MATEMÁTICAS+FINANCIERAS

01 01 1.

1. 1971975, pero pue5, pero puede ser redide ser redimidmido o el 1º el 1º de enede enero de ro de 191968 o 68 o en cualen cualquiquier er  fecha posterior de pago de intereses. (a) allar el precio de compra el fecha posterior de pago de intereses. (a) allar el precio de compra el 1º de enero de 1961, que redit!e por lo menos "# con$erti%le 1º de enero de 1961, que redit!e por lo menos "# con$erti%le semestralmente. (%) &i el %ono es redimido el 1º de 'ulio de 1970, semestralmente. (%) &i el %ono es redimido el 1º de 'ulio de 1970, c

cuul l ees s la la uutitililidadad d dedel l inin$e$ersrsiiononisista ta * * qquu+ + tatassa a coconn$e$ertrti%i%lele semestralmente redituar el %ono

semestralmente redituar el %ono Resp.

Resp. (a) -1060.5" (%) -/6.0/ ".//8#(a) -1060.5" (%) -/6.0/ ".//8#

/.

/. alallar el prelar el precio de comcio de compra de un %ono de anupra de un %ono de anualialidadad d de -50de -5000, a 1500, a 15 aos con intereses al 6# anual, comprado al t+rmino del 8º

aos con intereses al 6# anual, comprado al t+rmino del 8º ao, paraao, para que redit!e "  #.

que redit!e "  #. Resp.

Resp. - 2022.68- 2022.68 2.

2. alallar el preclar el precio de compio de compra de un ra de un %on%ono de o de anuanualialidadad d de -10de -10,00,000, a 0, a 1010 aos con intereses al "# con$erti%le semestralmente, comprado al aos con intereses al "# con$erti%le semestralmente, comprado al tt++rrmmiinno o dde e ttrrees s aaoos s ppaarra a qquue e rreeddiitt!!e e 55# # ccoonn$$eerrttii%%llee semestralmente.

semestralmente. Resp.

Resp. -71"9.81-71"9.81 ".

". 3na comp3na compaa4a emite -2004a emite -200,00,000 0 en %onoen %onos s al al 5# * 5# * acuacuerderda a redredimiimirlorloss medi

mediante paante pagos de -15gos de -150,000,000 al t+rmi0 al t+rmino de 5 * 10 aos. no de 5 * 10 aos. allallar elar el precio pagado por un %anco el d4a de la emisin, que le redituar "#. precio pagado por un %anco el d4a de la emisin, que le redituar "#. Resp.

Resp.  -218,8"".07  -218,8"".07 5.

5. &u&uststitituiuir r ((1 1 ii))nn  _{    : : * ;* ;r r   g g en en 1) 1) papara ra o%o%tentener er la la ffrmurmula la dede} <a=eham

<a=eham

>

>   : :   g g ( (   ? ? :):) ii

3tili@ar la frmula para resol$er el pro%lema 11. 3tili@ar la frmula para resol$er el pro%lema 11.

6.

6. 3n3na a ememisisiin n de de -5-50,0,00000 0 en en %o%ononos s seseririadadosos, , cocon n ininteterereseses s al al "#"# con$erti%le semestral

con$erti%le semestralmente, con $encimientos de -500 mente, con $encimientos de -500 cada 6 mesescada 6 meses po

por r lolos s pprrAiAimomos s 5 5 aaosos, , es es cocompmpararadada a papara ra quque e reredidit!t!e e 2#2# con$erti%le

con$erti%le semestralmesemestralmente. nte. allar el allar el precio de precio de compra utilicompra utili@ando la@ando la frmula de <a=eham.

frmula de <a=eham. Sugerencia Sugerencia K K == 5000 a5000 a 10 ,01510 ,015 * * g g   0.0/0.0/ Resp. Resp. -51,/96.26-51,/96.26 BIBLIOGRAFÍA. BIBLIOGRAFÍA. ;BCD: C ;BCD: CEBF& EBF& GB.GB. <atemticas

<atemticas ;inanciera;inancieras.s. <cHraIill, 1990.

<cHraIill, 1990.

>JBK3&HJLDMFDNLDOJECD. >JBK3&HJLDMFDNLDOJECD. <atemticas

<atemticas ;inanciera;inancieras.s. <cHraIill, 1991.

<cHraIill, 1991. MF NC O3FC, P. MF NC O3FC, P. <atemticas

<atemticas ;inanciera;inancieras.s. >orr!a, 1986.

MQCR <CKC CN;BFMJ. MQCR <CKC CN;BFMJ. <atemticas

<atemticas ;inanciera;inancieras.s. Krillas, 199". Krillas, 199". 8006818006800// 8006818006800// 1/1675 1/1675 INTRODUCCIÓN INTRODUCCIÓN

Na presente antolog4a, se ha reali@ado de manera que pueda usarse Na presente antolog4a, se ha reali@ado de manera que pueda usarse com

como o cocomplmplemeemento nto de de las las actacti$ii$idadadedes s a a rerealiali@ar @ar con con sus sus resrespecpecti$ti$osos docentes, o como manual para el curso de <atemticas ;inancieras es docentes, o como manual para el curso de <atemticas ;inancieras es mu* importante que los docentes, nos hagan sa%er sus comentarios * mu* importante que los docentes, nos hagan sa%er sus comentarios * sugerenci

sugerencias, para reas, para retroalimentar ltroalimentar los temas * su%os temas * su%temas temas contenidos contenidos en elen el programa de estudios.

programa de estudios.

Oada unidad empie@a con los o%'eti$os , un sumario del cap4tulo, Oada unidad empie@a con los o%'eti$os , un sumario del cap4tulo, desarrollo de los temas, pro%lemas resueltos * pro%lemas propuestos en desarrollo de los temas, pro%lemas resueltos * pro%lemas propuestos en prAima edicin, se aneAaran las ta%las para la amorti@acin, formularios prAima edicin, se aneAaran las ta%las para la amorti@acin, formularios generales * los resultados de los e'ercicios propuestos.

generales * los resultados de los e'ercicios propuestos. F

Fs s mmuu* * iimmppoorrttaanntte e rreeccaallccaar r eel l %%uueen n uusso o ddeel l mmaannee''o o dde e llaass calculadoras, para lle$ar a %uen termino, la solucin de los e'ercicios que calculadoras, para lle$ar a %uen termino, la solucin de los e'ercicios que se proponen. Fl uso de las literales empleadas $ar4an de un autor a otro * se proponen. Fl uso de las literales empleadas $ar4an de un autor a otro * de

de un un dodocecentnte e a a ototroro  pepero ro sisin n dududa da alalguguna na totodadas s llllegegan an al al mimismsmoo resultado.

