CONCEPTOS PARA OLIMPIADAS
?
Prof. Álvaro Elizondo Montoya.?
SIMBOLOGÍA MATEMÁTICA
1. :=:se define como
2. +∞:más infinito
3. −∞:menos infinito
4. ∅:conjunto vacío
5. %:por ciento
6. √:raíz cuadrada
7. √3 :raíz cúbica
8. √4 :raíz cuarta
9. !:factorial
10. : fin de demostración
11. |x|: valor absoluto de x
12. +:suma
13. −:resta
14. ÷:división
15. /:división
16. ·:multiplicación
17. ×:multiplicación
18. ?: operador estrella
19. ±: más menos
20. ◦:composición
21. ∩:intersección
22. ∪: unión
23. ∨:ó
24. ∧: y
25. =:igual a
26. ≈: aproximadamente igual a
27. ≡: idénticamente igual a
28. <:menor que
29. >:mayor que
30. ≤:menor o igual
31. ≥:mayor o igual
32. :mucho mayor que
33. : mucho menor que
34. ∈:pertenece a
35. ⊂:contenido
36. ⊆:contenido igual
37. ⊃: superconjunto de
38. ⊇:superconjunto igual de
39. ∝:proporcional a
40. ∀:para todo
41. ∃:existe
42. ∃!:existe un único
43. ∴:por lo tanto
44. ∵:porque
45. ⇒: implica
46. ⇔: si y solo si
47. |: tal que
48. k:paralelo a
49. ⊥:perpendicular a
50. ∠:ángulo
51. ∠ABC:ángulo ABC
52. 4:triángulo
53. 4ABC:triángulo ABC
54. :cuadrilátero
55. ABCD:cuadrilátero ABCD
56. : círculo
57. ∼:semejante con
58. ∼=: congruente con
59. AB: segmento AB
60. −AB−→: rayo AB
61. ←→AB: recta AB
62. dAB: arco AB
63. (ABC): área del triángulo ABC
64. (ABCD): área del cuadrilátero ABCD
65. 6=:diferente
66. 6<: no menor
67. 6>: no mayor
68. 6≤:no menor igual
69. 6≥:no mayor igual
70. ∈/:no pertenece a
71. 6⊂: no contenido
72. 6⊆: no contenido ni igual a
73. 6⊃: no super contenido
74. 6⊇: no super contenido ni igual a
75. 6≡:no equivalente a
76. 6∼: no semejante a
77. 6≈:no aproximadamente a
78. 6∼=:no congruente con
79. 6k:no paralelo a
80. 6⊥: no perpendicular a
81. 6⇒: no implica que
82. 6 ∃: no existe
ALFABETO GRIEGO (MINÚSCULAS)
1. α: alfa
2. β: beta
3. γ:gamma
4. δ: delta
5. :épsilon
6. ζ:dzeta
7. η:eta
8. θ:zeta
9. ι:iota
10. κ:kappa
11. λ:lambda
12. µ:my
13. ν:ny
14. ξ:xi
15. o:ómicron
16. π:pi
17. ρ:rho
18. σ:sigma
19. τ:tau
20. υ:ýpsilon
21. φ:fi
22. χ:ji
23. ψ:psi
24. ω:omega
ALFABETO GRIEGO (MAYÚSCULAS)
1. A: alfa
2. B: beta
3. Γ:gamma
4. ∆: delta
5. E:épsilon
6. Z:dzeta
7. H:eta
8. Θ:zeta
9. I:iota
10. K:kappa
11. Λ:lambda
12. M:my
13. N:ny
14. Ξ:xi
15. O:ómicron
16. Π:pi
17. P:rho
18. Σ:sigma
19. T:tau
20. Υ:ýpsilon
21. Φ:fi
22. X:ji
23. Ψ:psi
24. Ω:omega
LEYES DE POTENCIAS
1. an =a·a·a· · ·a | {z }
n veces
2. a0= 1 si a6= 0, 00: no está def inido
3. a1=a
4. an·am=an+m
5. a n
am =a
n−m
6. (a·b)n =an·bn
7. a
b n
= a n
bn
8. (an)m =an·m
9. a−1=1
a
10. a−n= 1
an
11. 1
a−n =a n
12. a
b −n
=
b
a n
RADICALES (a, b≥0 para radicales de índice par )
1. √n
ab= √na· √nb
2. √na· m√
b= n·m√am·bn
3. n r
a
b =
n
√
a n
√
b,b6= 0
4.
n
√
a m√
b =
nm√am
nm√
bn =
nm r
am
bn,b6= 0
5. √namp
= √namp
6. (√na)n=a
7. √nan
=|a|
8. √n
am= nm√ anm
9. √nam=amn
10. mp√na= nm√a
11. √n1
a =
n
√
an−1
a ,a6= 0
12.
