Aplicaciones lineales y diagona-
lizacion de endomor smos
4.1 Introduccion
De nicion 4.1.1 Sean V y W dos espacios vectoriales sobre R. Una apli-
cacion
f : V !W
v7!f(v)
sellama aplicacion lineal u homomor smosiveri ca:
1. f(v
1 +v
2
)=f(v
1
)+f(v
2 ) 8v
1
;v
2 2V
2. f( v)= f(v) 8v2V; 2R
Siademas f es inyectiva,se llama monomor smo, si es suprayectiva epimor-
smo, si es biyectiva isomor smo, si W = V f se llama endomor smo y un
endomor smobiyectivose llama automor smo.
Ejemplo 4.1.2 Sea
f : R
2
! R
3
(x;y) 7! (2x+y; y;x y):
Veamosque f es una aplicacion lineal:
1. f((x
1
;y
1 )+(x
2
;y
2
))=f(x
1 +x
2
;y
1 +y
2 )=
= (2(x
1 +x
2 )+(y
1 +y
2 ); (y
1 +y
2 );(x
1 +x
2 ) (y
1 +y
2 ))=
= (2x +y ; y ;x y )+(2x +y ; y ;x y )=f(x ;x )+f(y ;y ):
2. f( (x;y))=f( x; y)=(2 x+ y; y; x y)
= (2x+y; y;x y)= f(x;y):
Proposicion 4.1.3 Sea f :V !W lineal, entonces
1. f(0)=0.
2. Si fv
1
;:::v
r
g es un sistema ligado, entonces ff(v
1
);:::;f(v
r
)g es un
sistema ligado.
Demostracion.
1. f(v) = f(v +0) = f(v)+f(0); y sumando -f(v) en los dos miembros
delaigualdad, sededuce quef(0)=0.
2. Sifv
1
;:::v
r
g es un sistema ligado, entonces existen
1
;:::
r
2 Rno
to dos nulos tales que
1 v
1
+;:::
r v
r
=0. Tenemos,p or tanto,
0=f(0) =f(
1 v
1
+;:::
r v
r )=
1 f(v
1
)+;:::
r f(v
r );
luegoff(v
1
);:::;f(v
r
)g esun sistema ligado.
Nota 4.1.4 En contra de lo que o curre con lossistemas ligados, en general,
un sistema librede V no tiene p or que transformarse en un sistema libre de
W. En efecto,para laaplicacion lineal
f : R
3
! R
2
(x;y;z) 7! (x;y)
se tiene que f(1;2;3) = (1;2) = f(1;2;4). El sistema f(1;2;3);(1;2;4)g es
libreenR 3
p ero el sistemaf(1;2);(1;2)g es ligado enR 2
.
De nicion 4.1.5 Sea f :V !W lineal,el conjunto:
fv2V jf(v)=0g
sellama o n ucleo de f y se denota Kerf.
Proposicion 4.1.6 Sea f :V !W lineal, entonces son equivalentes:
2. f transforma sistemas libres en sistemas libres.
3. Kerf =f0g .
Demostracion.
1)2) Sea fv
1
;:::v
r
g un sistema libre, veamos que ff(v
1
);:::;f(v
r
)g es un
sistemalibre. Sean
1
;:::;
r
tales que
1 f(v
1
)++
r f(v
r )=0:
Sialg un
i
fuerano nulo, tendramos que
v=
1 v
1
++
r v
r 6=0
yaque fv
1
;:::v
r
g es un sistema libre. Pero f(v)=0 lo que contradice
elque f sea inyectiva.
2)3) Siv6=02 Kerf tendramosqueelsistemalibrefvgsetransformaenel
sistemaff(v)g=f0g ligado, p ero esto es imp osibley p or lo tanto:
Kerf =f0g:
3)1) Seanv
1
;v
2
tales quef(v
1
)=f(v
2
). Veamos quev
1
=v
2 .
0=f(v
1 ) f(v
2
)=f(v
1 v
2 ))v
1 v
2
2Kerf )v
1 v
2
=0)v
1
=v
2
y as, f esinyectiva.
Proposicion 4.1.7 Sea f :V !W lineal yS V entonces f(S)W.
Demostracion.
1. Seanw
1
;w
2
2f(S),veamos que w
1 +w
2
2f(S).