&in ms que agregar * esperando sus comentarios se despide de ustedes.

UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO A.C.

ÍNDICE

UNIDAD 1. INTERÉS SIMPLE. 1.1. J%'eti$os.

1./. Mefiniciones.

1.2. ;rmulas %sicas.

1.". Olculo de inter+s simple * monto. 1.5. Olculo de la tasa de inter+s.

1.6. Olculo del $alor presente. 1.7. F'ercicios propuestos.

1.8. Lnter+s simple eAacto * ordinario.

1.9. Olculo del tiempo eAacto * aproAimado. 1.10. F'ercicios propuestos.

1.11. >agar+s.

1.1/. F'ercicios propuestos

1.12. Fcuaciones de $alor a inter+s simple. 1.1". Mescuento simple.

1.15. Mescuentos de pagar+s. 1.16. >ro%lemas propuestos.

UNIDAD 2. INTERÉS COMPUESTO. /.1. Lntroduccin.

/./. Mefinicin.

/.2. <onto compuesto con per4odos de capitali@acin fraccionarios /.". Kasa nominal * efecti$a de inter+s.

/.5. CproAimacin de la tasa de inter+s. /.6. CproAimacin del tiempo.

/.7. >ro%lemas resueltos. /.8. >ro%lemas propuestos. /.9. alor presente.

/.10. alor presente para el caso de un per4odo de con$ersin fraccionario.

/.11. Fcuaciones de $alor a inter+s compuesto. /.1/. Kiempo equi$alente.

UNIDAD 3. ANUALIDADES. 2.1. Lntroduccin.

2./. Olasificacin de las Cnualidades.

2.2. Cnualidades simples ciertas ordinarias. 2.2.1. alor de las Cnualidades.

2.2./.<onto * $alor actual de las Cnualidades &imples Oiertas Jrdinarias.

2.2.2.>ro%lemas resueltos. 2.2.".>ro%lemas propuestos.

2.2.5.Olculo de la renta en una anualidad cierta ordinaria. 2.2.6.Olculo del tiempo o pla@o de una anualidad.

2.2.7.Olculo de la tasa de inter+s de una anualidad simple cierta ordinaria.

2.2.8.>ro%lemas resueltos. 2.2.9.>ro%lemas propuestos. 2.". Cnualidades Cnticipadas. 2.".1.Lntroduccin.

2."./.&4m%olos utili@ados en las anualidades anticipadas. 2.".2.<onto * $alor actual de las anualidades

simples ciertas anticipadas. 2.".".>ro%lemas resueltos.

2.".5.>ro%lemas propuestos. 2.5. Cnualidades diferidas. 2.5.1.Lntroduccin.

2.5./.&4m%olos utili@ados en las anualidades diferidas. 2.5.2.alores de las anualidades diferidas simples ciertas. 2.5.".>ro%lemas resueltos.

2.6. Cnualidades diferidas. 2.6.1.Lntroduccin.

2.6./.&4m%olos utili@ados en las anualidades generales. 2.6.2.Oon$ersin de una anualidad general ordinaria

en una anualidad simple.

2.6.".<onto * $alor actual de las anualidades.

2.6.5.Olculo de la renta en una anualidad general cierta ordinaria. 2.6.6.Jtros m+todos de clculo de los $alores de las anualidades. 2.6.7.>ro%lemas resueltos.

2.6.8.>ro%lemas propuestos.

2.6.9.Olculo del tiempo o pla@o de una anualidad general.

2.6.10. Olculo de la tasa de inter+s de una anualidad general. 2.6.11. >ro%lemas resueltos.

2.6.1/. >ro%lemas propuestos.

2.7. Cnualidades generales anticipadas. 2.7.1.Lntroduccin.

2.7./.>ro%lemas resueltos. 2.7.2.>ro%lemas propuestos. 2.8. Cnualidades $aria%les. 2.9. Cnualidades continuas.

2.10. Cnualidades a inter+s continuo.

2.11. Cnualidades a inter+s continuo con pagos en flu'os continuos. 2.1/. >ro%lemas resueltos.

2.12. >ro%lemas propuestos. UNIDAD 4. AMORTIZACIÓN. ".1. Lntroduccin.

"./. Ka%las de Cmorti@acin.

".2. Lnter+s en el $alor de un %ien adquirido. ".". FAtincin de deudas consolidadas.

".5. ;ondos de Cmorti@acin.

".6. Ka%las de fondos de amorti@acin. ".7. >ro%lemas resueltos.

".8. >ro%lemas propuestos. UNIDAD 5. DEPRECIACIÓN. 5.1. Lntroduccin.

5./. Oonceptos.

5.2. <+todo de N4nea Becta. 5.". <+todo de >orcenta'e ;i'o.

5.5. <+todo de &uma de M4gitos.

5.6. <+todo de Mepreciacin por 3nidad de >roduccin o &er$icio. 5.7. <+todo por fondos de Cmorti@acin.

5.8. Na Mepreciacin en las +pocas inflacionarias. 5.9. Besumen.

5.10. >ro%lemas resueltos. 5.11. >ro%lemas propuestos.

UNIDAD 6. BONOS. 6.1. Mefiniciones.

6./. >recios del %ono en una fecha de pago de intereses. 6.2. Oompra a premio o descuento.

6.". >recio del %ono comprado entre fecha de pago de inter+s. 6.5. Fl precio coti@ado de un %ono.

6.6. Kasa de reditua%ilidad.

6.7. Ponos con fecha opcional de redencin. 6.8. 3n %ono de anualidad.

6.9. Fmisin seriada de %onos. 6.10. >ro%lemas resueltos.

6.11. >ro%lemas propuestos. Pi%liograf4a.

1

OBJETIVOS

 Fnsear los factores que entran en 'uego en

el clculo del inter+s simple.

 Oapacitarlo para mane'ar estos factores.   Cplicarlos en la solucin de pro%lemas

frecuentes en las matemticas financieras.

SUMARIO 1.1. J%'eti$os.

1.

1.//.. MeMefifinnicicioionneses.. 1.

