Comportamiento dinámico de pasarelas peatonales

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(1) . COMPORTAMIENTO DINÁMICO DE PASARELAS PEATONALES TRABAJO FIN DE MÁSTER Autor: Luis Moya Guindo Director: D. Francisco Martínez Cutillas . U n i v e r s i d a d P o l i t é c n i c a d e M a d r i d S e p t i e m b r e d e 2 0 1 5 .

(2) COMPORTAMIENTO DINÁMICO DE PASARELAS PEATONALES . Master en Estructuras, Materiales y Cimentaciones. UPM . Luis Moya Guindo . . ÍNDICE . CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN ........................................................................................... 4 1.1. EL FENÓMENO DE LA INESTABILIDAD LATERAL ............................................ 5 1.1.1. Antecedentes .................................................................................................................... 5 1.1.2. Descripción del fenómeno ........................................................................................... 6 1.1.3. Vulnerabilidad frente inestabilidades laterales ................................................... 8 1.2. OTROS FENÓMENOS NATURALES DE SINCRONIZACIÓN .............................. 9 1.3. FUERZAS DE REACCIÓN INDUCIDAS POR EL PEATÓN ................................... 9 1.4. ESTADO DEL ARTE .................................................................................................. 12 1.5. OBJETIVOS DEL TRABAJO ..................................................................................... 13 CAPÍTULO 2. MODELOS ..................................................................................................... 14 2.1. MODELO DE ARUP ...................................................................................................... 14 2.1.1. INTRODUCCIÓN .................................................................................................... 14 2.1.2. DESCRIPCIÓN DE LOS ENSAYOS ...................................................................... 14 2.1.3. DETERMINACIÓN DE LAS CARGAS ................................................................. 14 2.1.3.1. Bases teóricas ................................................................................................................ 14 2.1.3.2. Procesamiento de los resultados ............................................................................ 18 2.1.4. DESCRIPCIÓN DEL MODELO ............................................................................. 22 2.1.5. CONDICIONES PARA LA ESTABILIDAD ......................................................... 26 2.2. MODELO DE MACDONALD .................................................................................... 29 2.2.1. INTRODUCCIÓN .................................................................................................... 29 2.2.2. ECUACIÓN DE MOVIMIENTO ............................................................................ 29 2.2.2.1. Solución para plataforma estática .......................................................................... 30 2.2.2.2. Solución para plataforma móvil .............................................................................. 34 2.2.3. CONTENIDO EN FRECUENCIAS DE LA FUERZA LATERAL ........................ 37 2.2.4. AMORTIGUAMIENTO NEGATIVO .................................................................... 40 2.2.5. CONCLUSIONES ..................................................................................................... 42 2.3. MODELO DE STROGATZ ........................................................................................ 44 2.3.1. INTRODUCCIÓN .................................................................................................... 44 2.3.2. DESCRIPCIÓN DEL MODELO ............................................................................. 44 2.3.3. ECUACIONES PROMEDIADAS ........................................................................... 45 2.3.4. NÚMERO CRÍTICO DE PEATONES ................................................................... 48 2.3.5. MEDIDA DEL GRADO DE SINCRONIZACIÓN ................................................. 49 2.3.6. EJEMPLO DE SIMULACIÓN ................................................................................. 49 2.3.7. CONCLUSIONES ..................................................................................................... 55 2.4. MODELO PROPIO ..................................................................................................... 58 . . 2 .

(3) Luis Moya Guindo Master en Estructuras, Materiales y Cimentaciones. UPM 2.4.1. INTRODUCCIÓN .................................................................................................... 58 COMPORTAMIENTO DINÁMICO DE PASARELAS PEATONALES . 2.4.2. OSCILADOR ARMÓNICO SOMETIDO A FUERZA DE ROZAMIENTO ....... 58 2.4.3. MODELOS SENCILLOS DE EXCITACIÓN LATERAL ...................................... 61 2.4.3.1. Modelo con fuerza lateral periódica constante .................................................. 61 2.4.3.2. Modelo con fuerza lateral periódica proporcional a la amplitud y amortiguamiento no viscoso ................................................................................................... 62 2.4.3.3. Modelo con fuerza lateral periódica proporcional a la amplitud y amortiguamiento viscoso ......................................................................................................... 66 CAPÍTULO 3. CONCLUSIONES Y FUTURAS LÍNEAS DE INVESTIGACIÓN ............ 72 3.1. VALIDACIÓN EXPERIMENTAL DE LOS MODELOS ......................................... 72 3.2. CONCLUSIONES ......................................................................................................... 74 3.3. RECOMENDACIONES PARA FUTURAS LÍNEAS DE INVESTIGACIÓN ........ 75 REFERENCIAS ....................................................................................................................... 77 APÉNDICE. COMANDOS DE MATHEMATICA ............................................................... 80 A1. MODELO DE ARUP ....................................................................................................... 80 A2. MODELO DE MACDONALD ........................................................................................ 81 A3. MODELO DE STROGATZ ............................................................................................. 83 A4. MODELO PROPIO ......................................................................................................... 86 . . 3 .

