Medida generada por una funci´ on medible positiva

(1)

Integral de Lebesgue

Problemas para examen

Casi en todos los problemas de esta lista se supone que (X,F, µ) es un espacio de medida.

Primero definimos la integral para funciones simples medibles positivas, luego para funciones medibles positivas, luego para funciones medibles reales (pidiendo que la integral del valor absoluto sea finita) y para funciones medibles complejas (pidiendo que la integral del valor absoluto sea finita).

Integraci´ on de funciones simples medibles positivas

1. La representación canónica de una función simple positiva (repaso). Sea X un conjunto y sea f : X → [0, +∞) una función simple. Lo último significa que el conjunto de los valores de f es finito. Numeramos los valores de f en el orden estrictamente creciente:

im(f ) = {v1, . . . , vn}, 0 ≤ v1 < v2 < . . . < vn< +∞, y para cada j definimos el conjunto B_j como la preimagen de {v_j} bajo f :

B_j = f⁻¹[{v_j}].

Entonces los conjuntos B₁, . . . , B_n son no vac´ıos y disjuntos a pares, Sn

j=1B_j = X, y f =

n

X

j=1

v_jχ_B_j.

2. Recuerde la definición de la integral de Lebesgue de una función simple medible positiva dada por su representación canónica.

3. La integral de una función simple medible positiva dada por una representa- ción no canónica. Sea (X,F, µ) un espacio de medida, sean A1, . . . , A_m ∈ F conjuntos disjuntos tales que X =

m

[

k=1

Ak y sean w1, . . . , wm ∈ [0, +∞]. Algunos de los n´umeros w1, . . . , wm pueden coincidir, y algunos de los conjuntos A1, . . . , Am pueden ser vac´ıos.

Consideremos la funci´on f : X → [0, +∞], f :=

m

X

k=1

w_kχ_A_k.

Construya la representaci´on can´onica de f y demuestre que para todo Y en F Z

Y

f dµ =

m

X

k=1

wkµ(Ak∩ Y ).

(2)

4. La integral considerada como una función del conjunto de integración es una medida. Sea f : X → [0, +∞) una función simple F-medible positiva. Se considera la función ϕ : F → [0, +∞] definida mediante la fórmula

ϕ(Y ) :=

Z

Y

f dµ (Y ∈F).

Bas´andose solamente en la definici´on de la integral para funciones simples medibles positivas demuestre que ϕ es una medida.

5. La integral de una función simple que toma sólo un valor en el conjunto de integración. Sea f : X → [0, +∞) una función simple F-medible positiva y sea Y ∈ F un conjunto tal que f toma sólo un valor w ∈ [0, +∞) en todos los puntos de Y :

∀x ∈ Y f (x) = w.

Basándose sólo en la definición de la integral para funciones simples medibles positivas demuestre que

Z

Y

f dµ = w µ(Y ).

6. Ejemplo, cuando la integral de una función simple medible positiva es cero, aunque el conjunto de integración tiene medida no nula y la función es no nula en algunos puntos del conjunto de integración. Dé un ejemplo de un espacio de medida (X,F, µ), una función medible positiva simple f ∈ SM(X, F, [0, +∞)) y un conjunto medible Y ∈F tales que

Z

Y

f dµ = 0 ∧ µ(Y ) > 0 ∧ (∃x ∈ Y f (x) > 0) .

Integraci´ on de funciones medibles positivas

7. Escriba la definici´on de la integral de Lebesgue de una funci´on medible positiva.

8. Enuncie y demuestre propiedades elementales de funciones medibles positivas.

9. Sean f ∈M(X, F, [0, +∞]), Y ∈ F tales que Z

Y

f dµ < +∞.

Demuestre que

µ ({x ∈ Y : f (x) = +∞}) = 0.

(3)

10. ¿Cuándo la integral de una función medible positiva es nula? Sea f ∈ M(X, µ, [0, +∞]) una función tal que

Z

X

f dµ = 0.

Demuestre que f =====^µ-c.t.p.= 0.

11. Criterio de que la integral de una funci´on medible positiva sobre un conjunto medible es igual a cero. Sea f ∈M(X, F, [0, +∞]) y sea Y ∈ F. Encuentre una condici´on necesaria y suficiente para que

Z

Y

f dµ = 0.

