XIX - Crecimiento económico sin progreso técnico
Crecimiento sin progreso técnico
El rol de la tecnología. Dada una función de producción social:
= ,
[1]
El crecimiento del producto dependerá de los siguientes factores:
= , +
+
[2]
donde las derivadas parciales,
fK
yfL
son las productividades marginales de los factores. Dividiendo y multiplicando convenientemente por A, K, y L, es:=
, +
+
[3]
La ventaja del mecanismo expresado radica en tener los incrementos porcentuales (dY/Y, dK/K, etc.), expresados como tasas de crecimiento.
Dividiendo ambos miembros por Y, resulta:
=
,
+
+
=
=
+
+
[4]
Concluimos que la tasa de crecimiento económico es una suma del crecimiento debido a la tecnología, más el incremento debido al capital, ponderado por la participación del capital en la economía, más el incremento debido al trabajo, ponderado por la participación del trabajo en la economía. Si hacemos:
=
= 1 −
[5] Será:
=
+
+
1 −
con lo que el crecimiento del producto per cápita será fruto del crecimiento tecnológico más un factorαponderado por el crecimiento del capital por hombre:
−
=
+
−
=
+
[6]
Modelo Harrod-Domar. Parte de la igualdad entre ahorro e inversión:
=
[7]El ahorro es igual a su propensión media multiplicada por el ingreso del período:
=
[8]A su vez, la inversión es igual a la diferencia de capitales entre períodos:
=
−
[9]Los capitales son una relación constante v de la renta (principio de aceleración):
=
−
=
−
!
= "
[10]
En consecuencia, la tasa de crecimiento es un cociente entre la propensión media al ahorro y la relación capital/producto (acelerador).
Modelo Samuelson-Solow. Incorpora al ahorro la función de financiador de la inversión bruta, entendida como la inversión neta más la depreciación “d” del capital:
= + #
[11]
Se define la tasa de crecimiento equilibrado, “n”, como una tasa constante a la que crecen la renta, el capital y el trabajo:
=
=
= $
[12] La inversión es igual a:
= = $
[13]
La igualdad ahorro-inversión deberá entonces plantearse:
= $ + # = $ + #
[14]
En términos de producto y capital per cápita, será:
=
%&'
( = $ + #)
[15]y
(n +
δ
)k
sy
k
Cuadro 16.1 – Equilibrio en el modelo Samuelson-Solow
Se entenderán los incrementos en la tasa de crecimiento poblacional, “n”, o la tasa de depreciación “d”, como motivadores de una disminución en el producto y el capital por hombre. Asimismo, un aumento en la tasa de ahorro, “s”, generará un aumento en el producto y el capital por hombre.
y
(n +
δ
’)k
(n +
δ
)k
sy
k
Cuadro 16.2 – Aumento en la tasa de depreciación
y
(n +
δ
)k
s’y
sy
k
Modelo de Crecimiento Equilibrado Neoclásico. Sea una función de producción Y, función de la mano de obra L y de los insumos de capital K existentes, con las siguientes propiedades:
= ,
[16]La antedicha es una función homogénea de grado uno, tal que:
*
= *, *
[17] Si hacemos* =
,
es: +=
, 1
( = )
[18]La tasa de crecimiento del factor trabajo es exógena, tal que:
=
,-
. [19]El cambio del stock de capital es igual a la inversión del período, It, el que es igual al ahorro
total del período, St, y a una fracción constante del ingreso del período, sYt:
=
=
=
[20]Esto es también posible expresarlo en términos per cápita:
= (
[21]Además, la función crece a tasa decreciente:
/) > 0 ;
//) < 0
[22]y
y2
y
1y
0k0 k1
k2
k
Cuadro 16.4 – Modelo de crecimiento neoclásico
A medida que crece el ingreso, varía la razón capital-producto, determinada por:
=
=
[23]
En esto se genera una diferencia respecto del modelo Harrod-Domar, en donde v era una variable exógena al modelo; aquí v es una variable endógena.
La cuestión fundamental a resolver es:
• Si existen valores de equilibrio estable a largo plazo de producto por hombre, y, y de capital
por hombre, k;
•
Si estos valores de equilibrio son estables;•
Cuáles son los niveles de equilibrio del consumo y la inversión compatibles con estos valores de equilibrio.Ante todo, pasaremos a logaritmos naturales la relación k:
Si diferenciamos esta expresión con respecto al tiempo, nos dará la tasa de crecimiento proporcional de la razón capital-mano de obra:
67 6+
=
68 6+−
69 6+ [25] O, lo que es lo mismo,): = : − :
[26]Siendo
:
la tasa de crecimiento poblacional, g, y:
la tasa de crecimiento del stock de capital, podemos reexpresar [10] como sigue:): =
;
+ +=
+ +− "
[27]Dividiendo K e Y por L, resulta la tasa de crecimiento del capital, en términos respecto del propio capital:
): =
− " =
<
− "
[28]Haciendo
): = 0
, estaremos en el equilibrio de la relación capital-trabajo, y podemos expresar:0 =
− " → ) =
.