(4) COMPORTAMIENTO DINÁMICO DE PASARELAS PEATONALES. Master en Estructuras, Materiales y Cimentaciones. UPM. Luis Moya Guindo. CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN El sábado 10 de junio del año 2000 se inauguraba oficialmente el Millennium Bridge, una pasarela peatonal suspendida sobre el Támesis llamada a ser uno de los grandes atractivos de la ciudad de Londres. Su diseño innovador había corrido a cargo de un equipo multidisciplinar integrado por el prestigioso estudio de arquitectura Foster&Partners, la firma de ingeniería Arup y el reputado escultor Sir Anthony Caro. Miles de personas se agolpaban el día de su apertura dispuestas a recorrer los 332 metros que separan Peter’s Hill, en la orilla norte del río, de la catedral de Saint Paul, en la orilla sur. Sin embargo, en el transcurso de pocos minutos, el puente comenzó a experimentar vibraciones laterales imprevistas, con amplitudes de hasta 70mm en el vano central.. Ilustración 1.1. Vista del Millennium Bridge desde Peter's Hill. Fuente: es.wikipedia.org. Las imágenes de vídeo capturadas a lo largo del día de la inauguración muestran claramente como un número significativo de los peatones modificaba su forma de caminar para adaptarse al movimiento del puente con la intención de mantener el equilibrio, mientras otros, visiblemente incómodos, se aferraban a las balaustradas a ambos lados del tablero. Los movimientos tuvieron lugar, fundamentalmente, en el vano sur, con una frecuencia de 0.8Hz, y en el vano central, con frecuencia de 1.0Hz (ambas frecuencias corresponden al primer modo lateral del vano en cuestión). Ocasionalmente, también se produjeron movimientos excesivos en el vano norte. Asimismo, se observó que la amplitud de las oscilaciones no era proporcional al número de peatones sobre la plataforma, sino que esta únicamente se disparaba cuando el número de viandantes superaba un cierto valor crítico. La pasarela fue clausurada sine die dos días más tarde con objeto de investigar el fenómeno en profundidad y disponer las medidas precisas para su correcto funcionamiento.. 4.

(5) COMPORTAMIENTO DINÁMICO DE PASARELAS PEATONALES. Master en Estructuras, Materiales y Cimentaciones. UPM 1.1.. Luis Moya Guindo. EL FENÓMENO DE LA INESTABILIDAD LATERAL. 1.1.1. Antecedentes Los fenómenos de inestabilidad en puentes peatonales debidos a efectos resonantes son conocidos, al menos, desde que a mediados del siglo XIX se produjera el colapso del puente de Broughton, en Manchester, mientras una tropa de 74 soldados lo cruzaba marcando el paso. La mayor parte de las patologías registradas se asociaban, sin embargo, a cargas dinámicas verticales, las cuales representan aproximadamente el 40% del peso del peatón. Por el contrario, las cargas laterales, de magnitud alrededor de una décima parte de las verticales (sobre plataforma inmóvil), se suponían aleatorias y tendentes a anularse en una multitud, con escasa repercusión sobre el funcionamiento de la estructura. Ilustración 1.2. Advertencia. junto al Albert Bridge, Londres. Fuente: BBC documentaries.. Los llamativos sucesos acontecidos en el Millennium Bridge atrajeron de inmediato el interés de la comunidad técnica hacia un fenómeno que, hasta ese momento, había recibido escasa atención. No era, sin embargo, la primera vez que una pasarela peatonal experimentaba vibraciones laterales excesivas cuando un número importante de peatones circulaba sobre ella. Tan solo un año antes, en 1999, un puente peatonal en arco sobre el río Sena, el Pont de Solferino, en París, había sido cerrado al público por motivos similares, si bien en esta ocasión no se había logrado identificar la causa.. Ilustración 1.3. Puente de Solferino, París. Fuente: es.wikipedia.org. Otro caso reseñable tuvo lugar en un puente atirantado en Japón en la década de los 90’, el T-‐bridge. La pasarela, que comunicaba una estación de autobuses con un centro deportivo, experimentaba periódicamente vibraciones con amplitudes de hasta 1cm cuando, con motivo de algún evento, era cruzada por una multitud. 5.

(6) Luis Moya Guindo Master en Estructuras, Materiales y Cimentaciones. UPM Fujino (1993) condujo una campaña experimental consistente en el seguimiento por videocámara de un cierto número de peatones. Su publicación, “Synchronization of human walking observed during lateral vibration of a congested pedestrian bridge” [1] constituye una de las primeras en la materia, y en él ya identificaba la sincronización de los peatones con la frecuencia de resonancia de alguno de los modos de vibración lateral de la estructura como la causa de las inestabilidades observadas. Su estudio, aunque aún con un carácter marcadamente cualitativo, ya ofrecía algunas pautas y modelos de carga que, probablemente, habrían ayudado a evitar los problemas observados en el Millennium Bridge y en el Pont de Solferino, además de poner de manifiesto un fenómeno no contemplado en la normativa internacional ni en los códigos de buena práctica, por el momento centrados en el efecto de las acciones verticales. COMPORTAMIENTO DINÁMICO DE PASARELAS PEATONALES . 1.1.2. Descripción del fenómeno . Los primeros ensayos a gran escala fueron llevados a cabo tras los sucesos del Millennium Bridge por la Universidad de Southampton y el Imperial College sobre plataformas construidas al efecto. Desde entonces, la explicación más extendida del fenómeno de inestabilidad lateral afirma que esta se debe, esencialmente, a la sincronización del paso de los peatones con el movimiento del puente, de modo que estos inducirían una fuerza lateral con frecuencia igual a la frecuencia de resonancia de la estructura y en fase con la velocidad. El grado de acoplamiento, o dicho de otra forma, la probabilidad de que una cierta fracción de los peatones ajuste su paso al balanceo del puente, aumentaría con la amplitud (o la velocidad) de las oscilaciones, puesto que la sensación de incomodidad llevaría a un número creciente de ellos a modificar su forma de caminar. Esta modificación del paso implicaría, además, un incremento de la separación entre ambos pies, por lo que la fuerza ejercida por el peatón individual también aumentaría con la amplitud. Así, la carga lateral resultante de la interacción peatón-‐estructura sería una fuerza auto-‐excitante, en el sentido de que esta aporta mayor energía al sistema a medida que aumenta la amplitud y, recíprocamente, la amplitud aumenta en mayor medida cuanto mayor sea la energía recibida, formando un círculo vicioso comúnmente referido en la literatura técnica como “excitación lateral sincronizada” (SLE) o “lock-‐ in”. . . Ilustración 1.4. Arriba, Factor dinámico de carga lateral (relación entre fuerza lateral y peso del peatón) VS. Amplitud; Abajo, probabilidad de “lock-‐in” VS. Amplitud. Resultados obtenidos por el Imperial College. Fuente: [2] . 6 .

