CURSO: ANÁLISIS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS I
UNIDAD 2:
CIRCUITOS RESISTIVOS SIMPLES CONTENIDO
2.1 INTRODUCCIÓN
2.2 RESISTENCIA Y LEY DE OHM 2.3 PROBLEMAS PROPUESTOS
2.3.1 Problemas sobre aplicación de la ley de Ohm para corriente directa 2.3.2 Problemas sobre aplicación de la ley de Ohm para corriente variable
2.4 LEYES DE KIRCHHOFF
2.4.1 Ley de las corrientes de Kirchhoff (LCK) 2.4.2 Ley dc los voltajes de Kirchhoff (LVK) 2.5 PROBLEMAS PROPUESTOS
2.5.1 Problemas sobre aplicación de la Ley de Ohm y de Kirchhoff
2.6 ANÁLISIS EN CIRCUITOS DE UN SOLO CAMINO CERRADO, UN SOLO LAZO, UNA
SOLA MALLA 2.6.1 Introducción
2.6.2 Análisis preliminar
2.6.3 Procedimiento
2.6.4 Circuitos equivalentes
2.6.5 Elementos conectados en serie
2.6.5.1 Resistencias en serie
2.6.6 Fuentes múltiples — Redes de resistencias 2.6.7 Divisor de voltaje
2.7 ANÁLISIS EN CIRCUITOS DE UN SOLO PAR DE NODOS
2.7.1 Introducción
2.7.2 Análisis preliminar
2.7.3 Procedimiento
2.7.4 Elementos conectados en paralelo
2.7.4.1 Resistencias en paralelo
2.7.5 Divisor de corriente
2.8 TRANSFORMACIÓN DE FUENTES
2.9 REDES DE TRES TERMINALES - TRANSFORMACIONES Y - ∆
2.10 MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE CIRCUITOS SIMPLES, UTILIZANDO EQUIVALENCIAS POR COMBINACIÓN DE FUENTES, DE RESISTENCIAS Y TRANSFORMACIÓN DE FUENTES
CURSO: ANÁLISIS DE CIRCUITOS I UNIDAD 2
CIRCUITOS RESISTIVOS SIMPLES 2.1 INTRODUCCION
Posteriormente a la determinación de las convenciones y simbología que se utilizará en los esquemas eléctricos, se hace necesario expresar la relación entre la corriente y el voltaje para un determinado elemento mediante el modelo matemático respectivo.
En esta segunda unidad se analizarán los circuitos eléctricos simples que contienen fuentes de CD, dependientes e independientes, de voltaje o de corriente y como único elemento de carga la resistencia. Se hará un resumen de la definición y como es la aplicación de la ley de Ohm y las leyes de Kirchhoff, en circuitos eléctricos simples como el una sola malla y un solo par de nodos, para terminar con algunos conceptos adicionales en la solución de circuitos , como el de transformación de fuentes y el de equivalencias por combinación de fuentes y de resistencias
2.2 RESISTENCIA Y LEY DE OHM
La Ley de Ohm establece que el voltaje entre los extremos de muchos tipos de materiales es directamente proporcional a la corriente que fluye a través del material.
A la razón entre el voltaje v y la corriente i
que fluye a través del material recibe el nombre de Resistencia (R)
R v =
i ,donde la resistencia es aproximadamente constante.
Como el lugar geométrico de la ecuación que se presenta es una línea recta, a la razón anterior se le da el nombre de Resistencia Lineal
v i
El lugar geométrico de la ecuación v=i*R es:
Normalmente el ángulo de la recta φ varía entre 0° y 90° o sea que
la resistencia es positiva, esto significa además, que para la mayoría de los materiales cuando se le aumenta el voltaje aplicado también aumenta la corriente que fluye a través de él.
i v
Tan(ϕ) = R
ϕ
Algunos semiconductores como el Thyristor o Rectificador de selenio presentan en determinado instante una resistencia negativa,
como lo podremos observar en el lugar geométrico de i contra v
para el thyristor:
De la figura se puede observar que hay un instante, en el cual, cuando se aumenta el voltaje, entonces la corriente disminuye. Significa lo anterior, que existe una región en donde la resistencia que se presenta es negativa.
Por otro lado, la resistencia de algunos materiales no es constante, o sea, no es lineal.
Esta característica es utilizada por algunos dispositivos como los diodos Zener, los diodos Túnel y los Fusibles.
La unidad de resistencia es el ohm y se simboliza por la letra
omega Ω, o sea que: 1 ohm(Ω) = 1 voltio(v) / 1 amperio(a).
v i
El resistor lineal es un elemento idealizado; es solo un modelo matemático de un dispositivo físico. El símbolo que mas se utiliza para un resistor es:
Para un resistor el producto de v*i representa la potencia (siempre positiva) absorbida por el resistor (o por
el dispositivo físico al cual representa) y entregada al medio ambiente en forma de energía calorífica o lumínica, o sea que la polaridad del voltaje y la dirección de la corriente se seleccionan para satisfacer la
convención de los elementos pasivos. Loanterior significa que la potencia absorbida por un resistor se puede
i v
elemento pasivo; o sea que un resistor no puede devolver energía a la fuente ni almacenarla. Otras expresiones para la potencia de un resistor son:
p = v*i = i2 * R =
R
2 v
A la razón de la corriente que fluye a través del material sobre el voltaje aplicado se le da el nombre de Conductancia, es también una constante y es el inverso de la Resistencia, se simboliza por la letra G y su unidad es el Siemens
(S)= 1 amperio(A)/ 1 voltio (v).
La potencia absorbida por un resistor se puede expresar en términos de la conductancia: p = v*i = v2 * G =
G
2 i
2.3 PROBLEMAS PROPUESTOS
2.3.1 PROBLEMAS SOBRE APLICACIÓN DE LA LEY DE OHM PARA CORRIENTE CONTINUA O CONSTANTE ( CC O CD )
1. Un calentador eléctrico demanda 2000 w de un sistema de 100 v, en corriente continua. Determine: a)
La corriente demandada por el calentador. b) La resistencia del calentador. c) La energía disipada en 10
horas de trabajo continuo. Rtas: a) 20 amp; b) 5 Ω ; c)20.000 wh.
2. Un soldador eléctrico utiliza 6 kwh de energía en 12 horas cuando se conecta a una fuente de 120 v.
Determinar: a) La potencia del soldador. b) La corriente del soldador. c) La resistencia del soldador.
Rtas: a) 500 w; b) 4.16 amp; c) 28.84 Ω
3. Hallar la potencia absorbida por un calentador de agua de 1000 Ω cuando se conecta directamente a una
fuente constante de 100 v. Rta: 10 w (Dorf pag. 70 )
4. La corriente por la terminal de un resistor es 1 ma, y la resistencia es de 1 kΩ . Encuentre: a) El voltaje a
través de del resistor, b) La potencia absorbida por el resistor, c) La conductancia del resistor. Rtas:a) 1 v ; b) 1 w ; c)1 mΩ .(Dorf pag.70 )
5. La batería de un coche es una fuente de voltaje constante de 12 v , y el foco de luz puede modelarse
como un resistor de 6 Ω . Hallar: a) La corriente, b) La potencia y c)La energía suministrada por la
batería durante un periodo de 4 horas. (Dorf pag. 69 )
Rtas: a) 2 amp ; b) 24 w ; c) 96 wh o 3.46 * 105 j.
2.3.2 PROBLEMAS SOBRE APLICACIÓN DE LA LEY DE OHM PARA CORRIENTE VARIABLE
1.Cuando a un elemento resistivo ( R = 1 Ω ) se le aplica una tensión o voltaje variable. V = 20 e – 0.01 t ,
circula una corriente que varía con el tiempo. Calcular:
a) La corriente que circula por el elemento. b) El valor instantáneo de la potencia que fluye hacia el elemento. c) La energía suministrada al elemento durante los 100 primeros segundos. d) El costo de la
operación en los 100 primeros segundos, si el costo de la electricidad es de 10 $ / wh. Rtas: a) 20 e – 0.01 t
amp; b) 400 e – 0.02 t w; c) 4,803 wh; d) 48,03 $.
2.La forma de onda mostrada en la figura tiene un periodo de 10 segundos y corresponde al voltaje aplicado
a un elemento resistivo ( R = 1 Ω ). Determinar: a) El valor de la corriente (gráficamente o en función del
tiempo) que circula por el elemento en un periodo. b) Calcule el valor de la potencia (gráficamente o en función del tiempo) que fluye hacia el elemento. c) El valor promedio de la potencia en un periodo (Potencia media). d) La energía suministrada al elemento en los primeros 10 segundos. e) El costo de la operación en los primeros 10 segundos, si el costo de la electricidad es de 10$ /wh.
