2.1 Las ecuaciones de Maxwell en el espacio libre. Llamaremos «espacio libre» a todo medio que satisfaga las siguientes propiedades

Capítulo 2

Leyes básicas de la teoría

electromagnética. Ondas

electromagnéticas

2.1

Las ecuaciones de Maxwell en el espacio

libre

2.1.1

El espacio libre

Llamaremos «espacio libre» a todo medio que satisfaga las siguientes pro-piedades

Homogéneo: _ε y_µtoman los mismos valores en todos sus puntos

Isótropo: los valores de_ε y_µno dependen de la dirección de los camposE yB

No conductor: _σ= 0 y, en consecuencia,j= 0

Sin carga: _ρ= 0

No dispersivo: los valores de_ε y_µno dependen de la frecuencia de varia-ción de los campos E yB

4 CAPÍTULO 2. ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS

2.1.2

Ecuaciones de Maxwell en el espacio libre

En el espacio libre, las ecuaciones de Maxwell se escriben, en forma integral S E dS = 0 S B dS = 0 C E dl =−∂ ∂t S apoyada B dS C B dl =_µε∂ ∂t S apoyada E dS con las relaciones constitutivas

D=_ε E

B=_µ H

2.1.3

Condiciones de frontera

A partir de las ecuaciones de Maxwell se puede probar que en la frontera de dos medios que responden a la descripción del espacio libre se verifican las siguientes identidades D2−D 1 ·nˆ = 0 B2−B1 ·nˆ = 0 E2−E1 ×nˆ = 0 H2−H 1 ×nˆ = 0

dónde los subíndices 1 y 2 hacen referencia al primero y al segundo de los medios respectivamente.

Las dos primeras de estas condiciones establecen la conservación de las componentes normales a la superficie de separación de los medios para los campos de desplazamiento eléctrico y de inducción magnética. Las dos últi-mas implican la igualdad de las componentes tangenciales de las intensidades de los campos eléctricos y magnéticos a ambos lados de la frontera.

2.2. ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS EN EL ESPACIO LIBRE 5

2.2

Ondas electromagnéticas en el espacio

li-bre

2.2.1

Deducción de la ecuación de las ondas

electro-magnéticas planas en el espacio libre (repaso de

Física 2)

Aplicando las ecuaciones de Maxwell en el espacio libre en superficies y ca-minos convenientemente elegidos se obtiene

S E dS = 0⇒ ∂Ex ∂x = 0 S B dS = 0⇒ ∂Bx ∂x = 0 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

las ondas electromagnéticas son transversales

y C E dl=−∂ ∂t S apoyada B dS ⇒ ∂Ey ∂x =− ∂Bz ∂t C B dl=_µε∂ ∂t S apoyada E dS ⇒ ∂Bz ∂x =−µε ∂Ey ∂t ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ∂2Ey ∂x2 =µε ∂2Ey ∂t2 ∂2Bz ∂x2 =µε ∂2Bz ∂t2

que es la ecuación de una onda electromagnética plana con su campo eléctrico polarizado según el eje_y.

La velocidad de propagación se determina fácilmente identificando las ecuaciones anteriores con la ecuación de onda genérica

∂2ψ ∂x2 = 1 v2 ∂2ψ ∂t2 y resulta µε= 1 v2 ⇒v= 1 √ µε

6 CAPÍTULO 2. ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS En el vacío v= √1 µ0ε0 = 1 √ 4_π×10−7N A−28_.854×10−12F m−1 = 2.998×10 8m s que coincide con la velocidad de la luz.

2.3

Relación entre los campos

E

y

B

de una

onda electromagnética

Consideremos una onda electromagnética armónica en la que el campo eléc-trico sólo tiene componente_y

Ey(x, t) =Acos 2π

λ (x−vt)

En el desarrollo de la ecuación de la onda E.M. hemos obtenido que

∂Bz

∂x =−µε ∂Ey

∂t

y sabemos, además, que

v= √1

µε ⇔µε=

1

v2

Para nuestra onda armónica

∂Ey ∂t =A 2_π λ vsin 2_π λ (x−vt) y, por tanto, será

∂Bz ∂x =−µε ∂Ey ∂t =−1 v2A 2_π λ vsin 2_π λ (x−vt) ∂Bz ∂x =− 1 vA 2_π λ sin 2_π λ (x−vt) Como ∂ ∂x Kcos 2π λ (x−vt) =−_K2π λ sin 2_π λ (x−vt)

2.4. ENERGÍA QUE TRANSPORTA UNA ONDA ELECTROMAGNÉTICA7 podemos concluir que

Bz = 1 vAcos 2_π λ (x−vt) = 1 vEy Bz = 1 vEy

Análogamente, para una onda electromagnética armónica cuyo campo eléctrico sólo tenga componente _z se verifica

By =−1

vEz

Como una onda electromagnética genérica se puede descomponer en una serie de funciones armónicas, en general se verifica que

B = 1

vE

con

E =E

B =B

Así pues, los campos eléctrico y magnético de cualquier onda electromag-nética en el espacio libre

• son perpendiculares entre sí

• oscilan con la misma frecuencia y fase • tienen amplitudes proporcionales

2.4

Energía que transporta una onda

electro-magnética

2.4.1

Densidad de energía radiante

Es la suma de las densidades de energía asociadas a los campos eléctrico y magnético de la onda en cada punto del espacio.