(7) Luis Moya Guindo Master en Estructuras, Materiales y Cimentaciones. UPM Poco después, un equipo de Arup integrado, entre otros, por Pat Dallard y Tony Fitzpatrick, llevó a cabo una campaña de ensayos en el propio Millennium Bridge COMPORTAMIENTO DINÁMICO DE PASARELAS PEATONALES . Ilustración 1.5. Aceleración lateral en el vano norte del Millennium Bridge a medida que aumenta el número de peatones sobre la pasarela en un experimento controlado. Fuente: [6] en la que encontraron una relación aproximadamente lineal entre la fuerza en fase con la velocidad del peatón individual (“correlated excitation force”) y la velocidad local del puente [2][5][6]. De acuerdo con esta importante relación, las fuerzas inducidas por los peatones tendrían el efecto de un “amortiguamiento negativo”. Este hallazgo permitió desarrollar un primer modelo matemático del fenómeno, según el cual la amplitud de las vibraciones aumentaría incontroladamente cuando dicho efecto fuese superior al amortiguamiento de la estructura. Sin embargo, la interpretación anterior del fenómeno es actualmente motivo de controversia. Macdonald (2008) cita algunas importantes observaciones efectuadas durante el estudio del puente de Clifton, en Reino Unido, que plantean interrogantes sobre el “lock-‐in” como responsable de la inestabilidad lateral [3]: 1. Los movimientos del puente tuvieron lugar según el segundo modo lateral, con una frecuencia de 0.524Hz, mientras que la frecuencia “natural” del peatón promedio es, aproximadamente, de 1.0Hz. Resulta extraño que un número significativo de peatones adecuaran su paso a una frecuencia tan baja, particularmente cuando existían otros modos laterales con frecuencias más próximas (modo L3, 0.746Hz y modo L4, 0.965Hz). 2. Una vez que las vibraciones se habían estabilizado según el modo L2, aparecieron espontáneamente componentes del modo L3, por lo que la sincronización no tenía lugar respecto de un único modo lateral. 3. Si existiera sincronización lateral con alguno de los modos de vibración, también debería existir una sincronización vertical con una frecuencia igual al doble de la frecuencia de resonancia lateral. Sin embargo, el espectro de respuesta vertical no mostraba evidencia alguna de sincronización. En lugar de ello, dicho espectro presentaba una composición de frecuencias comprendidas entre 1.5-‐2.1Hz, como cabría esperar de una forma de caminar aleatoria. También Brownjohn et al. (2004) señalan este factor en su análisis del puente de Changi Mezzanine [4]. . . 7 .

(8) Luis Moya Guindo Master en Estructuras, Materiales y Cimentaciones. UPM Como se verá en apartados posteriores, Macdonald plantea un modelo en el que la estrategia seguida por el peatón para mantener el equilibrio consiste en la modificación de la amplitud lateral de sus pasos, manteniendo constante la frecuencia. Esta estrategia es, al igual que la sincronización, capaz de generar fuerzas laterales auto-‐excitantes, si bien las simulaciones efectuadas no son del todo consistentes con los resultados experimentales. Así mismo, aún admitiendo la excitación lateral sincronizada como causante de las inestabilidades, existen dudas respecto al mecanismo de iniciación, dado que sería de esperar que, al caminar sobre una plataforma inicialmente estática, las frecuencias de los peatones fueran, al menos en una primera fase, aleatorias. Fitzpatrick et al. (2001) señalan que el comienzo de las oscilaciones podría deberse a la sincronización que surge de manera natural en una multitud como consecuencia de la proximidad entre los peatones, sin necesidad de que, en un primer momento, exista interacción entre peatón y estructura [5]. Otra explicación alternativa es la planteada por Macdonald (2008) [3], según la cual la fuerza lateral ejercida por los peatones puede presentar una componente en la frecuencia de resonancia de la estructura capaz de iniciar el movimiento aun cuando cada uno de ellos mantenga su frecuencia “natural” de paso. COMPORTAMIENTO DINÁMICO DE PASARELAS PEATONALES . 1.1.3. Vulnerabilidad frente inestabilidades laterales . El rango de frecuencias “naturales” de los peatones suele estar comprendido entre 0.8-‐1.3Hz, por lo que cualquier pasarela con una frecuencia de resonancia inferior a 1.3Hz según alguno de sus modos normales es potencialmente susceptible de experimentar movimientos laterales excesivos [6]. En la práctica, dicho rango de frecuencias es habitual en pasarelas de gran luz, independientemente del material utilizado, tal y como se observa en la figura. Por otro lado, el amortiguamiento requerido es directamente proporcional al número de peatones que hacen uso de la estructura de forma simultánea e inversamente proporcional a su masa modal. Por tanto, cuanto menores sean la masa modal y el amortiguamiento de la pasarela, y mayor el número de personas sobre ella, mayor será la probabilidad de que tengan lugar vibraciones laterales de gran amplitud. . . . Ilustración 1.6. Frecuencias laterales de diversas pasarelas en relación a su luz. Frecuencias por debajo de 1.3Hz son muy habituales. Fuente: [6] . 8 .