V (v) 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 t (seg)
3. Una fuente de voltaje V ( t ) = 10 cos( t ) v , se conecta a través de un resistor de 10 Ω. Hallar la potencia
entregada al resistor . Rta: 10 cos2( t) w o 2.9192 w (Dorf pag 70 )
4. El valor de cierto voltaje + 10 v , en 20 ms, y de – 10 v, para los siguientes 20 ms y continua oscilando
entre estos dos valores en intervalos de 20 ms. El voltaje está presente a través de un resistor 50 Ω. Para
cualquier intervalo de 40 ms, encuentre a) El valor máximo del voltaje; b) El valor promedio del voltaje; c) El valor promedio de la corriente del resistor; d) El valor máximo de la potencia; e) El valor promedio de la potencia absorbida.
Rtas: a) 10 v ; b) 0 ; c) 0 ; d) 2 w ; e) 2 w ( Kemmerly pag 48 ) 2.4 LEYES DE KIRCHHOFF
Antes de enunciar las leyes de Kirchhoff, que son los principios básicos en el análisis de circuitos, se definirán los términos de nodo, trayectoria, lazo. Rama y malla.
Nodo: Se le da el nombre de nodo al punto en la cual dos o más elementos tienen una conexión común.
Trayectoria: Se le da el nombre de trayectoria al camino que se sigue, empezando el proceso en uno de los nodos de una red y se mueve a través del elemento al otro nodo terminal, luego, a partir de ese nodo continúa a través de un elemento diferente al nodo siguiente, y continúa de esta forma hasta recorrer tantos elementos como se desee, sin pasar a través de ningún nodo o elemento más de una vez.
Lazo: Se le da el nombre de lazo, o camino cerrado, a cualquier trayectoria cerrada que empieza y termina en el mismo nodo.
Rama: Se le da el nombre de rama a la trayectoria simple en una red, compuesta por un elemento simple y
por los nodos situados en cada uno de sus extremos. En un circuito eléctrico habrá tantas ramas como elementos hallan en el circuito.
Malla: Se le da el nombre de malla al lazo o camino cerrado que no encierra otro en su interior. ( Cualidad de la red plana )
2.4.1 LEY DE LAS CORRIENTES DE KIRCHHOFF. ( LCK)
Establece que, la suma algebraica de las corrientes que entran a cualquier nodo es cero.
Para el nodo de la figura anterior, las corrientes IA, IB, IC, salen del nodo, o sea que,
entran negativamente, por lo tanto el modelo resultante al aplicar la ley de ohm es: (-IA) + (-IB) + (-IC) + ID + IE = 0
La ley también se puede aplicar a las corrientes que salen: (IA) + (IB) + (IC) +(-ID) +(-IE) = 0
La ley se puede enunciar de la forma siguiente: La suma de las corrientes que tienen flechas apuntando hacia el nodo es igual a la suma de las corrientes que tienen flechas hacia fuera del nodo:
IA IE
ID IC IB
(IA) + (IB) + (IC) = (ID) + (IE)
2.4.2 LEY DE LOS VOLTAJES DE KIRCHHOFF. ( LVK)
Establece que, la suma algebraica de los voltajes alrededor de cualquier trayectoria cerrada en un
circuito es cero.
En la figura a continuación se presentan varias trayectorias cerradas en un circuito eléctrico en particular, en donde se conocen las polaridades de los voltajes de todos los elementos en las trayectorias, ya sean datos del circuito o asignadas en el análisis respectivo.
Las polaridades de los voltajes de los elementos están representadas por flechas de acuerdo con la convención de los signos establecida anteriormente.
El circuito anterior lo constituyen 6 elementos y están interconectados mediante 6 nodos numerados del uno al seis. Tiene tres trayectorias cerradas o lazos, 1-2-3-4-6-5-1; 1-2-3-6-5-1 y 3-4-6-3. 6 5 4 3 2 1 VH V V A D VC VE VF − VB +
Para aplicar la ley de los voltajes a cualquier trayectoria cerrada giramos mentalmente en cualquier sentido
(horario o antihorario ) empezando y terminando en uno cualquiera de los nodos de la trayectoria,
establecemos que las flechas que estén en la misma dirección del sentido dc giro sean positivas y las que
estén en sentido contrario sean negativas (esta asignación puede cambiarse, pero solo después de aplicar la
ley a la trayectoria).
Aplicamos la ley a la trayectoria 5-1-2-3-6-5. esto es:
(VD) + (-VA) + (VB) + (-VE) + (-VH) = 0 ; VD –VA + VB –VE –VH = 0 (1)
Aplicamos la ley a la trayectoria 5-6-3.-2- 1-5.esto es:
(VH)+(VE)+(-VB)+(VA)+(-VD) = 0 ; VH + VE – VB + VA – VD =0. cuyo resultado es igual al de la ecuación (1) multiplicada por -1.
Aplicarnos la ley a la trayectoria 5-l-2-3-4-6-5, esto es:
(VD)+(-VA)+(VB)+(VC)+(-VF)+(-VH) = 0; VD-VA + VB + VC-VF-VH = 0 (2) Aplicamos la ley a la trayectoria 6-3-4-6, esto es:
(VE)+(VC)+(-VF) = 0 ; VE + VC-VF = 0 (3).
De la aplicación de la ley de los voltajes a las diferentes trayectorias, se encuentran tres ecuaciones. Las ecuaciones (1) y (3) resultan linealmente independientes, pero la ecuación (2) es linealmente dependiente de las otras dos. Las trayectorias cerradas (lazos) que generan las ecuaciones (1) y (3) se denominarán Mallas. 2.5 PROBLEMAS PROPUESTOS
2.5.1 PROBLEMAS SOBRE APLICACIÓN DE LA LEY DE OHM Y LEYES DE KIRCHHOFF
1. Determinar Vx y la potencia asociada con cada elemento, para el circuito de la figura siguiente.
.
Rtas: Vx = - 6 v ; P2v = 3 w ; P3 Ω = 12 w ; P4Ω = 1w ; P2 A = 16 w.
2. Una corriente de 4.5 amp atraviesa una resistencia lineal R, siendo la tensión a través de la misma 6 v. Al
aumentar la tensión a 55,2 v la corriente se eleva a un nuevo valor. ¿ Cuál es ese nuevo valor?. Rta: 41.41 amp.
3.Para el circuito eléctrico del esquema siguiente el voltaje Vb d es igual a 4 v . Hallar los valores de Ix , Iy , Ic y Vs
.
2ohm
Rtas: Ix = 3amp ; Iy = 2amp ; Ic = 1 amp; Vs = 10 v.
4.Una bombilla de 1 w está conectada a una fuente ideal de 3v. Admitiendo que la bombilla se comporta
como una resistencia, hallar:
a) La corriente absorbida por la resistencia.
5. Una batería de 10 v se encuentra conectada a una fuente de intensidad de 5 amp. Hallar la potencia absorbida por: a) La batería , b) La fuente de intensidad.
Rtas: a) 50 w; b) -50 w o a) – 50 w; b) 50 w.
6. Hallar las potencias asociadas con cada elemento.Rtas: P2v = 2/3 w ; P1A = 5 w ; P3Ω = 3 w ; P3Ω = 4/3 w Ohmios
3 Ohmios
7. Determinar Vx e Ix en cada uno de los circuitos representados por los siguientes esquemas eléctricos.
IX
50ohm
FIG A. Rtas: Vx = - 6v ; Ix = 3 A FIG B. Rtas: Vx = 150 v ; Ix = 13 A
10 A
FIG C. Rtas.: Vx = 50 v ; Ix = - 4 A
12 A
8. Para el circuito eléctrico del siguiente esquema, determinar: Ix, Vs y VR
9.Para el esquema del siguiente circuito donde hay varias fuentes independientes, determinar: a) La potencia
absorbida por cada fuente. b) A qué valor debería cambiarse la fuente de 4v para reducir a cero la potencia suministrada por la fuente de –5A
Rtas: a) Elementos que consumen: P2 v = 10 w;
P4 v = 48 w; P12 a = 36 w
Elementos que producen: P4 a = 16 w; P- 5 a = 30 w;
P- 3 v = 27 w; P3 a = 21 w.; b) - 2v 2A 8A 4*Ix (v) Rtas: Ix = 10 amp; Vs = - 6 v ; VS = 94 v
10.Calcular R y G si la fuente de 5 amperios suministra 125w. Rtas:R = 19 Ω ; G = 0.45S. 11.Calcular Ve y Vs. Rtas: Ve = 94 v; Vs = 6 v. 2 A 8 A Ve 4*Ix (v) 12.Hallar I1, I2, I3, I4, I5. Rtas: I1 = - 8 A; I2 = 3 A; I3 = 5 A; I4 = - 5 A; I5 = 10 A. I3 I1 I4 I5 I2 60 v V1 / 12 (A) (35/3)* I2 (v)
13. Hallar Vx, Is, sí V4Ω = 8 v. Rtas: Vx = 6 v; Is = 7 a.
10A 2ohm 2ohm + Vx -4ohm + 8v - 1A IS
14. Para el circuito dela figura determine el valor del voltaje VS y el voltaje VA, con las polaridadesindicadas
Respuestas: Va = 6 v Vs = 24 v
15.Hallar Vx, Ix. Rtas: Vx = 10 v; Ix = 2 a.