q
a±√b=
s
a+√a2−b
2 ±
s
a−√a2−b 2
13. √ 1
a±√b =
√
ÁREAS Y PERÍMETROS DE FIGURAS ELEMENTALES
Triángulo
A b C
a B
c h A = b·h
2
P = a+b+c
Triángulo equilátero
A ` C
` B
` A = `
2√4 4
P = 3`
Cuadrado
`
` A = `
2
P = 4·`
Rectángulo
`
a A = `·a
P = 2·(`+a)
Rombo
`
` A = D·d
2
P = 4·`
Romboide
`2
`1 h A = `2·h
P = 2·(`1+`2)
Trapecio
B b
`1 h `2 A = (B+b)·h
2
P = `1+`2+B+b
Círculo
O r
A = π·r2
P = 2π·r
CONJUNTOS NUMÉRICOS
1. Los números naturales:N={1,2,3,4, . . .}
2. Los números enteros positivos: Z+={1,2,3,4, . . .}
3. Los números enteros negativos: Z−={−1,−2, . . .}
4. Los números racionales:Q=ab |a∈Z∧b∈Z +
Complejos(C)
Reales(R)
Racionales(Q)
Enteros positivos(Z+ )
Naturales(N)
Uno:1 primos compuestos Cero:0
Enteros negativos(Z−)
Fraccionarios
(
Fracción propia Fracción impropia Irracionales(I)
(
Irracionales algebraicos Trascendentes Imaginarios
CONCEPTO DE DIVISOR
Dadosaybnúmeros enteros,adivide aby se denotaa|bsi existe un número enteroktal queb=a·k.
Siadivide abse dice que aes undivisordebo queaes un factor debo quebes divisible entreao quebes un múltiplo de a.
REGLAS DE DIVISIBILIDAD
1. Un número es divisible entre 2 si su última cifra es par.
2. Un número es divisible entre 3 si la suma de sus cifras es divisible entre 3.
3. Un número es divisible entre 4 si el número formado por sus dos últimas cifras es divisible entre 4.
4. Un número es divisible entre 5 si su última cifra es 0 ó 5.
5. Un número es divisible entre 6 si es divisible entre 2 y 3 simultáneamente.
6. Un número es divisible entre 7 si al restar el número que queda suprimiendo la última cifra el doble de esta última cifra, se obtiene un múltiplo de 7.
7. Un número es divisible entre 8 si el número formado por sus últimas tres cifras es divisible entre 8.
8. Un número es divisible entre 9 si la suma de sus cifras es divisible entre 9.
9. Un número es divisible entre 10 si su última cifra es 0.
10. Un número es divisible entre 11 si la diferencia de las sumas de los dígitos que ocupan las posiciones pares, menos la suma de las cifras que ocupan las posiciones impares es un múltiplo de 11.
11. Un número es divisible entre 12 si es divisible entre 3 y 4 simultáneamente.
12. Un número es divisible entre 13 si al restar el número que queda suprimiendo la última cifra el nónuple de esta última cifra, se obtiene un múltiplo de 13.
PROPIEDADES DE LA DIVISIBILIDAD Dadosa,byc números enteros, se cumple que:
1. Para todo enteroa6= 0, se tiene:1|a
2. Para todo enteroa6= 0, se tiene:a|0
3. Para todo enteroa6= 0, se tiene:a|a
4. Sia|b entonces|a| ≤ |b|
5. Sia|b yb|aentonces|a|=|b|
6. Sia|b ,b|c entoncesa|c(propiedad transitiva)
7. Sia|b ya|centoncesa|(bs+ct), cons, t∈Z
8. Sia|b entoncesac|bc
9. Dados n números enteros consecutivos k + 1, k + 2, . . . , k+n, uno de ellos es necesariamente un múltiplo de n.
NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS
Un número natural p >1 se llama primo si sus únicos divi-sores son 1 y p. Si el número tiene más de dos divisores se llamacompuesto.
PARA TENER EN CUENTA Sipyqson números primos, entonces:
1. p+qes impar solo sip= 2ó q= 2
2. p+qes par siempre quep6= 2yq6= 2
3. p·qes impar siempre quep6= 2yq6= 2
4. p·qes par solo sip= 2ó q= 2
5. p2 es impar en todos los casos excepto sip= 2
6. Sip=q+ 1 entoncesq= 2yp= 3
7. p
q ∈Z ⇐⇒ p=q
CRIBA DE NÚMEROS PRIMOS
2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36
37 38 39 40 41 42
43 44 45 46 47 48
49 50 51 52 53 54
55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66
67 68 69 70 71 72
73 74 75 76 77 78
79 80 81 82 83 84
85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96
97 98 99 100
PROGRESIÓN ARITMÉTICA (P.A.) Una secuencia de números de la forma:
a1
|{z}
a1
, a1+d
| {z }
a2
, a1+ 2d
| {z }
a3
, a1+ 3d
| {z }
a4
, . . . , a1+ (n−1)d
| {z }
an
Se llamaprogresión aritméticade diferenciad. El términon−
ésimo se puede determinar con:an=a1+d(n−1). La suma de los términos esS= a1+an
2
·no bien aplicando
S= [2a1+d(n−1)]·n2
Six, y, zforman una P.A., entoncesy−x=z−y
PROGRESIÓN GEOMÉTRICA Una secuencia de números de la forma:
u1
|{z}
u1
, u1q
|{z}
u2
, u1q2
| {z }
u3
, u1q3
| {z }
u4
, . . . , u1qn−1
| {z }
un
Se llama progresión geométricade razón q. El término n−
ésimo se puede determinar con:un =u1qn−1. Además:
n−1
X
k=0
u1qk =u1+u1q+u2q2+· · ·+u1qn−1=u1·
qn−1
q−1
Si−1< q <1⇒ ∞
X
k=0
u1qk=u1+u1q+u2q2+· · ·=
u1 1−q
SUMA DE LOS n PRIMEROS NÚMEROS NATURALES
n
X
k=1
k= 1 + 2 + 3 +· · ·+n=n(n+ 1)
2 , n∈N
SUMA DE n PRIMEROS CUADRADOS PERFECTOS
n
X
k=1
k2= 12+ 22+ 32+· · ·+n2=n(n+ 1)(2n+ 1) 6
SUMA DE n PRIMEROS CUBOS PERFECTOS
n
X
k=1
k3= 13+ 23+ 33+· · ·+n3=
n(n+ 1)
2
2
REPRESENTACIÓN EN BASE b
Sibes un número natural mayor que 1, entonces, para todo
n ∈ N, existen a0, a1, . . . , am ∈ {0,1, . . . , b−1} tales que
n = ambm+am−1bm−1+· · ·+a1·b+a0, si b = 10, la representación anterior es la correspondiente a la representa-ción decimal y los números a0, a1, . . . , am se llamancifraso
dígitos.