(9) Luis Moya Guindo Master en Estructuras, Materiales y Cimentaciones. UPM 1.2. OTROS FENÓMENOS NATURALES DE SINCRONIZACIÓN La sincronización entre peatones que, presumiblemente, tiene lugar como resultado de su interacción con la superficie subyacente no constituye en absoluto un caso aislado. Numerosos fenómenos naturales, desde la neurología hasta la física, exhiben patrones de respuesta análogos, lo cual permite su estudio dentro de un mismo marco matemático. Entre otros, se han encontrado evidencias de sincronización en los siguientes sistemas naturales [7]-‐[11]. ! Emisión de luz sincronizada en cierta especie de luciérnagas presentes en el sureste asiático. ! Sincronización del aplauso entre los asistentes a un auditorio. ! Contracciones sincronizadas de los músculos del corazón para crear un latido coherente. ! Ritmos circadianos en todos los organismos vivos, desde células procariotas hasta seres humanos. ! Sincronización en bancos de peces y bandadas de aves para protegerse de los depredadores. ! Actividad neuronal relacionada con la percepción y el procesamiento de estímulos externos. ! Enfermedades neurológicas, como la epilepsia. ! Oscilaciones en ciertas reacciones químicas, como la reacción de Belousov-‐ Zhabotinsky. ! Sincronización de relojes pendulares unidos por un soporte común (sincronización de Huygens, ya observada en el siglo XVII). COMPORTAMIENTO DINÁMICO DE PASARELAS PEATONALES . Así mismo, el fenómeno natural de la sincronización se ha utilizado con éxito para la fabricación de algunos artefactos, tales como el rayo láser, formado por pequeños osciladores moleculares radiando energía electromagnética con la misma longitud de onda, o las uniones de Josephson, dispositivos superconductores ampliamente utilizados en electrónica capaces de generar oscilaciones de voltaje de alta frecuencia. Actualmente existen modelos matemáticos que facilitan el estudio de muchos de estos fenómenos. Entre ellos, el que goza de mayor difusión en la literatura técnica y científica es el llamado modelo de Kuramoto, un modelo de gran generalidad que permite el análisis de la sincronización en sistemas de osciladores no lineales, como los que caracterizan la interacción hombre-‐estructura en pasarelas peatonales. La aplicación de dicho modelo, con algunas modificaciones, se expondrá con mayor detalle en el apartado dedicado al modelo planteado por Strogatz et al. en la revista Nature [12]. 1.3. FUERZAS DE REACCIÓN INDUCIDAS POR EL PEATÓN Las fuerzas de reacción ejercidas al caminar se deben a la aceleración/deceleración del centro de masas del peatón, y se transfieren al suelo . . 9 .

(10) Luis Moya Guindo Master en Estructuras, Materiales y Cimentaciones. UPM a través del contacto entre este y el pie. La fuerza inducida puede descomponerse según tres vectores perpendiculares entre sí: vertical (Superior-‐Inferior), longitudinal (Anterior-‐Posterior) y lateral (Medial-‐Lateral) (Ingólfsson, 2011) [13]. En la figura siguiente se muestra la forma típica de cada una de estas componentes. COMPORTAMIENTO DINÁMICO DE PASARELAS PEATONALES . . Ilustración 1.7. Forma típica de las fuerzas de reacción inducidas por el peatón sobre plataforma estática. Fuente: [13]. . La forma precisa de las fuerzas anteriores depende del peso del sujeto y de su manera particular de caminar, que puede definirse, según Racic et al. (2009) [14], citado por Ingólfsson, mediante tres parámetros espaciales (longitud de zancada, longitud del paso y amplitud del paso) y dos parámetros temporales (velocidad de avance y frecuencia). Algunos otros autores también mencionados por Ingólfsson, como Yamasaki et al. (1999) [15] y Bertram y Ruina (2001) [16], han encontrado relaciones aproximadamente lineales entre la velocidad de avance y la frecuencia y longitud del paso, las cuales presentan, además, una gran dispersión en razón de género y edad. . . Ilustración 1.8. Frecuencia (izquierda) y longitud del paso (derecha) VS. Velocidad según Yamasaki (1999) y Bertram y Ruina (2001). Fuente: [13] . 10 .

(11) Luis Moya Guindo Master en Estructuras, Materiales y Cimentaciones. UPM Como se observa en la figura anterior, la frecuencia de paso está comprendida, para velocidades normales de avance, en el rango 1.5-‐2.8Hz (0.75-‐1.4Hz para el ciclo lateral completo pie derecho-‐pie izquierdo). Sin embargo, debe notarse que para velocidades de avance bajas (como las habituales en una multitud), la frecuencia puede reducirse hasta 0.7Hz (0.35Hz para el ciclo completo). Con vistas al estudio de la interacción entre peatón y estructura, resulta de interés expresar las fuerzas ejercidas por aquél en términos de series de Fourier, dado que los armónicos dominantes pueden inducir efectos resonantes. La siguiente tabla muestra las componentes principales de dichas fuerzas según las mediciones efectuadas por diversos autores sobre una plataforma inmóvil. Estas componentes se presentan en forma de “factor de carga dinámica”, esto es, como una fracción del peso del peatón. Tabla 1.1. Componentes de los armónicos principales de las fuerzas ejercidas al caminar sobre plataforma estática según diversos COMPORTAMIENTO DINÁMICO DE PASARELAS PEATONALES . autores. Fuente: [17] . No obstante, las mediciones anteriores corresponden a la forma normal de caminar sobre una superficie inmóvil. Las cargas laterales inducidas como resultado de la interacción peatón-‐estructura son altamente complejas y dependientes de numerosos factores biológicos, mecánicos y psicológicos. Los principales efectos de esta aleatoriedad son [13]: 1. Cada peatón responderá de forma diferente a las vibraciones de la plataforma, induciendo cargas laterales distintas (variabilidad inter-‐ subjetiva). 2. Pequeñas variaciones en la forma de caminar de un mismo peatón implican que la carga ejercida por este sea una variable aleatoria de banda estrecha, en lugar de una carga perfectamente periódica (variabilidad intra-‐ subjetiva). Además, un mismo peatón puede comportarse de forma diferente en dos situaciones idénticas. Actualmente, el estado del conocimiento en lo relativo a estos efectos es escaso y, hasta la fecha, existen pocos estudios que ayuden a esclarecer la forma en que cada peatón dentro de una multitud reacciona al movimiento de la superficie sobre la que camina. . . 11 .