1.2.2. ;;rmrmululas as %%sisicacas.s. 1."

1.".. OlOlculculo o de de intinter+er+s ss simpimple le * m* mononto.to. 1.

1.5.5. OOlclcululo do de la e la tatasa sa de ide intnterer+s+s.. 1.

1.6.6. OOlclcululo do del $el $alalor or prpresesenentete.. 1.

1.7.7. F'F'erercicicicios os prpropopueueststosos.. 1.8

1.8.. LntLnter+er+s ss simpimple le eAaeAacto cto * o* ordrdinainariorio.. 1.9

1.9.. OlOlculculo do del tel tiemiempo epo eAacAacto * to * apraproAioAimadmado.o. 1.10

1.10.. F'ercF'ercicios picios propuropuestoestos.s. 1.1

1.11.1. >ag>agarar+s.+s. 1.1/

1.1/.. F'ercF'ercicios pricios propueopuestosstos.. 1.12.

1.12. Fcuaciones Fcuaciones de $alode $alor a r a inter+s inter+s simple.simple. 1.1"

1.1".. MescMescuentuento o simpsimple.le. 1.15

1.15.. MescMescuentuentos de pos de pagaragar+s.+s. 1.16

1.16.. >ro%>ro%lemalemas props propuesuestos.tos. 1. INTERÉS SIMPLE 1. INTERÉS SIMPLE 11..11 OOBBJJEETTIIVVOOSS



 Oapacitarlo para mane'ar estos factores * aplicarlos a la solucin deOapacitarlo para mane'ar estos factores * aplicarlos a la solucin de

pro%lemas. pro%lemas.



  Cprender definicione Cprender definiciones, s, mane'ar mane'ar conceptos conceptos * * factores factores %sicos %sicos que que sernsern

utili@ados en esta unidad. utili@ados en esta unidad.

11..22 DDEEFFIINNIICCIIOONNEESS



 Fs la cantidad pagada por el uso de dinero o%tenido en pr+stamo.Fs la cantidad pagada por el uso de dinero o%tenido en pr+stamo. 

 Fs la Fs la cantidad producidcantidad producida por la a por la in$ersin del capital.in$ersin del capital. 

 Fs el producto del capital, por la tasa de inter+s, por el tiempo, suFs el producto del capital, por la tasa de inter+s, por el tiempo, su

unidad es -,en donde la tasa * el tiempo, sus tasas de%en de ser  unidad es -,en donde la tasa * el tiempo, sus tasas de%en de ser  congruentes.

congruentes.



 Fs cuando !nicamente el capital gana intereses por todo el tiempo queFs cuando !nicamente el capital gana intereses por todo el tiempo que

dura la transaccin, al inter+s $encido al final del pla@o se le conoce dura la transaccin, al inter+s $encido al final del pla@o se le conoce como inter+s simple.

como inter+s simple. 1.3

DJK

DJKCOLSD COLSD TT

L L   inter+s inter+s simple simple (-)(-) O

O   capital capital (-)(-) &

&   <ontoUUU.. <ontoUUU.. (-)(-) V  Kasa de inter+s (#) V  Kasa de inter+s (#)

t t   Kiempo Kiempo (d4as, (d4as, meses, meses, aos)aos) 1.4

1.4 CALCULO DCALCULO DEL INTEREL INTERÉS SIMPLE ÉS SIMPLE ! MONT! MONTOO E"#$%&' 1

E"#$%&' 1. . ( ( L L E E &)&) Meterminar

Meterminar el el inter+s inter+s simple simple so%re so%re - - 750 750 al al "# "# durante durante  ao. ao. Oul

Oul ser ser el el montomonto Fn

Fn +ste +ste caso caso c c   -750, -750, V V   0.0" 0.0" * * t t     ao ao   6W1/, 6W1/, por por lo lo cualTcualT &olucin

&olucin a). a). L L O O i i t t UUUUUUUUU..(1)UUUUUUUUU..(1) L

L (- (- 750) 750) (0.0") (0.0") (1W/)(1W/) L

L - - 1515 &

& O O   L L UUUUUUUUU.(2)UUUUUUUUU.(2) &

& -750 -750   -15-15 &

& - - 765.00765.00 &olucin

&olucin %) %) & & O O ( ( 1 1   i i t)UUUUUUU..(")t)UUUUUUU..(") & & -750 -750 X X 1 1   (0.0")(6W1/) (0.0")(6W1/) YY L L O O i i t t UUUUU(1)UUUUU(1) L &  OUUUUU.(/) L &  OUUUUU.(/) & O  LUUUUU(2) & O  LUUUUU(2) & O & O  O  O i i tt & O ( 1  i t)UU..(") & O ( 1  i t)UU..(")

&

& - - 765.00765.00

L L   & & ? ? OUUUUUUUUUU(/)OUUUUUUUUUU(/) L L   -765 -765   -750-750

L L   - - 1515 1.5

1.5 CALCULO DE CALCULO DE LA LA TTASA ASA DE DE INTERÉS INTERÉS ()*()* E"#$%&' 2.

E"#$%&' 2.  C

 C que tque tasa dasa de inte interer+s si+s simplmple, el moe, el monto dnto de - /,0e - /,000 se00 ser r - /1- /110 en10 en un ao 

un ao 

Fn este caso

Fn este caso & -/1& -/110, c - /,000, t 10, c - /,000, t 1 ao, i , 1 ao, i , por lo cualTpor lo cualT L L   s s ? ? cc L L   -/1-/110 10   -/,000-/,000 L L   -110-110 L L   O O i i tt L L   ii O t O t - - 1110 10   ii (-/000)(1 (-/000)(1 ao)ao) 0.055 0.055   ii 5 5   # #   ii calculo

calculo del del tiempo tiempo ( ( t t )) E"#$%&' 3.

E"#$%&' 3.

Fn que tiempo el monto de -/000 ser -/1/5 al 5# de inter+s simple Fn que tiempo el monto de -/000 ser -/1/5 al 5# de inter+s simple

Fn este casoT s - /1/5, O -/000, i  5#, t  >or lo cual T L  & ? O L - /1/5  - /000 L  -1/5 L  O i t L  t O i - 1/5  t   (-/000)(0.05) 1./5  t 1 Z aos  t 1 ao 2 meses  t

1.6 CALCULO DEL VALOR PRESENTE ( C*

Fncontrar el $alor presente, al 6# de inter+s simple, de -1,500 con $encimiento en 9 meses.