ALGORITMO EUCLIDEANO DE LA DIVISIÓN
Dados D yd números enteros positivos, existen únicosq y
r, con0≤r < btales queD=qd+r
TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMÉTICA Sea n ∈ N, sean p1, p2,· · · , pk todos los divisores primos de n, entonces existen únicos a1, a2, . . . , ak ∈ N tales que
n=pa1
1 ·p a2
2 · · ·p ak
k . Esta se llama la descomposición prima de n.
NÚMERO DE DIVISORES Sin=pa1
1 ·p a2
2 · · ·p ak
SUMA DE DIVISORES Sin=pa1
1 ·p a2
2 · · ·p ak
k , entonces la suma de los divisores de
nserá igual a: (1 +p1
1+· · ·+p a1
1 )(1 +p12+· · ·+p a2
2 )· · ·(1 +p1k+· · ·+p ak
k ) MÁXIMO COMÚN DIVISOR
Si n = pa1
1 ·p a2
2 · · ·p ak
k y m = p
b1
1 ·p b2
2 · · ·p bk
k , entonces
mcd(n, m) =pmin{a1,b1}
1 ·p
min{a2,b2}
2 · · ·p
min{ak,bk}
k MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
Si n = pa1
1 ·p a2
2 · · ·p ak
k y m = p
b1
1 ·p b2
2 · · ·p bk
k , entonces
mcm(n, m) =pmax{a1,b1}
1 ·p
max{a2,b2}
2 · · ·p
max{ak,bk}
k
PROPIEDADES DEL mcd Y DEL mcm
1. Existen números enteros syt tales quemcd(n, m) =
ns+mt, en particular, si n y mson primos relativos o coprimos (números sin divisores comúnes salvo el1) entoncesms+nt= 1
2. Lema de Euclides:Sia|bcy los númerosaycson pri-mos relativos, entoncesa|b
3. Sia|nyb|nyaybson primos relativos, entoncesab|n
4. Sia=qb+rentonces:mcd(a, b) =mcd(b, r)
5. mcm(a, b)·mcd(a, b) =|a| · |b|
PRINCIPIO DEL PALOMAR O DE DIRICHLET
Sin+ 1objetos se distribuyen al azar en n cajas, entonces alguna caja contendrá por lo menos dos objetos.
Generalización:Sink+ 1objetos se distribuyen al azar enn
cajas, entonces alguna caja contendrá al menosk+1objetos.
PRINCIPIO DE INDUCCIÓN MATEMÁTICA
SeaP(n)una propiedad definida paran∈N. Si la propiedad es verdadera paran=ky si siempre queP(n)es verdadera, tambiénP(n+1)lo es, entonces la propiedad se cumple para todo número naturaln≥k
MEDIAS Y RELACIONES:
1. Media aritmética o promedio (AM):
AM =a1+a2+· · ·an
n
2. Media geométrica (GM): De n números reales no ne-gativos.
GM = √na
1·a2· · ·an
3. Media armónica (HM):Dennúmeros reales positivos.
HM = 1 n
a1 +
1
a2 +· · ·+
1 an
4. Media cuadrática (QM): Dennúmeros reales
QM =
p a2
1+a22+· · ·+a2n
n
Además se tienen las relaciones:
QM ≥AM≥GM ≥HM
Para cada una de ellas, la igualdad ocurre si y solo si
a1=a2=· · ·=an
5. Media aritmética-Media geométrica: Desigualdad de Cauchy para números reales no negativos.
A(a)≥G(a)⇒ a1+a2+···an
n ≥ n
√
a1·a2· · ·an
La igualdad ocurre si y solo sia1=a2=· · ·=an Se sigue que:
a) Números reales positivos cuya suma es constante tienen un producto máximo si y solo si ellos son todos iguales.
b) Números reales positivos cuyo producto es cons-tante tienen una suma mínima si y solo si ellos son todos iguales.