4 A
IX 4 A
2A
16.Para el circuito representado en la figura siguiente, hallar V1, sí I2 = 10
e
– 2 t , I4 = 4 Sen(t) y V3 = - 2e
– 2 t. Rta: V1 = 12 cos(t) + 12e
– 2 t . + V1 -I2 3H 2F + V3 -I4 I1 I317.Para el circuito representado en la figura siguiente, hallar I4 , sí V1 = 4v, V2 = 3 Cos(2t) y V3 = 2
e
– 0.2 t. Rta: I4 = - 60 sen(2t) - 4e
– 0.2 t+ V2 -5H 10F + V1 + V3 + V4 -I4
18. Para el circuito representado en la figura siguiente, hallar V (t ), sí Vc = 10
e
– 5 t e I2 = 5 Sen(2t). Rta: V (t ) = 20cos(2t)+25sen(2t)- 9e
– 5 t.
1/50 F
I1 I2
2.6 ANÁLISIS EN CIRCUITOS DE UN SOLO CAMINO CERRADO O UN SOLO LAZO, UNA SOLA MALLA
2.6.1 INTRODUCCIÓN:
En términos generales, analizar un circuito eléctrico es determinar la corriente, voltaje o tensión, y potencia absorbida o producida por cada uno de los elementos, aunque. en varios de los problemas propuestos estaremos interesados en determinar las condiciones de un solo elemento.
El análisis de un solo camino cerrado es el principio del análisis de mallas, técnica que se desarrollará mas adelante, centra su atención en las corrientes de cada una de las ramas como incógnitas. Por lo anterior, una restricción temporal, al menos en la introducción del análisis, será la de considerar solo fuentes de tensión o de voltaje y posteriormente, al final del estudio sobre las técnicas de análisis por mallas, se incluirá la posibilidad de que el circuito contenga fuentes de corriente.
2.6.2 ANÁLISIS PRELIMINAR
Para el circuito eléctrico del siguiente esquema, se conocen las magnitudes de las resistencias en ohmios y las magnitudes y polaridades de las fuentes de voltaje, o sea:
R1, R2, R3, V1, V2
Analizar el anterior circuito es determinar la corriente, el voltaje y la potencia de todos y cada uno de los elementos.
Las características del circuito eléctrico son: 5
elementos, 5 nodos, un solo camino cerrado o un solo
lazo, una malla.
La dirección y magnitud de las corrientes de los elementos son desconocidas, por lo tanto, podremos asignar direcciones y una letra como incógnita para las magnitudes de las corrientes. Para el circuito que tiene 5 elementos, se definirán 5 corrientes como incógnitas: i1, i2, i3, i4, i5. Se escogerá una dirección particular para cada corriente (esta selección de dirección es arbitraria).
R1 R2 V2 R3 + V1 - Una aplicación trivial de la ley de las corrientes de Kirchhoff para cada nodo del circuito, indica que i1 = -i2 = - i3 = i4 = i5, por lo tanto, todas las corrientes son iguales en magnitud y tienen igual dirección y sentido.
Significa lo anterior, que para el caso de un solo camino cerrado solo habrá una corriente como incógnita que atraviesa a todos los elementos en una sola dirección.
i1 i2 i3 R1 R2 V2 i5 R3 i4 + V1 - 2.6.3 PROCEDIMIENTO
Para el circuito anterior, un solo camino cerrado, los cinco elementos están en serie y sus corrientes quedan totalmente definidas por medio de la asignación de una sola corriente como variable y ésta se podrá
determinar mediante el procedimiento siguiente:
1°. Asigne arbitrariamente la dirección y sentido de las corrientes desconocidas (esta asignación es
arbitraria), para el caso, un solo camino cerrado, se asigna una corriente i en sentido horario.
2°. Asigne en forma condicionada la polaridad de los voltajes desconocidos. Como los voltajes desconocidos están sobre las resistencias, entonces, para poder utilizar la ley de Ohm utilizando la convención de los signos pasivos, es conveniente asignar la polaridad de los voltajes condicionada a la dirección dada a la corriente en el paso anterior, esto es:
Asigne la polaridad de los voltajes de tal forma que las R1 R2 V5 V2 i R3 i + V1 - V3 V4 i i i
resistencias se les considere como elementos pasivos, para este caso se asigna: V3 , V4, V5.
3°. Aplique la ley de Ohm y determine las relaciones entre el voltaje y la corriente de las resistencias, éstas son: V3 = i *R1 ; V4 = i *R2 ; V5 = i *R3
4°. Aplique la ley de los voltajes de Kirchhoff (LVK), al camino cerrado y obtenga una ecuación como la sig iente: Vu
5°. Reemplazando los voltajes obtenidos en el punto 3°, la ecuación quedará: V
1- V3 - V4 - V2 - V5 = 0
1- V2 = i * ( R1 + R2 + R3 ) 6°. Arreglando la ecuación para despejar la incógnita de la corriente en forma explícita, la ecuación quedará
en función de los valores conocidos, esto es:
i = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + − 3 R 2 R 1 R 2 V 1 V
De la expresión anterior, podremos inferir que la magnitud y dirección de la corriente dependen de los valores de las fuentes y de las magnitudes de las resistencias en el camino cerrado.
Una vez determinada la corriente, se podrá hallar el voltaje de las resistencias y posteriormente la potencia de cada elemento en el circuito, de tal forma que se pueda comprobar la ley de la transformación de la energía eléctrica.
De la expresión anterior, se puede inferir el comportamiento de la corriente para algunas situaciones en particular.
A) Para las polaridades de los voltajes indicados, si V1 es mayor en magnitud que V2, la corriente i resulta ser
positiva, por lo tanto, el sentido asignado arbitrariamente es el correcto. Para este caso, la fuente de V1 se
comporta como elemento activo y la fuente de V2 como elemento pasivo, por tanto, la suma de las
potencias de las resistencias mas la de la fuente de V2 debe ser igual a la potencia de la fuente de V1. Si
para esta misma situación se cambiara la polaridad de la fuente de V2, la dirección de la corriente
resultaría en el mismo sentido que el anterior, pero la magnitud sería mayor, indicando con esto que la
fuente de V2 pasaría a ser elemento activo.
B) Para las polaridades de los voltajes indicados, si V1 es menor en magnitud que V2, la corriente i resulta ser
negativa y esto significa que el sentido asignado arbitrariamente es contrario al real. Para este caso, es preferible volver a dibujar el esquema eléctrico y asignarle a la corriente el sentido correcto y así
desarrollar el circuito con el valor positivo de la corriente, esto significaría, que habría que volver a
asignar las polaridades de los voltajes de las resistencias de tal manera que se les pueda considerar como elementos pasivos.
C)Para el circuito planteado se pueden intercambiar todos los elementos porque ellos están en serie y por tanto circularía la misma corriente por cada uno de ellos cualquiera que sea su posición.
D) Las dos fuentes se pueden agrupar en una sola fuente equivalente de valor V1 – V2 y las tres resistencias
en una sola correspondiendo a la suma dc las tres.
EJEMPLO N° 1. Para cl circuito eléctrico presentado en la figura siguiente, determine el voltaje, la
corriente y la potencia de cada elemento. Pruebe la ley de la transformación de la energía. DESARROLLO:
1°. Asigne la dirección y sentido de la corriente en forma
arbitraria (sentido antihorario).
2°. Asigne la polaridad de los voltajes de las resistencias, condicionada a la asignación de la corriente para aplicar la convención de los signos pasivos.
3°.
3°Aplique la ley de Ohm, para cada una de las resistencias, relacione la corriente y su voltaje, esto es:
VR1 = 9* i ; VR2 = 10 * i ; VR3 = 6 * i R1 V2 9 Ω 5 v R2 10 Ω R3 V3 6 Ω 15 v V1 30 v
4°. Aplique la ley de los voltajes de Kirchhoff al camino cerrado y encuentre una ecuación en donde se
relacionen todos los voltajes del camino cerrado: V1+ VR1 + V2 + VR2 + V3 + VR3 = 0 (A)
5°. Reemplace, en la ecuación (A),los valores de los voltajes de las fuentes y las relaciones encontradas en el punto3, esto es: 30 + 9 * i + 10 * i + 6 * i = 0
Desarrollando esta última ecuación y despejando la
corriente i , encontraremos: i = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + − 6 9 10 50 = - 2 amp
EI resultado anterior indica que el sentido real de la corriente es contrario al asignado arbitrariamente, para lo anterior el sentido real de la corriente es horario.
R1 V2 i 9 Ω 5 v R2 10 Ω R3 V3 6 Ω 15 v V1 30 v
Con base en el anterior resultado, redibujamos el circuito con la dirección apropiada de la corriente (valor positivo) y obtenemos los valores y las polaridades de los voltajes de las resistencias.