Fn este caso, s-1500, l0.06, t9W1/, c >or lo cualT

c 5 1 i t c - 1500 1(0.0" (9W1/)   c -1"25."1 1.+ EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Fncontrar el Lnter+s simple * el monto de -1000

(a) al "1W/ durante 1 ao (c) al 21W/# durante  ao (e) al "# durante 15 meses

durante 10 meses.

/. C que tasa de inter+s simple.

(a)el monto de -"000 ser -"900 en 2 aos (%)el monto de -7/0 ser -790 en 10 meses

2. [ compro un radio en -1/"5 Mio un anticipo del 10# * a cargo pagar  el resto en 2 meses, ms un cargo de -10 \ue tasa de inter+s simple pago

". Fn que tiempo el monto de -"000 ser -"/50 al 5# de inter+s simple

5. Fn que tiempo se duplica una cantidad de dinero en PCDC<F[ al t# de inter+s simple

6.  \u+ suma de%e ser al 5# para tener -1000 despu+s de 8 meses FGFBOLOLJ& HB3>J /

1. Fncontrar el <onto * el inter+s simple de.

(a) - 7,500 durante 9 meses al 51W/# (c) - 6000 durante 5 meses al 6#.

(%) - 18,000 durante 10 meses al "1W/# (d) - 9000 durante " meses al 22W"#.

/. allar la tasa de inter+s sa%iendo que el monto de -16,500 esT (a) -16,775 en " meses

(%) -17,050 en 10 meses

2\ue capital produce en 8 meses (a) "80 al 6#

(%) 500 al 5#

"Fn qu+ tiempo un capital de -2,000

(a) produce -900 al 71W7# de inter+s simple

FGFBOLOLJ& HB3>J 2 1 Oalcular el inter+s simple de

(a) -/000 durante 2 aos al 0.75# mensual (%) -10,000 durante " aos al 5# semestral

(c)-/5,000 durante 1 ao 2 meses al 6# semestral (d) -",000 durante / aos 2 meses al 0.5# mensual

/ Oalcular el inter+s FAacto deT (a)-7000 durante 105 d4as al 8#

(%)-"000, el 16 de Do$. &i fue firmado el 16 de 'ulio del mismo ao. (c)-6000 durante " meses el 9#

2 Fl propietario de una casa reci%e el 15 de <a*o de 1998 las 2 ofertas que se detallan.

Oul es la me'or, si el rendimiento es del 9#

(a) -60,000 al contado * un pagar+ al 10 de &ep. Me /000 por -2/,600. (%) -20,000 a 1/0 d4as * -62,500 al 180 d4as.

(c) -/0,000 al contado * un pagare con intereses del 8# por -71,000 a 1/0 d4as.

" 3na persona descuenta un pagar+ al -/0,000 el 15 de <a*o con $encimiento el 12 de Cgosto * reci%e solo -19,559.90 C qu+ tasa de descuento racional o matemtico le fue descontado el pagare

5 3na persona de%e -/0,000 cW$enc. C 2 meses, * -16,000 con $encimiento a 8 meses propone pagar su deuda mediante / pagos iguales a un $encimiento a 6 meses * 1 ao respecti$amente. Meterminar el $alor de los nue$os pagares con el 8# de rendimiento. ( tome como fecha focal dentro de un ao)

1., INTERÉS SIMPLE E-ACTO ! ORDINARIO LDKBJM3OOLSDT

MJ& >BJPNF<C& KQ>LOJ& MF LDKFB]& &L<>NF &JDT (a)allar el inter+s simple so%re -/000 al 5# durante 50 d4as

(%)allar el inter+s so%re -1500 al 6#, del /0 de <ar@o de 1999 al 11 de <a*o del /000.

Fstos dos pro%lemas resuel$en aplicando Lcit. sin em%argo, de%ido a las $ariaciones en las practica comercial, pueden darse dos respuestas diferentes en el primer pro%lema * no menos de cuatro en el segundo. Na di$ersidad de resultados se origina en las diferentes practicas para estimar  t.

MF;LDLOLSD

- Fl inter+s simple FAactoT (L&F) se calcula so%re la %ase del ao de 265

d4as.

- (266 en aos %isiestos).

- Fl inter+s &imple Jrdinario (L&J) se calcula con %ase en un ao de 260

d4as. Fl uso del ao de 260 d4as simplifico algunos clculos, sin em%argo, aumento el inter+s co%rado por el acreedor.

FGF<>NJ 5

(a)Meterminar el inter+s eAacto * ordinario so%re - /000 al 5#, durante 50 d4as.

Fn este caso, c-/000, i0.05, t50 d4as, por lo cual. L&Fc i t

 (-/000) (0.50) (50W265)-12.70 L&Jc i t

(-/000)(0.05) (50W260)-12.89

1. CALCULO DEL TIEMPO/ E-ACTO ! APRO-IMADO MF;LDLOLSDT

 Oalculo FAacto del KiempoT como su nom%re lo indica, es el numero

eAacto de d4as, tal como se encuentra en el calendario aplicando la siguiente formula, en %ase a la ta%la L.

(MffMfi)  (dif. Cos A 265)  (%isiestos)

 Oalculo aproAimado del tiempoT se hace suponiendo que cada mes

tiene 20 d4as * cada ao 260 d4as * se o%tiene restando la fecha final de la inicial.

 Me%e pasar por ao %isiesto * por todo el mes de fe%rero para

considerarlo. FGF<>NJ 5

a) allar el inter+s FAacto Jrdinario, con tiempo eAacto * aproAimado deT -1500 al 6# del /0 de <ar@o de 1999 al 11 de <a*o del /000.

Kiempo eAacto por formulaT (12179)  (1A265)  (1)

 5/ 265  1  "18 t. eAacto Kiempo FAacto por calendarioT

1120212021212021202121/9212011"18 < C < G G C & J D M F ; < C < Kiempo CproAimadoT 11T05T00 "1T 0" 00 /0T02T99 /0T 02 99 /1T 01 1   A20 A260 /120260 "11 tiempo aproAimado L&F cWt. eAacto  c i t  (1500)(0.60)("18W266) -10/.79 por que paso por todo fe%rero

en ao %isiesto L&F cWt. C>BJ[L<CMJ  O i t  (-1500) (0.60) ("11W266)  -101.06 L&J cWt. F[COKJ  O i t  (-1500 (0.06) ("18W260)  -10".50 (&L&KF<C PCDOCBLJ)  O i t  (-1500) (0.60) ("11W260) -10/.75

FN L&J cWtiempo eAacto es el m+todo que produce ma*or inter+s Oon cual co%ra el %anco * con cual paga el %anco.

