Integraci´on por partes para funciones absolutamente continuas (un tema de An´alisis Real)

Integraci´

on por partes

para funciones absolutamente continuas

(un tema de An´

alisis Real)

Egor Maximenko

http://www.egormaximenko.com

Instituto Polit´ecnico Nacional Escuela Superior de F´ısica y Matem´aticas

M´exico

Objetivo:

establecer una versi´on de la f´ormula de integraci´on por partes, en el contexto de la integral de Lebesgue.

Prerrequisitos:

la f´ormula para la derivada del producto,

propiedades de funciones absolutamente continuas,

Objetivo:

establecer una versi´on de la f´ormula de integraci´on por partes, en el contexto de la integral de Lebesgue.

Prerrequisitos:

la f´ormula para la derivada del producto,

propiedades de funciones absolutamente continuas,

1 Repaso de herramientas

Plan

1 Repaso de herramientas

ab − cd =

ab − cd = ab − ad + ad − cd =

La derivada del producto (repaso)

Proposici´on

Sean A un intervalo de R, f , g : A → C, x ∈ A. Supongamos que f y g son derivables en x. Entonces fg tambi´en es derivable en x ,

(fg )0(x ) = f0(x )g (x ) + f (x )g0(x ).

Primeros pasos de la demostraci´on:

f (y )g (y ) − f (x )g (x ) = f (y )(g (y ) − g (x )) + (f (y ) − f (x ))g (x ). l´ım y →x f (y )g (y ) − f (x )g (x ) y − x =  l´ım y →xf (y )   l´ım y →x g (y ) − g (x ) y − x  + g (x )  l´ım y →x f (y ) − f (x ) y − x  .

La derivada del producto (repaso)

Proposici´on

Sean A un intervalo de R, f , g : A → C, x ∈ A. Supongamos que f y g son derivables en x. Entonces fg tambi´en es derivable en x ,

(fg )0(x ) = f0(x )g (x ) + f (x )g0(x ).

Primeros pasos de la demostraci´on:

f (y )g (y ) − f (x )g (x ) = f (y )(g (y ) − g (x )) + (f (y ) − f (x ))g (x ). l´ım y →x f (y )g (y ) − f (x )g (x ) y − x =  l´ım y →xf (y )   l´ım y →x g (y ) − g (x ) y − x  + g (x )  l´ım y →x f (y ) − f (x ) y − x  .

La derivada del producto (repaso)

Proposici´on

Sean A un intervalo de R, f , g : A → C, x ∈ A. Supongamos que f y g son derivables en x. Entonces fg tambi´en es derivable en x ,

(fg )0(x ) = f0(x )g (x ) + f (x )g0(x ).

Primeros pasos de la demostraci´on:

f (y )g (y ) − f (x )g (x ) = f (y )(g (y ) − g (x )) + (f (y ) − f (x ))g (x ). l´ım y →x f (y )g (y ) − f (x )g (x ) y − x =  l´ım y →xf (y )   l´ım y →x g (y ) − g (x ) y − x  + g (x )  l´ım y →x f (y ) − f (x ) y − x  .

Notaci´

on para algunas clases de funciones (repaso)

Sean a, b ∈ R, a < b.

C ([a, b]) := el espacio de las funciones continuas [a, b] → C, C1([a, b]) := funciones continuamente derivables,

B([a, b]) := funciones acotadas,

Lip([a, b]) := funciones Lipschitz continuas, AC([a, b]) := funciones absolutamente continuas, BV([a, b]) := funciones de variaci´on acotada.

Las funciones absolutamente continuas y otras clases (repaso)

Mostramos con flechas → la relaci´on ⊆ (en realidad, ().

C1 Lip AC

C

BV

Derivadas de las funciones de variaci´

on acotada (repaso)

Denotamos por µ la medida de Lebesgue.

L1([a, b]) := L1([a, b], µ, C). Para f ∈ L1([a, b]), Z b a f := Z [a,b] f dµ. Proposici´on Sea f ∈ BV([a, b]).

Derivadas de las funciones de variaci´

on acotada (repaso)

Denotamos por µ la medida de Lebesgue.

L1([a, b]) := L1([a, b], µ, C). Para f ∈ L1([a, b]), Z b a f := Z [a,b] f dµ. Proposici´on Sea f ∈ BV([a, b]).

Funciones absolutamente continuas e integrales (repaso)

Los siguientes teoremas son variaciones de los dos teoremas fundamentales del c´alculo.

Teorema

Sea f ∈ L1_{([a, b]). Definimos F : [a, b] → C, F (x) :=}

Z x

a

f . Entonces F ∈ AC([a, b]) y F0 = f c.t.p.

Teorema

Sea F ∈ AC([a, b]). Entonces F0 ∈ L1_{([a, b]) y para cada x en [a, b],}

F (x ) − F (a) = Z x

a

Funciones absolutamente continuas e integrales (repaso)

Los siguientes teoremas son variaciones de los dos teoremas fundamentales del c´alculo.

Teorema

Sea f ∈ L1_{([a, b]). Definimos F : [a, b] → C, F (x) :=}

Z x

a

f . Entonces F ∈ AC([a, b]) y F0 = f c.t.p.

