a las pruebas estandarizadas, en los que se evalúa la competencia matemática.
2.4.1.1.1 Test estandarizados.
Los test estandarizados de inteligencia se aplican con la finalidad de descartar procesos cognitivos subyacentes deficitarios (retraso mental). Además, con este tipo de evaluación puede confirmarse discrepancias entre el CI y la habilidad matemática. Este tipo de evaluación, como las de memoria auditiva y visual, no aporta información al profesor sobre la intervención que debe llevar a cabo. La información que brindan estas pruebas nos permite conocer los puntos fuertes y débiles de los alumnos (habilidades en áreas como música, danzo o deporte) las cuales permiten el desarrollo de su autoestima.
Entre las pruebas de aplicación individual más conocidas tenemos:
1. La escala de Weschler (WISC-R) para niños de la etapa preescolar y primaria (6 y 16 años), con el que se obtiene un perfil cognoscitivo del estudiante. Este tipo de pruebas cuenta con subtest de aritmética y problemas verbales sin apoyo visual los cuales nos dan una valoración del estudiante en el campo del cálculo.
2. La escala McCarthy de Aptitudes y Psicomotricidad (MSCA) para niños entre 2 y 8 años, es una prueba que agrupa 5 subescalas: Lingüística, Perceptivo-Manipulativo,
Motricidad, Memoria y Numérica. Se proponen tareas de conteo dentro de otras actividades.
3. La batería de evaluación de Kaufman (K-ABC) para niños entre 2,5 y 12,5 años, comprende 3 escalas: Procesamiento simultáneo, Procesamiento secuencial y
Conocimiento. Cuenta con subtest de aritmética y problemas verbales con apoyo visual sin tiempo límite.
Los test de referencia normativa de matemáticas son evaluaciones comparativas de cada niño con el rendimiento medio al de una muestra representativa de niños de similares características y aplicado bajo las mismas condiciones. Su objetivo es determinar si el estudiante te presenta dificultades y el grado de estas. Este tipo de pruebas está diseñado para aplicarse en forma colectiva.
La información normativa proporcionada por esta evaluación permite conocer si los errores de cada niño son normales o están por encima de la media donde sugiere
complementar estos resultados con otras evaluaciones con diferente forma de presentación.
Estas pruebas son sistemáticamente aplicadas en Estados Unidos con la finalidad de conocer el número de estudiantes por encima de la media.
Entre las principales pruebas de este tipo se tienen:
1. Aptitudes Mentales Primarias (PMA): es de aplicación colectiva a niños entre 10 y 11 años, evalúa aptitudes para el aprendizaje verbal, concepción espacial, fluidez verbal, razonamiento y cálculo numérico. Se evalúan dos sectores: (a) razonamiento, con
resolución de problemas lógicos, comprende 30 elementos de series de letras con un orden específico y (b) cálculo matemático, donde se evalúa el manejo de números y la resolución de problemas cuantitativos rápidamente. Se tiene que resolver 70 sumas con resultados erróneos en algunos casos.
2. Test de aptitudes escolares (TEA-1 y TEA-2): de aplicación colectiva a niños entre 8 y 12 años (TEA-1) y 11-14 (TEA-2), estas pruebas integran vocabulario, dibujos y palabra, razonamiento y cálculo. Estas pruebas son utilizadas para conocer las aptitudes y el potencial de los estudiantes. Clasifica a los estudiantes con capacidad similar
(superdotados e infradotados), permitiendo identificar a los alumnos con dificultades de aprendizaje. Se evalúan dos áreas: (a) razonamiento, como el ordenamiento en conjuntos de figuras abstractas (números o letras) y (b) cálculo, el TEA-1 pregunta si las sumas están correctas o no, el TEA-2 evalúa el manejo de números.
3. Batería de Aptitudes para el Aprendizaje Escolar (BAPAE): aplicación individual o colectiva para niños entre 6 y 8 años, evalúa la comprensión verbal, aptitud perceptiva:
Constancia de la forma y orientación espacial y Aptitud numérica. En el subtest de aptitud numérica se evalúan conceptos de número, sumas y restas, problemas de doble y mitad y problemas de cambio y combinación.
4. Batería Española de Test de Aptitudes (BETA) de aplicación individual o colectiva, para niños entre 4 y 18 años. Es una evaluación de la inteligencia con una serie de subtest enfocados en subfactores de atención, memoria, aptitud verbal, aptitud numérica, aptitud espacial, aptitud para la abstracción y aptitud mecánica. Tiene ocho niveles y su estructura toma en cuenta la edad cronológica y el estadio evolutivo de la inteligencia.
5. Test de pronóstico académico (TPA) de aplicación individual o colectiva a niños entre 11 y 15 años con un estadio de desarrollo normal. Evalúa la aptitud de razonamiento abstracto, capacidad verbal y capacidad numérica
6. Test de Aptitud Numérica (TAN) evalúa la aptitud numérica, los aspectos de automatismo del cálculo y razonamiento numérico. Aplicado a alumnos de tercer grado de primaria de forma individual o colectiva. Contiene seis apartados: (a) operaciones:
comprende sumas, restas y multiplicaciones, (b) interrogación: con preguntas en diferentes
lugares de la operación, (c) secuencias numéricas: te piden el número que continúa en una seriem (d) clasificaciones: ordenamiento de cantidades, (e) problemas: resolución de problemas sencillos y (f) cuestiones: cuestiones numéricas.