1.10 EJERCICIOS PROPUESTOS

1 Meterminar en forma aproAimada * eAacto el tiempo transcurrido de la fecha de tu nacimiento al d4a de ho*.

/ Meterminar en forma aproAimada * eAacta el tiempo transcurrido entre el /5 de enero de 1998 al 15 de <a*o del /000.

2 Meterminar en forma eAacta * aproAimada el tiempo transcurrido entre el 15 de septiem%re de 1999 al 15 de fe%rero del /000.

" Oomparar el inter+s eAacto * ordinario so%re -/,500 al 5# del 15 de  C%ril al /5 de Gulio de 1999, con tiempo aproAimado.

5 Meterminar, de acuerdo con el sistema %ancario, el inter+s simple so%re -"/80 al 6# del /1 de <ar@o al /5 de 'ulio del /000.

6 Meterminar, de acuerdo al sistema %ancario, el inter+s simple so%re -2575 al "2W"# durante 80 d4as.

7 allar el inter+s &imple Jrdinario * eAacto de. (a)-900 durante 1/0 d4as al 5#

(%)-1/00 durante 100 d4as al 6# (c)-1600 durante 7/ d4as al "# (d)2000 durante 1"6 d4as al 2#

(e)-1000 del 6 de agosto de 1999 al 1" de Miciem%re del /000 al "# (f) 1750 del 10 de 'unio de 1998 al 1 de no$iem%re de 1998 al 5# (g)-/500 del /1 de Fnero de 1999 al 12 de agosto del /000 al "1W/# (h)-/000 del 18 de octu%re de 1999 al 6 de fe%rero del /000 al 51W"#.

1.11 PAGARÉS

MF;LDLOLSDT un pagar+ es una promesa escrita de pago de una determinada cantidad de dinero, con intereses o sin ellos, en una fecha dada, suscrita por un deudor a fa$or de un acreedor. Fn un pagar+ inter$ienen los siguientes elementos.

- >la@oT Fs el tiempo especificado eApl4citamente en el documento

(numero de meses) o (numero de d4as).

- ;echa de encimientoT Fs la fecha en al cual de%e ser pagada la deuda. - alor de encimientoT Fs la suma que de%e ser pagada en la fecha de

$encimiento.

Fn un pagar+, en el cual no se estipule intereses, el $alor nominal es igual al $alor del $encimiento en caso contrario, el $alor al $encimiento siempre ser ma*or que el $alor nominal.

>ara determinar la fecha de $encimiento de un pagar+ procederemos como sigueT

(a)&i el pla@o esta dado en meses, el tiempo se determinara aproAimadamente.

(%)&i el pla@o este dado en d4as, el tiempo de determinara eAactamente.

FGF<>NJ 6

Fn una pagar+ firmado el 15 de Fnero, con $encimiento de 2 meses por -5,000 con un inter+s del 6#

;echa pla@o fecha de $encimiento $alor al $encimiento

15W01 2 meses 15 de a%ril &c (1 i t)

& -5,000X1(0.06)(2W1/)Y & -5075

1.12 EJERCICIOS PROPUESTOS

1 Meterminar para cada uno de los siguientes pagar+s la fecha de $encimiento * el $alor al $encimiento.

&uma Dominal ;echa pla@o Kasa de inter+s

a) -/500 1 de <ar@o " meses 6#

%) -2000 15 de 'unio 150 d4as "#

/ Meterminar la fecha de $encimiento * el $alor al $encimiento de cada una de los siguientes pagar+s.

alor nominal ;echa >la@a Kasa de inter+s

%) -2000 5 de mar@o 8 meses 5# c) -1/50 10 de 'unio " meses 6# d) -/500 1 de enero 7 meses "# e) -1600 10 de fe%rero 1/0 d4as 7# f) -2/00 /8 de no$. "5 d4as 8# g) -1500 5 de agosto 60 d4as 6# h) -/750 5 de 'ulio 125 d4as 6#

2. 3n pagar+ a 10 meses por -2,000 al 6#, es suscrito el d4a de ho*. Meterminar su $alor dentro de " meses, suponiendo un rendimiento de 5#.

1.13 ECUACIONES DE VALOR

MefinicinT en algunas ocasiones es con$eniente para un deudor  cam%iar el con'unto de sus o%ligaciones por otro con'unto. >ara efectuar  esta operacin, tanto el deudor como el acreedor de%en de estar de acuerdo con al tasa de inter+s que han de utili@arse * en la fecha que se lle$ar a ca%o.

FGF<>NJ 7

Fn la fecha, P de%e -1,000 por un pr+stamo con $encimiento en 6 meses, contratado originalmente a 11W/ aos a la tasa de "# * de%e, adems, -/,500 con $encimiento en 9 meses, sin intereses.

Fl desea pagar -/,000 de inmediato * liquidar el saldo mediante un pago !nico dentro de un ao. &uponiendo un rendimiento de 5# * considerando la fecha final dentro de un ao, determinar el pago !nico mencionado. ;echa focal 1060 -/500 MLCHBC<C 6 meses 3 meses 1/ meses

MF KLF<>J 0 6 9 -/,000 /000X1(0.05)(1)YA1060X1(0.05)(6W1/Y/500X1(0.05)(2W1/Y -/100 A -1086.50-/521./5 [ -1086.50-/521./5  -/100 [ -1517.75 FGFBOLOLJ& HB3>J 6

1 Meterminar el $alor de las siguientes o%ligaciones, el d4a de ho*, suponiendo una tasa de "# de inter+s simpleT -1000 con $encimiento el d4a de ho*, -/000 con $encimiento en 6 meses con intereses del 5# * - 2000 con $encimiento en un ao con intereses al 6#. 3tili@ar el d4a de ho* como fecha focal.

/ Besol$er el pro%lema anterior, considerando que la fecha focal est+ un ao despu+s.

2 [ de%e -500 con $encimiento en / meses, -1,000 con $encimiento en 5 meses * -1500 con $encimiento en 8 meses. &e desea saldar las deudas mediante / pagos iguales, uno con $encimiento en 6 meses * otro con $encimiento en 10 meses. Meterminar el importe de dichos pagos suponiendo un inter+s del 6#, tomando como fecha focal la fecha al final de 10 meses.