8 CAPÍTULO 2. ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS Campo eléctrico _uE = 1 2εE 2 Campo magnético _uB = 1 2 B2 µ Onda electromagnética _u=_uE +_uB Como ya sabemos, E =_vB= √B µε

con lo que resulta

uE = 1₂ε B √ µε 2 = 1 2ε B2 µε =uB y, en consecuencia u=_εE2 = B 2 µ

2.4.2

Flujo de la energía electromagnética. Vector de

Poynting

La energía neta que por unidad de tiempo (i.e. potencia) atraviesa la unidad de área perpendicular a la dirección de propagación de la onda E.M. es

S = u V ∆_{t A} = u(_v ∆_{t A}) ∆_{t A} S =_{u v} = 1 µB 2_v=εE2_v

o, lo que es lo mismo, teniendo en cuenta que en una onda E.M._E =_vB

S = 1

µEB=v

2_εEB

Como en los medios homogéneos e isótropos, como el espacio libre, es razonable suponer que la energía «fluye» en la dirección en que se propaga la onda, se da carácter vectorial a la densidad de flujo representado por _S definiendo

S= 1

µE ×B =v

2_{ε E×B} que se denomina vector de Poynting.

2.5. REPRESENTACIÓN DE LAS ONDAS MEDIANTE NÚMEROS COMPLEJOS9

2.4.3

Irradiancia

El módulo del vector de Poynting oscila con el doble de frecuencia que el campo de la onda electromagnética

E =_E0cos (_ωt−_kx)

B =_B0cos (_ωt−_kx)

S =_v2_εEB=_v2_εE0B0cos2(_ωt−_kx)

S = 1 2v

2_εE

0B0[1 + cos (2ωt−2kx)]

Como los fotodetectores no son capaces de responder a frecuencias tan elevadas, la señal que proporcionan se corresponde con su media temporal. Así pues, se define la irradiancia de la onda E.M. en cada punto del espacio como el promedio temporal del módulo del vector de Poynting en ese punto

I =_S= 1 2v 2_εE 0B0[1 + cos (2ωt−2kx)] I = 1 2v 2_εE 0B0

que también se puede expresar, teniendo en cuenta que _E =_vB

I = 1 2vεE 2 0 = 1 2 v µB 2 0 I =_vεE2= v µ B2

2.5

Representación de las ondas mediante

nú-meros complejos

2.5.1

Ondas armónicas (repaso de Física 2)

Una onda escalar, armónica y unidimensional _ψ(_{x, t}) se puede expresar de varias formas equivalentes

ψ(_{x, t}) =_Acos [_k(_vt−_x)] ψ(_{x, t}) =_Acos 2π λ (vt−x) ψ(_{x, t}) =_Acos (_ωt−_kx) ψ(_{x, t}) =_Acos 2_π t T − x λ

10 CAPÍTULO 2. ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS Los parámetros de la onda están relacionados entre si. Su nomenclatura, según la norma UNE 5-100-87 (equivalente a ISO 31/12 de 1987), es como sigue • Parámetros temporales — Periodo T = 1 f = 2_π ω = λ v — Frecuencia f = 1 T = ω 2_π = v λ

— Frecuencia angular, frecuencia circular o pulsación

ω= 2π

T = 2πf

• Parámetros espaciales

— Longitud de onda (periodo espacial)

λ=_vT = v

f = 2π v ω

— Número de onda (frecuencia espacial)

σ = 1 λ = k 2_π = f v

— Número de onda angular o número de propagación

k = 2π

λ = 2πσ

• Velocidad de propagación de la onda

v=_λf = λ

T = ω k

2.5. REPRESENTACIÓN DE LAS ONDAS MEDIANTE NÚMEROS COMPLEJOS11

2.5.2

Formas de representar los números complejos

Existen tres formas básicas de especificar un número complejo_z ∈C • Notación algebraica z =_a+_ib donde a= Re_z es la parte real de_z y b= Im_z es su parte imaginaria. • Notación trigonométrica z =_r(cos_θ+_isin_θ) donde r=|_z| es el módulo de _z y θ = arg_z es su argumento. • Notación exponencial

z =_reiθ =_rexp (_iθ)

donde _r y_θ son los mismos que en la notación trigonométrica.