(12) Luis Moya Guindo Master en Estructuras, Materiales y Cimentaciones. UPM 1.4. ESTADO DEL ARTE Aunque los trabajos de Fujino (1993) [1] ya habían puesto de manifiesto la falta de atención de la normativa hacia el fenómeno de la inestabilidad lateral, ninguno de los más modernos códigos de práctica en vigor en el año 2000, como el británico (BS 5400, 1978) [18], el americano (AASHTO, 1997) [19], el canadiense (OHBDC, 1983) [20] o el europeo (ENV 1995-‐2, 1997) [21], tenían en cuenta este efecto. COMPORTAMIENTO DINÁMICO DE PASARELAS PEATONALES . En 2002, después del caso del Millennium Bridge, se convocaron varias conferencias internacionales que supusieron el comienzo de un buen número de programas de investigación que tenían por objeto la actualización de la normativa y la elaboración de guías de diseño de pasarelas, especialmente orientadas al análisis dinámico (FIB, 2005 [22]; Sétra, 2006 [23], Butz et al., 2007 [24]; Willford and Young, 2006 [25]; Brownjohn et al., 2009 [26]; NA to BS EN 1991-‐2 UK, 2008 [27]). . La mayoría de estas guías de diseño plantean modelos sencillos como el de Arup (Fitzpatrick, Dallard et al., 2001). No obstante, la comunidad técnica está aún lejos de encontrar una explicación plenamente satisfactoria al fenómeno de la inestabilidad lateral en pasarelas, sobre la que no han dejado de publicarse trabajos hasta la fecha desde los más diversos enfoques [28] (estadística, matemática y física aplicada, biomecánica, transporte, mecánica estructural etc.) De forma general, los estudios publicados en esta área pueden dividirse en tres categorías [12]: 1. Ensayos controlados en puentes ya construidos para verificar su susceptibilidad frente a inestabilidades laterales. Normalmente se estudian diversos escenarios y los resultados se evalúan en términos del número de peatones necesario para llegar a una divergencia en la amplitud de las vibraciones (número crítico). 2. Ensayos experimentales sobre plataformas móviles, mesas vibrantes u otro equipamiento para medir directamente las cargas laterales ejercidas por un número limitado de peatones frente a varias configuraciones de amplitud y frecuencia. 3. Modelos teóricos de evaluación de la respuesta, parcialmente contrastados con resultados empíricos. La tercera vía de investigación ha resultado, hasta la fecha, notablemente fructífera. En los últimos 15 años se han propuesto varios modelos que abordan el problema desde diferentes puntos de vista, y han ido ganando en complejidad a medida que la informática ofrece una mayor potencia de cálculo. Sin embargo, ninguno de los modelos teóricos propuestos es del todo consistente con los resultados experimentales. Además, las dos primeras vías de investigación no han aportado aún un bagaje suficiente de datos estadísticos que permitan calibrar adecuadamente los modelos, aumentar el número de parámetros ajustables y verificar su validez general. . . 12 .

(13) Luis Moya Guindo Master en Estructuras, Materiales y Cimentaciones. UPM Por todo ello, el fenómeno de la inestabilidad lateral es todavía un ámbito de la ingeniería abierto a estudio y en el que, presumiblemente, solo se alcanzarán avances más concluyentes cuando se disponga de un mayor número de datos experimentales. 1.5. OBJETIVOS DEL TRABAJO El objetivo del presente trabajo de fin de máster es realizar un breve repaso de algunos de los modelos matemáticos más prometedores que permiten predecir la respuesta dinámica de la estructura y su vulnerabilidad frente a vibraciones laterales excesivas, en función de sus características dinámicas y del número de peatones que transitan. En particular, se estudiarán los modelos de Arup (de base empírica), Strogatz et al. (basado en el modelo de Kuramoto) y Macdonald (modelo alternativo basado en la biomecánica). En todos ellos se llevarán a cabo simulaciones que permitan apreciar la adecuación del modelo matemático a la realidad física que pretende reproducir y se tratará de esclarecer sus posibles limitaciones y su validez general. Finalmente, se propondrá un modelo propio sencillo basado en una analogía con la fuerza de rozamiento que aparece entre un objeto y la superficie sobre la que se apoya cuando aquél es sometido a un movimiento armónico. COMPORTAMIENTO DINÁMICO DE PASARELAS PEATONALES . . 13 .

