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Facultad de Ingeniería y Ciencias de la Computación Departamento de Ingeniería Mecánica

Ingeniería Mecánica 375

Transferencia de calor

Primavera 2007 Número 17629 Instructor: Larry Caretto

Soluciones al ejercicio seis: más transferencia de calor inestable

1. La temperatura del suelo en las capas superiores de la tierra varía con las variaciones de las condiciones atmosféricas. Antes de que entre un frente frío, la tierra en un lugar está inicialmente a una temperatura uniforme de 10oC. Luego el área se somete a una temperatura de -10oC y vientos fuertes que resultaron en un coeficiente de transferencia de calor por convección de 40 W/m2·oC sobre la superficie terrestre por un periodo de 10 h. Tomando las propiedades del suelo en ese lugar como k = 0.9 W/m·oC y - = 1.6x10-5metro2/s, determine la temperatura del suelo a distancias 0, 10, 20 y 50 cm de la superficie terrestre al final de este período de 10 h.

Podemos suponer que aquí se aplica la solución para un medio semi-infinito. En particular, la temperatura, T, a cualquier distancia, x, y el tiempo, t, cuando hay una condición de contorno de convección que comienza en t = 0 (cuando la región semi-infinita tiene una temperatura inicial, Ti, está dada por la siguiente ecuación.

--hx h2-t--

T-T

i

T

^-

- T

ⁱ

-- X -- -

^{--k -}

-

- erfc mi

^{k2- -}

X

4-t

h -t - erfc - - - --

- 4-t- - k -

Los términos de esta ecuación que utilizan el coeficiente de transferencia de calor se pueden encontrar de la siguiente manera.

h-t k

40 W m -

^o

C

metro²-oC0.9W

1.6X10-5metro²

- s - - ₁₀ ^3600s _h h

²

-t

k

²

-33.7 -33.7

²

-1128 h

Para x = 0, el parámetro x/(4-t)^1/2= 0; para x = 10 cm = 0,1 m, este parámetro se convierte en

X 4-t

0.1metro

- -0.06588

1.6X10^-5metro²

s

3600 s 4 - ¹⁰ h - h

Para profundidades de 20 y 50 cm x/(4-t)^1/2será dos y cinco veces este valor por lo que x/(4-t)^1/2= 0,1318 para x = 20 cm y 0,3294 para x = 50 cm. Aplicando los parámetros para x = 0 da

T - T

ⁱ

- erfc - 0 - - mi

^-0-1128-

erfc - 0 - 33,7 -

T

^-

- T

ⁱ

No pude calcular el segundo término. Tanto el argumento de la exponencial como el argumento de la función de error complementario me dieron un error numérico. Cuando calculé el producto de un argumento creciente, obtuve un límite de cero para este producto. Debido a esto, tomé el producto como cero no solo en el caso de x = 0, sino en el caso de todos los demás valores de x, ya que tendrán

argumentos aún más grandes que los de x = 0. Establecer este término en cero da los siguientes resultados.

X- _{-- -10} C - -10 C -10 Cerfc -- T - T - T

^-

- T

ⁱ

erfc --

i

- - ^- - 4-t-

^o

-

^{o o}

- ^- - 4-t- ^X- -- -10

^o

C -20 - -

^o

Cerfc -- ^- - _4-t- ^{X -} --

Para x = 0, el parámetro x/(4-t)1/2= 0; y obtenemos

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Ejercicio cinco soluciones ME 375, LS Caretto, primavera de 2007 Página 2

