La línea recta como distancia más corta entre dos puntos es una herencia de Euclides (300 a.C., aproximadamente), cuando la Tierra se suponía plana. Posiblemente es el matemático más enigmático que ha existido, hasta el punto que no se sabe nada sobre su vida: cuándo, dónde nació y murió. En cambio su tratado sobre geometría titulado “Elementos” es, probablemente, uno de los libros que aún hoy conserva toda su vigencia.
En los “Elementos”, Euclides reunió en una sola obra todos los conocimientos sobre geometría acumulados desde la época de Thales de Mileto (640–546 a. C.) hasta dos siglos y medio después.
Partiendo de una serie de axiomas y postulados, que son admirables por su elegancia y brevedad, expuso teorema a teorema, y de una forma tan lógica, que veintitrés siglos después ha sido imposible mejorar.
Hasta el siglo XIX nadie se atrevió a poner en duda los axiomas y postulados de Euclides. En este siglo surgen las geometrías denominadas no euclídeas debido a que niegan el quinto postulado de Euclides que dice así:
“Por un punto P exterior a una recta r se puede trazar una y sólo una recta paralela a la recta r”.
La forma de negar esta proposición puede ser de dos formas: o bien no se puede trazar ninguna paralela a r o se pueden trazar infinitas.
El primero en utilizar estas ideas fue el matemático alemán Gauss, a quién de debe la denominación de geometría no euclídea.
En este tipo de geometría se basó posteriormente Albert Einstein para enunciar la teoría de la relatividad.
Copérnico (1473–1543) fue un astrónomo polaco, conocido por su teoría heliocéntrica, según la cual el Sol se encuentra inmóvil en el centro del universo, y la Tierra y los demás planetas giran alrededor de él describiendo circunferencias. Hoy en día sabemos que las órbitas de los planetas no son circulares, como creía Copérnico, sino elípticas, como mostró Kepler. Asimismo, el Sol, como los demás astros del firmamento, también se mueve.
1.- Ecuación vectorial de la recta.
Consideramos un punto A a a( ,1 2) y una dirección v v v( ,1 2), y queremos calcular la ecuación de una recta r que pasa por el punto A y tiene la dirección del vector v.
Se observa que sólo existe una recta que cumple estas condiciones.
Consideramos un punto cualquiera de la recta X x y( , ), y se observa que se verifica:
1 2 ( , ) OA a a a ( , ) OX x x y OAAX OX aAX x · x a t v
donde t de tal forma que:
·
AX t v Sustituyendo estos vectores por sus coordenadas obtenemos que:
1 2 1 2 ( , ) ( , ) · ( , ) r x y a a t v v que se llama ecuación vectorial de la recta.
Al punto A se le denomina punto base de la recta y al vector v se le llama vector director de la recta.
Observación:
El vector director de una recta es uno de los infinitos vectores libres que tiene la dirección de la recta; por eso una recta tienen infinitos vectores directores, pero todos son proporcionales (paralelos) entre sí.
Observación:
Para obtener más puntos de una recta tenemos que dar valores al parámetro t. Observación:
Un parámetro es un símbolo matemático que puede tomar infinitos valores reales en una ecuación. Se suele representar por letras griegas: , , , , ... Nosotros aquí vamos a utilizar letras en el alfabeto occidental: t, h, k, ...
A 1 a 2 a v v r X Y X A 1 a 2 a v r X Y O x a
Ejemplo 1:
Halla la ecuación vectorial de la recta r que pasa por el punto A( 2, 4) y lleva la dirección del vector u3i j. ( 2, 4) A , u(3, 1) ( , ) ( 2, 4) · (3, 1) ( , ) ( 2, 4) (3 , ) ( , ) ( 2 3 , 4 ) r x y t r x y t t r x y t t Ejemplo 2:
¿Puede una misma recta estar determinada por dos ecuaciones vectoriales distintas?.
Si, ya que existen infinitos puntos que pueden ser considerados como puntos base de la recta. Por ejemplo, en el caso anterior teníamos la ecuación de la recta:
( , ) ( 2, 4) · (3, 1) r x y t
para t 1 tenemos el punto de la recta: ( , )x y ( 2, 4) 1 · (3, 1) ( 2, 4)(3, 1) (1,3) y podemos escribir la ecuación de la recta de la siguiente forma:
( , ) (1,3) · (3, 1)
r x y t
Ejercicio: 1
2.- Ecuación paramétrica de la recta.
Partiendo de la ecuación vectorial de la recta obtenemos que:
1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2
( , )x y ( ,a a )t· ( ,v v )( ,a a )( · , ·t v t v )(a t v a· , t v· )
igualando término a término:
1 1 2 2 · · x a t v r y a t v
que se llama ecuación paramétrica de la recta. Observación:
Hay que fijarse en qué posición se encuentran las coordenadas del punto base de la recta y las del vector director de la recta.
Para obtener puntos de la recta tenemos que dar valores al parámetro t. Ejemplo 1:
Hallar la ecuación vectorial y la ecuación paramétrica de la recta r que pasa por A(4, 0) y tiene la dirección u (1,3). ( , ) (4, 0) · (1,3) r ( , )x (4 ,3 ) r x y t y t t 4 ·1 0 · 3 4 3 x t r y t x t r y t Ejemplo 2:
Las rectas r y s tienen de ecuaciones paramétricas:
2 5 1 9 , 4 3 8 6 x t x k r s y t y k
Indicar un punto y un vector director para cada una de ellas. Recta r: R(2, 4) , vr (5, 3)
Ejemplo 3:
La ecuación paramétrica de la recta r es: 7 9 2 5 x t r y t
Hallar tres puntos por los que pasa.
1 (7, 2 7 0 2 ) x R t y 2 (16 7 9 16 ,3 1 2 5 3 ) x t R y 3 7 9 2 1 2 5 7 R ( 2, 7) x t y Ejercicio: 2
3.- Ecuación continua de la recta.
Partiendo de la ecuación paramétrica de la recta y despejando el parámetro t obtenemos: 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 · · · · x a t x a t v x a t v v y a t y a t v y a t v v 1 2 1 2 x a y a r v v
que se llama ecuación continua de la recta. Observación:
Al escribir la ecuación continua de una recta hay que fijarse qué posición ocupan las coordenadas del punto base y las del vector director.
En la ecuación continua puede aparecer el número cero en el denominador cuando alguna de las componentes del vector director es cero. La ecuación continua es una notación (una forma de escribir) y por lo tanto no hay que hacer la división.
Ambos denominadores no pueden ser cero, ya que entonces nos diría que el vector director de la recta es (0, 0), lo cual es imposible.
Ejemplo 1:
Hallar las ecuaciones vectorial, paramétrica y en forma continua de la recta que pasa por ( 2,5) A y lleva la dirección u (4,1). ( , )x ( 2,5) t· (4,1) r ( , )x y ( 2 4 ,5 t) r y t 2 4 2 5 5 4 1 x t x y r r y t Ejemplo 2:
Hallar la ecuación en forma continua de la recta que pasa por el punto A( 3, 2) y lleva la dirección u (1, 4).
3 2
1 4
x y
Ejemplo 3:
Indicar un punto y el vector director de las siguientes rectas dadas en forma continua:
a) 3 2 3 2 x y r (3, 2) , (3, 2) R v b) ' 1 5 2 x y r ' ( 1, 0) , ' ( 5, 2) R v c) '' 6 1 2 0 x y r '' ( 6, 1) , '' (2, 0) R v Ejercicio: 3
4.- Ecuación general de la recta.
Partiendo de la ecuación continua de la recta y multiplicando en cruz obtenemos que:
1 2 2 1 1 2 2 2 1 1 1 2 1 2 ( ) ( ) x a y a v x a v y a v x v a v y v a v v 2 2 1 1 1 2 0 2 1 2 1 1 2 0 v x v a v y v a v x v y v a v a si llamamos Av2 , B v1 , C v a2 1v a1 2, tenemos: 0 r A xB y C
que se llama ecuación general o implícita de la recta. Observación:
En la ecuación general de la recta podemos encontrar las coordenadas del vector director de dicha recta, ya que:
2
Av , B v1; como v(v v1, 2) v ( B A, )
Para calcular puntos de una recta dada en forma general basta con asignar un valor a la incógnita x y resolver la ecuación despejando la incógnita y, o viceversa.
Ejemplo 1:
Hallar la ecuación vectorial, ecuación paramétrica, ecuación continua y ecuación en forma general de la recta que pasa por el punto ( 3, 6)A y tiene vector director u(3, 1) .
( , ) ( 3, 6) · (3, 1) r ( , )x y ( 3 3 , 6 ) r x y t t t 3 3 3 6 6 3 1 x t x y r r y t (x 3) 3(y 6) x 3 3y 18 0 x 3 3y 18 r x 3y 15 0
Observación: MUY IMPORTANTE
Observa como en este último ejemplo tenemos que el vector director del principio es (3, 1)
u , mientras que si miramos la ecuación general tenemos que el vector director nos sale
( , ) ( 3,1)
deduce que los vectores directores (son vectores de dirección) se pueden simplificar ya que nos dan la misma dirección de la recta.
Es lo mismo que el vector director de una recta sea v ( 9,3) que sea v ( 3,1). Es conveniente simplificar los vectores de dirección para no tener que trabajar con números grandes. Ejemplo 2:
Hallar la ecuación en forma general de la recta que pasa por el punto A(2,8) y tiene vector director u ( 1,9).
Partimos de la ecuación continua:
2 8 9 ( 2) ( 8) 9 18 8 9 26 0 1 9 x y x y x y r x y Ejemplo 3:
Dada la ecuación general de la recta r 2x3y 8 0, encontrar un punto de la recta y un vector director.
Para calcular un punto:
0 2 3 · 0 8 0 2 8 4 ( 4, 0)
y x x x R
Para obtener el vector director de una recta dada en forma general basta con calcular dos puntos de dicha recta y unirlos mediante un vector:
8 8
0 2 · 0 3 8 0 3 8 ' 0,
3 3
x y y y R
El vector director de la recta será: ' ' 0,8 ( 4, 0) 4,8
3 3
RR R R
Podemos simplificar el vector director, quedando:
(12,8) ( ,3 2)
v v
Ejercicio: 4
5.- Ecuación explícita de la recta.
Partiendo de la ecuación continua de la recta despejamos la incógnita y:
1 2 2 1 1 2 2 2 1 1 1 2 1 2 ( ) ( ) x a y a v x a v y a v x v a v y v a v v 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 v x v a v a v v a v a v x v a v a v y y y x v v v si llamamos 2 1 v m v , 2 1 1 2 1 v a v a n v , tenemos: r y m xn
que se llama ecuación explícita de la recta. Donde:
m se llama pendiente o inclinación de la recta: 2 1 v m
v
.
n se llama ordenada en el origen, es la ordenada (2ª coordenada) del punto de corte de la recta con el eje vertical (OY): (0, )n .
Observación:
Si la pendiente de una recta es positiva
m0
entonces la recta es creciente. Si la pendiente de una recta es negativa
m0
entonces la recta es decreciente. Si la pendiente de una recta es igual a cero
m0
entonces la recta es constante, esdecir, es paralela al eje OX. Observación:
La pendiente de una recta está relacionada con una razón trigonométrica.
El vector director de una recta es: v( ,v v1 2). Si nos fijamos en el dibujo tenemos:
2 1 2 1 v tg v v m v m tg
donde es el ángulo que forma la recta con el eje horizontal OX.
Observación:
Como la pendiente de una recta es igual a la 2ª coordenada del vector director entre la 1ª coordenada del vector director, entonces podemos deducir lo siguiente:
3 (2, 3)
2
v m
es decir, la pendiente de una recta se calcula dividiendo lo que se desplaza verticalmente entre lo que se desplaza horizontalmente desde un punto a otro punto de la recta.
Ejemplo 1:
Hallar la ecuación vectorial, la ecuación paramétrica, en forma continua, implícita y explícita de la recta que pasa por el punto (2, 7)A y tiene vector director u(3, 4) .
( , ) (2, 7) · (3, 4) r ( , )x y (2 3 , 7 4 ) r x y t t t 2 3 2 7 7 4 3 4 x t x y r r y t 4 ( 2) 3( 7) 4 8 3 21 4 8 21 3 4 29 4 3 29 0 4 29 3 3 3 x y x y x r x y y x r y y x X Y v 1 v 2 v O O X Y 2 –3
Ejemplo 2:
Hallar la ecuación en forma explícita de la recta que pasa por el punto A(8,9) y tiene vector director u (3, 4). 8 9 4 ( 8) 3( 9) 4 32 3 27 4 32 27 3 3 4 x y x y x y x y 3 5 3 4 4 3 5 r x y y x Ejercicios: 5, 6
6.- Ecuación de la recta en forma punto–pendiente.
Partiendo de la ecuación continua de la recta obtenemos la siguiente expresión:
1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 1 · · ( ) x a y a x a v v y a x a y a v v v v 2 ·( 1) r y a m x a
que se llama ecuación de la recta en forma punto–pendiente. Observación:
En esta ecuación de la recta hay que fijarse que posición ocupa la pendiente de la recta y donde están situadas las coordenadas del punto base A.
Ejemplo 1:
Hallar la ecuación en la forma punto–pendiente de la recta que pasa por el punto A(2, 7) y tiene pendiente m 3.
7 3 ·( 2) r y x Ejemplo 2:
Hallar la ecuación en la forma punto–pendiente de la recta que pasa por el origen de coordenadas y tiene pendiente m 7.
Punto O(0, 0)
0 7 ·( 0) 7
r y x y x , ésta sería la forma explícita. Ejemplo 3:
Dado el triángulo de vértices A(0,3), B(4,5) y C(5,3), hallar las ecuaciones de las rectas en forma punto–pendiente sobre las que se encuentran sus lados.
A
B C
Recta que pasa por los puntos A y B: tiene por vector director:
(4,5) (0,3) (4, 2)
AB B A
simplificando el vector director: v(2,1) Para obtener la ecuación en forma punto–pendiente partimos de la ecuación continua:
0 3 2 1 1 3 ( 0) 2 r x x y y
Recta que pasa por los puntos B y C: tiene por vector director:
(5,3) (4,5) (1, 2) ' (1, 2)
BC C B v
Para obtener la ecuación en forma punto–pendiente partimos de la ecuación continua: ' 5 2 ( 4 4 ) 5 1 2 r y x x y
Recta que pasa por los puntos A y C: tiene por vector director:
(5,3) (0,3) (5, 0)
AC C A
simplificando el vector director: v''(1, 0)
Para obtener la ecuación en forma punto–pendiente partimos de la ecuación continua:
0 3 3 1 0 r'' y 3 0·( 0) x y x y
, que sería en forma explícita.
Observación:
En ésta última recta nos damos cuenta que tiene de pendiente cero
m0
, y su representación gráfica es paralela al eje de abscisas (OX), es decir, una recta constante.Vemos que si el vector director es v(1, 0) entonces la pendiente es: 0 0 1
m .
Ahora nos surge la duda: ¿qué sucede si el vector director fuese v(0,1)?. Entonces la pendiente de la recta sería 1
0
m , es decir, no existe pendiente. Bueno, en realidad, si tiene pendiente y se acercaría a .
Otra pregunta que nos surgiría: ¿cómo sería la gráfica de esta recta de vector director
(0,1)
v ?:
Si la recta de vector director v(1, 0) es paralela al eje OX
entonces la recta de vector director v(0,1) será paralela al eje OY, es decir, será una recta vertical.
Ejercicios: 7, 8
7.- Ecuación de la recta que pasa por dos puntos.
Recta que pasa por dos puntos.
Para obtener la ecuación de una recta necesitamos conocer un punto y el vector director, pero puede ocurrir que en un ejercicio nos den como datos dos puntos (como ha sucedido en el ejemplo anterior).
Para obtener el vector director de la recta calculamos el vector que pasa por los dos puntos: 1 2
( , )
A a a , B b b( ,1 2) AB B A ( ,b b1 2)( ,a a1 2)(b1a b1, 2 a2) La ecuación de la recta en forma continua sería:
1 2 1 1 2 2 x a y a r b a b a
Ejemplo 1:
Hallar la ecuación de la recta en forma general que pasa por A(3, 4) y B(8,9). Calculamos el vector director:
(8,9) (3, 4) (5,13)
AB B A
Escribimos la recta en forma continua y la desarrollamos:
3 4 13( 3) 5( 4) 13 39 5 20 13 5 5 5 13 9 0 x y x y x y r x y Ejercicio: 9
Ecuación segmentaria de la recta.
Para obtener la ecuación segmentaria de una recta necesitamos conocer los puntos de corte de la recta con los ejes coordenados. Puede ocurrir que una recta no corte a los dos ejes, por lo tanto no tendrá ecuación segmentaria. Tampoco tendrá ecuación segmentaria aquella recta que pase por el origen de coordenadas.
Consideramos una recta r que corta al eje OX en el punto P p( , 0) y corta al eje OY en el punto Q(0, )q , y quiero calcular la ecuación de dicha recta:
Vector director de la recta:
(0, ) ( , 0) ( , )
PQ Q P q p p q
La ecuación en forma continua sería: 0 x p y x p y p q p p q 1 1 x y x y p q p q 1 x y r p q que se llama ecuación segmentaria de la recta. Observación:
Este tipo de ecuación es muy poco utilizado, por lo tanto solamente lo escribiremos cuando el ejercicio nos lo exija.
Ejemplo 2:
Hallar la ecuación segmentaria de la recta que corta a los ejes coordenados en los puntos
(6, 0) A y B(0, 4). 1 6 4 x y r Ejercicios: 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27 X Y P Q r O
8.- Ecuación de la circunferencia.
Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro.
Consideramos el punto central: C.
Y sean P todos los puntos de la circunferencia. Entonces se verifica que:
( , )
d C P CP r
donde r es el radio de la circunferencia.
Consideramos el sistema de referencia canónico
O ; ,i j
en el cual el centro tiene de coordenadas C a b( , ) y un punto cualquiera de la circunferencia es P x y( , ), siendo el radio r 0. Sustituyendo en la expresión anterior tenemos que:CP r ( , ) ( , ) ( , ) CP P C x y a b xa yb 2 2 (xa) (yb) r 2 2 2 (xa) (yb) r que es la ecuación de la circunferencia en función del centro y el radio. Observación:
En la ecuación de la circunferencia hay que fijarse que posición ocupan las coordenadas del centro y el radio de la circunferencia.
Ejemplo 1:
Indicar el centro y el radio de las siguientes circunferencias:
a) 2 2 (x3) (y7) 5 Centro C(3, 7) , radio r2 5 r 5 b) 2 2 1 ( 1) 4 2 x y Centro 1,1 2 C , radio 2 4 2 r r c) 2 2 ( 12) 16 x y Centro C(0,12) , radio 2 16 r 4 r Ejemplo 2:
Hallar la ecuación de la circunferencia de centro el punto C(2, 1) y radio 5.
2 2 2 2 2
(x2) (y1) 5 (x2) (y1) 25
Ejercicio: 28
Ecuación general de la circunferencia
Para obtener la ecuación general de la circunferencia tenemos que desarrollar la expresión anterior: 2 2 2 2 2 2 2 2 (xa) (yb) r x 2a xa y 2b yb r 2 2 2 2 2 2 2 0 x y a x b y a b r si llamamos D 2a , E 2b , Fa2 b2 r2 , tenemos: 2 2 0 x y D xE y F
que se llama ecuación general de la circunferencia. Observación:
En la ecuación general no se observa a simple vista cual es el centro y el radio de la circunferencia, pero si se pueden calcular de una forma sencilla:
2 2 2 2 2 , 2 D D E C D a a E E b b
Para calcular el radio, una vez obtenidas las coordenadas del centro (a , b) despejamos r en la ecuación:
2 2 2 2 2 2 2 2
F a b r r a b F r a b F
No es conveniente calcular el centro y el radio de una circunferencia de esta forma, sino como veremos en los ejemplos posteriores.
Observación:
Toda ecuación de segundo grado del tipo x2 y2 D xE y F 0 no tiene porque representar a una circunferencia como veremos en los ejemplos posteriores.
Ejemplo 3:
Hallar la ecuación de la circunferencia de centro C( 4,3) y radio 4 y expresarla en forma general.
2
2 2 2 2 2 2
(x4) (y3) 4 x 8x16y 6y 9 16 x y 8x6y 9 0
Ejemplo 4:
Averiguar si la ecuación x2 y2 2x12y280 es una circunferencia. En caso afirmativo, hallar las coordenadas del centro y el radio.
Vamos a transformar esta ecuación en la suma de dos binomios elevados al cuadrado: 2 2 2 2 2 12 28 0 2 12 28 x y x y x x y y 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 12 6 1 6 28 ( 1) ( 6) 1 36 28 ( 1) ( 6) 28 1 36 x x y y x y x y 2 2 (x1) (y6) 9 Centro C(1, 6) , radio r2 9 r 3
Existe otra manera, que consiste en transformar la ecuación de la circunferencia en función del centro y el radio en la forma general e identificar los términos equivalentes:
2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 2 2 x a y b r x a x a y b y b r 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 12 28 0 x y a x b ya b r x y x y 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 12 6 28 28 a a b b a b r a b r 2 1 36 28r 2 9 3 r r Centro C(1, 6) , radio r2 9 r 3 Ejemplo 5:
Averiguar si la ecuación x2 y2 6x8y300 es una circunferencia. En caso afirmativo, hallar las coordenadas del centro y el radio.
2 2 2 2 6 8 30 0 6 8 30 x y x y x x y y 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 3 8 4 3 4 30 ( 3) ( 4) 9 16 30 ( 3) ( 4) 30 9 16 x x y y x y x y 2 2 (x3) (y4) 5 r2 5 no es una circunferencia. Ejercicios: 29, 30
9.- Problemas.
Problema:
La factura del teléfono está formada por una cantidad fija, que se denomina cuota de abono mensual, y por una cantidad que es proporcional al número de pasos (segundos) consumidos. Una familia, durante un mes consumió 1.500 pasos y pagó 77 ' 4 €; durante otro mes consumió 3.800 pasos y pagó 177 '68 €. ¿Cuánto deberá abonar cuando consuma 3.200 pasos?.
Construimos una tabla donde representamos los datos del problema: Pasos consumidos (x) Coste en Euros (y) 1.500 3.800 3.200 ... 77 ' 4 177 '68 ? ...
Tomando la ecuación explícita de la recta tenemos: ym xn. Donde: m número de euros por cada paso.
n cuota fija
Sustituimos los valores de la tabla en la ecuación de la recta:
77 ' 4 ·1500 1500 77 ' 4 77 ' 4 1500 177 '68 · 3800 3800 177 '68 m n m n n m m n m n 3800m77 ' 4 1500 m177 '68 2300m100' 28 m0'0436 77 ' 4 1500 · 0'0436 77 ' 4 65' 4 12 n Cuota fija: 12 €
Precio por cada paso: 0'0436 €
La ecuación de la recta será: y 0'0436x12
Cuando consuma 3.200 pasos tendrá que pagar:
0'0436 ·3200 12 151'52 151'52
y €
Si hacemos su representación gráfica tenemos:
Ejercicios: 31, 32, 33 Coste Y Pasos X 1.500 3.800 177 '68 77 ' 4 12
EJERCICIOS
1.- Halla la ecuación de la recta en forma vectorial en los siguientes casos: a) Pasa por el punto A(2, 1) y tiene de vector director u(3, 4) . b) Pasa por el punto B(7,5) y tiene de vector director v ( 1, 0). c) Pasa por el punto C( 3, 4) y tiene de vector director w(0,5). d) Pasa por el punto D( 4,3) y tiene de vector director m ( 2, 4). 2.- Halla las ecuaciones paramétricas de las rectas del ejercicio anterior.
3.- Halla la ecuación de la recta en forma continua en los siguientes casos: a) Pasa por el punto A( 1, 2) y tiene de vector director u(3, 2) . b) Pasa por el punto B(4,3) y tiene de vector director v ( 2, 4). c) Pasa por el punto C( 7, 9) y tiene de vector director w(5, 0). d) Pasa por el punto D( 3, 1) y tiene de vector director m(0, 2) . 4.- Halla la ecuación general de las rectas del ejercicio anterior.
5.- Halla la ecuación de la recta en forma explícita en los siguientes casos: a) Pasa por el punto A( 6, 4) y tiene de vector director u(3, 2). b) Pasa por el punto B( 2, 1) y tiene de vector director v ( 1, 6). c) Pasa por el punto C(4,3) y tiene de vector director w(5, 0). d) Pasa por el punto D(7, 1) y tiene de vector director m(0, 2).
6.- Escribe en forma explícita las siguientes rectas y calcula sus pendientes y sus ordenadas en el origen: a) 3 2 6 x t r y t b) r 6x3y 4 0 c) 4 5 1 7 x y r
7.- Halla la ecuación de la recta en la forma punto–pendiente en los siguientes casos: a) Pasa por el punto A(2, 2) y tiene pendiente m 1.
b) Pasa por el punto B( 3, 2) y tiene pendiente m5. c) Pasa por el punto C(4, 6) y tiene pendiente 1
3 m . d) Pasa por el punto D( 2, 6) y tiene pendiente 2
5
m .
8.- Halla las ecuaciones generales de los lados del triángulo de vértices: A(2,3), B( 1, 6) y
(0, 2)
C .
9.- Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos:
a) A(2,3) y B( 1, 7) b) C(5, 0) y D(0, 3)
10.- Halla la ecuación de la recta, en la forma que desees, en las siguientes condiciones: a) Pasa por el punto (2, 4)A y lleva la dirección u(3, 7) .
b) Pasa por los puntos (3, 2)A y ( 5, 7)B .
c) Pasa por el punto ( 1,5)A y tiene pendiente 1
5
m . d) Pasa por los puntos P( 2, 0) y Q(0,3).
11.- Representa las siguientes rectas dadas por sus ecuaciones:
a) y5 b) y 3 c) y0 d) y x e) y x
f) x4 g) x 3 h) x0 i) y2x3 j) y 2x 5
12.- Representa las siguientes rectas dadas por sus ecuaciones:
a) 2x3y 5 0 b) x y 1 0 c) 6x3y120 d) 4x2y 5 0 e) 3 2 1 x t y t f) 5 2 x t y t g) 1 3 2 x t y t h) 2 3 1 4 x y i) 2 1 0 3 x y j) 1 6 2 0 x y
13.- Encuentra un punto cualquiera y un vector director de las rectas dadas por las siguientes ecuaciones: a) y3 b) x 2 c) y5x1 d) 3x2y 4 0 e) 1 2 6 x t y t f) 6 3 2 1 x y g) y 3 2 (x5) h) 1 3 2 x y
14.- Determinar si los siguientes puntos están alineados A(1,5), B(3, 7) y C(5,9).
15.- Halla la ecuación explícita de la recta que pasa por el punto A(2, 3) y tiene la misma pendiente que la recta que pasa por los puntos P( 2,1) y Q(6,5).
16.- Dada la recta de ecuación r 5x3y 7 0. Halla el área del triángulo limitado por la recta dada y los ejes cartesianos.
17.- Si se sabe que una recta pasa por el punto A( 2,5) y el origen, calcula el valor de esta función para x2, x 1 y x7.
18.- Cuánto tiene que valer el parámetro k para que el punto P( 2, ) k pertenezca a la recta de ecuación r 2x3y 8 0.