7. Test de Aptitudes Diferenciales (DAT): Evalúa aptitudes básicas de la inteligencia:
aspectos verbales, numéricos, razonamiento abstracto, rapidez y precisión perceptiva, comprensión mecánica y dotes espaciales. Se evalúa individual o colectivamente a niños mayores de 13 años. Es una de las evaluaciones más usadas debido a que la información proporcionada puede ser usada para la orientación de la enseñanza superior.
8. Prueba de Aptitud y rendimiento matemático: Se aplica a niños entre 7 y 12 años, en ella se evalúan: (a) nociones previas: conservación, seriación, previsión, clasificación e inclusión, (b) conocimiento de la simbolización matemática: concepto de valor y signos, conocimiento de figuras y cuerpos geométricos y dictado y lectura de números, y (c) disposición para el cálculo y resolución de problemas: resta y reparto, solución de problemas con dificultad de enunciado y problemas abstractos.
2.4.1.1.2 Medidas basadas en el currículo y pruebas de diagnóstico.
Las pruebas estandarizadas evalúan el conocimiento de un estudiante respecto a su entorno en función del currículo, comparándolo con sus compañeros del centro de
estudios. Al tomarse de forma individual determina las áreas deficientes del estudiante, y los resultados ayudan a decidir el tipo de intervención.
De acuerdo con las etapas educativas, se toma una evaluación diferente, en
educación infantil se evalúa el desarrollo temprano y en educación primaria las habilidades básicas.
Las pruebas de diagnóstico, por otro lado, evalúan las fortalezas y debilidades en el área curricular. El cual es utilizado para desarrollar programas de instrucción.
Entre las evaluaciones matemáticas más empleadas tenemos:
1. La prueba Key-Math: Valora la competencia matemática desde el preescolar hasta finalizar el nivel primario con variación en la dificultad de la evaluación. En él se evalúa contenido, operaciones y aplicaciones. Esta prueba ha sido traducida al español, adaptada y validada por Pérez-Santamaría. La utilidad de esta prueba está en categorizar al estudiante, pero sufre limitaciones para diagnosticar debido a que no analiza la fuente del error y en algunos casos provoca la desmoralización del alumnado y profesorado.
2. Test de habilidad matemática temprana (TEMA-2) evalúa niños entre 3 y 9 años en la comprensión en conceptos y procedimientos matemáticos (formal e informal). No cuenta con una traducción y adaptación al castellano.
3. Prueba de cálculo y nivel matemático: valora competencias matemáticas que van desde la escritura hasta operaciones de potencias y raíces. S clasificación va desde
estudiantes eficientes pero lentos, eficientes y rápidos pero inseguros, lentos e inseguros.
Este tipo de evaluaciones es usado, además, para comparar las competencias
curriculares entre centros educativos o educación en diferentes países dado que se basan en currículos comunes. Estas pruebas cumplen con determinadas condiciones y requisitos a pesar de que no son estandarizadas. Estas evaluaciones son utilizadas, por instituciones como la Asociación internacional para la Evaluación del Rendimiento Educativo (IEA) y el Proyecto PISA de la Organización para la Cooperación y Desarrollo económicos, para evaluar los conocimientos adquiridos y destrezas.
2.4.1.2 Evaluación informal.
Este tipo de evaluación no tienen una puntuación e interpretación ni un
procedimiento rígido. Incluye test de referencia criterial, análisis de tareas, y los procesos de valoración relacionados al aula como la observación y análisis de trabajo de los estudiantes.
2.4.1.2.1 Valoraciones basadas en el currículo (CBA).
Es un tipo de evaluación que emplea procedimientos informales, este incluye la valoración diaria del estudiante, así como los exámenes.
2.4.1.2.2 Test de referencia criterial (CRT).
Utiliza criterios de maestría, establecido por una autoridad, para valorar el conocimiento en un área especifica. Su propósito es obtener un indicador del nivel del estudiante en un objetivo y determinar una acción educativa que lo beneficie. Estas pruebas aportan información que ayudan a tomar decisiones curriculares y son de aplicación sencilla. Es la evaluación que cumple con mayor eficiencia la relación evaluación-intervención, siempre y cuando tenga los suficientes ítems en cada dominio matemático.
Entre las principales pruebas de referencia criterial tenemos:
1. Pruebas Pedagógicas Graduadas de Visor: se aplica en el primer grado de educación primaria y consta de 3 escalas: Lenguaje, Matemáticas y Perceptivas. En la escala matemática se evalúan Lógica, conocimientos de serie numérica, calculo aditivo y cálculo sustractivo.
2. VanNCoC: Se basa en el currículo oficial del estado español, consta de 4 pruebas para cada ciclo de la primaria.