T -10 C -20

o

Cerfc -- -

o

- - ^- _4-t- ^{X -} -- -10

o

C - - ²⁰

^o

^C - ^erfc - ⁰ - ^-10

^o

^{C -} - ²⁰

^o

^C - - ¹ - ^{- –10}

^o

^{C .}

Para x = 10 cm, el parámetro x/(4-t)^1/2= 0,06588; y obtenemos

T -10 C -20

o

Cerfc -- -

o

- - ^- _4-t- ^{X -} -- -10

o

C - - ²⁰

^o

^C - ^erfc - ^0.06588 - ^-10

^o

^{C -} - ²⁰

^o

^C - - ^0.9257 - ^{- –8.5}

^o

^{C .}

Para x = 20 cm, el parámetro x/(4-t)^1/2= 0,1318; y obtenemos

T -10 C -20

o

Cerfc -- -

o

- - ^- _4-t- ^{X -} -- -10

o

C - - ²⁰

^o

^C - ^erfc - ^0.1318 - ^-10

^o

C - - ²⁰

^o

^C - - ^0.8519 - ^{- –7.0}

^o

^{C .}

Para x = 50 cm, el parámetro x/(4-t)1/2= 0,3294; y obtenemos

T -10 C -20

o

Cerfc -- -

o

- - ^- _4-t- ^{X - -- -10}

^o

C - - ²⁰

^o

^C - ^erfc - ^0.3294 - ^-10

^o

C - - ²⁰

^o

^C - - ^0.6418 - ^{- –2.8}

^o

^{C .}

2. Un cilindro corto de latón (- = 8530 kg/m

³

, cp = 0,389 kJ/kg·

^o

C, k _ 110 W/m·

^o

C, y - =

3.39x10-5metro2/s) de diámetro D = 8 cm y altura H = 15 cm está inicialmente a una temperatura uniforme de Ti= 150oC. El cilindro ahora se coloca en aire atmosférico a 20oC, donde la transferencia de calor tiene lugar por convección con un coeficiente de transferencia de calor de h = 40 W/m2·oC. Calcular (a) la temperatura central del cilindro; (b) la temperatura central de la superficie superior del cilindro; y (c) la temperatura del radio exterior superior del cilindro, y (d) la transferencia de calor total desde el cilindro 15 min después del inicio del enfriamiento.

El cilindro se puede resolver como el producto de la solución del cilindro infinito y la de la losa infinita. La temperatura en cualquier punto del cilindro será el producto de dos soluciones. Si el número de Fourier es mayor que 0,2, podemos usar las soluciones aproximadas que se muestran a continuación.

T - T

-

- -

losa

r , t -

cilindro

r , t - - una mi

--1

T-

_i

T

^-

-

¹

- - ^{X , r , t -} - - - - - -

^2-

- X -- -

porque---1Li--- ^{-- -2}1

- r--

-una mi1

j

0

---

1

- r- -- -

i

--

_s

-

⁰

--

C Los subíndices s para losa y c para cilindro indican que los valores de A1y -1será diferente para las diferentes soluciones. Además, los números de Fourier serán diferentes para la losa (de medio ancho, L = (15 cm)/2 = 7,5 cm = 0,075 m, y el cilindro de radio (8 cm)/2 = 4 cm = 0.04 m Usando el tiempo total de 15 minutos = 900 s, el número de Fourier para el cilindro es

-t r²

3.39X10-5metro2

s -900s-

-0.04metro-

-^cilindro- - ₂-19.069-0.2

0

El número de Fourier para la losa es -t L2

3.39X10-5metro2

s -900s-

-0.04metro-2

-- - -5.424-0.2

Dado que ambos números de Fourier son mayores que 0,2, se justifica el uso de la solución aproximada.

Luego calculamos los números de Biot para determinar los valores de A1y -1para cada solución.

hL k

40W

-

0.075metro--

-110 W -

Bi

^losa

- - ^-

^-metro-oC-

_{-- -0.} 02727

metro-C2o

Ejercicio cinco soluciones ME 375, LS Caretto, primavera de 2007 Página 3

hora^o

40W

-metro-oC-

- -0.01455

Bi

cilindro

- -

-0.04metro---

-110 W -

k

^metro2-oC

-

Para Bi = 0.4 La tabla 4-2 muestra que A1= 1.0045 y -1= 0.1620 para la losa y A1= 1,0036 y -1= 0,1667 para el cilindro. Ahora podemos calcular la temperatura central del cilindro donde x = r = 0. (Tenga en cuenta que cos(0) = J⁰(0) = 1.)

T-T

^-

T

i

- T

^-

- -A

-

¹mi^--2

- X ^{-- -} - L---

- r--

1-porque--

-

^{1 -una mi}₁ ^--21-

j --

₀

-

^{1 -}una mi

-

^{--21-- -una mi--21-}

-

-

s

- - r---

₀

--

^{C 1 s 1 C}

Sustituyendo valores numéricos por--, A1y -1para cada geometría da.

T-T^--

-

^{una mi--2-}

- -

^{una mi--2}

T

ⁱ

- T

^{- 1 1} s 1 ^1-

-

C

^- - ^{1.0045 mi}

^{--0.1620-2-5.424-}

^{-- 1.00361 mi}

^{--0.1667-2-19.069-}

^{- - - 0.871 -- 0.587 - -0.511}

Entonces podemos encontrar la temperatura en el centro del cilindro.