DESIGUALDADES:
1. Desigualdad de Cauchy-Schwarz:Para cualesquiera nú-meros realesa1, a2, . . . , an yb1, b2, . . . , bn se tiene:
(a1b1+a2b2+· · ·+anbn)2≤ (a2
1+a22+· · ·+a2n)(b21+b22+· · ·+b2n)
La igualdad ocurre si y solo si a1 = kb1, a2 =
kb2, . . . , an=kbnob1=ka1, b2=ka2, . . . , bn=kan para algú númerok.
2. Desigualdades de Bernoulli:
a) Si n ≥ 1 es un entero y x > −1, entonces (1 +x)n ≥1 +nx
b) Siα >1oα <0, entonces parax >−1, se tiene (1 +x)α≥1 +αx
c) Si α ∈]0,1[, entonces para x > −1, se tiene (1 +x)α≤1 +αx
La igualdad ocurre si y solo sia= 0on= 1
3. Desigualdad de H¨older: Para cualesquiera números realesa1, a2, . . . , an yb1, b2, . . . , bny cualesquiera nú-merospyqtales que 1p +1q = 1se tiene:
|a1b1+a2b2+· · ·+anbn| ≤ (|a1|p+|a2|p+· · ·+|an|p)
1
p(|b
1|q+|b2|q+· · ·+|bn|q)
1
q
La igualdad ocurre si y solo si a1 = kb1, a2 =
kb2, . . . , an=kbnob1=ka1, b2=ka2, . . . , bn=kan para algún númerok.
DEFINICIÓN DE FUNCIÓN CÓNCAVA Y CONVEXA Una funciónf es continua en un intervaloI =]a, b[, se dice quef esconvexa enI si:
f
x+y
2
< f(x) +f(y)
2 ,∀x, y∈]a, b[
Si la desigualdad es inversa, entoncesf es llamadacóncava. 1. Si f(x) y g(x) son funciones convexas en ]a, b[, en-tonces también lo son h(x) =f(x) +g(x) yM(x) = m´ax{f(x), g(x)}.
2. Si f(x) y g(x) son funciones convexas en ]a, b[ y si
g(x)es creciente en]a, b[, entoncesh(x) =g(f(x))es convexa en]a, b[.
3. Si f es derivable, entonces es convexa sii la derivada
f0 es no decreciente. Similarmente, f se dice cóncava siif0 es no creciente.
DESIGUALDAD DE JENSEN
Sif(x)es una función convexa en]a, b[y λ1, . . . , λn ∈R+ tales queλ1+· · ·+λn= 1entonces:
f(λ1x1+· · ·+λnxn)≤λ1f(x1) +· · ·+λnf(xn)
∀xi∈]a, b[
FÓRMULAS BÁSICAS DE ÁLGEBRA
1. I fórmula notable.(x+y)2=x2+ 2xy+y2
2. II fórmula notable.(x−y)2=x2−2xy+y2
3. III fórmula notable. (x+y)(x−y) =x2−y2 4. Cubo de la suma.
(x+y)3=x3+3x2y+3xy2+y3=x3+y3+3xy(x+y)
5. Cubo de la diferencia.
(x−y)3=x3−3x2y+3xy2−y3=x3−y3−3xy(x−y)
6. Suma de cubos. x3+y3= (x+y)(x2−xy+y2) 7. Diferencia de cubos. x3−y3= (x−y)(x2+xy+y2) 8. xn+yn=
(x+y)(xn−1−xn−2y+xn−3y2+· · · −xyn−2+yn)
9. xn−yn=
(x−y)(xn−1+xn−2y+xn−3y2+· · ·+xyn−2+yn)
∀n∈Z+, n:impar
10. Cuadrado de un trinomio.
(x+y+z)2=x2+y2+z2+ 2xy+ 2xz+ 2yz
11. (x+y+z+w)2=
x2+y2+z2+w2+2xy+2xz+2xw+2yz+2yw+2zw
12. (x−y)2+ 4xy= (x+y)2
13. (x+y)2−2xy=x2+y2
DEFINICIÓN DE POLINOMIO
Un polinomio de grado n es una función de la forma
p(x) =anxn+an−1xn−1+· · ·+a1x+a0donde los números
a0, a1, . . . , an son llamadoscoeficientes del polinomio. Al númeroa0se le llamacoeficienteotérmino constante. El númeroan, el coeficiente de la potencia de mayor grado, es llamado coeficiente principal y al término anxn se le llama
término principal.
RAÍCES O CEROS DE UN POLINOMIO
Un número c es llamado raíz o cero de multiplicidad k
de p(x) si existe un polinomio q(x) tal que q(c) 6= 0 y
p(x) = (x−c)k·q(x). Sic = 1 entoncesc es llamada una
raíz simple dep(x).
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA
Todo polinomio de grado mayor que cero tiene una raíz real. Corolario: Un polinomio de grado n con coeficientes reales tiene a lo sumonceros reales.
Corolario: Todo polinomio de grado impar con coeficientes reales tiene al menos un cero real.
ALGORITMO EUCLIDEANO DE LA DIVISIÓN. Si el polinomio p(x) es dividido por el polinomio d(x), en-tonces existen polinomiosq(x)yr(x)tales que
p(x) =d(x)·q(x) +r(x) y 0≤grado(r(x))< grado(d(x)).
TEOREMA DEL RESIDUO
Si el polinomiop(x)es dividido porx−c, entonces el residuo de la división seráp(c).