" [ de%e a E 1000 pagaderos dentro de 6 meses, sin intereses, * -/000 con intereses del "# por 1  aos, con $encimiento dentro de 9 meses. E esta de acuerdo en reci%ir 2 pagos iguales, un inmediato, * otro dentro de 6 meses * el tercero dentro de un ao. Meterminar el importe de cada pago utili@ando como fecha focal la fecha dentro de un ao, suponiendo que E espera un rendimiento del 5# en la operacin.

1.14 DESCUENTO SIMPLE LDKBJM3OOLSD

Fl $alor presente O de una cantidad & con $encimiento a una fecha posterior, puede ser interpretado como el $alor descontado de &. C la diferencia del monto con el capital se le conoce como descuento simple de

& a una tasa de inter+s, o sea el descuento racional so%re &. MF;LDLOLSD T

Fl descuento simple, es aquel que se descuente so%re una cantidad (&) del cul se o%tiene el $alor presente u otorgado, *a descontado.

Cl descuento %ancario, se le conoce frecuentemente como inter+s por adelantado.

;JB<3NC& T

M & d t...(1) O & ?M ...(/) O & ? &dt

O & (1 d t)...(2) F'emplo Dº 8

allar el descuento simple so%re una deuda de - 1500 con $encimiento en 9 meses a una tasa de descuento del 6# cul es el $alor  presente de la deuda

>or lo tanto, & - 1500, d 0.06, t  9W1/ meses, M &dt M  (-1500)(0.06)(9W1/) M  - 67.50 ( descuento simple ) O  &M O  -1500  -67.50 O  - 1"2/.50 ( $alor presente). DJKCOLSD T

M  Mescuento simple o racional (-) &  <onto (-)

d  tasa de descuento (#)

 t  tiempo (d4as, meses, aos ) c  $alor presente (-)

1.15 DESCUENTO DE PAGARÉS LDKBJM3OOLSD

3n pagar+ puede ser $endido una o ms $eces antes de la fecha de $encimiento. Oada comprador descuenta el $alor del documento al $encimiento desde la fecha de la $enta hasta la fecha de $encimiento a su tasa de descuento fi'ada.

F'emplo Dº 9

Oul es el importe de la $enta del siguiente pagar+, al seor tomas <art4ne@. 5 meses antes del $encimiento, a la tasa de descuento del 8#

MLCHBC<C MF KLF<>J

1W1 "W1 9W1

 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 

alor nominal Lmporte de la $enta alor al $encimiento

-2000 - /,977.22 -2080

 Mescuento por 5 meses al 8#

a) L  O i t $alor al $encimiento

L  (-2000)(0.0")(8W1/) &  OL

L  - 80 &  - 2000 - 80

&  - 2080

%) Fl periodo de descuento es 5 meses Lmporte de $enta

M  & d t O  &  M

M  (-2080) (0.08) (5W1/) O  -2080-10/.67

M  - 10/.67 O  - /977.22

c) Komas <t@ le paga a >+re@ - /977.22 * o%tiene la posesin del documento. &4 <t@. Na conser$a hasta el $encimiento ( 1 de septiem%re) reci%ir de Gaime p. Harc4a el $alor al $encimiento,

o sea - 2080.00

1.16 PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Oul es el $alor actual de una serie de %onos que totali@an -1/00 * cu*o $encimiento es dentro de un mes, suponiendo una tasa de inter+s del 6# Oul es el descuento racional

/. Meterminar el $alor al 1º de ma*o de un pagar+, sin intereses, de -1500 pagadero el 15 de 'unio, suponiendo una tasa de inter+s simple de 5# cul es el descuento racional

2. allar el $alor actual, al 5# de descuento simple deT (a) -1000 con $encimiento en 1 ao.

(%) -1/00 con $encimiento en  ao. (c) -800 con $encimiento en 2 meses.

". 3n %anco carga el 6# de inter+s por adelantado (6# de descuento simple). &i A firma un documento por -/000 a 5 meses. \u+ cantidad reci%ir el %anco

5. \u+ tasa de inter+s simple paga A, en el pro%lema "

6. Meterminar el $alor del documento a 5 meses que A de%e firmar con el o%'eto de reci%ir -/000 del %anco, del pro%lema ".

7. 3n pagar+ de - 1000 a tres meses, sin intereses, firmado el 5 de ma*o fue descontado el /6 de 'unio al 6#. Meterminar el $alor de la transaccin. 8. 3n documento por -/500 a 6 meses, con intereses al 6#, fechado el /0 de mar@o, fue descontado el 7 de 'ulio al 5#. allar el importe de la operacin.

9. un documento por -2000 a /"0 d4as con intereses al 5#, fechado el 10 de Cgosto de 1997 fue descontado el 16 de fe%rero de 1998 al "#. allar  el importe de la operacin.

FGFBOLOLJ& HB3>J 8

$alor 5 meses antes del $encimiento. &uponiendo un rendimiento de "  # de inter+s simple.

Oul es el descuento racional

/. [ reci%ir un di$idendo de -750 el 1" de 'unio cul es su $alor el 20 de C%ril suponiendo un rendimiento de 5# de inter+s simple Oul es el descuento racional

2. 3n documento por -600 esta%lece 5# de inter+s simple por 1/0 d4as. &i P descuenta el documento 20 d4as antes del $encimiento para o%tener "# de inter+s simple cul es el descuento

". Meterminar el descuento simple so%reT

(a) -2500 por 60 d4as al "# de descuento simple. (%) -5000 por 90 d4as al 2  # de descuento simple. (c) -1/00 por " meses al 5# de descuento simple.

(d) -/500 del 5 de mar@o al 10 de a%ril, al 6# de descuento simple.

(e) -"000 del 10 de octu%re al 12 de no$iem%re, al 5# de descuento simple.

(f) - 2000 del 15 de septiem%re al 20 de octu%re, al "  # de descuento simple.

5T 3n %anco carga el 6# de inter+s simple por adelantado (o sea el 6# de descuento simple). Fn prestamos a corto pla@o. Meterminar la cantidad reci%ida por una persona que solicite.

2

inter$ienen en los clculos del inter+s compuesto

 Fnsear los anlisis matemticos que

conducen al desarrollo de las frmulas para el clculo de montos, tasas * tiempo.