(14) COMPORTAMIENTO DINÁMICO DE PASARELAS PEATONALES . Master en Estructuras, Materiales y Cimentaciones. UPM . Luis Moya Guindo . . CAPÍTULO 2. MODELOS . . 2.1. MODELO DE ARUP . 2.1.1. INTRODUCCIÓN Tras los sucesos que tuvieron lugar en el día de su inauguración, el Millennium Bridge fue cerrado al público con objeto de investigar el fenómeno en profundidad. Un equipo de la compañía Arup liderado por Tony Fitzpatrick y Pat Dallard llevó a cabo varios ensayos con peatones in situ a fin de determinar las cargas ejercidas sobre la estructura. Como resultado, el equipo elaboró un modelo empírico simplificado que permite cuantificar el amortiguamiento requerido para prevenir el fenómeno de la inestabilidad lateral o, alternativamente, determinar el número máximo de peatones que admite la estructura para un amortiguamiento dado [2][5][6]. 2.1.2. DESCRIPCIÓN DE LOS ENSAYOS Los ensayos realizados consistieron en hacer circular a un grupo de personas en sentido anti-‐horario entre dos marcas de posición ubicadas en el eje longitudinal del puente. A medida que el ensayo avanzaba, se incrementaba el número de peatones involucrados en el mismo en pequeños grupos, hasta llegar a un máximo de 275. Para determinar la respuesta de la estructura durante el desarrollo del ensayo se instalaron varios acelerómetros, así como un sistema de video cámaras [5]. Paralelamente, otros equipos de investigadores realizaban ensayos similares en plataformas móviles en la Universidad de Southampton y en el Imperial College de Londres. 2.1.3. DETERMINACIÓN DE LAS CARGAS . 2.1.3.1.. Bases teóricas . De la observación de los videos grabados durante los ensayos, así como de los correspondientes al día de la inauguración del puente, Fitzpatrick et al. establecieron las siguientes hipótesis de partida [5]. 1. Los movimientos laterales pueden asumirse sinusoidales según alguno de los modos de vibración de la estructura, con frecuencias muy próximas a la frecuencia natural asociada al modo correspondiente. Así, la posición lateral de una sección del puente puede describirse aproximadamente por: 𝑥 𝑦, 𝑡 = 𝑋(𝑡)𝛷(𝑦) (2.1.1) . . 14 .

(15) Luis Moya Guindo Master en Estructuras, Materiales y Cimentaciones. UPM En la expresión anterior, 𝑦 denota la dirección longitudinal del puente, 𝛷 es el factor de forma modal, y 𝑋 representa el desplazamiento modal asociado al modo de vibración considerado, y se define como: 𝑋 𝑡 = 𝑋(𝑡)𝑠𝑒𝑛(𝜔! 𝑡 + 𝜃) (2.1.2) Donde 𝑋(𝑡) denota la amplitud máxima del desplazamiento modal, variable en el tiempo, y 𝜃 indica un cierto desfase inicial. 2. La amplitud máxima del desplazamiento modal, 𝑋 𝑡 , cambia lentamente, por lo que puede considerarse aproximadamente constante durante períodos cortos de tiempo, como el correspondiente a un ciclo completo. Así pues, la velocidad y aceleración modal pueden aproximarse del siguiente modo: 𝑋 𝑡 ≅ 𝜔! 𝑋(𝑡)𝑐𝑜𝑠(𝜔! 𝑡 + 𝜃) (2.1.3) 𝑋 𝑡 ≅ −𝜔! ! 𝑋(𝑡)𝑠𝑒𝑛(𝜔! 𝑡 + 𝜃) (2.1.4) En lo que sigue, la velocidad modal 𝑋 𝑡 se denotará por 𝑉 (𝑡), y su valor máximo, 𝜔! 𝑋 𝑡 , por 𝑉 (𝑡). De forma análoga, 𝐴(𝑡) designará la aceleración modal, y 𝐴 𝑡 = 𝜔! ! 𝑋(𝑡) su valor máximo. 3. Así mismo, se supone que las fuerzas ejercidas por los peatones pueden considerarse proporcionales al factor de forma modal, según la siguiente expresión. 𝑓! 𝑡 = 𝑓(𝑡)𝛷 𝑦! , 𝑖 = 1, … , 𝑁 (2.1.5) Donde 𝑓! 𝑡 denota la fuerza real ejercida por el i-‐ésimo peatón. La fuerza modal resulta, entonces: ! 𝐹 𝑡 = 𝑓(𝑡) ! (2.1.6) !!! 𝛷 𝑦! Partiendo de las hipótesis anteriores, las fuerzas ejercidas por los peatones pueden estimarse mediante un balance energético. En efecto, si en la ecuación diferencial que describe la dinámica del puente, todos los términos se multiplican por la velocidad modal y se integran en un ciclo completo, resulta: !!! !!! !!! !!! 𝑀𝑋𝑋 𝑑𝑡 + ! 𝐶 𝑋 ! 𝑑𝑡 + ! 𝐾 𝑋𝑋𝑑𝑡 = ! 𝐹 𝑋𝑑𝑡 (2.1.7) ! Donde 𝑀, 𝐶 y 𝐾 denotan la masa, amortiguamiento y rigidez modal, respectivamente. En la expresión anterior, el término de la derecha representa el trabajo realizado por los peatones durante un ciclo, 𝑊! . De igual modo, el término que incluye el COMPORTAMIENTO DINÁMICO DE PASARELAS PEATONALES . . 15 .

(16) Luis Moya Guindo. COMPORTAMIENTO DINÁMICO DE PASARELAS PEATONALES. Master en Estructuras, Materiales y Cimentaciones. UPM amortiguamiento modal corresponde a la energía disipada por el este, Wd. Los otros dos términos pueden reescribirse de la siguiente forma: Jtt+T. MXX dt = Ll [; MX 2 ] = LlEc. ftt+T. KXX dt. =. Ll [; KX 2 ]. (2.1.8). = LlU. (2.1.9). Donde Ee denota la energía cinética del sistema, y U su energía potencial elástica. Si el ciclo se elige de forma que X(t) = O, LlU = O. La ecuación (2.1.7) se reduce, entonces, a: (2.1.10) Puesto que, en virtud de la hipótesis 2., la velocidad modal puede expresarse como X(t) V(t)cos(w 0 t + 8), la variación de energía cinética resulta:. =. (2.1.11) Si se desprecian los términos de segundo orden, teniendo en cuenta que la velocidad modal cambia lentamente en el tiempo, se llega a: (2.1.12) Por otro lado, la velocidad modal puede reescribirse, haciendo uso de la identidad trigonométrica de la suma de ángulos, del siguiente modo:. - ( (2rrt). (2rrt). V(t) =V cos --:¡:- cose- sen --:¡:- sene. ). (2.1.13). Donde T representa el período de la vibración. El trabajo realizado por los peatones resulta, entonces:. - 2rt+T F(t)cos (2rrt) - 2rt+T F(t)sen (2rrt) We = 21r Vcoserh --:¡:- dt- 21r Vsenerh --:¡:- dt (2.1.14) En la expresión anterior, los términos. 2rt+T F(t)cos (2rrt) = rh --:¡:- dt. (2.1.15). bl = ~ Jtt+T F(t)sen c;t) dt. (2.1.16). a1. representan los coeficientes de Fourier del primer armónico, por lo que: (2.1.17). 1h..