12. Desigualdad de M´arkov–Chebyshov. Sean f ∈ M(X, F, [0, +∞]), v > 0. De- muestre que

µ ({x ∈ X : f (x) ≥ v}) ≤ 1 v

Z

X

f dµ.

13. Desigualdad de Márkov–Chebyshov para una composición de funciones positivas. Sean f ∈M(X, F, [0, +∞]), Y ∈ F, g : [0, +∞] → [0, +∞] una función creciente, v ≥ 0. Demuestre que

µ ({x ∈ X : f (x) ≥ v}) ≤ 1 g(v)

Z

X

g ◦ f dµ.

Convergencia de integrales de funciones medibles positivas

14. Ejemplos cuando no tiene caso la convergencia de las integrales. Dé un ejemplo de un espacio de medida finita (X,F, µ) y una sucesión de funciones F-medibles fn: X → [0, +∞) tales que fn converge puntualmente a una función g : X → [0, +∞), pero

Z

X

fndµ 6→

Z

X

g dµ.

Se recomienda construir varios ejemplos cuando la sucesi´on de las integrales R

Xf_ndµ no tiene l´ımite y otros ejemplos cuando esta sucesi´on tiene l´ımite, pero el l´ımite no coincide con la integralR

Xg dµ.

(4)

15. Una parte de la demostraci´on del teorema de la convergencia mon´otona.

Sea (f_n)_n∈N una sucesi´on creciente de funciones F-medibles, fn: X → [0, +∞), y sea s : X → [0, +∞) una funci´on simple F-medible positiva tal que

∀x ∈ X lim

n→∞f_n(x) ≥ s(x).

Demuestre que para todo c ∈ (0, 1)

n→∞lim Z

X

f_ndµ ≥ c Z

X

s dµ.

16. Teorema de la convergencia monótona (creciente). Enuncie el teorema y escriba y complete su demostración basándose en el resultado del problema anterior.

17. Teorema de la convergencia decreciente. Enuncie y demuestre el teorema de la convergencia decreciente.

18. Demuestre con un ejemplo que en el teorema de la convergencia decreciente la condici´on “f₁ ∈ L₁(µ)” no se puede omitir. En otras palabras, construya una sucesi´on de funciones (f_n)_n∈N que decrece en cada punto y

Z

X

n→∞lim f_ndµ 6= lim

n→∞

Z

X

f_ndµ.

19. Propiedad aditiva de la integral en el caso de funciones positivas. Sean f, g : X → [0, +∞] funciones F-medibles positivas. Demuestre que

Z

X

(f + g) dµ = Z

X

f dµ + Z

X

g dµ.

20. Propiedad σ-aditiva de la integral en el caso de funciones positivas. Sean f_n: X → [0, +∞] funciones F-medibles positivas. Denotemos por g la suma de la serie P∞

n=1fn:

g(x) :=

∞

X

n=1

f_n(x) (x ∈ X).

Demuestre que

Z

X

g dµ =

∞

X

n=1

Z

X

f_ndµ.

21. Sea (Yn)^∞_n=1 una sucesi´on en F tal que (Yn)^∞_n=1 es creciente y S∞

n=1Yn = X, y sea f ∈M(X, F, [0, +∞]). Demuestre que

n→∞lim Z

Yn

f dµ = Z

X

f dµ.

(5)

22. Serie num´erica como una integral de Lebesgue. Sea (an)_n∈N una sucesi´on en [0, +∞], es decir, a : N → [0, +∞]. Consideremos N como un espacio de medida: (N, F, ν), donde F = 2^N y ν es la medida de conteo:

ν(A) :=

(|A|, si A es finito;

+∞, si A es infinito.

Recordamos que la suma de la serie se define como el l´ımite de las sumas parciales:

X

n∈N

a_n:= lim

k→∞

X

n∈Nn≤k

a_n.

Demuestre que

X

n∈N

a_n= Z

N

a dν.

23. Intercambio de sumas de n´umeros positivos. Sean aj,k ∈ [0, +∞] para todos j, k ∈ N. Demuestre que

X

j∈N

X

k∈N

a_j.k =X

k∈N

X

j∈N

a_j,k.

Medida generada por una funci´ on medible positiva

24. Medida generada por una función medible positiva. Sea (X,F, µ) un espacio de medida y sea f ∈M(X, F, [0, +∞]). Demuestre que la función ϕ: F → [0, +∞], definida mediante la siguiente fórmula, es una medida:

ϕ(Y ) :=

Z

Y

f dµ (Y ∈F).