  Cplicarlos en la solucin de pro%lemas

frecuentes en las matemticas financieras.

SUMARIO 3nidad /. Lnter+s Oompuesto.

/.1". Mefinicin.

/.15. <onto compuesto con per4odos de

capitali@acin fraccionarios

/.16. Kasa nominal * efecti$a de inter+s. /.17. CproAimacin de la tasa de inter+s. /.18. CproAimacin del tiempo.

/.19. >ro%lemas resueltos. /./0. >ro%lemas propuestos. /./1. alor presente.

/.//. alor presente para el caso de un per4odo de con$ersin fraccionario.

/./2. Fcuaciones de $alor a inter+s compuesto. /./". Kiempo equi$alente.

2. INTERÉS COMPUESTO 2.1 INTRODUCCIÓN

Fn aquellas transacciones que a%arcan un periodo largo de tiempo, el inter+s puede ser mane'ado de dos manerasT

(1) C inter$alos esta%lecidos, el inter+s $encido se paga mediante cheque o cupones. Fl capital que produce los intereses permanece sin cam%io durante el pla@o de la transaccin. Fn este caso, estamos tratando con intereses simples.

(/) C inter$alos esta%lecidos, el inter+s $encido es agregado al capital (por e'emplo en las cuentas de ahorro). Fn este caso, se dice que el inter+s es capitali@a%le o con$erti%le en capital * en consecuencia, tam%i+n gana inter+s. Fl capital aumenta peridicamente * el inter+s con$erti%le tam%i+n aumenta peridicamente durante el periodo de transaccin. Na suma $encida al final de la transaccin es conocida como monto compuesto. C la diferencia entre el monto compuesto * el capital original se le conoce como inter+s compuesto.

F'emplo 1.

(a) allar el inter+s simple so%re - 1000 por 2 aos al 5# de inter+s simple. allar el inter+s compuesto so%re - 1000 por 2 aos * el inter+s de 5# es con$erti%le anualmente en capital.

(a) l  Oit  1000(0.05) 2  - 150.00 (%) Fl capital original es - 1000.

Fl inter+s por un ao es 1000(0.05)  -50

Fl capital original del primer ao es 1000  50  -1050.

Fl inter+s so%re el nue$o capital por un ao es 1050(0.05)  -5/.50 Fl capital al final del segundo ao es 1050  5/.50  -110/.50

Fl inter+s so%re el nue$o capital por un ao esT 110/.50(0.05)  -5/.1/ Fl capital al final del tercer ao es 110/.5055.1/  -1157.6/

Fl inter+s compuesto es 1157.6/ ? 1000  - 157.6/

2.2 DEFINICIÓN

Fl inter+s puede ser con$ertido en capital anualmente, semestralmente, trimestralmente, mensualmente etc. Fl n!mero que el inter+s se con$ierte en un ao se conoce como frecuencia de con$ersin. Fl periodo de tiempo de inter+s se esta%lece entre dos con$ersiones sucesi$as se conoce como per4odo de inter+s o con$ersin. Na tasa de inter+s se esta%lece normalmente como tasa anual. >or _inter+s al 6#` se eAtiende que el 6# se con$ierte anualmente de otra forma, la frecuencia de con$ersin se indica eApresamente, esto es, "# con$erti%le semestralmente, 5# con$erti%le trimestralmente, etc.

Fn pro%lemas que implican inter+s compuesto, tres compuestos son importantes (a) el capital original, (%) la tasa de inter+s por periodo * (c) el n!mero de periodos de con$ersin durante todo el pla@o de la transaccin.

F'emplo /.

3na cierta cantidad es in$ertida durante 8 aos al 7# con$erti%le trimestralmente. Fl periodo de con$ersin es 2 meses la frecuencia de con$ersin es ". Na tasa de inter+s por periodo de con$ersin es

Kasa anual de intereses 0.07

;recuencia de con$ersin "

Fl n!mero de periodos de con$ersin es

(numero dado de aos) (frecuencia de con$ersin)  8  A "  2"

EL MONTO COMPUESTO. &ea un capital O in$ertido a la tasa i por  periodo de con$ersin * designemos con & al monto compuesto de O al final de n periodos de con$ersin. >uesto que O produce Oi de inter+s durante el primer periodo de con$ersin, al final de dicho periodo produce a O  Oi O (1  i). Fn otras pala%ras, el monto de un capital al final de un periodo de con$ersin se o%tiene multiplicando en capital por el factor (1  i). Fn consecuencia, al final del segundo periodo de con$ersin el capital es c(1  i) (1  i)  O (1  i)/_{al final del tercer periodo de con$ersin, el monto} es O (1  i)/ _{(1  i)  O (1  i) * as4 sucesi$amente. Na sucesin de montos.}

O(1  i), O (1  i) /,_{O (1i)} 2

;orma una progresin geom+trica cu*o nesimo t+rmino es &  O (1i) n

Fl factor (1 L) n _{es el monto compuesto de C a la tasa i por periodo,} por n periodos de con$ersin * ser conocido como monto compuesto de 1. >ara una i * una n dadas, el monto compuesto puede ser o%tenido mediante al teorema %inominal utili@ando logaritmos. Fn caso de tasas comunes de inter+s, el $alor puede ser le4do directamente de ta%las preparadas espec4ficamente. >ara el clculo de & aproAimado a centa$os, utili@aremos !nicamente tantos decimales como d4gitos tenga O eApresado en centa$os. Fste procedimiento en ocasiones causar un error de un centa$o.

F'emplo 2.

&i se in$ierten -1000 durante 8  al 7# con$erti%le trimestralmente, tenemos que, O  1000, i  0.0175, n 2" *

&  O(1  i) n _{ 1000 ) 1.0175)} 2"

 1000)1.8027/5)  -1802.7/ Fl inter+s compuesto es 1802.7/  1000  -802.7/

Fl /0 de mar@o de 19"5, se in$irtieron - /00 en un fondo que paga%a el 5# con$erti%le semestralmente, Oul era el importe del fondo el /0 de septiem%re de 1961.

O  /00, i  0.0/5, n  22 *

&  O (1  i) n _{ /00(1.0/5)} 22 _{ /00(/./5885)  -"51.77}

2.3 MONTO COMPUESTO CON PERIODOS DE CONVERSIÓN FRACCIONARIOS

Na formula (1) se deri$a con la suposicin de que n es entero. Fn teor4a puede ser aplica%le para n entero o fraccionario. Cl e$aluar la formula cuando n es fraccionario, en ocasiones se utili@aran las ta%las L * L en otros casos ser necesario utili@ar los logaritmos.