TEOREMA DEL FACTOR (Teorema de Bézout) El polinomiop(x)es divisible porx−csi y solo sip(c) = 0.
TEOREMA DE LOS CEROS RACIONALES DE UN PO-LINOMIO
Suponga quea0, a1, . . . , an son enteros con an6= 0. Si pq es un cero racional de
p(x) =anxn+an−1xn−1+· · ·+a1x+a0
entoncespdivide aa0yqdivide a an.
FÓRMULAS DE VIÈTA
Dado el polinomiop(x) =anxn+an−1xn−1+· · ·+a1x+a0 con an 6= 0, si las raíces o ceros de este polinomio son:
x1, x2, . . . xn, entonces se tiene:
1. n
X
i=1
xi=−
an−1
an
2. X i<j
xixj= +
an−2
an
3. X i<j<k
xixjxk =−
an−3
an
4. n
Y
i=1
xi= (−1)n
a0
ECUACIÓN CUADRÁTICA
Una ecuación se llama cuadrática si es del tipo:ax2+bx+c= 0 donde a 6= 0 y a, b, c ∈R. Existe un número asociado a esta ecuación llamado discriminante, que se define como:
∆ =b2−4ac
Si los coeficientes de la ecuación son racionales, este valor discrimina sobre las soluciones de la ecuación de la siguiente forma:
∆ :
∆>0 :
∆ :perfecto =⇒2 sol. racionales6= ∆ :no esperfecto =⇒2 sol. irracionales6= ∆ = 0 : Dos soluciones racionales iguales
∆<0 : No tiene soluciones reales
FÓRMULA DE BHASKARA.
Esta fórmula permite hallar las soluciones de la ecuación
ax2+bx+c= 0, dondea6= 0y∆ =b2−4ac
x1=
−b+√∆
2a x2=
−b−√∆ 2a
PROP. DE LAS RAÍCES DE LA EC. CUADRÁTICA Seanx1 yx2 las raíces:
1. Suma de las raíces:x1+x2=
−b a
2. Producto de las raíces: x1·x2=
c a
3. Suma de los cuadrados de las raíces:
x21+x22= b 2−2ac
a2
4. Diferencia de las raíces: |x1−x2|=
√
∆
a
5. Identidad de Legendre aplicada a las raíces: (x1+x2)2−(x1−x2)2= 4x1·x2
6. La ecuación de segundo grado:ax2+bx+c= 0; ∀a6= 0 tiene raíces opuestas(es decirx1=−x2)sib= 0.
7. La ecuación: ax2+bx+c = 0; ∀a 6= 0 tiene raíces reci´procas (es decirx1=
1
x2
)sia=c.
8. La ecuación:ax2+bx+c = 0; ∀a6= 0presenta una raíz nula(es decirx1= 0)sic= 0.
9. La ecuación:ax2+bx+c = 0; ∀a6= 0presenta una raíz unidad(es decirx1= 1)sia+b+c= 0.
10. Las ecuaciones ax2+bx+c = 0; ∀a 6= 0 y mx2+
nx+p= 0; ∀m6= 0son equivalentes si a
m =
b
n =
c p
siempre quem6= 0;n6= 0y p6= 0.
11. Las ecuaciones ax2+bx+c = 0; ∀a 6= 0 y mx2+
nx+p = 0; ∀m 6= 0 admiten una raíz común si (a·n−m·b)(b·p−n·c) = (a·p−m·c)2.
OBTENCIÓN DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA DA-DAS SUS RAÍCES
Six1yx2son raíces de una ecuación cuadrática, dicha ecua-ción es equivalente a:
x2−(x
1+x2)x+x1·x2= 0
TEOREMA DE WEIERSTRASS
1. Definición:Una función se dicemonótonasi es crecien-te o bien decreciencrecien-te.
2. Definición:Una sucesión{xn}n∈N se dice que es
aco-tada si existen números reales m y M tales que se satisfacen≤xn≤M para todon.
3. Condición necesaria para la convergencia:Si una suce-sión converge entonces es acotada.
4. Teorema de Weierstrass:Una sucesión monótona y aco-tada siempre es convergente.
CONGRUENCIAS
Definición: Dado un entero positivom. Si dos enteros ayb
tienen el mismo residuo al ser divididos entrem(esto esa−b
es divisible entrem), esto nos dice queaybon congruentes módulom, y se escribea≡b(mod m).
Propiedades:
1. a≡a(mod m)
2. a≡b(mod m)⇒b≡a(mod m)
3. a≡b(mod m)yb≡c(mod m)⇒a≡c(mod m)
4. a≡b(mod m)yc≡d(mod m)
⇒a±c≡b±d(mod m)
5. a≡b(mod m)yc≡d(mod m)
⇒a·c≡b·d(mod m)
6. a≡b(mod m)⇒a±c≡b±c(modm)
7. a+c≡b(mod m)⇒a≡b−c(mod m)
8. a≡b(mod m)⇒ac≡bc(mod m)
9. a≡b(mod m)⇒an ≡bn(mod m)
TEOREMA DEL RESIDUO CHINO
Tome m1, . . . , mk coprimos dos a dos y enteros positi-vos, a1, . . . , ak enteros tales que mcd(a1, m1) = · · · =
mcd(ak, mk) = 1. Para cualesquiera enteros c1, . . . , ck, el sistema:
a1x ≡ c1(mod m1)
· · · ·
akx ≡ ck(mod mk)
PEQUEÑO TEOREMA DE FERMAT
Sip es un número primo, entoncesnp ≡n(mod p), esto es quenp−nes divisible porp, para todos los enterosn >1. En particular simcd(p, n) = 1entoncesnp−1−1es divisible porp.
