Microeconomía II
Alfonso Rosa García – Tlf. 968 278662 - [email protected] Universidad Católica San Antonio de Murcia -www.ucam.edu
Alfonso Rosa García
Grado en Administración y Dirección de Empresas – Modalidad Semipresencial
Tema 1
La tecnología de producción
Vamos a modelizar el funcionamiento de una empresa
Representamos la empresa con una función que intenta captar la tecnología
con la que esta produce.
La empresa, para producir unidades de sus productos, utilizará
uno o más factores productivos: trabajo, capital, materias primas…
Con la función de producción modelizamos la tecnología de la empresa
Ejemplos de funciones de producción:
La tecnología de producción
Cada nivel de producción se puede alcanzar con una
determinada cantidad de recursos.
Cuando tenemos una función de producción de una única variable,
para cada cantidad a producir tenemos una cierta cantidad de factor
necesario.
Ejemplo: Imaginemos la función de producción q=F(L)=10L
Significa que cada hora de trabajo (o cada trabajador, dependiendo de
las unidades en las que medimos L), produce 10 unidades de producto.
Por tanto, si L=3
q=30
La tecnología de producción
Nos podemos hacer la pregunta inversa. Si quiero producir q unidades de
producto, ¿cuántas unidades de factor necesito para ello?
Para hallarlo, obtenemos la función inversa de la función de producción:
q=F(L)=10L
L(q) = F
-1(q) = q / 10
A la función que nos dice cuántas unidades de factor se necesitan para
producir q unidades de producto la llamamos Función de requerimientos
Supongamos ahora una función de producción de varias variables:
q=F(K,L) = 2KL
Dicha función de producción nos dice, para una cantidad determinada de
capital (K) y trabajo (L) cuánto producto seremos capaces de producir.
Por ejemplo, si tenemos durante este año 10 trabajadores y 5 unidades de
capital, produciríamos q=F(5,10)=100 unidades de producto.
Nos podemos preguntar: Para hacer esas 100 unidades de
producto, ¿de qué forma es posible hacerlas?
Las isocuantas
Cuando la producción depende de varios factores, la tecnología nos
permite producir de diversas formas. Fijémonos que en nuestro caso, una
determinada cantidad de producto q se puede fabricar con varias
combinaciones distintas de capital K y trabajo L.
Por ejemplo, para fabricar 100 unidades, se puede hacer con
cualquier combinación de K y L en la que se cumpla q 2KL=100.
Por tanto las combinaciones de K y L en las que se cumpla que
K=50/L nos permiten fabricar 100 unidades de producto.
Las isocuantas
Al conjunto de todas las combinaciones de factores que nos permiten
producir una determinada cantidad las llamamos isocuantas.
K=50/L en el ejemplo anterior es la isocuanta de nivel 50: las
combinaciones de K y L que nos permiten conseguir q=50.
Dibujando un mapa de isocuantas
sabemos cuánto producirá la empresa
con cada combinación de factores.
q=50 L K q=100 q=200 10 5 50 1
Las isocuantas
Las isocuantas son una visión de largo plazo, en la que la producción se
puede conseguir variando el factor trabajo (contratando más o menos
trabajadores) o variando el factor capital (utilizando más o menos fábricas)
En el corto plazo, la empresa sólo podrá modificar su producción haciendo
uso de los factores más variables.
Por lo general, asumimos que en el corto plazo la empresa no
puede modificar su capital. Si tiene por ejemplo 5 unidades de
capital, para aumentar o disminuir su producción tendrá que,
forzosamente, cambiar las unidades de trabajo empleadas.
q=50 L K
q=100
q=200
En el largo plazo, podrá fabricar con la
combinación que estime oportuna. En el
corto plazo, no.
5
5 10 20
2
12.5 20
Cuando estudiamos la tecnología de producción en el corto plazo, la analizaremos usando tres tipos distintos de funciones:
1. La Función de Producción, a la que llamaremos también Producción Total, que nos mide la cantidad de producto que hacemos con una cantidad dada de factores.
2. La Función de Producto Medio, que obtenemos dividiendo la función de Producción por la cantidad de factor utilizado. Con dicha función medimos las
unidades de producto que, en media, fabricamos con cada unidad de factor.
