LICEO BICENTENARIO – MOLINA
“Excelencia en Libertad, autonomía en el saber”
Departamento de Matemática Profesor: Patricio Arévalo Sánchez
1
FUNCIÓN LINEAL: Ecuación de la Recta
Su gráfico es una recta y depende de los valores que tomen a y b. “b” se llama coeficiente de posición y (0, b) es el punto donde la recta intersecta al eje y. “a”, coeficiente de x, es el valor de la pendiente de la recta.
Si en una recta ( x1 , y1) ( x2 , y2) , con x1 x2 son puntos de ella, entonces:
Su pendiente es m =
x y x x
y y
1 2
1
2
Su ecuación es :
y – y
1= (x x ) xx y y
1 1 2
1
2
,
La cual puede escribir en la forma: y = m x + n, donde m es la pendiente y n el coeficiente de posición.
Si los puntos (x1 , y1) y (x2, y2) son tales que x1 = x2 , entonces la recta es paralela al eje
y,
su pendiente es indeterminada y su ecuación es x = x1Se llama ángulo de inclinación () de una recta al ángulo que la recta forma con la parte positiva del eje x.
Relación entre las pendientes y la posición de dos rectas en el plano
Dos rectas L1 y L2 son paralelas si y sólo si sus pendientes son iguales. L1 // L2 m1 = m2
Dos rectas L1 y L2 son perpendiculares si y sólo si el producto de sus pendientes es –1 L1 L2 m1 m2= -1
Ejercicios Resueltos:
1. Dada una ecuación de primer grado en dos variables, siempre es posible despejar una de las variables en función de la otra. Así, dada la ecuación: ax + by + c = 0 ( b 0), podemos escribir:
y = b c ax
y = b x c b
a , si hacemos y c
b
a m n
b , escribimos y = m x + n que es una función de primer grado y representa una recta de pendiente m y coeficiente de posición n.
“a” se llama coeficiente de x, “b” se llama coeficiente de y, “c” se llama término libre.
Dada la ecuación 5x + 3y – 6 = 0.
Hallar:
a)el coeficiente de x.
b) el coeficiente de y.
c) el término libre.
d) la pendiente m de la recta que representa.
e) el coeficiente de posición k de la recta que representa.
2. Escribir la ecuación 2x – 1 = 0 como una función de primer grado y = f(x).
Solución:
No es posible escribir la ecuación 2x –1 = 0 como una función de primer grado y = f (x) porque la variable no aparece en la ecuación y esto significa que su coeficiente es 0.
3. Dada la ecuación 5x – 3y + 8 = 0 encontrar dos puntos que pertenezcan a la recta que representa y graficarla.
Solución:
Recordemos que un punto pertenece a una recta si y sólo si satisface su ecuación. Dando valores a una de las variables podemos obtener el valor correspondiente a la otra, de modo que el par (x, y) sea un punto de la recta representada por la ecuación 5x + 3y + 8 = 0. Así, si x = 2 5 2 + 3y + 8 = 0
Entonces: 3y = –18 , luego: y = –6
Relación entre el ángulo de inclinación () y la pendiente (m) de una recta L.
= 0 0° < < 90° = 90° 90° < < 180°
m m = 0 m > 0 Indeterminada m < 0
G R A F I C O
y
x
y
x
y
x
y
x
L L
L
Solución:
a) coeficiente de x = 5 ; b) coeficiente de y =3 ; c) término libre = – 6 ;
d) debemos escribir la ecuación en forma
de función de primer grado:
y = x 2
3 5
, luego m = 3
5 ; e) k = 2
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2
(2, –6) es punto de la recta cuya ecuación es 5x + 3y + 8 = 0 Si x = –2 5 (–2) + 3y + 8 = 0 3y = 2 y =
32
(–2,
32 ) es punto de la recta cuya ecuación es 5x + 3y + 8 = 0 Sabemos que dados dos puntos de una recta, está queda definida.
4. Graficar las rectas representadas por las siguientes ecuaciones:
a) x –2y + 6 = 0 ; b) x – 1 = 2 ; c)1 – 2y = 5 Solución:
a) Para graficar la recta cuya ecuación es x – 2y + 6 = 0 ; buscaremos dos puntos de ella.
Si x = 2 2 – 2y + 6 = 0 –2y = –8 y = 4
(2, 4) es un punto de la recta Si x = 4 4 –2y + 6 = 0 –2y = –10 y = 5
(4, 5) es un punto de la recta (ver gráfico).
b) La ecuación x – 1= 2 es equivalente a la ecuación x = 3, representa todos los puntos del plano cuya abscisa vale 3 (es paralela al eje Y).
c) La ecuación 1 – 2y = 5 es equivalente a la ecuación y = –2, representa todos los puntos del plano cuya ordenada es –2 (es paralela al eje X).