25. Sean X,F, µ, f, ϕ los mismos que en el ejercicio anterior. Demuestre que para toda g enM(X, F, [0, +∞]),

Z

X

g dϕ = Z

X

f g dµ.

26. Sea (X,F, µ) un espacio de medida y sea f ∈ M(X, F, [0, +∞]) una funci´on cuyo conjunto de valores es numerable:

R(f) = {vk}_k∈N.

(6)

Para todo k en N denotemos por A^k a la preimagen del conjunto {vk} bajo la funci´on f : A_k := f⁻¹[{v_k}].

Demuestre que

Z

X

f dµ =X

k∈N

v_kµ(A_k).

27. Demuestre que

1

Z

0

1 +₁

x

₁

x

dx =

∞

X

n=1

1 n².

(7)

Integral de Lebesgue de funciones reales y complejas

28. Sea f ∈M(X, F, R). Muestre que Z

X

|f | dµ < +∞ ⇐⇒

Z

X

f₊dµ < +∞ ∧ Z

X

f−dµ < +∞.

29. Recuerde la definici´on del conjunto L¹(X,F, µ, R). Sean f ∈ L¹(X,F, µ, R), Y ∈ F.

Recuerde la definici´on de R

Y f dµ.

30. La parte positiva de la suma no necesariamente coincide con la suma de las partes positivas. D´e un ejemplo de funciones f, g : X → R tales que (f + g)+6= f₊+ g₊. 31. La integral de la suma de funciones reales. Sean f, g ∈ L¹(X,F, µ, R). Demuestre que

Z

X

(f + g) dµ = Z

X

f dµ + Z

X

g dµ.

Puede usar propiedades de la integral de Lebesgue de funciones positivas.

32. La integral del producto de un número negativo por una función real. Sea f ∈ L¹(µ) una función integrable con valores reales y sea α < 0. Demuestre que

Z

X

(αf ) dµ = α Z

X

f dµ.

Puede usar propiedades de la integral de Lebesgue de funciones positivas.

33. Integral del producto de un n´umero complejo por una funci´on compleja.

Sea f ∈ L¹(X, µ, C) y sea α ∈ C. Demuestre que Z

X

(αf ) dµ = α Z

X

f dµ.

34. Transformación de un número complejo en un número positivo por medio de una rotación. Este ejercicio sirve como un lema para el siguiente teorema. Sea z ∈ C.

Construya un n´umero α ∈ C tal que |α| = 1 y αz ≥ 0.

35. Teorema: Integral y valor absoluto. Sea f ∈ L¹(X, µ, C). Demuestre que

Z

X

f dµ

≤ Z

X

|f | dµ.

(8)

Teorema de convergencia dominada

36. Teorema de convergencia dominada. Enuncie y demuestre el teorema de la convergencia dominada (de Lebesgue).

37. Teorema de convergencia uniforme. Sea (X,F, µ) un espacio de medida finita (µ(X) < +∞) y sea (f_n)_n∈N una sucesi´on de funciones tales que:

i) f_n ∈M(X, F, C) para todo n ∈ N;

ii) fn

=X

=⇒ g;

iii) g ∈ L¹(µ).

Demuestre que

n→∞lim Z

X

f_ndµ = Z

X

g dµ.

38. En el conjunto R con la medida de Lebesgue se considera la sucesi´on de funciones f_n: R → [0, +∞) definida mediante la regla fn = χ_[n,n+1), esto es,

f_n(x) =

(1, n ≤ x < n + 1;

0, x < n ∨ x ≥ n + 1.

Demuestre que f_n converge a la funci´on g = 0 pero

n→∞lim Z

f_ndµ = 1.

Explique por qu´e no se puede aplicar el teorema de la convergencia dominada. Para ello, calcule la funci´on

h(x) = sup

n∈N

|f_n(x)|.

39. En el intervalo (0, 1] con la medida de Lebesgue se considera la sucesi´on de funciones f_n: (0, 1] → [0, +∞) definida mediante la regla f_n= nχ_(0,1/n], esto es,

f_n(x) =

(n, 0 < x ≤ ¹_n; 0, ¹_n < x ≤ 1.