3. La Función de Producto Marginal, que obtenemos derivando la función de Producción respecto del factor utilizado. Con dicha función medimos las unidades de
producto que que produce la última unidad de factor utilizada.
Producción Total
q
=
F
(L
)
La producción con un factor variable
( )
L
L
F
L
PMe
(
)
=
( )
dL
L
dF
L
PM
(
)
=
Producto Medio
Producto Marginal
La producción con un factor variable
Veamos un ejemplo.
Imaginemos una empresa cuya función de producción viene definida por
la siguiente expresión:
La Función de Producto Medio será:
La Función de Producto Marginal será:
( )
3
10
3 2L
L
L
F
q
=
=
⋅
−
( )
3
10
3
10
)
(
2 3 2L
L
L
L
L
L
L
F
L
PMe
=
⋅
−
−
⋅
=
=
( )
220
)
(
L
L
L
L
F
L
PM
=
⋅
−
∂
∂
=
La producción con un factor variable
Si, por ejemplo, usamos 5 unidad de trabajo tendremos que:
La Producción total es de:
( )
208.33 5 5 10 5 3 2− = ⋅ = =F q
El Producto Medio es de:
6
.
41
3
5
5
10
)
5
(
2=
−
⋅
=
PMe
El Producto Marginal es de:
75
5
5
20
)
5
(
=
⋅
−
2=
PM
Esto significa que si la empresa utiliza 5 unidades de trabajo, producirá 208.3 unidades. De media, cada unidad de factor trabajo produce 41.6 unidades de producto. Y la unidad número 5 ha producido
exactamente 75 unidades.
Fijémonos en que el producto medio es de 41.6 y el producto marginal es de 75. En este caso concreto, la 5ª unidad de factor utilizada por la empresa es más productiva que las demás, ya
En el corto plazo, cuando la función de producción depende de un único factor, suponemos que se cumple la Ley de Rendimientos Decrecientes.
Dicha ley creemos que ocurre en todos los procesos productivos.
La Ley de Rendimientos Decrecientes afirma que en todo proceso productivo, a partir de un determinado nivel de producción, las nuevas unidades de factor son cada vez
menos productivas.
La producción con un factor variable
Esto significa que la función de Producto Marginal, a partir de un determinado nivel, debe ser decreciente:
Al principio, conforme se van usando más unidades de factor productivo, dichas unidades son cada vez más productivas
Pero a partir de un determinado nivel, el producto marginal empieza a decrecer, y cada unidad adicional es cada vez menos productiva
L
L*
PM Q
La producción con un factor variable
• Si el Producto Marginal es mayor que elproducto medio, el PMe es creciente
El Producto Medio y el Producto Marginal están relacionados:
• Si el Producto Marginal es menor que el producto medio, el PMe es decreciente
Esto es lógico. Si para una determinada cantidad de factor tenemos que el PM>Pme, significa que esa última unidad de factor produce más de lo que produce la media de los anteriores; por tanto, lo que hace de media cada unidad de factor crece.
El PMe va aumentando para aquellas unidades de factor productivo para las que el PM es mayor que el PMe. El PM corta al Pme en el máximo de esta función. Cuando el PM es inferior al Pme, las nuevas unidades de factor producen menos de lo que produce la media de las unidades anteriores; y por tanto el Pme es decreciente.
L PM
PMe Q
La producción con un factor variable
-150 -100 -50 0 50 100 150 1 23 4 5 6 78 910 111213 141516 171819 20212223 2425 PM Pme 0 200 400 600 800 1000 1200 1 23 4 56 7 8 91011 1213 1415 1617 1819 202122 2324 25
Producción Total, Media y Marginal
PT
El análisis de la Producción Total, el PMe y el PM nos permite comprender el vínculo que hay entre ellas, y la importancia del PM para conocer las condiciones de la producción de una empresa, dada su tecnología:
Siempre que el PM de una empresa sea positivo, nuevas unidades de factor aumentan la producción total de la empresa. Si el producto marginal es negativo, nuevas unidades de factor disminuyen la producción total de la empresa.
Siempre que el PM sea mayor que el PMe, las últimas unidades de factor contratadas son más productivas que la media de las unidades anteriores, y esto incrementa la productividad media de las unidades producidas por la empresa.