En efecto, w
1
= f(v
1 );v
1
2 S; w
2
= f(v
2 );v
2
2 S. Tenemos que
w
1 +w
2
=f(v
1
)+f(v
2
) =f(v
1 +v
2
) y como v
1 +v
2
2S tenemos que
w
1 +w
2
2f(S).
2. Ejercicio.
Nota 4.1.8 El conjunto f(V)=Imf es un sub espacio vectorialde W. Lla-
maremosrango de f a ladimension de estesub espacio.
Teorema 4.1.9 Si f :V !W es una aplicacion lineal, entonces
dimV =dimImf +dimKerf
4.2 Expresion coordenada de una aplicacion
lineal
Sea f : V ! W lineal y sean B
1
= fv
1
;:::;v
r
g una base de V y B
2
=
fw
1
;:::;w
s
g una base de W. Dado que f(v
1
);:::;f(v
r
) son elementosde W
tenemos:
f(v
1
) = a
11 w
1 +a
12
w 2++a
1s w
s
f(v
2
) = a
21 w
1 +a
22
w 2++a
2s w
s
.
.
.
f(v
r
) = a
r 1 w
1 +a
r 2
w 2++a
r s w
s :
Consideramos v 2 V, v =
1 v
1
+ +
r v
r
. Como f(v) 2 W, f(v) =
1 w
1
++
s w
s
. Vamos aestudiarlarelacionque hayentrelasco ordenadas
dev resp ecto deB
1
y lasco ordenadas de f(v) resp ecto deB
2 .
f(v) =
1 f(v
1 )+
2 f(v
2
)++
r f(v
r )
=
1 (a
11 w
1 +a
12
w 2++a
1s w
s )+
2 (a
21 w
1 +a
22
w 2++a
2s w
s )+
r (a
r 1 w
1 +a
r 2
w 2++a
r s w
s )
= (
1 a
11 +
2 a
21
++
r a
r 1 )w
1 +
(
1 a
12 +
2 a
22
++
r a
r 2 )w
2 +
(
1 a
1s +
2 a
2s
++
r a
r s )w
s
y como las co ordenadas de un vector resp ecto de una base dada son unicas,
tenemosque:
1
=
1 a
11 +
2 a
21
++
r a
r 1
2
=
1 a
12 +
2 a
22
++
r a
r 2
.
.
.
= a + a ++ a
Estas igualdades se puedenexpresar matricialmentecomo sigue:
0
B
B
B
@
1
2
.
.
.
s 1
C
C
C
A
= 0
B
B
B
@ a
11 a
21
a
r 1
a
12 a
22
a
r 2
.
.
. .
.
.
.
.
.
a
1s a
2s
a
r s 1
C
C
C
A
0
B
B
B
@
1
2
.
.
.
r 1
C
C
C
A
o abreviadamente:
=A
donde son las co ordenadas de v resp ecto de la base B
1
de V, son las
co ordenadas de f(v) resp ecto de la base B
2
de W y A 2 M
sr
es la matriz
cuya columna i-esima esta formada p or las co ordenadas de la imagen del i-
esimovector de B
1
resp ecto de B
2
. La matriz A se llama matriz coordenada
de f respectode las bases B
1 y B
2 .