Demuestre que f_n converge a la funci´on g = 0 pero

n→∞lim Z

fndµ = 1.

Explique por qu´e no se puede aplicar el teorema de convergencia dominada. Para ello, calcule la funci´on

h(x) = sup

n∈N

|f_n(x)|.

(9)

40. Criterio de la convergencia en medida (en el caso de medida finita).

Sean (X,F, µ) un espacio de medida finita, (fn)_n∈N una sucesi´on en M(X, F, C) y g ∈ M(X, F, C). Demuestre que las siguientes condiciones son equivalentes:

(a) fn

−µ

+ g;

(b) lim

n→∞

Z

X

|f_n− g|

|f_n− g| + 1dµ = 0.

41. Sea (X,F, µ) un espacio de medida infinita. Definimos las funciones fn, g ∈M(X, F, C) de la siguiente manera:

f_n= 1

n, g = 0.

Demuestre que en este ejemplo f_n−+ g, pero^µ Z

X

|f_n− g|

|f_n− g| + 1dµ 6→ 0.

Continuidad de la integral con respecto al conjunto de integraci´ on

42. Lema. Sea (X,F, µ) un espacio de medida y sea f ∈ L¹(X, µ, R+). Definamos los conjuntos U_n (n ∈ {0, 1, 2, . . .}):

U_n:=x ∈ X : f (x) ≥ n . Demuestre que

n→∞lim µ(U_n) = 0.

43. Lema. Sea (X,F, µ) un espacio de medida y sea f ∈ L¹(X, µ, R+). Definamos los conjuntos U_n (n ∈ {0, 1, 2, . . .}):

U_n:=x ∈ X : f (x) ≥ n . Demuestre que

n→∞lim Z

Un

f dµ = 0.

44. Teorema. Sea (X,F, µ) un espacio de medida y sea f ∈ L¹(X, µ, R+). Demuestre que para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que si E ∈F y µ(E) < δ, entonces Z

E

f dµ < ε.

(10)

Integrales impropias

45. Sea µ la medida de Lebesgue en R, sea a ∈ R y sea f ∈ L¹([a, +∞), µ, C). Demuestre que para toda sucesi´on (b_n)_n∈N ⊂ R que tiende a +∞,

n→∞lim Z

[a,bn]

f dµ = Z

[a,+∞)

f dµ.

46. Sea µ la medida de Lebesgue en R, sea a ∈ R y sea f ∈ L¹([a, +∞), µ, C). Demuestre que

b→+∞lim Z

[a,b]

f dµ = Z

[a,+∞)

f dµ.

Sugerencia: utilice el resultado del problema anterior y el criterio del l´ımite en t´erminos de sucesiones (criterio de Heine).

47. Consideremos la funci´on f : [1, +∞) → R definida mediante la siguiente f´ormula:

f (x) = sen(x) x . Demuestre que

+∞

Z

1

|f (x)| dx = +∞,

pero existe y es finito el l´ımite

lim

b→+∞

b

Z

1

f (x) dx.

(11)

Integraci´ on y conjuntos de medida cero

En los siguientes problemas se supone que (X,F, µ) es un conjunto de medida. La medida puede ser finita o infinita.

48. Igualdad casi en todas partes es una relaci´on de equivalencia. Consideremos el conjunto de funciones complejasF-medibles con la relaci´on binaria ∼ definida mediante^µ la siguiente regla:

f ∼ g^µ ⇐⇒ µ x ∈ X : f (x) 6= g(x) = 0.

49. Sucesi´on de conjuntos cuyas medidas forman una serie convergente. Sea (E_n)_n∈N una sucesi´on de conjuntos F-medibles tal que

∞

X

n=1

µ(E_n) < +∞, y sea

A =x ∈ X : {n ∈ N: x ∈ En} es infinito . Demuestre que µ(A) = 0.

50. La integral de una funci´on real no nula puede ser cero. Encuentre un espacio de medida (X,F, µ) y una funci´on f ∈ L¹(X,F, µ, R) tal que

µ({x ∈ X : f (x) 6= 0}) > 0, Z

X

f dµ = 0.

51. Funci´on real tal que su integral son cero para cualquier conjunto de integraci´on. Sea f ∈ L¹(X,F, µ, R) tal que para cada A en F

Z

A

f dµ = 0.

Demuestre que f es cero µ-c.t.p.