Las unidades de factor productivo producen de media lo máximo posible para la empresa, cuando el PM y el PMe coinciden.
-150 -100 -50 0 50 100 150 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 PM Pme 0 200 400 600 800 1000 1200 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25
Producción Total, Media y Marginal
PT
En este caso tenemos un PM con un tramo negativo. Es importante tener en cuenta que la Ley de
Rendimientos Decrecientes NO implica esto: dicha Ley, que creemos que se cumple siempre, indica que el PM tiene un tramo decreciente.
Eso no significa que creamos que siempre hay un tramo negativo del PM.
Eso puede ocurrir o no en las funciones de producción reales (en este caso ocurre).
Lo que sí implica, necesariamente, es que llega un momento en el que el PMe comienza a decrecer, ya que al disminuir el PM a partir de un determinado nivel de producción, éste cortará en algún momento al PMe.
La producción con dos factores variables
Vamos a estudiar ahora las características de la producción cuando se usan más de 1 factor productivo.
Nos centraremos en funciones de producción que dependen del capital (K) y el trabajo (L), es decir, q=F(K,L).
En este caso nos interesa conocer el PMe y el PM respecto de cada uno de los factores productivos. Es decir, cuánto produce de media cada unidad de factor productivo (Producto Medio) o cuánto produce la última unidad de factor productivo utilizada (PM).
El Producto Medio del Capital (PMeK), el Producto Medio del Trabajo (PMeL), el producto Marginal del Capital (PMK) y el Producto Marginal del Trabajo dependerán
La producción con dos factores variables
PMe
PM
(
)
(
)
K
L
K
F
L
K
PMeK
L
L
K
F
L
K
PMeL
,
)
,
(
,
)
,
(
=
=
(
)
(
)
K
L
K
F
L
K
PMK
L
L
K
F
L
K
PML
∂
∂
=
∂
∂
=
,
)
,
(
,
)
,
(
La producción con dos factores variables
Veámoslo con un ejemplo. Supongamos que una empresa tiene la función de producciónPMe PM
( )
( )
2 2 2 2 2 , ) , ( 2 2 , ) , ( L K L K K K L K F L K PMeK L K L K L L K K L L K F L K PMeL + = ⋅ + ⋅ = = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ = = 22
)
,
(
K
L
K
K
L
F
=
⋅
+
⋅
(
)
(
)
22
,
)
,
(
2
,
)
,
(
L
K
L
K
F
L
K
PMK
L
K
L
L
K
F
L
K
PML
+
=
∂
∂
=
⋅
⋅
=
∂
∂
=
Imaginemos que dicha empresa tiene contratadas 5 unidades de capital y 3 unidades de trabajo. En ese caso: PMe PM
( )
( )
2 3 11 5 3 , 5 ) 3 , 5 ( 33 . 18 3 5 3 5 2 3 3 , 5 ) 3 , 5 ( 2= + = = = ⋅ + ⋅ = = F PMeK F PMeL(
)
( )(
)
( ) 11 3 2 , ) , ( 30 3 5 2 , ) 3 , 5 ( 2 3 , 5 3 , 5 = + = ∂ ∂ = = ⋅ ⋅ = ∂ ∂ = K L K F L K PMK L L K F PML 55 3 5 5 2 ) 3 , 5 ( = ⋅ + ⋅ 2 =F La empresa está fabricando 55 unidades de producto.
Cada una de las 5 unidades de capital fabrica, de media, 11 unidades de
producto, mientras que cada una de las 3 unidades de trabajo fabrica, en media, 18.33 unidades de producto.
La 5ª unidad de capital contratada por la empresa fabrica 11 unidades de producto (es igual de productiva que la media), mientras que la 3ª unidad de trabajo fabrica 30 unidades de producto (más productiva que el resto).
La producción con dos factores variables
Características que cumplen las isocuantas son:
4. Tienen pendiente decreciente. Eso significa que cuantas más unidades de trabajo estemos utilizando, menos unidades de capital son necesarias para sustituir a cada unidad de trabajo.
1. Son decrecientes: a más unidades de trabajo, menos de capital. Esto es lógico, ya que nos dice que si aumentamos el uso de un factor productivo, podemos mantener la producción constante reduciendo el uso del otro factor.