T - T

^-

- - ^T

ⁱ

^{- T}

^-

- ^{0,511 - 20}

^o

^{C -} - ¹⁵⁰

^o

^{C -20}

^o

^C - - ^0.511 - ^{- –86.4}

^o

^{C .}

Para encontrar la temperatura en el centro superior del cilindro, la solución radial aún tendrá el valor de 0.587, pero la solución rectangular debe evaluarse en x = L (equivalente a - = x/L = 1). Esta solución es

-

losa

- - - -

una mi^--2-porque---¹

X--

i

--- L , t - -

-

1 1

-

1.0045mi^--0.1620-²-5.424-porque

-

0.1620

-

-0.860

- L

ⁱ

--

^s

Entonces el producto - en el centro superior del cilindro =s (0.860)(0.587) = 0.505. Con esto - encontramos la temperatura deseada como

T - T

^-

- - T - T

^-

- 0,505 - 20

_i ^o

C - - ¹⁵⁰

^o

^{C -20}

^o

^C - - 0.505 - - –85.6

^o

C .

Para calcular la temperatura en el radio exterior superior podemos usar la solución axial que acabamos de obtener, pero no tenemos que determinar la solución radial en el punto donde r/ro= 1. Este

requiere que multipliquemos la solución exponencial para r = 0 por la función de Bessel J^o(-¹r/r^o) = J^o(-¹)

= J^o(0,1667) = 0,9931. Esto da una solución radial en el radio exterior de (0,9931)(0,587) = 0,583.

Multiplicando esto por la solución -losa= 0,860 para el problema rectangular encontrado arriba da una solución de producto - = 0,501. Resolviendo para la temperatura da

T - T

^-

- - T

ⁱ

- T

^-

0,501 - 20 - C -150 C

^o

-20 C - - - ^0.501

^o

- ^{- –85.2}

^{o o}

^{C .}

Tenga en cuenta que este problema tiene un número de Biot bajo y la temperatura en todo el sólido es casi uniforme.

La transferencia de calor se puede calcular a partir de las ecuaciones para Q/Qmáximopara las soluciones unidimensionales dadas en las ecuaciones (4-33) y (4-34) en la página 235 del texto.

- -- q -

--

^pecado-

-

^{1 1}

-q- -- -- j

¹

- -

¹

-

-

¹

-1--

0,pared

-1- 2 -

_0,cilindro

-q^máximo-_losa -q^máximo-_cilindro

La solución del producto para un caso bidimensional viene dada por la siguiente solución del producto modificada en la ecuación 94-53) en la página 251. Aquí la solución 2D se escribe en términos de la primera y la segunda dimensión.

Ejercicio cinco soluciones ME 375, LS Caretto, primavera de 2007 Página 4

- -- q - -

- -- q - -q-

- -- -- - - q -

-1--- -- -

-- -- -

-q

^máximo

-

_2D

-q

^máximo

-

primero -q^máximo -segundoSegundo

-- -

q^máximo-^primero--

Podemos calcular los valores para el cilindro y la losa como la primera y segunda dimensión directamente.

Sabemos -0,losa=0.871 para la losa y -0, cilindro=0,587 para el cilindro de la solución de las temperaturas centrales, por lo que podemos sustituir estos valores, así como los valores apropiados para

-1para determinar el Q/Qmáximoproporción para cada dimensión.

- -- q -

--

^pecado-

-

^{1 1}

pecado 0.1620

0.1620

-1--

0,pared

-1- 0.871 -0.133

-q

^máximo

-

_losa

De manera similar, para la solución del cilindro infinito obtenemos

- -- q-

-- _{-1- 2} - 0.587 - - j

¹

0.1677 -

0.1677 -1- 2 0.587 - ^{- 0.0835}

0.1677 -0.415 -q

^máximo

-

_cilindro

Ahora podemos calcular el valor de Q/Q^máximopara el clinder corto.

- q - -- -

- -- - q - -- -

- -- q - -- -

-1- -- - q- -- -

---q

máximo 2D

-

q^máximo-primero qmáximo-segundoSegundo--

-

-0,133 - 0,415 - - 1- 0.133 - -0.493 - q

^{máximo-primero--}

Para calcular Q, primero tenemos que encontrar Qmáximo. Esta es la transferencia de calor si todo el sólido cambia de temperatura de Tia T∞.

q

^máximo

- mc

^pags

- T

^-

- T

ⁱ

- - --D (2 L ) C

^pags

- T

^-

- T

ⁱ

- - 8350 kg

--.08metro.15metro

metro³

-- - 0.389 _{kg -} kJ - ¹⁵⁰

^o

^{C -20}

^o

^C

o

C - ^{-325 kJ}

Así encontramos Q = Qmáximo(P/Pmáximo) = (325 kJ)(0,493) o

Q = 160kJ

.