Teorema

Sea F ∈ AC([a, b]). Entonces F0 ∈ L1_{([a, b]) y para cada x en [a, b],}

F (x ) − F (a) = Z x

a

Funciones absolutamente continuas e integrales (repaso)

Los siguientes teoremas son variaciones de los dos teoremas fundamentales del c´alculo.

Teorema

Sea f ∈ L1_{([a, b]). Definimos F : [a, b] → C, F (x) :=}

Z x

a

f . Entonces F ∈ AC([a, b]) y F0 = f c.t.p.

Teorema

Sea F ∈ AC([a, b]). Entonces F0 ∈ L1_{([a, b]) y para cada x en [a, b],}

F (x ) − F (a) = Z x

a

El producto de funciones absolutamente continuas (repaso)

Proposici´on

Sean F , G ∈ AC([a, b]). Entonces FG ∈ AC([a, b]).

Idea de demostraci´on. Dada una lista de intervalos

 (xk, yk) m k=1, m X k=1 |f (yk)g (yk) − f (xk)g (xk)| = ≤ m X k=1 |f (y_k)| |g (yk) − g (xk)| + m X k=1 +|f (yk) − f (xk)| |g (xk)| ≤ kf ksup m X k=1 |g (y_k) − g (xk)| + kg ksup m X k=1 |f (y_k) − f (xk)|.

El producto de funciones absolutamente continuas (repaso)

Proposici´on

Sean F , G ∈ AC([a, b]). Entonces FG ∈ AC([a, b]).

Idea de demostraci´on. Dada una lista de intervalos

 (xk, yk) m k=1, m X k=1 |f (y_k)g (yk) − f (xk)g (xk)| = ≤ m X k=1 |f (y_k)| |g (yk) − g (xk)| + m X k=1 +|f (yk) − f (xk)| |g (xk)| ≤ kf ksup m X k=1 |g (y_k) − g (xk)| + kg ksup m X k=1 |f (y_k) − f (xk)|.

Plan

1 Repaso de herramientas

Integraci´

on por partes para funciones absolutamente continuas

Proposici´on (integraci´on por partes para funciones absolutamente continuas)

Sean a, b ∈ R, a < b, U, V ∈ AC([a, b]). Entonces

Z b

a

UV0= U(b)V (b) − U(a)V (a) − Z b

a

Integraci´

on por partes para funciones absolutamente continuas

Demostraci´on.

Ya sabemos que UV ∈ AC([a, b]), y la siguiente igualdad se cumple µ-c.t.p.:

(UV )0 = U0V + UV0.

Por la regla de Barrow para funciones absolutamente continuas, Z b

a

(UV )0 = (UV )(b) − (UV )(a).

Aplicamos estas propiedades y la propiedad aditiva de la integral: Z b

a

U0V + Z b

a

Proposici´on (integraci´on por partes para funciones abs. continuas, otra forma)

Sean a, b ∈ R, a < b, U ∈ AC([a, b]), v ∈ L1([a, b]). Definimos V : [a, b] → C, V (x) := Z x a v . Entonces Z b a

Uv = U(b)V (b) − U(a)V (a) − Z b

a

U0V .

En efecto, V ∈ AC([a, b]), V es derivable µ-c.t.p., y µ-c.t.p. se cumple V0 = v .

Proposici´on (integraci´on por partes para funciones abs. continuas, otra forma)

Sean a, b ∈ R, a < b, U ∈ AC([a, b]), v ∈ L1([a, b]). Definimos V : [a, b] → C, V (x) := Z x a v . Entonces Z b a

Uv = U(b)V (b) − U(a)V (a) − Z b

a

U0V .

En efecto, V ∈ AC([a, b]), V es derivable µ-c.t.p., y µ-c.t.p. se cumple V0 = v .

Proposici´on (integraci´on por partes para funciones abs. continuas, otra forma)

Sean a, b ∈ R, a < b, U ∈ AC([a, b]), v ∈ L1([a, b]). Definimos V : [a, b] → C, V (x) := Z x a v . Entonces Z b a

Uv = U(b)V (b) − U(a)V (a) − Z b

a

U0V .

En efecto, V ∈ AC([a, b]), V es derivable µ-c.t.p., y µ-c.t.p. se cumple V0 = v .

Corolario (integraci´on por partes para funciones continuamente derivables)

Sean a, b ∈ R, a < b, U ∈ C1([a, b]), v ∈ C ([a, b]). Definimos V : [a, b] → C, V (x) := Z x a v . Entonces Z b a

Uv = U(b)V (b) − U(a)V (a) − Z b

a

U0V .

Este resultado cl´asico se puede ver como un caso particular del anterior:

Corolario (integraci´on por partes para funciones continuamente derivables)

Sean a, b ∈ R, a < b, U ∈ C1([a, b]), v ∈ C ([a, b]). Definimos V : [a, b] → C, V (x) := Z x a v . Entonces Z b a

Uv = U(b)V (b) − U(a)V (a) − Z b

a

U0V .

Este resultado cl´asico se puede ver como un caso particular del anterior: