Matemáticas Avanzadas para Ingeniería: Funciones extendidas. Departamento de Matemáticas. Intro. e z. ln(z) sen(z) MA3002

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Matem´aticas Avanzadas para Ingenier´ıa: Funciones extendidas Departamento de Matem´aticas Intro ez ln(z) zα Ra´ıces sen(z)

Matem´

aticas Avanzadas para Ingenier´ıa:

Funciones extendidas

Departamento de Matem´aticas

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En esta sección veremos cómo se extienden las funciones que ya conocemos para números reales pero ahora al plano complejo.

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Matemáticas Avanzadas para Ingenier´ıa: Funciones extendidas Departamento de Matemáticas Intro ez ln(z) zα Ra´ıces sen(z) La función exponencial ez

Seaz =x+yiun n´umero complejo. Se define la funci´on

exponencial en el plano complejopor la expresi´on:

ez =ex·cos(y) +ex ·sen(y)i

Propiedades que cumple:

• La función es una extensión de la función exponencial real.

• ez1+z2 ₌_ez1_·_ez2

• La funci´on satisface la ecuaciones de Cauchy-Riemann en el plano complejo y

d dze

z ₌_ez

• La función exponencial es una función periódica con periodo 2πi:

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Para probar la ley de los exponentes usando la calculadora procedemos como en la siguiente figura. Como hemos visto en alg´un ejemplo anterior, notemos que para probar que

ez1+z2 ₌_ez1_·_ez2_{, nos conviene revisar que}

ez1+z2₋_ez1_·_ez2 _{= 0. La expresi´}_{on a la izquierda tiene muchos}

t´erminos pero cuando se desarrolla por medio de identidades trigonom´etricas se simplifica a cero.

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Para comprobar que la función exponencial es entera, es decir, que es derivable en todo complejo usaremos las ecuaciones de Cauchy-Riemann. Comprobaremos el cumplimiento de las ecuaciones de Cauchy-Riemann para la función exponencial. Revisaremos también que su derivada es ella misma

comprobando que _dzdez−ez es cero. Esto lo ilustramos en las siguientes figuras.

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Para comprobar que la funci´on es peri´odica verificamos que

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La funci´on exponencial ez; ejemplos Calculeez para z1 =2+3i y para z2= 0.5eπ/3i

• ez1

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• ez1 ₌_e2_{(cos(3) + sen(3)}_i₎_{≈ −}₇_._{3151 + 1}_.₀₄₂₇_i

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• ez1 ₌_e2_{(cos(3) + sen(3)}_i₎_{≈ −}₇_._{3151 + 1}_.₀₄₂₇_i

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• ez1 ₌_e2_{(cos(3) + sen(3)}_i₎_{≈ −}₇_._{3151 + 1}_.₀₄₂₇_i • ez2 Como z2 = 0.5eπ/3i = 0.5·cos(π/3) + 0.5·sen(π/3)i ≈ .2500+0.4330i

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La funci´on exponencial ez; ejemplos Calculeez _para _z 1 =2+3i y para z2= 0.5eπ/3i • ez1 ₌_e2_{(cos(3) + sen(3)}_i₎_{≈ −}₇_._{3151 + 1}_.₀₄₂₇_i • ez2 Como z2 = 0.5eπ/3i = 0.5·cos(π/3) + 0.5·sen(π/3)i ≈ .2500+0.4330i As´ı ez2 _≈ _e0.25_(cos(0_._{4330) + sen(0}_.₄₃₃₀₎_i₎ ≈ 1.1655 + 0.5388i

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La funci´on exponencial ez; ejemplos Calculeez _para _z 1 =2+3i y para z2= 0.5eπ/3i • ez1 ₌_e2_{(cos(3) + sen(3)}_i₎_{≈ −}₇_._{3151 + 1}_.₀₄₂₇_i • ez2 _≈₁_._{1655 + 0}_.₅₃₈₈_i Como z2 = 0.5eπ/3i = 0.5·cos(π/3) + 0.5·sen(π/3)i ≈ .2500+0.4330i As´ı ez2 _≈ _e0.25_(cos(0_._{4330) + sen(0}_.₄₃₃₀₎_i₎ ≈ 1.1655 + 0.5388i

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Los cálculos anteriores pueden relizarse en la TI como se ilustra en las siguientes figuras. Al final del primer cálculo se usó la combinaciónpunto verde-enterpara calcular el valor aproximado. En el segundo ejemplo no hubo necesidad de calcular el valor aproximado; ya lo dió aproximado. Esto se debe a que en el número complejo dado hab´ıa un número de punto flotante. Estoarrastra la artimética de manera que todo se haga en forma aproximada. Si esto no hubiera sido deseable, entonces debimos haber puesto 1/2 en lugar de 0.5 en nuestro ejemplo.

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Matem´aticas Avanzadas para Ingenier´ıa: Funciones extendidas Departamento de Matem´aticas Intro ez ln(z) zα Ra´ıces sen(z) Mapeo asociado a f(z) =ez

(recuerde que el periodo es 2πi≈6.28i)

O x y u v 2πi e−1i e1i

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Matemáticas Avanzadas para Ingenier´ıa: Funciones extendidas Departamento de Matemáticas Intro ez ln(z) zα Ra´ıces sen(z) La función logaritmo ln(z)

Seaz un n´umero complejo diferente de cero cuyo m´odulo es r

y cuyo argumento esθ, se define como el logaritmo natural de

z a la expresi´on

ln(z) = ln(r) + (θ+ 2nπ)ipara n= 0,±1,±2, . . .

Propiedades que cumple:

• La funci´on est´a definida para todo complejo excepto para

z = 0.

• La función es una extensión de la función logaritmo natural sobre los reales positivos; para los reales positivos

z =|z|=r,θ= y paran= 0 la f´ormula da simplemente ln(z).

• La función logaritmo es la función inversa de la función exponencial eln(z)=z.

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Para comprobar que la funci´on logaritmo es derivable en todo punto excepto enz= 0, comprobaremos el

cumplimiento de las ecuaciones de Cauchy-Riemann para la funci´on exponencial. Revisaremos tambi´en que su derivada es 1/zcomprobando que_dzd ln(z)−1/zes cero. Esto lo ilustramos en las siguientes figuras.

Note que en la primera de las ecuaciones de Cauchy-Riemann aparece la derivada del la funci´on signo eny.

Esta función vale -1 para negativos y vale 1 para positivos; es indefinida en cero. La derivada de esta función es cero para cualquierydiferente de 0; y en cero no está definida. Pero cuandoy= 0 entonces la función

logaritmo coincide en su rama principal con ln(|x|) el cual es derivable en todo punto excepto en cero. O sea

que (x= 0,y= 0) es nuestro problema para la derivaci´on; pero no hay problema porque no est´a en el

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La funci´on logaritmo ln(z); ejemplos

Calcule ln(z) para z1 =−4 ,z2 = 2i y para z3= 3 + 4i:

• ln(z1)

Como z1= 4eπi,|z1|= 4 yθ=π por tanto:

ln(−4) = ln(4) + (π+ 2nπ) i

• ln(z2)

Como z2= 2eπ/2i,|z1|= 2 y θ=π/2 por tanto:

ln(2i) = ln(2) + (π/2 + 2nπ) i

• ln(z3)

Como |z3|= 5 y θ=π/2−tan−1(3/4) por tanto:

ln(3 + 4i) = ln(5) + π/2−tan−1(3/4) + 2nπ

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Calcule ln(z) para z1 =−4 ,z2 = 2i y para z3= 3 + 4i: • ln(z1)

Como z1= 4eπi,|z1|= 4 y θ=π por tanto:

ln(−4) = ln(4) + (π+ 2nπ) i

• ln(z2)

ln(2i) = ln(2) + (π/2 + 2nπ) i

• ln(z3)

ln(3 + 4i) = ln(5) + π/2−tan−1(3/4) + 2nπ

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ln(−4) = ln(4) + (π+ 2nπ) i

• ln(z2)

ln(2i) = ln(2) + (π/2 + 2nπ) i

• ln(z3)

ln(3 + 4i) = ln(5) + π/2−tan−1(3/4) + 2nπ

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ln(−4) = ln(4) + (π+ 2nπ) i

• ln(z2)

ln(2i) = ln(2) + (π/2 + 2nπ) i

• ln(z3)

ln(3 + 4i) = ln(5) + π/2−tan−1(3/4) + 2nπ

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Los c´alculos anteriores pueden relizarse en la TI como se ilustra en las siguientes figuras. Note el uso de la variable @n1 para las comprobaciones de que los resultados encontrados satisfacen la propiedad; este s´ımbolo en la calculadora

representa un entero cualquiera. El s´ımbolo @ se obtiene de la combinaci´on2nd + 3 9.

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Si en la f´ormula para el logaritmo de z tomamos n= 0, el resultado se llamael valor principaldel ln(z) y para diferenciarlo de ln(z) se utiliza la notaci´on:

Ln(z) = ln(|z|) +θi

esta funci´on est´a definida para z que no son reales menor o igual que cero y se cumple:

d

dzLn(z) =

1

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Matem´aticas Avanzadas para Ingenier´ıa: Funciones extendidas Departamento de Matem´aticas Intro ez ln(z) zα Ra´ıces sen(z) Mapeo asociado a f(z) = ln(z) usando el valor principal

O O x y u v 0.5 4 ln(0.5) ln(4)

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Potencias complejas

Con base en la igualdadxa =ea·ln(x) que se cumple para reales positivos se define:

zα =eα·ln(z)

Si se usa Ln(z) en lugar de ln(z), al resultado se le llama el

valor principalde zα.

Ejemplo: calcule el valor i3i: aqu´ız =i,|z|= 1 y θ=π/2:

i3i = e3i·ln(i)=e3i(ln(1)+(π/2+2πn)I)

= e−3/2π−6πn

El valor principal queda:n= 0 = e−3/2π ≈0.008983291021

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Matem´aticas Avanzadas para Ingenier´ıa: Funciones extendidas Departamento de Matem´aticas Intro ez ln(z) zα Ra´ıces sen(z) Ra´ıces de complejos

Ejemplo: Calcule las raices c´ubicas de z1 = √ 2 2 + √ 2 2 i. ´

Estas pueden calcularse comoz₁1/3 =e1/3·ln(z1)_{: como} _|_z

1|= 1 yθ=π/4, entonces ln(z1) = ln(1) + (π/4 + 2πn)i= 0 + (π/4 + 2πn)i por tanto z₁1/3 = e1/3·ln(z1)₌_e0+1/3(π/4+2πn)i = e0(cos (π/12 + 2πn/3) + sen (π/12 + 2πn/3)i) Paran= 0 r0 = cos (π/12) + sen (π/12) i Paran= 1 r1 = cos (3π/4) + sen (3π/4)i Paran= 2 r2 = cos (17π/12) + sen (17π/12)i Paran= 2 r3 = cos (25π/12) + sen (25π/12)i=r0

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Los c´alculos anteriores pueden relizarse en la TI como se ilustra en las siguientes figuras.

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Seno y Coseno complejas

Para cualquier numero complejoz =x+yi se define:

sen(x+yi) = sen(x) cosh(y) + cos(x) senh(y)i= e

iz₋_e−iz 2i

cos(x+yi) = cos(x) cosh(y)−sen(x) senh(y)i= e

iz₊_e−iz 2 Recuerde que:

• La funci´on seno hiperb´olico se define como senh(t) = 1

2 e

t₋_e−t

• La funci´on coseno hiperb´olico se define como cosh(t) = 1

2 e

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Seno y coseno: Resultados

• Son anal´ıticas en todo el plano complejo.

• Son periodicas con periodo 2π.

• d

dzsen(z) = cos(z) y d

dzcos(z) =−sen(z)

• sen(−z) =−sen(z), cos(−z) = cos(z)

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Matem´aticas Avanzadas para Ingenier´ıa: Funciones extendidas Departamento de Matem´aticas Intro ez ln(z) zα Ra´ıces sen(z) Otras funciones:

tan(z) = sen_cos(₍z_z)₎, cot(z) = cos_sen(₍z_z)₎, sec(z) = _cos1₍_z₎, csc(z) = _sen1₍_z₎

senh(z) = e z₋_e−z 2 y cosh(z) = ez+e−z 2 sen−1(z) =−ilniz+√1−z2 cos−1(z) =−iln z +i√1−z2 tan−1(z) = ₂i lni_i+₋z_z

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Para comprobar que las funciones sen(z) y cos(z) son enteras y que sus derivadas cumplen las relaciones conocidas,