De acuerdo con la dirección de la corriente y de la polaridad de los voltajes determinados, todas las fuentes producen energía y las resistencias consumen, luego la suma de las potencias de las fuentes debe ser igual a la suma de las potencias dc las resistencias.
PRUEBA: 18 v V2 2 amp 9 Ω 5 v 20 v 10 Ω 12 v V3 6 Ω 15 v V1 30 v
PRODUCEN ENERGÍA CONSUMEN ENERGIA
P30 v = 30v * 2a = 60w PR1 = 18v * 2a = 36w P5 v = 5v * 2a = 10w PR2 = 20v * 2a = 40w P15 v = 15v * 2a = 30w PR3 = 12v * 2a = 24w TOTAL POT. PRODUCIDA: 100 w TOTAL POT. CONSUMIDA: 100 w
Al analizar los resultados, comprobamos que se cumple la ley de la transformación de la energía porque la potencia consumida es igual a la producida.
2.6.4 CIRCUITOS EQUIVALENTES
Dos circuitos son eléctricamente equivalentes, si al aplicarle a los dos circuitos igual diferencia de potencial, circula por cada uno de ellos igual cantidad de corriente.
A continuación se presentan dos cajas cerradas, las cuales tienen internamente circuitos eléctricos y cada uno tiene dos terminales por donde se les puede aplicar el voltaje a los circuitos internos.
i1 V1 CAJA N° 1 i2 V2 CAJA N° 1
Si los voltajes aplicados V1 y V2 son iguales, y como consecuencia resulta i1 = i2,entonces, los circuitos eléctricos internos son equivalentes.
2.6.5ELEMENTOS CONECTADOS EN SERIE.
Definición: Dos o más elementos de un circuito eléctrico están en serie cuando por ellos circula la misma corriente (aquí el término de misma no es sinónimo de igual).
2.6.5.1 RESISTENCIAS EN SERIE
Cuando dos o mas resistencias están conectadas en serie, estas pueden ser reemplazadas por una resistencia equivalente.
A continuación se presentan dos circuitos eléctricamente equivalentes, el circuito 1° tiene n resistencias conectadas en serie y el circuito 2° tiene una sola resistencia, la cual se le asigna el nombre de equivalente.
Circuito 1° Circuito 2° R1 R2 i1 R3 RN V1 i2 V2 Requiv Para el circuito 1° i1 = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + 2 3 1 1 R R R V ; Para el circuito 2° i2 = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ equiv 1 R V
Por lo tanto, si al aplicar los voltajes, V1 es igual a V2, resulta que la corriente i1 es igual a i2, se cumplirá
que: Requív = R1 + R2 + R3 + ...+ RN
Luego un conjunto de resistencias R1, R2, R3 ,...RN que estén conectadas en serie, se pueden reemplazar por
una resistencia equivalente igual a la suma de las resistencias individuales, conectada a los nodos extremos del conjunto en serie.
2.6.6 FUENTES MÚLTIPLES- REDES DE RESISTENCIAS
El circuito eléctrico desarrollado en el punto anterior consta de tres fuentes y tres resistencias conectadas en
serie. R 1 V2 9 Ω 5 v R2 10 Ω R3 V3 6 Ω 15 v V1 30 v
Teniendo en cuenta el concepto de elementos en serie, la red de fuentes se pueden redistribuir en el esquema eléctrico, lo mismo que la red de resistencias, quedando:
V2 = 5 v 9Ω
V1-2
V1 =30 v 10 Ω V3 = 15 v 6Ω
El esquema del circuito eléctrico se puede simplificar, considerando una fuente equivalente a las fuentes V1
y V2, las cuales se encuentran en serie y una resistencia equivalente a las resistencias R1 , R2 y R3, que
también están en serie. Finalmente el circuito eléctrico se puede simplificar, considerando una fuente
equivalente a las fuentes V1-2 y V3 que se encuentran en serie, esto es:
V1-2 = 35 v 25 Ω V1-2-3 V3 = 15 v 2 amp V1-2-3 = 50 v 25 Ω
Se puede observar que el circuito inicial presentado se pudo transformar a un circuito equivalente simple que contiene una sola fuente y una sola resistencia, en donde el valor de la corriente se determina de forma directa. La única característica que no cambia al pasar del circuito inicial al final es la corriente del circuito, su magnitud es de 2 amp y su sentido es horario, resultado que es igual al obtenido anteriormente.
2.6.7 D1VISOR DE VOLTAJE
El divisor de voltaje es una aplicación de resistencias en serie, la cual se presenta cuando una fuente de voltaje independiente se conecta a dos resistencias en serie, en donde el voltaje de la fuente se distribuye proporcionalmente a la magnitud de las resistencias.
El modelo también se utiliza para determinar el voltaje dc una de las resistenciasen serie, cuando se conoce el voltaje total de entrada a las resistencias en serie y los valores de las resistencias.
Para el circuito anterior se presentan las ecuaciones siguientes:
i = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + 2 1 1 R R V ; Vsal = R2 * i ; Vsal = V1 * ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + 2 1 2 R R R
Del resultado se puede determinar que el voltaje de salida es
directamente proporcional a la resistencia R2 e inversamente proporcional
a la suma de las resistencias.
Si R1 es una resistencia variable, el valor del voltaje de salida es variable, por ejemplo:
i R1 + V1 R2 Vsal i -
sea V1 = 12 v, R1 varía entre 0 y 90 kΩ , R2 = 30 kΩ , determínese los valores límites del voltaje de
salida.
Reemplazando los valores en la fórmula del voltaje quedará: Vsal =
) 10 x 30 ( R 12 * ) 10 x 30 ( 3 1 3 +
Si R1 es igual a cero, entonces, Vsal = 12 v, que corresponde al máximo valor adquirido por R2.
Si R1 es igual a 30 kΩ, entonces, Vsal = 6 v, que corresponde a un valor intermedio adquirido por R2
Si R1 es igual a 90 kΩ, entonces, Vsal = 3 v, que corresponde al mínimo valor adquirido por R2
EJEMPLO N° 2, DONDE SE INCLUYE FUENTE DEPENDIENTE
Para el circuito presentado en la figura siguiente, hallar VR si: a) Vx = 8 * i ; b) Vx = 3 * VR DESARROLLO:
a) Para Vx = 8 * i
La dirección de la corriente y la polaridad de los voltajes fueron asignados por el autor del problema, la corriente va en sentido
antihorario. Aplicando la ley de Ohm: VR = 2 * i
Vx i +
V1 = 5 v 2 Ω VR _
Aplicando la ley de los voltajes de Kirchhoff (LVK), obtendremos: 5 – Vx – VR = 0 (A)
Reemplazando los valores de los voltajes en la ecuación A, ésta quedará: 5 – 8 * i – 2 * i = 0, de donde: i = 0.5 amp
Resultando para los voltajes: VR = 1 v ; Vx = 4 v
Con base en los valores determinados, podremos indicar que la fuente de 5 v, produce energía y la fuente Vx
consume energía, por tanto, la ley de conservación de la energía queda probada de la manera siguiente:
PRODUCEN ENERGÍA CONSUMEN ENERGÍA
P5v = 5 * 0.5 = 2.5 w PVx = 4 * 0.5 = 2 w P2Ω = 1 * 0.5 = 0.5 w Total Pot. Producida = 2.5 w Total Pot. Consumida = 2.5 w b) Para Vx = 3 * VR
El desarrollo se inicia con un proceso muy similar al de la primera parte, obteniéndose las ecuaciones siguientes:
VR = 2 * i ; 5 – Vx – VR = 0 ; Vx = 3 * VR
Resolviendo las ecuaciones anteriores, encontraremos que: i = 0.625 amp
Resultando para los voltajes: VR = 1.25 v ; Vx = 3.75 v
Con base en los valores determinados, podremos indicar que la fuente de 5 v, produce energía y la fuente Vx
consume energía, por tanto, la ley de conservación de la energía queda probada de la manera siguiente:
PRODUCEN ENERGÍA CONSUMEN ENERGÍA
P5v = 5 * 0.625 = 3.125 w PVx = 3.75 * 0.625 = 2.343 w
P2Ω = 1.25 * 0.625 = 0.781 w
EJEMPLO N° 3:
Para el circuito de la figura siguiente, encuéntrese el voltaje Vx con la polaridad indicada
DESARROLLO:
Después de asignar la dirección de la corriente y la polaridad del voltaje de la resistencia, aplicamos la LVK al camino cerrado, la cual arroja la siguiente ecuación: 12 – V1 – 2 Vo – Vo = 0 (A)
Aplicando la ley de Ohm, los voltajes de las resistencias se pueden expresar como:V1 = 2 k i ; Vo = 2 k i
Reemplazando estas últimas expresiones en la ecuación A y
despejando la corriente i, encontraremos:
i =
k 8 12
= 1.5 x 10- 3 amp = 1.5 ma
Posteriormente, podremos determinar Vo y V1, reemplazando la corriente en las ecuaciones correspondientes,
arrojando los valores: Vo = 3 v = V1
Vx + 2 kΩ Vo - 2Vo 12 v V1 2 kΩ i
Del circuito podremos observar que el voltaje Vx no está sobre un elemento en particular; el voltaje Vx está
sobre dos elementos conectados en serie, la fuente de voltaje dependiente y una resistencia de 2 kΩ.