3. No se cruzan. Si lo hicieran tendríamos situaciones “extrañas”, como que unas combinaciones con más de ambos factores producen menos producto, y esto no es lógico.
2. Las isocuantas situadas hacia la derecha y hacia arriba representan niveles de producción mayor, ya que permiten el uso de más de ambos factores productivos.
K
q=60 q=40 q=20
La producción con dos factores variables
En el largo plazo la producción se puede llevar a cabo de diversas formas,
mostrándonos las isocuantas las distintas combinaciones de factores que
nos permiten un determinado nivel de producción.
Una cuestión relevante cuando planteamos la producción de la empresa en el
largo plazo será cómo puede intercambiar la empresa un factor por otro en su
proceso productivo.
Esto lo podemos estudiar analizando la pendiente de la isocuanta.
La producción con dos factores variables
L K 1 unidad 1 unidad q A B
En A, la pendiente de la isocuanta es grande (muy vertical). Eso quiere decir que si añadimos 1 unidad extra de factor trabajo, podemos reducir mucho las unidades de capital y seguir produciendo lo mismo.
En B, la pendiente de la isocuanta es pequeña (poco vertical). Eso quiere decir que si añadimos 1 unidad extra de factor trabajo, podemos reducir poco las unidades de capital y seguir produciendo lo mismo.
L K 1 unidad 1 unidad q A B
La pendiente de la isocuanta recibe el nombre de Relación Marginal de Sustitución Técnica, siendo las unidades de capital que pueden sustituir a (o ser sustituidos por)
una unidad de trabajo adicional sin que la producción se vea afecta
Para hallar cuántas unidades de capital se necesitan para sustituir a 1 unidad adicional de trabajo, podemos dividir cuánto produce dicha unidad adicional de
trabajo por la producción de las unidades adicionales de capital. Por tanto:
PMK
PML
RMST
K,L=
Así, si la última unidad de trabajo produce, por ejemplo, 10 unidades de producto (PML=10) y la última unidad de capital produce 5 unidades de producto (PMK=5), tenemos que
podemos susitituir 1 unidad de trabajo por´2 unidades de capital y seguir produciendo lo mismo. Tendremos por tanto que RMSTK,L=2.
La producción con dos factores variables
Veamos un ejemplo. Supongamos la función de producción
2
2
)
,
(
K
L
K
K
L
F
=
⋅
+
⋅
¿Cuánto vale la pendiente de sus isocuantas?
( )
( )
( )
( )
( )
2 ,2
2
,
,
,
,
,
L
L
K
K
L
K
F
L
L
K
F
L
K
PMK
L
K
PML
L
K
RMTS
K L+
⋅
⋅
=
∂
∂
∂
∂
=
=
L K 1 unidad 1 unidad q A BLa producción con dos factores variables
L K 1 unidad 1 unidad q A BImaginemos que dicha empresa tiene contratadas 5 unidades de capital y 3 unidades de trabajo. En ese caso:
55
3
5
5
2
)
3
,
5
(
=
⋅
+
⋅
2=
F
La empresa está fabricando 55 unidades de producto.( )
( )
( )
( )
( )
2
.
72
3
2
3
5
2
,
,
,
,
3
,
5
2 ) 3 , 5 ( ) 3 , 5 ( ,+
=
⋅
⋅
=
∂
∂
∂
∂
=
=
K
L
K
F
L
L
K
F
L
K
PMK
L
K
PML
RMTS
KLPor tanto, si la empresa está utilizando 5 unidades de capital y 3 de trabajo, produce 55 unidades de
producto, y podría mantener ese nivel de producción si sustituyera 1 unidad de trabajo por
2.72 unidades de capital.
La producción con dos factores variables
Un caso extremo de tecnología de producción es cuando los factores productivos son
sustitutivos perfectos
, en cuyo caso siempre podemos sustituir un factor por el otro a la misma tasa.L K
q=60 q=40 q=20
En este caso la pendiente de las isocuantas (la RMTSK,L) es constante: son rectas.
Las funciones de producción en la que los factores son sustitutivos perfectos son de la forma F(K,L)=aK+bL, siendo la pendiente de las isocuantas RMSTK,L=b/a
Un ejemplo de función de producción con factores que son sustitutivos perfectos sería la función de producción de algún producto en el que los factores productivos son horas de trabajo de hombres u horas de trabajo de mujeres, de forma que siempre se pueden intercambiar unas por otras a la misma tasa.