19.- Escribir las ecuaciones paramétricas de las rectas:
a) r 5x6y 7 0 b) r 3x y 0 c) 3 1
2 3
x y
r
20.- Escribir las ecuaciones paramétricas y continua de las rectas: a) r 3x4y 6 0 b) r 3x2y 5 0
21.- La ecuación general de una recta es r 3x7y 2 0. Escribe la ecuación de esta recta en las demás formas.
22.- Calcula la ecuación de la recta que pasa por A(1,–2) y tiene igual pendiente que la recta
3 0
r x y .
23.- Determina el valor del parámetro k para que la recta r2xk y 7 0 pase por el punto
(3,1)
P .
24.- Halla el valor de a para que la recta 3 2 2 x t r y a t
pase por el punto A(1,–1). Indica cuál es la pendiente de dicha recta.
25.- Halla el valor de m para que los puntos A(2,–1), B(8,2) y C(m,1) estén alineados.
26.- Las rectas rax5y10 y t y t x s 1 2 4
tienen la misma dirección. Halla el valor del parámetro a. 27.- Las rectas r4xby30 y t y t x s 2 2 3 5
son perpendiculares. Halla el valor de b.
28.- Halla la ecuación general de la circunferencia en los siguientes casos:
a) Centro (2,3), radio 4 b) Centro ( 1, 6) , radio 2 c) Centro (0, 0) , radio 2 d) Centro ( 1,3) , radio 3 29.- Halla el centro y el radio de las siguientes circunferencias:
a) x2 y2 2x6y 1 0 b) x2 y2 4x2y110
c) x2 y2 6x10y330 d) 2x2 2y2 8x4y9'50
30.- Averigua cuál de las siguientes expresiones corresponde a una circunferencia. En caso afirmativo, halla las coordenadas del centro y el radio.
a) x2 y2 6x10y300 b) x2 y2 4x2y 4 0
c) 3x2 3y2 2y 9 0 d) x2 y2 4x y6y 3 0
31.- La factura mensual de la luz, cuando la potencia contratada es de 5'5 kW, es de 8'50 euros y además por cada kilovatio hora consumido hay que abonar 9 céntimos de euro. Encuentra la ecuación de la recta y represéntala. ¿Cuál será el importa de un recibo correspondiente a un mes en el que se consumieron 2035 kW?.
32.- La tarifa de los taxis en una ciudad es de 1 euro bajada de bandera y 25 céntimos de euro por kilómetro recorrido.
a) Haz una tabla que exprese el precio del viaje según los kilómetros que hagamos.
b) Encuentra la función que relaciona los kilómetros recorridos (x) y el precio del viaje (y). c) Representa dicha función.
33.- Hacia el interior de la tierra la temperatura aumenta con arreglo a la siguiente fórmula: 15 0'01 ·
t d
donde t es la temperatura alcanzada en grados centígrados y d es la profundidad, en metros, desde la corteza terrestre:
a) ¿Qué temperatura se alcanza a los 100 m de profundidad?.
b) ¿Cuántos metros hay que descender para alcanzar una temperatura de 100 ºC?. c) Representa la gráfica de esta recta.
CUESTIONES
1.- Dadas las gráficas de las siguientes rectas, halla sus ecuaciones.
3.- Dadas las gráficas de las siguientes circunferencias, halla sus ecuaciones.
4.- Indica cuál de las rectas siguientes pasa por el origen:
a) y3x2 b) 2x y 3 0 c) y 2x
d) y 1 x e) x2y0 f) 3x5y 2 0
5.- Halla las pendientes de las rectas de los lados del triángulo de vértices A(3, 2), B(2,5) y
( 2,3)
C .
6.- Señala si las funciones dadas por las siguientes ecuaciones son crecientes, decrecientes o constantes:
a) y3x2 b) y5 c) 1 7
2
y x d) y 3
7.- Indica si es cierto o falso:
a) La pendiente de la recta que pasa por A( 1, 1) y B(3,3) es m3. b) x2 representa un punto.
c) x5 representa una recta.
d) La recta y 2x5 tiene pendiente –5 y pasa por el punto P(2, 5) .
8.- Las ecuaciones paramétricas de la recta r son 2 5 3 x t y t
, calcula tres puntos por los que pasa.