)
[29]Entonces, la producción per capita de equilibrio estará dada por:
y
g
s
ffff
k
f k
`
a
y*
k*
k
Cuadro 16.5 – Producción per cápita de equilibrio Y la tasa de crecimiento temporal del capital por hombre es:
):
k
*
k
Reglas del crecimiento equilibrado. En primera instancia, cabe destacar que existen dos reglas para que el crecimiento pueda considerarse equilibrado:
• En primer lugar, la tasa de crecimiento, debe ser igual a la tasa de crecimiento del empleo más la tasa de crecimiento de la productividad del empleo:
=
>?
ln = ln
>+ ln ?
[30]
Si diferenciamos respecto del tiempo, tendremos:
@
ABCADEDC%F
=
HGI
JKE. MBFKAD!DJ
+
>
N
JKE. CEMOCF
[31]• En segundo lugar los precios tendrán una evolución igual al crecimiento de los salarios
monetarios, menos el crecimiento de la productividad:
P
=
Q
−
HGP
@
MBCADF
=
Q
N
JOJBDF
−
@
MBFKAF
+
>
N
CEMOCF
[32]
Las dos condiciones anteriores son necesarias para garantizar una senda de crecimiento equilibrado.
Regla de oro de la acumulación de Phelps. Con relación al modelo de Samuelson-Solow, no debe suponerse que necesariamente el coeficiente de ahorro permanecerá constante. En particular, y en situación de equilibrio entre ahorro e inversión, será:
R = −
S
>
= ( −
;
>
[33]
Si la función de producción por hombre depende del capital per cápita, es:
( = )
[34]
En ausencia de amortizaciones, el modelo Samuelson-Solow podría reescribirse:
( = $)
)
TUV
JWFBBF= $)
N
D%!CB Dó% [35]Suponiendo la igualdad ahorro-inversión:
Y@
AF% KEF
= )
D%.BC FZ
− $)
N
D%!CB Dó%
[36]
Entonces, la regla de oro de Phelps radica en maximizar el consumo, lo que se logra igualando a cero la derivada de la expresión anterior, lo que implica que:
0@
AF% KEF
= ′)
D%.BC FTUV
−
D%!CB Dó%$@
/) = $
[37]
En consecuencia, la pendiente de la función de producción debe ser igual a la tasa de crecimiento económico.
y
nk
f’(k)
f(k)
n
k k
Cuadro 16.7 – Regla de oro de PhelpsModelo de Kaldor
El ahorro se descompone en este modelo en ahorro “capitalista” (p, profits) y en ahorro “de los trabajadores” (w, wages):
=
P+
Q[38]
El coeficiente de ahorro será:
=
\=
PP+
QP [39]Resumiendo:
=
Q+
P−
QP [40]En un enfoque “keynesiano”, y siguiendo la expresión [10] de Harrod-Domar, tendremos:
" =
!
=
]&
^ ]^G!
[41]
Introduciendo K, y recordando que v = K/Y, es:
" =
!
=
]&
^ ]^88G 8 G=
]!
+
P
−
Q
P
[42]
Con lo que el crecimiento dependerá del ahorro de los trabajadores, más el ahorro diferencial de los empresarios capitalistas, multiplicado por los beneficios sobre el capital, P/K.
Para el caso particular de que los trabajadores no ahorren, el modelo será igual a:
" =
P
P
[43]O sea, el coeficiente de ahorro sobre los beneficios empresarios. De lo contrario, si el ahorro fuese solamente de los trabajadores, sería:
" =
Q
[44]
Con lo que puede demostrarse que la tasa de crecimiento equilibrado será un valor medio entre los coeficientes de ahorro “trabajador” y “capitalista”:
Q
< " <
P
[45]
La participación de los empresarios en la renta se define como:
;
= =
Q
+
P
−
Q
P
[46] Sustituyendo:;
−
Q
=
P
−
Q
P
_ G ]
^ ]
=
P
[47]
O sea que queda definida como la relación entre la inversión y el producto, y los coeficientes de ahorro diferenciales.
Para el caso particular en que los trabajadores no ahorren, será:
_ G ^