5. Hallar los puntos en que la recta cuya ecuación es 4x – 6y + 8 = 0 intersecta a los ejes coordenados. Graficarla.
Solución:
Intersección al eje X: Como todos los puntos del eje x son de la forma (x, 0) debemos encontrar el punto que satisface la ecuación de la recta y tiene ordenada y = 0 Si y = 0 4x + 8 = 0 x = –2
La recta intersecta al eje X en (–2, 0)
Intersección al eje Y: Como todos los puntos del eje y son de la forma (0, y) debemos encontrar el punto que satisface la ecuación de la recta y tiene abscisa x = 0
Si x = 0 – 6y + 8 = 0 y = 34
La recta intersecta al eje Y en (0 , 34 )
Con los dos puntos de intersección podemos trazar su gráfico.
6. Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (3, 2) y (1, –1). Graficarla.
Solución:
Si (x1 , y1) y (x2 , y2) son puntos de una recta, su ecuación es:
y – y1 =
1 2
1 2
x x
y y
(x – x1) (*) , donde m x x
y y
1 2
1
2
(pendiente)
Sea (x1 , y1) = (3, 2) y (x2 , y2) = (1 , –1)
2 3 2 3 3 1
2 1 x x
y y
1 2
1
2
Luego en (*) queda: y – 2 =
3 (x – 3) / 2 2
2y – 4 = 3x – 9 , 3x – 2y – 5 = 0 es la ecuación pedida (gráfico)
7. Hallar la ecuación de una recta cuya pendiente es –3 y pasa por el punto (2, –5) Solución:
m = –3 y (x1 ,y1) = (2, –5) La ecuación pedida es:
y – y1 = m (x – x1) ; y + 5 = –3 (x – 2 ) ; y + 5 = –3x + 6 3x + y – 1 = 0 es la ecuación buscada.
8. Determinar si los tres puntos (–3, 2 ), (–2, 0) y (1, –6) son colineales.
x y
-2
-6
3 2
2
y
3 x
x y
-2
4 5
2 4
y
x
-2
3 4
3 2
-1 1
y
x
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3 Solución:
Para que tres puntos sean colineales, la pendiente de la recta definida por dos de ellos debe ser igual a la pendiente de la recta definida por el tercer punto y cualquiera de los dos anteriores:
Pendiente m1, entre (–3, 2) y (–2, 0) : m1 = 2 3 2
2
0
Pendiente m2 , entre (–2, 0) y (1, –6): m2 = 2
2 1
0
6
Como m1 = m2, los tres puntos son colineales.
9. Determinar si las rectas determinadas por los siguientes pares de ecuaciones son paralelas, perpendiculares o sólo son secantes.
a)L1: 2x – 3y + 6 = 0 L2 : 9y – 6x = 0 b)L1: 2x + y – 1 = 0 L2 : x – 2y + 3 = 0 c)L1: 1 – 4 x = y L2 : 2x + 5y – 3 = 0 Solución:
Para responder hay que calcular y comparar las pendientes de las rectas.
a) L1 : 2x – 3 y + 6 = 0 y =
32 x + 2 mL1 = 32 L2 : 9y – 6x = 0 y =
96 x y =
32 x mL2 = 32 Luego, como mL1 = mL2, entonces L1//L2
b) L1 : 2x + y – 1 = 0 y = –2x + 1 mL1 = –2 L2 : x – 2y + 3 = 0 y =
21 x +
23 mL2 = 21 Luego como mL1 mL2 = –2
21 = –1 , entonces L1 L2
c) L1 : 1 – 4x = y y = –4x + 1 mL1 = –4 L2 : 2x + 5y – 3 = 0 y =
5
2x +
53 mL2 = 5
2 Como mL1 mL2 , las rectas no son paralelas.
Como mL1 mL2 – 1, las rectas no son perpendiculares.
Luego podemos decir que son rectas secantes. Con ayuda de algún concepto de trigonometría podríamos calcular el ángulo formado por las rectas.
EJERCICIOS:
1. La recta que pasa por los puntos (1,2) y (-3, 1) tiene por ecuación:
A) x – 4y + 9 = 0 B) x + 4y – 9 = 0 C) x + 4y + 7 = 0 D) x – 4y – 7 = 0 E) x – 4y + 7 = 0 2. La recta cuya ecuación es 2y – x + 1 = 0 intersecta al eje X y al eje Y en los puntos.