Las relaciones entre_a,_b,_r y_θresultan obvias cuando el número complejo se representa en el plano mediante el diagrama de Argand: _a y _b son las coordenadas cartesianas del afijo (el punto de R2 que representa al número complejo) en tanto que _r y _θ son sus coordenadas polares. El paso de la notación trigonométrica a la exponencial se realiza entonces aplicando la

fórmula de Euler

12 CAPÍTULO 2. ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS Resumiendo, se tiene que

z =_a+_ib=_r(cos_θ+_isin_θ) =_reiθ

a= Re_z =_rcos_θ

b= Im_z =_rsin_θ

r=|_z|=√_a2+_b2

θ= arg_z = arctanb

a

2.5.3

Algunas propiedades de los números complejos

reiθ ∈C

z∗ =_a−_ib =_r(cos_θ−_isin_θ) =_re−iθ Operaciones aritméticas con números complejos_{z1, z2} ∈C • Suma

z1+z2 = (Rez1+ Rez2) +i(Imz1+ Imz2) = (a1+a2) +i(b1+b2)

• Resta

z1−z2 = (Rez1−Rez2) +i(Imz1−Imz2) = (a1−a2) +i(b1−b2) • Producto

z1z2 =|z1| |z2|exp [i(argz1+ argz2)] =r1r2ei(θ1+θ2) • Cociente

z1

z2 = |z1|

|z2|exp [i(argz1 −argz2)] = r1

r2e

i(θ1−θ2) • Función exponencial

exp (_a+_ib) =_ea+ib=_ea_eib= exp_aexp (_ib) • Módulo

2.5. REPRESENTACIÓN DE LAS ONDAS MEDIANTE NÚMEROS COMPLEJOS13 • Parte real Re_z = 1 2(z+z ∗₎ • Parte imaginaria Im_z = 1 2(z−z ∗₎ • Exponenciales ei2π = 1 eiπ =−1 exp iπ 2 =_eiπ2 _=i exp i3π 2 =_ei3π2 ₌−_i

2.5.4

Representación de una onda armónica mediante

un número complejo

Las ondas armónicas se suelen representar mediante números complejos para evitar, en lo posible, el manejo de senos y cosenos en los cálculos y simplificar así tanto la notación como los cálculos.

Sea un onda armónica escalar y unidimensional genérica

ψ(_{x, t}) =_Acos (_ωt−_kx) si tomamos r =_A θ =−(_ωt−_kx) se tiene que ψ(_{x, t}) = Re_Ae−i(ωt−kx) Se escribe entonces ψ(_{x, t}) =_Ae−i(ωt−kx)

sobreentendiendo que la función de la onda se corresponde con la parte real del número complejo.

14 CAPÍTULO 2. ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS

2.5.5

Desfase inicial. Amplitud compleja

Si la onda tiene un desfase (retardo) inicial _φ, es

ψ(_{x, t}) =_Ae−i(ωt−kx−φ) =_Aei(kx+φ)_e−iωt se escribe entonces

ψ(_{x, t}) =A_e−iωt donde

A =_Aei(kx+φ)

es la amplitud compleja de la onda, que engloba la amplitud (real) y los desfases inicial_φ y de propagación _kx.

2.6

Ondas electromagnéticas en tres

dimen-siones

2.6.1

Vector de propagación

k

Se llama vector de propagación o vector de onda (angular) en un punto del espacio al vector que tiene la dirección y sentido de propagación de la onda en ese punto y módulo igual al número de propagación o número de onda (angular) _k. _k=_k uˆ_k =_kxıˆ+_kyˆj+_kzkˆ _k= k2_x+_k2_y+_kz2 =_k

El retraso de fase que la onda experimenta a medida que se propaga es

k·r=_k uˆ_k·r

y la ecuación de los frentes de onda, esto es, de las superficies que en cada instante tienen la misma fase

k·r=_C con_C una constante cualquiera.

2.6. ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS EN TRES DIMENSIONES 15

2.6.2

Representación compleja de una onda armónica

escalar en el espacio de tres dimensiones

ψ(r, t) =_Ae−i(ωt−k·r−φ) =_Aei(k·r+φ)_e−iωt

ψ(r, t) =A(r)_e−iωt

A(r) =_Aei(k·r+φ) = _Aei(kxx+kyy+kzz+φ)

2.6.3

Representación compleja de una onda

electro-magnética armónica en el espacio libre de tres

dimensiones

Las ondas electromagnéticas se suelen representar mediante su campo eléc-trico, que para las ondas luminosas se denomina campo óptico. El campo eléctrico es un vector de R3 que tiene tres componentes escalares. En una onda electromagnética, cada una de estas tres componentes se comporta co-mo una onda, todas ellas con la misma frecuencia y la misma velocidad de propagación, pero con diferentes amplitudes _E0i y desfases iniciales _φi. Se puede escribir, por lo tanto

E(r, t) =E (r)_e−iωt donde

E(r, t) =_Ex(r, t)ˆı+_Ey(r, t)ˆj+_Ez(r, t)kˆ yE(r) es un vector de amplitudes complejas

E(r) =E_x(r)ˆı+E_y(r)jˆ+E_z(r)ˆk