TEOREMA DE EULER
Se denota por ϕ(m) el número de enteros positivos meno-res que my coprimos con m. Sin=pα1
1 ·p α2
2 · · ·p αk
k es la factorización prima den, entonces:
ϕ(m) =m1− 1 p1
·1− 1 p2
· · ·1− 1 pk
Siempre se tiene que nϕ(m) ≡ 1(mod m) para todo n con
mcd(m, n) = 1.
El teorema de Fermat es un caso especial del teorema de Euler cuandomes un número primo.
VARIACIONES (AB6=BA)
El número devariacionesdenelementos tomadoska la vez es igual al producto de k números naturales consecutivos a partir denhastan−k+ 1inclusivamente. Esto es
Akn= n!
(n−k)! =n(n−1)· · ·(n−k+ 1),0≤k≤n
PERMUTACIONES
El número de variaciones denelementos tomadosna la vez se llamanpermutaciones. Esto es
Pn=Ann=
n! (n−n)! =
n!
0! =n! =n(n−1)· · ·1
Se toma por convención que0! = 1 COMBINACIONES (AB=BA)
Las combinaciones de n elementos tomados k a la vez son todos los subconjuntos dekelementos del conjunto den ele-mentos, se consideran diferentes los subconjuntos que tengan distinta composición en sus elementos. Subconjuntos que no se distingan salvo por el orden de sus elementos no se consi-deran diferentes. El número de combinaciones denelementos tomadoska la vez es:
Cnk=
n
k
= n!
k!(n−k)!,k≤n
Algunas propiedades de la combinatoria son:
1.
n
k
=
n
n−k
2.
n
k
+
n
k+ 1
=
n+ 1
k+ 1
3.
n k
+
n k−1
=
n+ 1
k
4.
n
0
+
n
1
+· · ·+
n n
= 2n
5.
n
0
−
n
1
+· · ·+ (−1)n
n n
= 0
TRIÁNGULO DE PASCAL
1 → (a+b)0
1 2 1 → (a+b)2
1 3 3 1 → (a+b)3
1 4 6 4 1 → (a+b)4
1 5 10 10 5 1 → (a+b)5
FÓRMULA DEL BINOMIO DE NEWTON Paraa, b∈Ryn∈Ntenemos:
(a+b)n=
n X k=0
n k
an−kbk=
n
0
an+· · ·+
n n−1
abn−1+
n n
bn
GEOMETRÍA
DIAGONALES DE UN PARALELOGRAMO
1. Las diagonales de un paralelogramo se cortan en sus puntos medios.
2. La suma de los cuadrados de las longitudes de un pa-ralelogramo es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de sus lados.
RECTAS NOTABLES
1. Unalturade un triángulo, se traza desde el vértice y en forma perpenducular con la base o con la prolongación de la base de un triángulo.
2. Una medianade un triángulo se traza desde el vértice hasta el punto medio del lado opuesto al vértice.
3. Una mediatriz de un triángulo se traza en forma per-pendicular por el punto medio del lado.
4. Una bisectriz de un ángulo interno de un triángulo es una recta que se traza de tal forma que divida el ángulo en dos ángulos de igual medida.
PUNTOS IMPORTANTES
1. Las tresalturasde un triángulo son concurrentes en un punto llamadoortocentro.
2. Las tresmedianasde un triángulo son concurrentes en un punto llamadobaricentro ocentroide.
3. Las tres mediatricesde un triángulo son concurrentes en un punto llamadocircuncentro.
El circuncentro de un triángulo es el centro del círculo circunscrito.
4. Las tresbisectricesde un triángulo son concurrentes en un punto llamadoincentro.
LA RECTA DE EULER
El ortocentro O, el centroide G y el circuncentro C de cual-quier triángulo, yacen sobre una misma recta y satisfacen que
OG= 2GC
TRIÁNGULOS SEMEJANTES
En dos triángulos semejantes se tiene que la razón de:
1. sus perímetros es igual a la razón de semejanza.
2. dos alturas correspondientes es igual a la razón de se-mejanza.
3. sus áreas es igual al cuadrado de la razón de semejanza.
4. las bisectrices de dos ángulos correspondientes es igual a la razón de semejanza.
TEOREMAS DE THALES DE MILETO
T1: Si en un triángulo se traza una recta paralela a cualquiera de sus lados, se obtiene un triángulo que es semejante al triángulo dado. A
C
B
D E
C1: Si en un triángulo se traza una recta parale-la a cualquiera de sus parale- la-dos a través de los punto medios de los otros dos la-dos, entoncesmAB= 2DE. A
C
B 2x
D x E
T2: Sea B un punto de la circunferencia de diámetro AC, distinto de A y de C. En-tonces el triángulo ABC, es
un triángulo rectángulo en B. A C
B
O
C1: En todo triángulo rectángulo la longitud de la me-diana correspondiente a la hipotenusa es siempre la mitad de la misma.
