1 x x 2 4
1) Halla las intersecciones con los ejes, los vértices (x,y), indica qué funciones tienen la misma abertura y en el mismo sentido, calcula el conjunto imagen y representa las siguientes funciones:
1 - a) y = x2 – 12x + 32 1 - e) y = x2 + x/2 – 1/2 1 - i) y = x2 – 2x + 8/4 1 - b) y = x2 – x – 12 1 - f) y = x2 – 5x/2 + 1 1 - j) y = x2 – 6y – 2 1 - c) x2 – 4x – 2y + 4 = 0 1 - g) y = –x2/4 + x – 1 1 - k) x2 – 4y = 0 1 - d) y = –x2 + x + 6 1 - h) x2 + 8y = 0 1 - l) y = 2x2 – 7x + 5
2) En un mismo eje de coordenadas ortogonales representar las siguientes funciones:
y = 2x y = (1/2)x
y = 3x y = (1/3)x
y = 4x y = (1/4)x
3) Observa las bases de cada una de las funciones exponenciales y las gráficas trazadas en los ejercicios anteriores, ¿qué conclusiones extraes? Calcula además su dominio e imagen.
4) Si f(x)= 2x, g(x)= 4x y h(x)= (1/2)x, calcula (f o g)(x), (f o h)(x), (h o g)(x) y (g o h)(x), además del dominio e imagen de las funciones resultantes.
5) Calcular: a) 8log7
7
= b) 3log32
2
= c) 5log3 7 =
d) 3log1/81 9
= e) 25log25
5
= f) 9log9
h
=
6) Resolver las siguientes ecuaciones: a)
b) 2(x - 1) = 2x c) 5(x + 1) + 5x = 750
d) (9/4)(x + 1).(8/27)(x - 1) = 2/3 e) 3(x + 1) + 2.3(2 - x) – 29 = 0 f) log (x3 – 6.x2
+ 11.x – 5) = 0 g) log3 x + log9 x = log81 x + 5/2
h) xlog x = 108
i) log (2n + 1)/(n – 1) = 0 j) [log 2x]/[log (4x – 15)] = 2
7) Resolver los siguientes sistemas: a - 4x = 16.y
2(x + 1) = 4.y
b - 2x – 2y = 24 x + y = 8
8) Hallar el ángulo x sabiendo que es agudo y que: a) cos 45° = sen 5.x
b) tg 2.x = cotg x c) sen 3.x = cos 2.x d) cosec 2.x = sec x
e) cos x = sen 58° 40' f) cos 5.x = sen 30°
9) Calcular el valor de:
10) ¿Cuál es el período de la función y = 2.sen2 x?
11) Transformar en producto:
a) y = sen x(cosec x – sen x) b) y = tg p + cotg p
12) Resolver las siguientes expresiones:
13) Toda ecuación del tipo a.sen x + b.cos x = c, siendo a, b y c números dados, puede resolverse construyendo el sistema:
en el cual se calcula sen x y cos x, calcular:
14) Representar las siguientes funciones: 3 π x sen 3 π x sen x 3 π cos 6 π x sen y
2 x cotg x tg f) 0 3 x 4.cos 2.x cos e) 0 3 x 3.sen x 2.cos d) 0 1 2.x tg c) 2 2 π -2.x cos b) 0 1 2.x 2.sen a) 2 1 cos x sen c x b.cos x a.sen 2 2 1 x cos x sen c) 1 x cos x sen b) 3 x cos x .sen 3 a) 16) Por el valor dado de una de las funciones trigonométricas, calcular los valores de las restantes:
17) Simplificar las siguientes expresiones:
18) Calcular:
19) Hallar:
20) Calcular:
π α 2 π 2 α d)cotg b a α c)tg 2.π α 2 3.π 5 2 α b)cos 2 3.π α π 0,6 α a)sen 7,5 tg b) 8 7.π sen 8 5.π sen 8 3.π sen 8 π sen
a) 4 4 4 4
2 3 arccos 3 arctg ) 1 arcsen 1 arccos ) 3 arctg ) 2 1 arcsen ) d c b a
2.arcsen
0 1
sen ) 2 1 arccos 2 1 1 arcsen tg ) 8 , 0 arcsen cos ) x x c b a
0,6.π
cos
1,1.π
.sen
1,6.π
21) Resolver:
22) Calcular:
23) Dado el triángulo abc con los siguientes datos: Calcular el perímetro.
24) Calcular las diagonales de un paralelogramo cuyos lados miden 10 cm y 5 cm, y forman un ángulo de 120° (ambos lados).
25) Las medidas de 2 lados de un triángulo son: y ambos forman un ángulo de 60°. Calcular el área del triángulo.
26) Sea y el área de un triángulo y x la medida en radianes del ángulo formado por 2 lados que miden 3 y 4 unidades respectivamente. Se pide:
a - ¿Para qué valores de x se tiene y = 3?. b - Construir el gráfico y = f(x).