Ejemplo 4.2.1 Consideramosla siguienteaplicacion lineal
f : R
2
! R
3
(x;y) 7! (2x y;2x+5y;y)
y lassiguientesbases de R 2
y R 3
B
1
=f(1;0);(0;1)g; B
2
=f(1;0;0);(0;1;0);(0;0;1)g:
Para construir A, la matriz co ordenada de f resp ecto de las bases B
1 y B
2 ,
tenemosque calcularf(1;0) y f(0;1) y despues lasco ordenadas decada uno
de estos dos vectores de R 3
resp ecto de B
2
. Notemos que p or ser B
2
labase
canonica de R 3
estesegundo paso es inmediatoy tenemos
f(1;0) =(2;2;0);f(0;1) =( 1;5;1):
Por tanto,
0
@ y
1
y
2
y
3 1
A
= 0
@
2 1
2 5
0 1
1
A
x
1
x
2
4.2.1 Cambio de coordenadas en una aplicacion lineal
Consideramosf :V !W lineal,seanrladimensiondeV ysladimensionde
W. SeanB
1
una basedeV yB
2
una basedeW. Sea Alamatrizco ordenada
de f resp ecto de las bases B
1 y B
2
. Sea v 2 V y sean las co ordenadas de
v resp ecto de B
1
y las de f(v) resp ecto de B
2
. Acabamos de ver que se
veri cala relacion
=A : (4.1)
Consideramos ahora una nueva base de V que denotaremos B
3
y una nueva
base de W que denotaremos B
4
. Sea B la matriz co ordenada de f resp ecto
de las bases B
3 y B
4
. Para el v 2 V anterior, sean las co ordenadas de v
resp ectodeB
3 y
lasdef(v)resp ecto deB
4
. Analogamentea(4.1), eneste
caso tenemos
=B : (4.2)
Nosplanteamosenestaseccionestudiarlarelacionquehay entrelasmatrices
Ay B de(4.1)y (4.2). Ay B estan relacionadasyaque son matricesco orde-
nadasdelamismaaplicacion linealf resp ecto debases distintas. El objetivo
es expresar adecuadamente esta relacion. Sean P 2 M
r r
y Q 2 M
ss las
matricesdecambiode base enV y en W resp ectivamentetales que
=P y =Q
:
Partiendo de cualquiera de estas dos igualdades, p or ejemplo la segunda, y
utilizando laotra, ademas de(4.1), obtenemos
=Q 1
=Q 1
A =Q 1
AP : (4.3)
Pero la matriz co ordenada de f resp ecto de una base en V y otra en W es
unica, p or tanto,de (4.2)y (4.3) obtenemos
B =Q 1
AP :
De nicion 4.2.2 Sean A;B tales que 9P ;Q inversibles con B = Q 1
AP,
entonces sediceque lasmatrices A y B son equivalentes.
4.3 Diagonalizacion de endomor smos
Seaf :V !V endomor smoyseaB
1
=fv
1
;:::;v
n
gunabasedeV (tomamos
la misma base en el espacio de salida y en el de llegada). Sea A la matriz
co ordenada de f resp ecto deB
1
(la matriz A es cuadrada). Si consideramos
B
2
=fw
1
;:::;w
n
gotra base deV y B eslamatrizco ordenada de f resp ecto
deB
2
, seg un la formula(4.3), tenemosque
B =P 1
AP :
En esta seccion nos vamos a o cupar debuscar una base de V resp ecto de la
cuallamatrizco ordenada def sea diagonal. Para algunos endomor smostal
base existira,p ero para otros no.
De nicion 4.3.1 Un endomor smo f : V ! V se llama diagonalizable si
existe una base B de V tal que la matriz co ordenada de f resp ecto de B es
diagonal.
Nota 4.3.2 Sea el endomor smo f : V ! V y sea B
1
una base cualquiera
de V con A la matriz co ordenada. f es diagonalizable si y solo si existeuna
matriz P inversibletalque P 1
AP es diagonal. Observemosque esta matriz
P representauncambiodebaseentreB
1
yotrabasedeV ylamatrizdiagonal
P 1
AP es lamatriz co ordenada de f resp ecto dela segunda base.
De nicion 4.3.3 Sea f : V ! V un endomor smo. Un vector v 6= 0 se
llama vector propio de f si existe 2R tal que f(v) =v. se llama valor
propio de f y sediceque v esvector propio def asociado al valor propio .
Nota 4.3.4 Observemos que la de nicion anterior no dep ende de ninguna
base de V. En particular no dep ende de ninguna matriz co ordenada de f,
aunqueutilizaremoslasmatricesco ordenadaspara calcularvaloresyvectores
propios.
4.3.1 Calculo de valores y vectores propios
Sea f : V ! V un endomor smo y sea B una base de V. Sea A la matriz
co ordenada de f resp ecto dela base B. Tenemos que f(v)=Av. Si v es un
vector propio,entonces Av =v, y p ortanto (A I)v =0. Pero v6=0 p or
servectorpropio; enconsecuenciaelsistemalineal homogeneo (A I)v =0
escompatibleindeterminado. Por lotanto
jA Ij=0; (4.4)
yas,losvalorespropios sonlasracesdelaecuacionp olinomicaj A Ij=0.
Notemosqueelgrado delp olinomiojA I jesn =dimV. Unavezhallados
los valores propios, se calculan los vectores propios aso ciados resolviendo el
sistemalineal (A I)v =0.