A) 1 y –1 B) –1 y 1 C) 21 y
2
1 D) 1 y
2
1 E)
2
1 y 1 3. La recta cuya pendiente es –2 y que pasa por el punto (1, 1) tiene por ecuación:
A) 2x + y – 3= 0 B) 2x – y + 3 = 0 C) 2x – y – 3 = 0 D) 2x + y – 4 = 0 E) 2x + y + 4 = 0 4. De los tríos de puntos siguientes son colineales:
I) (3,2)(1,0)( – 1, – 2) II) (6,1)(3,2)(3,4) III) (3,1)(4,3)(5,7)
A) Sólo I B)Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) Sólo II y III 5. De las ecuaciones siguientes , la que representa una recta paralela a la recta x – 2y + 3 = 0 es:
A) 2y + x + 3 = 0 B) 2y – x – 6 = 0 C) 2y + x + 6 = 0 D) y + 2 x – 3 = 0 E) y + 2x + 6 = 0 6. Una recta perpendicular a la recta de ecuación 3x – y + 1 = 0 es la representada por :
A) 3x + y + 3 = 0 B) 3y – x – 2 = 0 C) 3y – x + 2 = 0 D) 3y + x + 2 = 0 E) 3x + y – 1 = 0
7. En kx – x + y + 3 = 0 el valor de “k” para que la ecuación represente a una recta que pasa por el punto (1 , – 3) es :
A) 0 B) 1 C) 2 D) –1 E) –2
8. La pendiente de la recta que pasa por los puntos (3 , 5) y (– 2, 1) es:
A) 4 B) 5 C)
54 D)
45 E) – 54 9. De las siguientes rectas, pasan por el origen:
I) x + 2y – 1 = 1 II) 3x + 2y + 2 = 2 III) x – 5y = 0
A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo II y III D) Sólo I y III E) I, II y III
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4 10. La ecuación de la recta paralela al eje X que pasa por el punto (4, – 1) es :
A) x – 1 = 0 B) x + 1 = 0 C) y – 1 = 0 D) y + 1 = 0 E) x + y = 1 11. La ecuación de la recta perpendicular al eje Y que pasa por el punto (– 3, – 4) es :
A) y – 4 = 0 B) y + 4 = 0 C) x + 4 = 0 D) x – 4 = 0 E) x – y = 4
12. En cuál de las siguientes representaciones de la ecuación de la recta, la pendiente no es positiva:
I) II) III)
A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) II y III E) I y III 13. Con cuál(es) de las siguientes rectas dadas es L = 3x + y + 5 paralela(s):
I) y = – 3x + 4 II) 2y + 6x – 8 = 0 III) 8x + 2y – 5 = 0
A) I y II B) II y III C) I y III D) Todas E) Ninguna 14. Con cuál(es) de las siguientes rectas dadas es y + 2x – 4 = 0 perpendicular(es):
I) y = –
21 x + 3 II) y – 2x – 5 = 0 III) 2y – x + 3 = 0
A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) I y III E) II y III 15. A) 2x – y + 4 = 0
B) 2x + y – 4 = 0 C) 4y – 2x + 4 = 0 D) x + y – 2 = 0 E) –2x – 4y + 5 = 0
16. La ecuación de la recta que pasa por el origen 0 de un sistema de coordenadas cartesianas y es paralela a la recta L: 2x – y + 8 = 0 es :
A) x – y = 0 B) 2x + y = 0 C) x + y = 0 D) x – 2y = 0 E) 2x – y = 0 17. De las rectas L1 : 2x – 3y – 1 = 0 y L2 : 3x + 2y + 4 ; se puede afirmar que :
A) Son paralelas entre sí
B) Una de ellas es paralela al eje de las abscisas C) Son perpendiculares entre sí
D) Ambas pasan por el origen del sistema de coordenadas
E) Sólo una de ellas pasa por el origen del sistema de coordenadas.
18. La pendiente de la recta definida por la ecuación 24x + 8y – 19 = 0 es :
A) -3 B)
3
1 C) 3 D)
3
1 E) 4
19. La recta 3x – 7y + 4 = 0 forma con los ejes coordenados un triángulo, de cuyos ángulos interiores se puede afirmar que:
A) Son todos iguales entre sí D) Uno de ellos es obtuso B) La suma de dos de ellos es igual al tercero E) Ninguna de las anteriores C) Sólo uno de ellos es agudo
20. La ecuación que representa a la recta L del gráfico es:
A) y = 4 D) x = 4
B) y = x + 4 E) x + y = 4 C) y = x – 4
21. Para que los puntos A(4,K) , B(-1,-1) y C(-6, -6) sean colineales el valor de “k” debe ser : A) -8 B) 8 C) -4 D) 4 E) 10
22. La ecuación de la recta que pasa por el origen del sistema de coordenadas cartesianas y por el punto A(-3, -5) es :
A) 5x – 3y = 0 B) 3x – 5y = 0 C) 5x + 3y = 0 D) 3x + 5y = 0 E) N.A.
y
x
y
x
y
x
-2 4
y
x
L -4
4