27) Utilizando las funciones entre las relaciones trigonométricas de ángulos complementarios, determinar el valor de , si 0 /2:
28) Desde un balcón del primer piso de un edificio se ve un objeto en la calle, distante 9 m de la pared, bajo un ángulo de 30°. Desde un balcón del tercer piso justo sobre el anterior, se ve el mismo objeto bajo un ángulo de 60°. Determinar la distancia entre ambos balcones.
1
cos
)
2
1
15
.
45
)
4
cos
.
3
)
1
cos
.
3
)
33
x
x
sen
d
x
sen
x
sen
c
x
senx
b
x
senx
a
5 4 arccos 5 3 arccos cos ) 3 1 arcsen cos ) b a 2 2. C y 75 b , 60aˆ ˆ
e) log1/2 9 < log1/2 5
f) log3 2 > 0
g) log1/3 < log1/3 2 1/2
h) log2 3/5 > 0
31) Análogamente en las implicaciones de los ítems a, b, y c; completar en el resto: a) log3 x > 0 x > 1
b) log3 x < 0 0 < x < 1
c) log1/3 x > 0 0 < x < 1
d) log2 x > 0
e) log1/2 x > 0
f) log2 x < log2 4,9
g) log1/3 x < 0
h) log2 x < 0
i) log3 x < log3 7
32) Sean las funciones:
f: R*+ R/f(x) = loga x g: R *
+ R/g(x) = a x
Demostrar que f-1(x) = g(x)
33) Resolver en x: loga (2.x - 1) < loga 3; siendo a > 1
34) Resolver loga (x 2
- 2.x) loga 3; siendo 0 < a < 1
35) Resolver aplicando definición log2 (x 2
+ 2.x) = 3
36) Determinar el dominio de las siguientes funciones: a) f(x) = [log (x2 - 2.x)]1/2
b) y = log2 [log1/2 (x 2
- x + 1)]
37) Para qué valores de a la ecuación 2.x2 - 4.x + log2 a = 0 tiene raíces reales y distintas.
38)
Para qué valores de a y de x es verdadero x = aloga x
SOLUCIONES A EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS CCSS TEMA 6
1.-
Con OX Con OY =abertura Imagen Vértice
a) 4 y 8 32 A [-4, +
∞
[ (6, -4)b) -3 y 4 -12 A [-12’25,+
∞
[ (0’5, -12’25)c) 2 2 [0,+
∞
[ (2, 0)d) -2 y 3 6 ]-
∞
, 6’25[ (0’5, 6’25)e) -1 y 0’5 -0’5 A [-0’56,+
∞
[ (-0’25, -0’56)f) 0’5 y 2 1 A [-0’56,+
∞
[ (1’25, -0’56)g) 2 -1 ]-
∞
, 0[ (2, 0)h) 0 0 ]-
∞
, 0[ (0, 0)i) No 2 A [1,+
∞
[ (1, 1)j) -1’41 y 1’41 -0’286 [-0’285,+
∞
[ (0, -0’285)k) 0 0 [0,+
∞
[ (0, 0)l) 1 y 2’5 5 [-1’125,+
∞
[ (1’75, -1’125)
2.-
2x rojo, 3x azul, 4x negro, 1/2x verde, 1/3x morado, 1/4x marron
5.- a) 8 b) 31/5 = 1’245 c) 17’3 d) 3-1/2 = 0’577 e) 5 f) h
6.- a) 1 y -2 b) no existe c) 3 d) 6 e) -0’37 y 2 f) 1, 2, 3 g) 9 h) 73’11 y 0’00137 i) -2 j) 4’5
7.- a) x = 3 y = 4 b) x = 5 y = 3
8.- a) 9º, 27º, -45º b) -30º, 30º c) -54º, 18 d) 30º e) 31º 20’ f) 12 y 60º
9.- y =
3
=1’73210.- π
11.- a) cos2 x b) 1 / (sen x · cos x)
12.- a) 7π/12 , 19π/12 y 23π/12 b) 7π/8 , 15 π/8 y π/8 c) 3π/8 , 11π/8 y 15π/8
d) 5π/6 , π /6 y π/2 e) π f) π/4 y 5π/4
13.- a) π/2 y π/6 b) 0 y π/2 c) π/2 y π
14.-
a) roja
b) azul
c) negra
d) verde e)
15.- verdadera
16.- a) cos α = -0’8 tg α = 3/4 b) sen α =
5
1
tg α = -1/2c) sen α = a/r cos α = b/r d) sen α =
5
1
cos α =5
2
17.- a) 0 b) 1 c) 0’091
18.- a) 1’5 b) 0’13
19.- a) 30º b) 60º c) π/2 d) π/2
21.- a) 2π/3 y 0 b) no sol. c) π/4 d) π y π/2
22.- a) 0’923 b) 0
23.- 10’16
24.- 8,66 y 13’23
25.-
2
6
26.- x = 30º
y = 6·sen x
27.- a) 9 y 45º b) 64º 27’ 45” c) 6 y 12º
28.-
3
18
29.- a) creciente (roja)
c) decreciente (azul)
30.- a) V b) F c) V d) F e) V f) V g) V h) F
31.- d) x>1 e) 0<x<1 f) 0<x<4’9 g) x>1 h) 0<x<1 i) x<7
38.- a>0 pero a≠1 y x=a