Ejemplo 4.3.5 Consideramosel endomor smo
f : R 3
! R
3
(x;y;z) 7! (x 2y 2z;x+4y+2z; x y+z)
Tomamos B la base canonica de R 3
y construimos A, la matriz co ordenada
def resp ectode labase B:
A= 0
@
1 2 2
1 4 2
1 1 1
1
A
:
Para obtener losvalores propios, utilizamoslaecuacion (4.4)
1 2 2
1 4 2
1 1 1
=(1 )( 3+)( 2+)=0, 8
>
>
>
>
<
>
>
>
>
:
=1
o
=3
o
=2
Por tanto, los valores propios del endomor smo f son 1;2 y 3. Buscamos
ahoralosvectorespropiosaso ciados aestosvalorespropios. Comenzamoscon
el vector propio aso ciado al valor propio 1. Para ello, hemos de resolver el
sistemalineal (A 1I)v =0
0
@
0 2 2
1 3 2
1
A
0
@ x
y 1
A
= 0
@ 0
0 1
A
:
Este sistema escompatibleindeterminado(yalo sabamos) y su solucion es:
S(1)=f(x; x;x)j x2Rg:
Observesequela solucion deeste sistemalineal esun sub espacio vectorialde
R 3
de dimension uno. Una base del sub espacio p o dra ser f(1; 1;1)g, p or
tanto p o demos escribir S(1)=h(1; 1;1)i.
Pro cediendo analogamente, obtenemos
S(2) =h(0; 1;1)i y S(3)=h( 1; 1;0)i:
Proposicion.- Sea f :V !V un endomor smo. Sean B
1 yB
2
dos basesde
V. Sean A y B lasmatrices co ordenadas de f resp ecto de lasbases B
1 y B
2
resp ectivamente. Entonces:
jA Ij=jB Ij:
De la prop osicion anterior se deduce la p osibilidad de obtener los valores
propiosdeunendomor smoconindep endenciadelabasealaqueestareferida
la matriz. Dada una base cualquiera y, aso ciada a ella, una matriz M, los
valores propios se obtienenresolviendo laecuacion jM Ij =0.
De nicion 4.3.6 Sea f : V ! V un endomor smo y sea un valor propio
def. Elconjunto
S()=fv2 V j v esvalor propio def aso ciado a g[f 0 g
sellama subespacio fundamental de f asociado a .
Observeseque
S()=f v 2V j f(v)=v g:
Proposicion 4.3.7 Sea f :V !V un endomor smoysea unvalor propio
de f. Entonces
S()V :
Ademas, la dimension del subespacio S() es mayor o igual que uno
Demostracion. Ejercicio.
Proposicion 4.3.8 Sea f : V !V un endomor smo. Entonces f es diago-
nalizable si y solo si existe una base de vectores propios.
Demostracion.
=)) Sea B
1
una base de V tal que lamatrizco ordenada Ade f resp ecto de
B
1
esdiagonal. Sean B
1
=fv
1
;:::;v
n g y
A = 0
B
@
1
.
.
.
n 1
C
A
Tenemosque
f(v
1 )=
0
B
@
1
.
.
.
n 1
C
A
0
B
B
B
@ 1
0
.
.
.
0 1
C
C
C
A
=
1 v
1
luego
1
es un valor propio y v
1
es un vector propio aso ciado aso ciado
ael. Analogamentellegamos a que f(v
i ) =
i v
i
para i= 1;:::;n y en
consecuenciaB
1
es una base devectores propios.
=)) Sea B
2
=fw
1
;:::;w
n
g una base de V tal que f(w
i ) =
i w
i
. Sea A la
matrizco ordenada def resp ecto deB
2
. Entonces lamatrizaso ciada es
diagonal
A= 0
B
@
1
.
.
.
n 1
C
A :
4.3.2 Discusion de un endomor smo
Sea f :V !V un endomor smoy sea n=dimV. Sean
1
;:::;
r
losvalores
propios distintos (r n) de f y sea m
i
la multiplicidad de
i
como valor
propiodef,esdecir,lamultiplicidadde
i
comorazdelp olinomiojA I j.
Entonces severi ca
1dimS(
i )m
i :
Unacondicion necesaria para quef sea diagonalizable es que
m
1
++m
r
=n:
Ademas,si se veri caesta condicion entonces
f diagonalizable () dimS(
i )=m
i
; i=1;:::;r
Nota 4.3.9 Como caso particular, si f tiene n valores propios distintos, en-
tonceses diagonalizable.