(17) Luis Moya Guindo. COMPORTAMIENTO DINÁMICO DE PASARELAS PEATONALES. Master en Estructuras, Materiales y Cimentaciones. UPM El primer armónico de la serie de Fourier de F(t), Fv puede escribirse como la suma de un término en fase con la velocidad, Fv(t) y otro desfasado 90º respecto de esta (por tanto, en fase con la aceleración), Fa (t), del siguiente modo:. F1 (t). 2rrt) + b1 sen (2rrt) = a 1 cos (--:¡:--:¡:- =sen (2rrt --:¡:-+e ) {a1 sene + b1 cose }+ cos (2rrt --:¡:- + e) {alease- blsene} (2.1.18). (2rrt. Donde Fv(t) = cos --:¡:-+e. ) {a1 cose- b1 sene }= Fv(t)cos (2rrt --:¡:-+e ). Fitzpatrick et al [1] denominaron a la componente de la fuerza modal en fase con la velocidad, Fv(t), "fuerza de excitación correlacionada" ("correlated excitation force') [5]. Teniendo en cuenta lo anterior, el trabajo realizado por la fuerza modal puede expresarse del siguiente modo:. We. 1--. =- VFvT (2.1.19) 2. Finalmente, la energía disipada por el amortiguamiento puede aproximarse de la siguiente forma. rt+T. Wd=J,t. - rt+T cos 2(w. CX 2dt=:CVJ,t .. 0. 1-. 1 -A. 2T=-CV-T (2.1.20) +e)tdt=-CV 2 2 w 0. A su vez, el amortiguamiento modal puede expresarse como una fracción del amortiguamiento crítico, resultando:. (2.1.21) Sustituyendo (2.1.12), (2.1.19) y (2.1.21) en la igualdad (2.1.10), se tiene:. ~ VRT = M~fl AT + MfJLlli 2. V. ':>. Wo. (2.1.22). Despejando, se llega a:. F:V =2M~A+ML1A ':> 7r. (2.1.23). Si bien la expresión anterior puede no resultar familiar, si se particulariza para Fv = Oy LlA = O da lugar a dos igualdades conocidas. SiLlA = O ~ A = _..!. _ Fv , donde_..!.._ es el factor de amplificación dinámica. 2.; M 2.;. 17.

(18) COMPORTAMIENTO DINÁMICO DE PASARELAS PEATONALES. Luis Moya Guindo. Master en Estructuras, Materiales y Cimentaciones. UPM -. Si Fv =. LlA. O~--::-= A. -2rr( = -8, donde 8 representa el decremento logarítmico en. vibración libre amortiguada, definido como 8. 2.1.3.2.. = ln (x(t+T)). X(t). Procesamiento de los resultados. La relación (2.1.23) proporciona una forma sencilla de estimar la componente de la fuerza modal en fase con la velocidad ("fuerza de excitación correlacionada") a partir de la aceleración modal y de sus variaciones entre ciclos consecutivos. Dicha aceleración modal se obtiene fácilmente de la historia de aceleraciones registrada por los acelerómetros, del siguiente modo: (2.1.24) Donde a denota la aceleración máxima real registrada (a(t) = a(t)sen(w 0 t e y 0 es la coordenada en la que se encuentra instalado el acelerómetro.. + 8)),. La historia de aceleraciones modales requiere un proceso previo de filtrado de frecuencias, eliminando las aceleraciones con frecuencia diferente a la natural correspondiente al modo de vibración estudiado. Las siguientes figuras ilustran la evolución temporal de la fuerza de excitación correlacionada (modal), para el Sº modo vertical f!=1.9Hz) y para el primer modo lateral (f=O.SHz).. test_11_CV5_mfo 15+---~----~----~----~--~----~. g "'~ ,g. o -5 -10 -15 time (s). -. test_11_CV5_mto. Ilustración 2.1. Fuerza modal en fase con la velocidad para el SQmodo vertical [5]. 1Q.

(19) COMPORTAMIENTO DINÁMICO DE PASARELAS PEATONALES . Master en Estructuras, Materiales y Cimentaciones. UPM . Luis Moya Guindo . . Ilustración 2.2. Fuerza modal en fase con la velocidad para el 1er modo lateral [5] . La diferencia entre el modo de vibración vertical y lateral es muy significativa. En el primero la fuerza de excitación correlacionada parece distribuirse de forma aleatoria, adoptando por igual valores positivos y negativos con una media aproximadamente nula. Por el contrario, para el modo lateral la fuerza modal en fase con la velocidad es casi siempre positiva, lo que implica que los peatones añaden constantemente energía al sistema, disparándose espontáneamente en determinados instantes de tiempo. Partiendo de la fuerza modal en fase con la velocidad (“correlated excitation force”), y haciendo uso de las hipótesis citadas en el apartado 2.1.3.1, es posible obtener la fuerza real en fase con la velocidad ejercida por un solo individuo. Por definición, la fuerza modal se determina del siguiente modo. ! 𝐹 𝑡 = ! 𝑓 𝑦, 𝑡 𝛷 𝑦 𝑑𝑦 (2.1.25) Donde 𝑓 𝑦, 𝑡 es la fuerza real ejercida por los peatones en cada instante de tiempo y sección del puente. Esta fuerza puede escribirse como una superposición de cargas puntuales variables en el tiempo, haciendo uso de la función Delta de Dirac. 𝑓 𝑦, 𝑡 = ! (2.1.26) !!! 𝑓! (𝑡)𝛿(𝑦 − 𝑦! ) Donde N es el número de peatones involucrados en el ensayo en un instante de tiempo determinado, y 𝛿 (𝑦 − 𝑦! ) es la función Delta de Dirac, definida como: ∞, 𝑠𝑖 𝑦 = 𝑦! 𝛿 𝑦 − 𝑦! = (2.1.27) 0, 𝑠𝑖 𝑦 ≠ 𝑦! Si, de acuerdo con la hipótesis 3, la fuerza real ejercida por el peatón individual es proporcional al factor de forma modal, se tiene: 𝑓(𝑥, 𝑡) = 𝑓(𝑡) ! (2.1.28) !!! 𝛷 𝑦! 𝛿(𝑦 − 𝑦! ) . . 19 .