Para efectos de determinación del voltaje Vx, podremos aplicar la LVK a cualquier camino cerrado que
contenga Vx, como si Vx completara el camino cerrado. Aplicando LVK a los dos posibles caminos cerrados
que contienen a Vx, tendremos:a) 12 – V1 + Vx = 0 b) Vo + 2 Vo + Vx = 0
De cualquiera de las ecuaciones se puede obtener Vx , quedando Vx = -9 v
EJEMPLO N° 4:
Para el circuito del esquema siguiente, determine la potencia absorbida por el elemento X, sí éste es : a) Una
resistencia de 70Ω ; b) Una fuente de voltaje independiente de 20 v, con la referencia positiva a la izquierda ;
c) Una fuente de voltaje dependiente cuyo valor es 19 ix, con la referencia positiva a la derecha ; d) Una
fuente de corriente independiente de 2 ma, con la dirección y sentido hacia la derecha.
DESARROLLO: a) R = 70 Ω 30Ω 50 Ω 3 v ix + 20 Ω 8 v 15 Ω - X 70Ω 30Ω 50 Ω 3 v ix + 20 Ω 8 v 15 Ω -
Aplicando LVK al camino cerrado de la figura de la derecha, tendremos:
8 + 20 ix + 15 ix + 70 ix + 50 ix + 30 ix – 3 = 0. de donde ix = - 0.027 amp, por tanto, la potencia consumida por el elemento es : P70Ω = ix2 * 70 = 0.05113 w
b) Una fuente de voltaje independiente de 20 v
20 v 30Ω 50 Ω 3 v ix + 20 Ω 8 v 15 Ω -
Aplicando LVK al camino cerrado, tendremos:
8 + 20 ix + 15 ix – 20 + 50 ix + 30 ix – 3 = 0, de donde, ix = 0.1343 amp, luego el elemento está produciendo, por lo tanto, la potencia consumida por el elemento es :
P20v = ix * 20 = -2.6086 w.
c) Una fuente de voltaje dependiente cuyo valor es 19 ix v
19 ix 30Ω 50 Ω 3 v ix + 20 Ω 8 v 15 Ω -
Aplicando LVK al camino cerrado, tendremos:
8 + 20 ix + 15 ix +19 ix + 50 ix + 30 ix – 3 = 0, de donde, ix = -0.0373 amp, luego el elemento está consumiendo, por lo tanto, la potencia consumida por el elemento es :
d) Una fuente independiente de corriente de 2 ma.
Para este caso la corriente está determinada por la corriente de la fuente, luego el problema consiste en obtener el voltaje del elemento y así determinar la potencia consumida por él, o fuente de corriente independiente.
La corriente ix es igual a 2 x 10- 3 A.
Aplicando LVK al camino cerrado, tendremos:
8 + 20 ix + 15 ix + Vx + 50 ix + 30 ix – 3 = 0, de donde, Vx = - 4.77 v, luego el elemento está consumiendo,
por lo tanto, la potencia consumida por el elemento es : P2ma = ix * Vx = 0.00954 w.
Vx 2 map 30Ω 50 Ω 3 v ix + 20 Ω 8 v 15 Ω -
2.7 ANÁLISIS DE CIRCUITOS CON UNSOLO PAR DE NODOS
2.7.1 INTRODUCCIÓN
El análisis en circuitos conun solo par de nodos es el principio del análisis nodal, técnica que se desarrollará mas adelante y centra la atenciónen los voltajes entre nodos como incógnitas. Por lo anterior, una restricción temporal, al menos en la introducción del análisis nodal, será la de que las fuentes a considerar seanfuentes de corriente; al final del estudio de la técnica nodal se incluirá la posibilidad de que el circuito contenga fuentes de voltaje.
2.7.2 ANÁLISIS PRELIMINAR
Para el circuito mostrado en el esquema eléctrico siguiente, se conocenlas magnitudes de las resistencias en ohmios ( olas conductancias en siemen), las magnitudes y direcciones de las corrientes de las fuentes.
Analizar el circuito anterior es determinar la corriente, el voltaje y la potencia de cada uno de los elementos.
I1 R1 R2 R3 I2 Las característicasdel circuito son:
5 elementos, 5ramas, un solo par de nodos. varios caminos
cerrados, varios lazos, 5 mallas.
Corno no se conoce la polaridad y magnitud de los voltajes de los elementos, podremos asignar una polaridad
y una letra corno incógnita para los voltajes de cada elemento.
Para el circuito que tiene 5 elementos se definen 5 voltajes como incógnitas: V1,V2,V3, V4 y V5, se podrá escoger una polaridad en particular para cada voltaje (esta asignación es arbitraria)
Una aplicación trivial de la ley de los voltajes de Kirchhoff para cada malla indica que:
V1 I1 R1 V2 R2 V3 R3 V4 I2 V5 V1 = V2 = V3 =V4 = V5, luego todos los voltajes son de
igual magnitud y tienen igual polaridad. Significa lo
anterior que, para el caso de un solo par de nodos, habrá
solo un voltaje como incógnita que corresponde a la diferencia de potencial entre los nodos del circuito.
2.7.3 PROCEDIMIENTO
Para el circuito anterior, un solo par de nodos, los cinco elementos están en paralelo y sus voltajes quedan
totalmente definidos por medio de la asignación de un solo voltaje corno variable y se podrá determinar
mediante el procedimiento siguiente:
1°. Asigne la polaridad de los voltajes desconocidos(asignación arbitraria), para este caso de un solo par de
nodos, solo habrá un voltaje como incógnita v
2°. Asigne la dirección de las corrientes desconocidas (asignación condicionada)
Las corrientes desconocidas son las de las resistencias, por lo tanto, para utilizar la ley de Ohm es preferible
asignar la dirección de las corrientes condicionada a la polaridad del voltaje asignado en el punto anterior; esto
es: Asigne la dirección de la corriente de tal forma que se considere a la resistencia como elemento pasivo,
3°.Aplique la ley de Ohm y obtenga las relaciones entre el voltaje y la corriente de las resistencias;
i1= 1 R v ; i2= 2 R v ; i3= 3 R v
4°. Aplique LCK a alguno de los nodos( por ejemplo al
nodo superior), esto es: I1 - i1 - i2 - i3 – I2 = 0, reemplazando las relaciones anteriores y simplificando el
valor del voltaje, quedará: v =
(
)
⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + 3 2 1 2 1 R 1 R 1 R 1 I -I i1 i2 i3 v I1 R1 v R2 v R3 v I2 v
De la expresión anterior, podremos inferir que la magnitud y dirección del voltaje depende de los valores de
las corrientes de las fuentes y de las magnitudes de las resistencias conectadas entre los nodos en mención.
Una vez determinado el voltaje, se podrá hallar las corrientes de las resistencias y posteriormente la potencia de
cada elemento en el circuito, de tal formaque se pueda comprobar la ley de la transformación de la energía
eléctrica.
De la expresión anterior, se puede inferir el comportamiento del voltaje para algunas situaciones en particular.
A) Para las direcciones de las corrientes de las fuentes indicadas, si I1 es mayor en magnitud que I2, el
voltaje v resulta ser positivo, indicando con esto, que la polaridad asignada arbitrariamente es la
adecuada. Para este caso, la fuente de I1 se comporta como elemento activo y la fuente de I2 como
elemento pasivo, por lo tanto, la suma de las potencias de las resistencias más la de la fuente de I2 debe
ser igual a la potencia de la fuente de I1. Sí para esta misma situación, se cambiara la dirección a la
corriente de la fuente de I2, la polaridad del voltaje resulta igual al anterior, pero la magnitud sería mayor,
indicando con esto que la fuente de I2 pasaría a ser elemento activo.
B) Para las direcciones de las corrientes de las fuentes indicadas, si I1 es menor en magnitud que I2, el
voltaje v resulta ser negativo, indicando con esto, que la polaridad asignada arbitrariamente es contraria a
la real. Para este caso, es preferible volver a dibujar el esquema eléctrico y asignarle al voltaje la polaridad correcta, desarrollando el circuito con el valor positivo del voltaje, esto significaría, que habría que volver a asignar las direcciones de las corrientes de las resistencias de tal manera que se les pueda considerar como elementos pasivos.
C) Para el circuito planteado se pueden intercambiar todos los elementos, porque ellos están en paralelo
al estar conectados a los mismos nodos y tienen aplicado la misma diferencia de potencial cualquiera que sea su posición.
D) Las dos fuentes de corriente se pueden agrupar en una sola fuente equivalente de valor I1 – I2 y las tres
resistencias en una sola equivalente correspondiente al inverso de la suma de los inversos de las tres resistencias.
2.7.4 ELEMENTOS CONECTADOS EN PARALELO.
Definición: Dos o mas elementos están en paralelo si tienen la misma diferencia de potencial aplicada a sus terminales, o, sí están conectados a los mismos nodos (el término de misma no es sinónimo de igual).
2.7.4.1 RESISTENCIAS EN PARALELO
Cuando dos o más resistencias están conectadas en paralelo, éstas pueden ser reemplazadas por una resistencia equivalente, conectada a los mismos nodos.
A continuación se presentan dos circuitos eléctricamente equivalentes, el primer circuito tiene conectadas n
resistencias en paralelo y el segundo circuito tiene una sola resistencia, la cual se le asigna el nombre de equivalente. CIRCUITO 2° CIRCUITO 1° i2 V2 Requiv i1 V1 R1 R2 R3 RN
Para cl circuito 1° : V1 = i1 * ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + + + N 3 2 1 R 1 ... R 1 R 1 R 1 1
, para el circuito 2° : V2 = i2 * Requiv
Por lo tanto, sí al aplicar los voltajes, V1 igual a V2, resulta que la corriente i1 es igual a i2 por ser circuitos
equivalentes, entonces, se cumplirá que:
Requiv = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + + + N 3 2 1 R 1 ... R 1 R 1 R 1 1
Luego un conjunto de resistencias R1, R2, R3,....RN, que estén conectadas en serie, se pueden reemplazar por
una resistencia equivalente igual el inverso de la suma de los inversos de las resistencias individuales, conectada a los nodos extremos del conjunto en paralelo.
Si los valores de los elementos dados son las conductancias, o sea: G1 = 1 R 1 ; G2 = 2 R 1 ; G3 = 3 R 1 ;……; GN = N R 1
La conductanciaequivalente para el circuito de conductancias en paralelo estará dada por:
Gequiv =
equiv
R 1
= G1 + G2 + G3 +……+ GN
Si el circuito contiene solamente dos resistencias o conductancias en paralelo las fórmulas se reducirán a:
Requiv = 2 1 2 1 R R R * R + ; Gequiv = G1 + G2 EJEMPLO N° 5:
Para el circuito representado en la figura siguiente, determine la corriente, el voltaje y la potencia asociada con cada elemento.
DESARROLLO: Se asigna la polaridad del voltaje y la
dirección de las corrientes al circuito presentado.
Aplicando la ley de Ohm determinamos las relaciones entre el voltaje y las corrientes para las resistencias:
i1 = 3 4x10 v ; i2 = 3 6x10 v ; i3 = 3 12x10 v i1 i2 i3 8ma 4 kΩ 6 kΩ R34 ma 12 kΩ v
Aplicando la ley de las corrientes de Kirchhoff al nodo superior determinamos la ecuación:
- 8 * 10- 3 – i1 – i2 + 4 * l0- 3 – i3 = 0
Reemplazando las relaciones anteriores y simplificando la ecuación, obtendremos el valor dcl voltaje entre los
nodos, esto es: v = - 8 v
Redibujando el circuito y asignando las polaridades y direcciones positivas, tendremos:
A partir dcl valor del voltaje determinamos las
corrientes con las direcciones nuevamente asignadas:
2 ma 1.33 ma 0.66 ma
8ma 4 kΩ 6 kΩ R34 ma 12 kΩ v=8 v i1 = 2 x 10- 3A ; i2 = 1.333 x 10- 3A ;
i2 = 0.666 x 10- 3 A
De las magnitudes, polaridad del voltaje, y dirección de las corrientes, se podrá determinar que la fuente de
Determinando la potencia asociada con cada elemento, podremos comprobar la ley de transformación de la
energía, encontrando que la potencia de la fuente de 8 rnA es igual a la suma de las potencias de todas las
resistencias más la potencia de la fuente de 4 mA, esto es:
POTENCIA PRODUCIDA POTENCIA CONSUMIDA P8 ma = 8 * 8 x 10- 3 = 64 x 10- 3 w P4 ma = 8 * 4 x 10- 3 = 32 x 10- 3 w
P4 kΩ = 8 * 2 x 10- 3 = 16 x 10- 3 w P6 kΩ = 8 * 1.33 x 10- 3 = 10.66 x 10- 3 w P12 kΩ = 8 * 0.66 x 10- 3 = 5.328 x 10- 3 w POTENCIA TOTAL
PRODUCIDA: 64 x 10- 3 w CONSUMIDA: 63.992x10POTENCIA TOTAL - 3 w
EJEMPLO N° 6, DONDE SE INCLUYE FUENTE DEPENDIENTE:
Dado el circuito de la figura siguiente, encuentre los voltajes Vo y Vs indicados.
Después de asignar la polaridad del voltaje y la dirección de la corriente desconocida, podremos expresar las siguientes ecuaciones aplicando la ley de Ohm: v = 6x10- 3 * I1 ; v = 3x10- 3 * Io + Vo - + 4 * Io Vs - 3 kΩ Io I1 2 kΩ 4 kΩ
v 10 ma De las ecuaciones anteriores podremos expresar las
corrientes en función del voltaje, estoes:
I1 = 0.166666 x 10- 3 * v ; Io = 0.33333 x 10- 3 * v Aplicando LCK al nodo superior, tendremos: -10 x 10- 3 - I1 – Io + 4Io = 0
Reemplazando los valores de las corrientes determinadas en el punto anterior, podremos despejar el valor del
voltaje v , resultando: v = 12 v
Del circuito, encontrarnos que: Vs = v = 12 vy aplicando el divisor de voltaje determinaremos V0, esto es:
Vo = ( Vs * 4K ) / (4 K +2 K) = 8 v.
EJEMPLO N° 7:
Para el Circuito mostrado en la figura siguiente, encuentre la potenciaabsorbida por cada elemento del circuito si
el voltaje del control de la fuente es a) 0.8 Ix b) 0.8 Iz.
NOTA: 10 ms = 0.01 s = 100 Ω ; 40 ms = 0.04 s = 25 Ω DESARROLLO:
a)Para Ifuente = 0.8 Ix. Después de asignar la polaridad del voltaje y la
dirección de la corriente I1, aplicamos la ley de Ohm para obtener las
ecuaciones siguientes: I1 = 10x10- 3 v ; Ix = 40x10- 3 v
Aplicando la LCK al nodo superior, tendremos: 8 – I1- Ix + 0.8 Ix = 0
Reemplazando los valores de las corrientes obtenidas.
anteriormente y despejando el valor de v, encontraremos:
v = 444.444 v
Posteriormente encontraremos las corrientes del circuito, quedando:
I1 = 4.444 A ; Ix = 17.776 A ; Ifuente = l4.222 A.
Por la polaridad del voltaje y la dirección de las corrientes de las fuentes podremos inferir que las dos
fuentes producen, o sea, que la suma de las potencias de las fuentes debe ser igual a la suma de las
potencias de las conductancias.
a) 0.8 Ix b) 0.8 Iz. IZ Ix 40 ms v I1 10 ms 8 A v
POTENCIA PRODUCIDA POTENCIA CONSUMIDA
P8 A = 8 * 444.44 = 3 555.52 w P10 ms = 4.444 * 444.44 = 1975.09 w P0.8 Ix = 14.22 * 444.44 = 6 320.3 w P40 ms = 17.776 * 444.44 = 7 900.36 w
POT. TOTAL PROD. : 9 875,84 w POT. TOTAL CONSUM. : 9 875,84 w
b) Para Ifuente = 0.8 Iz. Después de asignar la polaridad del voltaje y la dirección de la corriente I1, aplicamos la ley de Ohm para obtener las ecuaciones siguientes: I1 = 10x10- 3 v ; Ix = 40x10- 3 v
Aplicando la LCK al nodo superior, tendremos: 8 – I1- Ix + 0.8 IZ = 0, del nodo superior también podremos obtener la siguiente ecuación: Iz — Ix + 0.8 Iz = 0, o también Iz = 0.5555Ix.
Reemplazando los valores de las corrientes obtenidas anteriormente y despejando el valor de v,
encontraremos: v = 248.275 v.
Posteriormente encontraremos las corrientes del circuito, quedando:
I1 = 2.482 A ; Ix = 9.931 A ; Iz = 5.511 A; Ifuente = 4.4093 A.
Por la polaridad del voltaje y la dirección de las corrientes de las fuentes podremos inferir que las dos fuentes producen, o sea, que la suma de las potencias de las fuentes debe ser igual a la suma dc las potencias de las conductancias.
POTENCIA PRODUCIDA POTENCIA CONSUMIDA
P8 A = 8 * 248.275 = 1 986.2 w P10 ms = 2.482 * 248.275 = 616.218 w P0.8 Iz = 4.4093 * 248.275 = 1 094.71 w P40 ms = 9.931 * 248.275 = 2 465.61 w
POT. TOTAL PROD. : 3 081.83 w POT. TOTAL CONSUM. : 3 081.83 w
EJEMPLO N° 8:
Utilice las técnicas de combinaciones de fuentes y de resistencias comoayuda para determinar Vx e Ix en el
circuito de la figura siguiente:
20 Ω 5 Ω 6 A Ix 6 Ω + Vx 1 A 4 A 14 Ω 10 Ω 15 Ω DESARROLLO:
Observando el esquema eléctrico, las resistencias de 10 Ω y 15 Ω están en paralelo, por lo tanto, se pueden
reemplazar por su equivalente de valor: Requiv =
15 10
15 * 10
+ = 6 Ω. Esta resistencia equivalente queda en serie
con la resistencia de 14Ω, proporcionando otra resistencia equivalente de20 Ω.
Igualmente a la parte derecha del circuito las resistencias de 20 Ω y de 5 Ω están en paralelo, por tanto, se
pueden reemplazar por una resistencia equivalente de valor: Requiv = 5 20 5 * 20
+ = 4Ω. Esta última resistencia equivalente queda en serie con la resistencia de 6 Ω,
proporcionando otra resistencia equivalente de 10 Ω.
El circuito original se puede reemplazar por un circuito equivalente al reemplazar las resistencias por sus
equivalentes, principalmente porque la información que interesa no se pierde en el circuito equivalente El circuito equivalente quedará:
Del circuito equivalente se observa que contiene un solo par
de nodos y que una de las variables solicitadas Vx es el
voltaje entre los nodos, luego el circuito se puede simplificar mas utilizando la combinación de fuentes sin que las variables solicitadas desaparezcan, esto es:
Ix
10Ω 6 A +
Vx 1 A 4 A 20 Ω
Ix 10Ω +
Vx 9 A 20Ω
De la figura se puede inferir que el valor de Vx se puede determinar
considerando la resistencia equivalente de las dos resistencias en
paralelo, esto es: Vx = 9 *
10 20 10 * 20 + = 60 v.
Posteriormente, podremos hallar el valor de la corriente Ix, teniendo en cuenta que el sentido de ella es negativo, por lo tanto:
Ix = - 1060 = - 6 A 2.7.5 DIVISOR DE CORRIENTE
Una aplicación de resistencias en paralelo lo constituye el divisor de corriente, la cual se presenta cuando una fuente de corriente independiente se conecta a dos resistencias en paralelo, en donde la corriente de la fuente se distribuye inversamente proporcional a la magnitud de las resistencias.
El modelo también se utiliza para determinar la corriente de una de las resistencias en paralelo, cuando se conoce la corriente de entrada a las resistencias en paralelo y los valores de las resistencias.
El circuito a presentar es una fuente independiente de corriente en paralelo con dos resistencias , como principio la corriente se divide proporcionalmente a las conductancias o inversamente proporcional a las resistencias.
Para el circuito anterior se presentan las ecuaciones siguientes: Ix Iz + Vx I1 R1 R2 _ Vx = I1 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + 2 1 2 R R R * R ; Ix = 1 x R V ; Iz = 2 x R V
Efectuando los respectivos reemplazos, podremos expresar las corrientes de las resistencias en función de la corriente total o de la fuente y de las resistencias mismas, esto es:
Ix = I1 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + 2 1 2 R R R ; Iz = I1 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + 2 1 1 R R R
Del resultado se puede determinar que la corriente a través de la resistencia R1, es directamente proporcional
a la resistencia R2,e inversamente proporcional a la suma de las dos resistencias por la corriente total de
entrada I1. De igual forma la corriente a través de la resistencia R2, es directamente proporcional a la
resistencia R1 e inversamente proporcional a la suma de las dos resistencias por la corriente total de entrada
I1.
Así mismo se puede expresar la corriente de la fuente o corriente total de entrada en función de las corrientes de las resistencias, esto es: Ix R1R+2R2 ; I1= Iz R1R+1R2
EJEMPLO N° 9: Para el circuito de la figura siguiente, determine las corrientes I1, I2, I3, I4 indicadas.
v
v
v
v
v
I 4 I3 I2 I1 10 Ω Is 0.2 Vx 25 Ω Ix + Vx - 100 Ω Iz 2.5 ADESARROLLO: Se observa que el circuito tiene solamente un par de nodos, por lo tanto, se asigna la polaridad del voltaje v y la dirección de las corrientes IX, IS, IZ.
Aplicando LCK al nodo superior, tendremos: IX – 0.2 VX + IS + 2.5 + IZ = 0
Aplicando la ley de Ohm, encontraremos las ecuaciones siguientes:
Reemplazando estos valores en la ecuación de nodo anterior y despejando el voltaje v
,
resultará para elvoltaje entre los nodos el valor de 50 v, o sea que, VX = v = 50 v
Con el valor del voltaje encontrado, se puede determinar el valor de las corrientes de las resistencias: IX = 2 A ; IS = 5 A ; IZ = 0.5 A
De la figura se puede determinar que, I1 = - IX = -2 A y que, I4 = - IZ = - 0.5 A.
Aplicando LCK a los nodos secundarios del centro del circuito, podremos encontrar las corrientes I2, e I3,
esto es :
1° Como, IX – 0.2 VX – I3 = 0 , entonces, I3 = - 8 A 2° Como, 0.2 VX + I1 – IS – I2 = 0 , entonces, I2 = 5 A.
EJEMPLO N° 10:
Un circuito equivalente para un transistor de efecto de campo (FET) amplificador de fuente común o transistor de unión bipolar (BJT) amplificador de emisor común puede modelarse mediante el circuito que se muestra en la figura abajo.
Determine una expresión para la ganancia del amplificador, la cual se puede encontrar mediante la relación del voltaje de salida al voltaje de entrada.
DESARROLLO: Por el divisor de voltaje
se puede expresar que: Vg(t) =
2 1 2 ) t ( 1 R R R * V
+ .Para el circuito de la derecha las tres resistencias están en paralelo,
luego, Req = 5 4 3 R 1 R1 R1 1 +
+ , o sea que, Vo(t) = - gm Vg(t) Req
I1(t) R1 + V1(t) R2 Vg(t) - + gm x Vg(t) R3 R4 R5 Vo(t) -
Finalmente la ganancia se puede expresar de la siguiente forma:
Gan = ) t ( 1 ) t ( o V V = 2 1 2 eq m R R R R g + − .
Para los valores siguientes: R1= 100Ω, R2 = 1 kΩ, R3 = 50 kΩ, R4 = R5 = 10 kΩ, gm = 0.04 s,que son valores
razonables, la ganancia queda determinada por: Gan = - 165.29
EJEMPLO N° 11:
Para el circuito de la figura siguiente determine la corriente Io y las corrientes en cada una de las ramas.
DESARROLLO: De la figura se puede observar que la resistencia de
6 kΩ está cortocircuitada porque sus terminales están conectados al
mismo nodo, por tanto, Io = 0 A y la corriente Id = - Ic.
Las otras tres resistencia están en paralelo y cada una de las corrientes se puede determinar aplicando la fórmula del divisor de corriente extendida para tres resistencias en paralelo.
Para obtener Ia, se agrupan las resistencias de 6 kΩ y 12 kΩ en
paralelo, para resultar una de 4 kΩ, por ello, Ia =
Ω + Ω Ω k 4 k 4 k 4 m 12 A *
= 6 mA. Para obtener Ic, se agrupan las
resistencias de 4 kΩ y 12 kΩ en paralelo, para resultar una de 3 kΩ, por ello,Ic =
Ω + Ω Ω k 3 k 6 k 3 m 12 A * = 4 mA. Ia Ic Ig 4 kΩ 6 kΩ 12 ma Id 12 kΩ Is 6 kΩ Io
Para obtener Ig, se agrupan las resistencias de 4 kΩ y 6 kΩ en paralelo, para resultar una de 2.4 kΩ, por ello, Ig = Ω + Ω Ω k 2.4 k 12 k 2.4 m 12 A *
= 2 mA. Si aplicamos LCK a los nodos secundarios del centro, podremos determinar la
corrientes que faltan, esto es:1° nodo, Ic + Id – Io = 0, entonces, Id = - Ic = - 4 mA. 2° nodo, Ia – Id - Is = 0, por tanto, Is = 6 - (-4) = 10 mA
EJEMPLO N° 12: Para el circuito de la figura siguiente determine I1, I2, V3 y Requiv.
DESARROLLO: Las resistencias de 40Ω y 20 Ω están en
serie, luego el primer equivalente es: R1 = 60 Ω,
R1 está en paralelo con la resistencia de 240 Ω, por
tanto, un segundo equivalente es: R2 = 48 Ω.