Otro caso extremo de tecnología de producción es cuando los factores productivos son
complementarios perfectos
, en cuyo caso siemprehay que combinar
los
factores productivos en la misma proporción exacta. En este caso las isocuantas forman ángulos rectos: aumentar uno sólo de los factores no aumenta la producción.Las funciones de producción en la que los pfactores son sustitutivos perfectos son de la forma F(K,L)=min{aK,bL}
L K
q=60 q=40 q=20
Un ejemplo de función de producción con factores que son complementarios perfectos sería un producto que sólo se puede realizar mediante una máquina que necesta ser utilizada por 2 operarios.
Rendimientos a escala
Las funciones de producción, en el largo plazo, pueden presentar rendimientos a escala decrecientes, constantes o crecientes.
Rendimientos a escala se refieren a la relación que la tecnología establece entre un mayor uso de los recursos y el aumento de la producción
Es decir, si conforme se van usando más factores productivos, los nuevos factores que añadimos son cada vez más o menos productivos.
Por ejemplo, una tecnología de producción en la que si utilizamos el triple de capital y trabajo tan solo producimos el doble de productos, sería una tecnología de producción con
rendimientos a escala decrecientes: aumentamos el uso de factores pero la producción se incrementa en una proporción menor.
Rendimientos a escala
Rendimientos a escala constantes hacen referencia a tecnologías de
producción tales que si aumentamos en una determinada proporción todos los factores, la producción se incrementa en esa misma proporción.
Rendimientos a escala son crecientes cuando aumentos en el uso de los factores productivos llevan a aumentos más que proporcionales en la producción.
Rendimientos decrecientes a escala se refieren a aquellas tecnologías de producción en las que, al aumentar el uso de los factores productivos en una determinada proporción, aumentan la producción en una proporción menor.
Rendimientos a escala
Rendimientos Constantes a escala Rendimientos Crecientes a escala Rendimientos Decrecientes a escala L0 2L0 3L0 3K0 2K0 K0 100 200 300 L0 2L0 3L0 3K0 2K0 K0 100 300 800 L0 2L0 3L0 3K0 2K0 K0 100 150 175¿Cómo podemos saber si una función de producción representa un proceso con rendimientos a escala de un tipo o de otro?
Para ello incrementamos en una determinada proporción los recursos y vemos si la producción aumenta en una proporción mayor, menor o similar.
Por ejemplo, ¿qué tipo de rendimientos a escala presenta la siguiente función de producción?
15 . 0 1 . 0 25 . 0 25 . 0
)
,
(
K
L
K
L
K
L
F
=
+
+
⋅
Dicha función de producción nos muestra una tecnología con rendimientos a escala decrecientes: es decir, si aumentamos el uso de recursos en una determinada
proporción, la producción aumenta en una proporción menor.
Rendimientos a escala
Para comprobarlo, vamos a multiplicar por λlos factores productivos utilizados y comprobar en cuanto aumenta la producción:
=
⋅
+
+
=
=
⋅
+
+
=
=
15 . 0 15 . 0 1 . 0 1 . 0 25 . 0 25 . 0 25 . 0 25 . 0 15 . 0 1 . 0 25 . 0 25 . 0)
(
)
(
)
(
)
(
)
,
(
L
K
L
K
L
K
L
K
L
K
F
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
)
,
(
)
(
25 . 0 15 . 0 1 . 0 25 . 0 25 . 0 25 . 0 15 . 0 1 . 0 25 . 0 25 . 0 25 . 0 25 . 0 25 . 0L
K
F
L
K
L
K
L
K
L
K
λ
λ
λ
λ
λ
=
=
⋅
+
+
=
=
+
+
=
Por tanto, si multiplicamos los factores productivos por λ, la producción queda multiplicada por una proporción menor, por λ0.25.
Rendimientos a escala
En general, lo que haremos será multiplicar los factores por el parámetro λpara comprobar cómo la producción se ve multiplicada por λα
, de donde tendremos que:
Si α<1, la función de producción presenta rendimientos decrecientes a escala.
Si α=1, la función de producción presenta rendimientos constantes a escala.