(20)

(21) Luis Moya Guindo . COMPORTAMIENTO DINÁMICO DE PASARELAS PEATONALES . Master en Estructuras, Materiales y Cimentaciones. UPM . . Ilustración 2.4. 1er modo lateral [5]. La diferencia entre las fuerzas verticales y horizontales es muy significativa. Mientras que la primera es aleatoria, la fuerza horizontal guarda una relación notablemente lineal con la velocidad modal. Esta relación puede cuantificarse mediante el coeficiente de correlación, 𝜌!" , definido como sigue: ![(!!!)(!!!)] (2.1.36) 𝜌!" = ! !! !. Para el 5º modo vertical se obtuvo un valor insignificante (±0.025), mientras que para el primer modo lateral dicho coeficiente estaba comprendido entre 0.34-‐0.73 [2]. Un ajuste por mínimos cuadrados permitió definir la siguiente correspondencia lineal entre ambas variables [2]. 𝑓! 𝑡 = 𝑘𝑉! (𝑡), con 𝑘 ≈ 300𝑁𝑠𝑚!! (2.1.37) . Ilustración 2.5. Ajuste por mínimos cuadrados [2] . Finalmente, la fuerza real en fase con la velocidad resulta: 𝑓!,! 𝑡 = 𝑓! 𝑡 𝛷! 𝑦! = 𝑘𝑉! 𝑡 𝛷! 𝑦! = 𝑘𝑣(𝑦! , 𝑡) . 21 . . (2.1.38) .

(22) Luis Moya Guindo Master en Estructuras, Materiales y Cimentaciones. UPM Donde 𝑣(𝑦! , 𝑡) denota el valor máximo de la velocidad local en la coordenada longitudinal 𝑦! , esto es: 𝑣 𝑦, 𝑡 = 𝑣 𝑦! , 𝑡 𝑐𝑜𝑠(𝜔! 𝑡 + 𝜃) = 𝛷! 𝑦! 𝑉! 𝑡 𝑐𝑜𝑠(𝜔! 𝑡 + 𝜃) (2.1.39) La igualdad (2.1.38) obtenida para el caso particular analizado se considera extensible a cualesquiera otras circunstancias. Así, en un caso general, la fuerza modal en fase con la velocidad resulta: ! ! 𝐹! 𝑡 = 𝑘𝑁𝑉 𝑡 !!! 𝛷 𝑦! (2.1.40) Nuevamente, si los peatones se consideran uniformemente distribuidos sobre el tablero, 𝐹! 𝑡 se puede aproximar por: ! ! 𝐹! 𝑡 = 𝑘𝑁𝑉 𝑡 ! ! 𝛷 ! 𝑦 𝑑𝑦 (2.1.41) 2.1.4. DESCRIPCIÓN DEL MODELO De acuerdo con las hipótesis recogidas en el apartado 2.1.3.1, el movimiento del puente bajo la acción de las cargas inducidas por los peatones se asume sinusoidal con frecuencia 𝜔! . Así, el desplazamiento, velocidad y aceleración modal quedan del siguiente modo. 𝑋 𝑡 = 𝑋(𝑡)cos (𝜔! 𝑡 +θ) (2.1.42) 𝑋 𝑡 = 𝜔! 𝑋 𝑡 cos (𝜔! 𝑡 + 𝜃) + 𝑋 𝑡 𝑠𝑒𝑛(𝜔! 𝑡 + 𝜃) (2.1.43) ! 𝑋 𝑡 = −𝜔! 𝑋 𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝜔! 𝑡 + 𝜃 + 2𝜔! 𝑋 𝑡 cos 𝜔! 𝑡 + 𝜃 + 𝑋 𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝜔! 𝑡 + 𝜃 (2.1.44) Se trata ahora de determinar las condiciones que debe cumplir la amplitud máxima 𝑋(𝑡) para que, bajo las hipótesis adoptadas, sea solución de la ecuación general de la dinámica. 𝑀𝑋 + 𝐶𝑋 + 𝐾𝑋 = 𝐹 (2.1.45) Sustituyendo (2.1.42), (2.1.43) y (2.1.44) en (2.1.45), se llega a la siguiente expresión. COMPORTAMIENTO DINÁMICO DE PASARELAS PEATONALES . 𝑠𝑒𝑛(𝜔! 𝑡 + 𝜃) 𝑀 𝑋 𝑡 − 𝜔! ! 𝑋 𝑡 𝜃) 2𝑀𝜔! 𝑋 𝑡 + 𝐶𝜔𝑋 𝑡 . . 22 . + 𝐶𝑋 𝑡 + 𝐾𝑋(𝑡) + 𝑐𝑜𝑠(𝜔! 𝑡 + = 𝐹(𝑡) (2.1.46) .