R2 está en serie con la resistencia de 2 Ω, o sea
que, un tercer equivalente es Req = 50 Ω. Req está
en paralelo con la resistencia de 50 Ω, luego, un
cuarto equivalente es: R3 = 25 Ω. Finalmente,
como R3 está en paralelo con la resistencia de 125 Ω, podremos determinar la corriente I1 aplicando la
fórmuladel divisor de corriente, esto es: I1=
Ω Ω Ω +125 25 125 m 120 A * = 100 mA. I1 2Ω I2 40 Ω + 120 mA 125 Ω 50 Ω 240 Ω V3 20 Ω - Req
Ahora, la corriente I1 está entrando a dos resistencias en paralelo, 50Ω y Req, por tanto, la corriente I2 se
puede determinar mediante la fórmula del divisor de corriente siguiente: I2=
Ω Ω Ω +50 50 50 m 100 A * = 50 mA.
En definitiva, la corriente I2 está entrando a dos resistencias en paralelo, 240Ω y R1, por tanto, la corriente I2
se puede determinar mediante la fórmula del divisor de corriente siguiente: I20Ω =
Ω Ω Ω +60 240 240 m 50 A * = 40 mA, de
esta forma el voltaje sobre la resistencia de 20Ω, quedará expresado por : V3 = 40 mA * 20 Ω = 0.8 v
2.8 TRANSFORMACIÓN DE FUENTES
Como se conoció anteriormente, dos circuitos son equivalentes si se cumplen condiciones de igual voltaje e igual corriente, para el caso de las fuentes reales, encontraremos las condiciones que harían a la fuente real de voltaje equivalente con la fuente real de corriente, por lo tanto, en un circuito eléctrico ante la presencia de una fuente real de corriente puede ser reemplazada por una fuente real de voltaje o viceversa.
A continuación se presentan dos circuitos, a los cuales una batería está conectada a las fuentes reales de voltaje y de corriente.
Para el circuito donde está la fuente de voltaje se cumple que, V1 = V + I1 * Riv.
Para el circuito donde está la fuente de corriente se cumple que,V2 = I * Ric + I2 * Ric.
Luego los circuitos son equivalentes si se cumple que: V1
sea igual a V2 y que, I1 sea igual a I2, por lo tanto, para que
la condición se cumpla se necesita que, Riv = Ric = Ri y
que, V = I * Ri
Por lo anterior, las fuentes reales son equivalentes si sus resistencias internas son iguales y sus magnitudes se
I+I2 V2 I B A B A I2 I1 V V1 Riv Ric
relacionan por medio de la fórmula V = I * Ri
Nota: Al efectuar el reemplazo, se debe tener en cuenta que el terminal positivo de la fuente de voltaje
coincide con la dirección de la corriente en la fuente de corriente como si estuviera produciendo energía.
2.9 REDES DE TRES TERMINALES- TRANSFORMACIONES Y-∆
Dentro del proceso de reducción de resistencias equivalentes, encontramos, algunas veces, resistencias que no están en serie ni en paralelo, por lo tanto, no se les pude aplicar el proceso de reducción visto anteriormente.
A esta clase de circuitos se les denomina redes de tres terminales y se clasifican en dos tipos: 1°. Conexión
en ESTRELLA o Y, 2°. Conexión en TRIÁNGULO o DELTA -∆
Con base en la teoría de los circuitos equivalentes, se pueden hallar las relaciones que hacen a los circuitos equivalentes, de tal forma que un circuito pueda ser remplazado por el otro, estas son:
Para el esquema eléctrico presentado, la conexión externa tiene tres nodos A, B, C, la cual recibe el nombre de
conexión triángulo o delta ∆y la conexión interna, que
también tiene tres nodos a, b, c, recibe el nombre de conexión estrella o Y.
RELACIÓN ESTRELLA A TRIÁNGULO R1 = B C A C B B A R R R R R R R + + R2 = C C A C B B A R R R R R R R + + ; R3 = A C A C B B A R R R R R R R + + c a b RB RA RC R3 R2 R1 A B C
RELACIÓN TRIÁNGULO A ESTRELLA RA = 3 2 1 2 1 R R R R * R + + ; RB = 1 2 3 3 2 R R R R * R + + ; RC = 1 2 3 3 1 R R R R * R + +
Las relaciones anteriores están presentadas de acuerdo con las asignaciones efectuadas en la figura anterior. Las primeras fórmulas se utilizan para pasar de la conexión estrella a la conexión triángulo con la posición indicada en la figura, y las segundas fórmulas se utilizan para pasar de la conexión triángulo a la conexión estrella.
EJEMPLO N° 13, DE REDUCCIÓN: Para el circuito de la figura siguiente determine la resistencia
equivalente indicada.
De la figura se puede observar que ninguna resistencia está en serie o en paralelo y que según el conjunto de tres resistencias que se considere pueden estar en triángulo o en estrella.
Las resistencias R2, R3 y R4 de 6k, 18k y 12k, respectivamente, y que
están conectadas a los nodos A, B y C tienen una conexión en triángulo. Para simplificar el circuito, con miras a determinar la resistencia
equivalente, podremos reemplazar la conexión triángulo por su respectiva conexión en estrella.
Las resistencias para el circuito de reemplazo se determinan utilizando las fórmulas anteriores, manteniendo el orden con la nomenclatura asignada, los nuevos valores de las resistencias serán: Requiv 20 k B R 6 k R2 R4 3 18 k A 12 k C R5 12 k R6 12k R1 RA = 3 2 1 2 1 R R R R * R + + = 2 kΩ ; RB = 1 2 3 3 2 R R R R * R + + = 3 kΩ ; RC = 1 2 3 3 1 R R R R * R + + = 6 kΩ
La conexión adecuada para cada resistencia equivalente obtenida y el circuito equivalente será:
En el circuito equivalente se encuentran varios conjuntos de
resistencias en serie y en paralelo. Los conjuntos R1 y RB, RC
y R6, RA y R5, están en serie, los equivalentes de los dos
últimos conjuntos mencionados anteriormente, están en paralelo y su equivalente quedará en serie con el primer conjunto. B RB 3 k A C RA = 2 k RC = 6 k R5 = 12 k R6 = 12 k Requiv 20 k R1
Desarrollando todos los equivalentes podremos encontrar la resistencia equivalente que se está solicitando en el problema. Requiv= 20 + 3 + ) 2 12 ( ) 12 6 ( ) 2 12 ( * ) 12 6 ( + + + + + = 30.875 kΩ
2.10 METODOS DE SOLUCIÓN DE CIRCUITOS SIMPLES, UTILIZAND0 EQUIVALENCIAS POR COMBINACION DE FUENTES, DE RESISTENCIAS Y TRANSFORMACIÓN DE FUENTES Por medio de todos estos procesos de reducción vistos anteriormente, se puede simplificar un determinado circuito. Si se utiliza combinación de fuentes y de resistencias es indispensable que los elementos estén en serie o en paralelo, si se utiliza transformación de fuentes es indispensable que éstas sean fuentes reales, luego el proceso de reducción no se puede aplicar si no se cumple con las condiciones anteriores. Para los circuitos que no se puedan simplificar por el proceso de reducción indicado, se desarrollan técnicas de análisis, las cuales serán analizadas mas adelante.
Otra de las condiciones requeridas para utilizar el proceso de reducción, es que las variables solicitadas a
determinar no desaparezcan en el proceso de reducción, a continuación se presentará algunos ejemplos en
donde se utiliza el proceso de reducción.
EJEMPLO N° 14:
Determine Vx en el circuito de la figura siguiente: En el esquema eléctrico presentado, a la derecha de los
puntos A y C, se encuentra una fuente real de corriente, la cual se puede transformar en una fuente real de
voltaje, ya que la información solicitada Vx está a la
izquierda del circuito y no se desaparece con la transformación.
El circuito equivalente quedará: A + 12 v 6 A Vx 10 Ω 9 A 20Ω - C Nuevo nodo
En el nuevo esquema eléctrico, las fuentes ideales de voltaje quedan en serie, las cuales se pueden agrupar en una sola fuente ideal de 168 v, con la polaridad positiva hacia la
izquierda, quedando en serie con la resistencia de 20Ω.
Esta última fuente equivalente ideal se puede considerar como una fuente real de voltaje por estar en serie con la resistencia , la cual se le puede reemplazar por una fuente de corriente como su equivalente, en donde el nodo A se pierde. El circuito equivalente es el siguiente:
+ 12 v A 180 v 6 A Vx 10 Ω 20Ω
- C
Las fuentes independientes de corriente quedan en paralelo, las cuales se pueden agrupar en una sola fuente sin que desaparezca la información solicitada, esto es:
+ 6 A Vx 10 Ω 8.4 A 2 0Ω - C
Por divisor de corriente Ix = 14420+*1020= 9.6 A y finalmente, + Ix
14.4 A Vx 10 Ω 20Ω
- Vx = 10 * 9.6 = 96v
EJEMPLO N° 15:
Analice el circuito conformado por dos fuentes reales de voltaje (Baterías) conectadas en paralelo y una carga resistiva conectada a los terminales de las baterías.
Primero se analiza el comportamiento interno del grupo de baterías en paralelo sin carga.
La aplicación de las leyes de Ohm y Kirchhoff arroja los siguientes resultados: Bat. A 1 Ω 26 v Bat. B 2 Ω 24 v 10 Ω