C2: La circunferencia circunscrita a todo triángulo rec-tángulo siempre tiene radio igual a la mitad de la hipotenusa y su circuncentro se ubicará en el punto medio de la misma.
TEOREMA DE LA BISECTRIZ
La bisectriz interior de un ángulo de un triángulo, divide al lado opuesto en segmentos proporcionales a los lados adjun-tos.
A B
C
D
α α
DC
AC =
BD AB
RAZÓN DE LOS SEGMENTOS DE UNA MEDIANA El baricentro o centroide divide a cada mediana en dos seg-mentos cuya razón es2 : 1.
A B
C
Q P
CP
P Q =
2 1
NOTA: La mediana biseca el área del triángulo.
TRIÁNGULO RECTÁNGULO
C
b
A
c
B
h
m
n
Considere el triánguloABC rectángulo enA,hla altu-ra taltu-razada desde A sobre BC, ym, nlas longitudes de las proyecciones sobre los catetosAByAC sobre la hipotenusa
BC. SiAB=c,AC=byBC=aentonces:
1. Teorema de Pitágoras.:
a2=b2+c2
2. Teorema del cateto.:
b2=a·n
3. Teorema del cateto.:
c2=a·m
4. Teorema de la altura.:
h2=m·n
5. b·c=a·h
6. 1
h2 =
1
b2+ 1
TERNAS PITAGÓRICAS
Se llaman ternas pitagóricas a tres números enteros positivos (a, b, c)que satisfagan el teorema de Pitágoras, es decir que:
a2+b2=c2 dondec representa la mayor de las medidas.
1. (3,4,5)
2. (5,12,13)
3. (7,24,25)
4. (8,15,17)
5. (9,40,41)
6. (11,60,61)
7. (12,35,37)
8. (13,84,85)
9. (15,112,113)
10. (16,63,65)
11. (17,144,145)
12. (19,180,181)
13. (20,21,29)
14. (20,99,101)
15. (21,220,221)
16. (23,264,265)
17. (24,143,145)
18. (25,312,313)
19. (28,45,53)
20. (28,195,197)
21. (33,56,65)
22. (36,77,85)
23. (39,80,89)
24. (44,117,125)
25. (48,55,73)
26. (51,140,149)
27. (52,165,173)
28. (57,176,185)
29. (60,91,109)
30. (65,72,97)
31. (69,260,269)
32. (84,187,205)
33. (85,132,157)
34. (88,105,137)
35. (95,168,193)
TRIÁNGULOS ESPECIALES
430◦−60◦
c.c.
A
hip
B
c.l.
C
60◦ 30◦c.c. ×2 hip
×√3
c.l.
445◦−45◦
c2
A
hip
B
c1
C
45◦ 45◦
c1
×√2
hip
=
c2
415◦−75◦
(√6 +√2)k
A
4k
B
(√6−√2)k
C
15◦ 75◦
LEY DE SENOS
A c
B
a
C
b
R
a
senA = b
senB = c
senC (= 2R)
dondeR es el radio del circuncírculo. LEY DE COSENOS
A c B
a
C
b
a2=b2+c2−2bc·cosA b2=a2+c2−2ac·cosB c2=a2+b2−2ab·cosC
LEY DE TANGENTES
a−b
a+b =
tanA−2B tanA+2B
LEY DE COTANGENTES
cotA=b
2+c2−a2
4·S S :área del triángulo.
FÓRMULAS DE ÁREA PARA TRIÁNGULOS
Considere el triánguloABC de áreaS,rradio del incírculo,
Rradio del circuncírculo,pel perímetro ysel semiperímetro.
1. S= 12·a·ha = 12·b·hb = 12·c·hc dondeha, hb, hc son las alturas trazadas desde los vérticesA, B, C res-pectivamente.
2. S=12·b·c·senA=12·c·a·senB =12·a·b·senC
3. S=a·b·c 4R
4. S=p·r
5. S=ps·(s−a)·(s−b)·(s−c) Fórmula de Herón
POTENCIA DE UN PUNTO
La potencia de un punto M con respecto a un círculo de centroOy radioRes definido comoPM =OM2−R2. Esta es positiva siM está fuera del círculo, negativa si está dentro y cero si está en la circunferencia.
Para cualquier recta pasando por M que interseca a la cir-cunferencia en AyB (incluyendo el casoA=B, cuando la recta es tangente), se tiene:PM =M A·M B
Si MA y MB son segmentos tangentes.
O A
M
B
M A=M B
Si MB es segmento tangente.
O C
A
M
B
M A·M C=M B2
O C
D A
M
B
M A·M C=M B·M D
A
B D
C
M
M A·M B=M C·M D
CUADRILÁTERO CONCÍCLICO Definición Un cuadrilátero es concí-clico si sus vértices yacen sobre una misma circunferencia. La suma de los ángulos opuestos en un cuadrilátero concíclico son suplementarios.
A
B
C D
TEOREMA DE TOLOMEO
Si ABCD es un cuadrilátero concí-clico convexo, con diagonales AC y
BD, entonces:AC·BD=AB·CD+
AD·BC
A
B
C D
TEOREMA DE MENELAO
Si una recta interseca los lados BC y AC y la prolonga-ción del lado AB de un triángulo en los puntosP,Q y R, entonces:
B A
C P
R Q
BP P C ·
CQ
QA·
AR
RB = 1
TEOREMA DE CEVA
Tres cevianas son cocurrentes si BX
XC ·
CY Y A ·
AZ
ZB = 1
A B
C
X Y
Z P
Definición: Se llama ceviana
a cualquier segmento trazado desde el vértice de un trián-gulo a cualquier punto del la-do opuesto.
TEOREMA DE EULER
El número de caras más el número de vértices de un poliedro es igual a su número de aristas menos 2.
C+V =A+ 2
DIAGONALES DE UN POLÍGONO CONVEXO
A B
C D E
F
D=
n
2
−n=n(n−3) 2
n: cantidad de lados.
PROBABILIDAD
SiU es el universo asociado a una experiencia aleatoria consi-derada yAa cualquier evento, esto es cualquier subconjunto de U, se denota con P(A) la “medida de certeza” que se asignará a la ocurrenciaA. Dicha medida, satisface:
1. P(A)≥0para todo eventoA deU.
2. P(A∪B) =P(A)+P(B),AyBeventos excluyentes.
3. P(U) = 1siU es el universo.
Regla de Laplace:
P(A) =Card(A)
Card(U) =
número de “casos favorables” número de “casos posibles”
Propiedades:
1. P(A) = 1−P(A)
2. P(∅) = 0
3. P(A∪B) =P(A) +P(B)−P(A∩B)
4. P(A/B) =PP(A(∩BB))
5. P(A∩B) =P(A)·P(B);AyBeventos independien-tes.
6. P(A∪B) =P(A)·P(B/A); A yB eventos depen-dientes.
Probabilidad binomial:
p(X =k) =
n k
pkqn−k
Donde:
1. n: número de pruebas
2. k: número de éxitos
3. p: prob. de éxito
TRIGONOMETRÍA Razones trigonométricas:
A
cat. ady.B
cat. op.C
hip. α
1. sen(α) =cat. op.
hip.
2. cos(α) =cat. ady
hip.
3. tan(α) = cat. op.
cat. ady.
4. csc(α) = hip.
cat. op.
5. sec(α) = hip.
cat. ady.
6. cot(α) =cat. ady.
cat. op.
El círculo trigonométrico:
x
y
(cos(α),sen(α))
1
y
x
α
Identidades pitagóricas:
1. sen2(α) + cos2(α) = 1
2. 1 + tan2(α) = sec2(α)
3. 1 + cot2(α) = csc2(α)
Identidades de tangente y cotangente
1. tan(α) = sen(α)
cos(α) 2. cot(α) = cos(α) sen(α)
Fórmulas de suma y diferencia
1. sen(α±β) = sen(α) cos(β)±sen(β)cos(α)
2. cos(α±β) = cos(α) cos(β)∓sen(α)sen(β)
3. tan(α±β) = tan(α)±tan(β) 1∓tan(α) tan(β)
Fórmulas de ángulo doble
1. sen(2α) = 2 sen(α) cos(β)
2. cos(2α) = cos2(α)−sen2(α)
3. tan(2α) = 2 tan(α) 1−tan2(α) Identidades de ángulo negativo
1. sen(−α) =−sen(α)
2. csc(−α) =−csc(α)
3. cos(−α) = cos(α)
4. sec(−α) = sec(α)
5. tan(−α) =−tan(α)
6. cot(−α) =−cot(α)
Identidades por periodo
1. sen(α±2kπ) = sen(α)
2. csc(α±2kπ) = csc(α)
3. cos(α±2kπ) = cos(α)
4. sec(α±2kπ) = sec(α)
5. tan(α±kπ) = tan(α)
6. cot(α±kπ) = cot(α)
Identidades de cofunciones
1. senπ 2 −α
= cos(α)
2. cosπ 2 −α
= sen(α)
3. secπ 2 −α
= csc(α)
4. cscπ 2 −α
= sec(α)
5. tanπ 2 −α
= cot(α)
6. cotπ 2 −α
= tan(α)
Identidades de recíproco.
1. sen(α) = 1 csc(α)
2. csc(α) = 1 sen(α)
3. cos(α) = 1 sec(α)
4. sec(α) = 1 cos(α)
5. tan(α) = 1 cot(α)
6. cot(α) = 1 tan(α)
Fórmulas de reducción de potencia.
1. sen2(α) =1−cos(2α) 2
2. cos2(α) =1 + cos(2α) 2
3. tan2(α) = 1−cos(2α) 1 + cos(2α)
Identidades de suma a producto.
1. sen(α) + sen(β) = 2 sen
α+β
2
cos
α−β
2
2. sen(α)−sen(β) = 2 cos
α+β
2
sen
α−β
2
3. cos(α) + cos(β) = 2 cos
α+β
2
cos
α−β
2
4. cos(α)−cos(β) =−2 sen
α+β
2
sen
α
−β
2
Identidades de producto a suma.
1. sen(α) sen(β) = 12(cos(α−β)−cos(α+β))
2. cos(α) cos(β) = 12(cos(α−β) + cos(α+β))
3. sen(α) cos(β) = 12(sen(α+β) + sen(α−β))
4. cos(α) sen(β) = 1