F'emplo 5.

allar el monto compuesto (terico) de - 2000 en 6 aos 2 meses al 5#

Fn este caso O  2000 i  0.05 * n /5W" por tanto. &  2000(1.05) /2W"  _2000(1.05) 6_(1.05) Z

Fn la practica raramente se aplica el procedimiento anterior. Fn su lugar se determina el monto compuesto correspondiente a los periodos de con$ersin * se aumenta con inter+s simple por el periodo fraccionario de con$ersin a la tasa anual estipulada. C menos que se diga otra cosa, de%er entenderse en futuras aplicaciones que este !ltimo sistema ser el utili@ado.

F'emplo 6.

Besol$er el e'emplo anterior aplicando inter+s simple en el periodo de con$ersin fraccionario.

 Cplicamos inter+s compuesto por 6 periodos (aos) e inter+s simple so%re el monto compuesto por Z ao, es decir 

& 2000(1.05) 6 _{(11.05 (1W"))}

 2000(1.2"0096) (1.01/5)  - "070.5"

produce un resultado ligeramente ma*or que la regla terica. 2.4 TASAS NOMINAL ! EFECTIVA DE INTERESES

&e dice que dos tasas anuales de inter+s con diferentes periodos de con$ersin son equi$alentes si se producen el mismo inter+s compuesto al final de un ao.

F'emplo 7.

 Cl final de una ao el monto compuesto de -100 al

(a) "# con$erti%le trimestralmente es 100 (1.01) " _{ -10".06} (%) ".06# con$erti%le anualmente es 100(1.0"06)  -10".06

>or tanto, "# con$erti%le trimestralmente * ".06# con$erti%le anualmente son tasas equi$alentes.

Ouando el inter+s es con$erti%le ms de una $e@ en un ao, la tasa anual dada se conoce como tasa nominal anual o simplemente tasa nominal. Na tasa de inter+s efecti$amente ganada en un ao se conoce como tasa efecti$a anual o como tasa efecti$a. Fn el e'emplo 7 (a), "# es la tasa nominal mientras que en (%) ".06 es la tasa efecti$a. Oomo se mostr, ".06 es la tasa efecti$a equi$alente a una tasa nominal de "# con$erti%le trimestralmente.

F'emplo 8.

allar la tasa efecti$a de inter+s i equi$alente a una tasa nominal de 5# con$erti%le mensualmente.

Fn un ao el monto de 1 a la tasa efecti$a i ser 1  i * al 5# con$erti%le mensualmente ser (1  0.05W1/) 12

aciendo 1  i  (1  0.05W1/) 1/

$emos que i  (1 0.05W1/) 1/ _{ 1}

 1.05116190  1  0.05116190 o sea 5.116# F'emplo 9.

allar una tasa nominal ' con$erti%le trimestralmente equi$alente a una tasa efecti$a de 5#.

Fn un ao, el monto de 1 a la tasa ' con$erti%le trimestralmente es (1  'W") " _{* al 5# efecti$o es 1.05. aciendo} (1  'W") " _{ 1.05} $emos que 1  'W"  (1.05) Z >or tanto,  '  " X(1.05)1W" _{1 Y}  "(0.01//7//2)  0.0"90889/ o sea ".909# DotaT Oiertos autores definen * ta%ulan $alores de

 'p ( a la tasa i)  p X (1 i) 1Wp _{ 1) Y}

2.5 APRO-IMACIÓN DE LA TASA DE INTERÉS

Mados O, & * n en la ecuacin (1), puede ser aproAimada *a sea interpolando en la ta%la L o utili@ando logaritmos.

F'emplo 10.

C que tasa nominal ' con$erti%le semestralmente el monto de -100 ser -/15 en 15  aos

Fn este caso O  100, &  /15, n  21. &er i  'W/ de la ecuacin (1) tenemosT

/15  100(1  i) 21 _{* (1  i)} 21 _{  /,1500}

Fn la ta%la L encontramos que (1.0/5) 21 _{ /.15000677, por lo cual} i  0.0/5 * '  /i  0.05 o sea 5#

F'emplo 11.

C que tasa nominal ' con$erti%le trimestralmente el monto de -1/50 ser -1900 en 10 aos

Fn este caso O  1/50, &  1900, n  "0 de (1) tenemos que, 1900  1/50 (1  i) "0 _{* (1i)} "0 _{  1,5/00}

/15 100

1900 1/50

 CproAimado a cuatro decimales las cifras de la ta%la L, tenemos que (1.01)"0  _{ 1."889 * (1.01/5)}"0 _{ 1.6"26, cercano a 1.5/00. emos} claramente que la tasa i %uscada de%e estar entre 1# * 1 Z # estando mas cerca de 1#. Chora, coloquemos a continuacin 'unto a cada par+ntesis rectangular la diferencia de las dos cantidades indicadas. (Fn este caso escri%imos i ? 0.01  A)

0.01 1."889

0.0/5 i  0.15"7 1.5/00

0.1/5 1.6"26

Me la proporcin  encontramos que  00050,

por tanto

i  0.01  A  0.01050 * j   "i  0.0"/0 * "./0# F'emplo 1/

Besol$er el e'emplo 11, usando logaritmos. Me la igualdad 19001/50 (1i) "0_tenemos

Nog 1900log 1/50"0 log (1i) >or tanto

Nog (1 L)  log 1900 ? log 1/50  2/7857" ? 2096910

"0 "0

 0.0"5"6 Me donde

1 i  1.0105/ i  0.0105/ * '  "i  0.0"/08 o sea "./08#

2.6 APRO-IMACIÓN DEL TIEMPO

0.0211

X 0.0311 0.0311

Oonocidos O, & e, i, el tiempo n de la formula (1) puede ser calculado interpolando en la ta%la L o aplicando logaritmos.

F'emplo 12.

Fn que tiempo el monto de -/000 ser - 2600 al "# con$erti%le semestralmente

O /000, & 6250, i  0.0/ de la formula (1) tenemos 2650  /000 (1.0/)n _{* (1.0/)} n_{  1.8/50}

Fn la ta%la L, encontramos

(1.0/) 20 _{ 1.81126158 * (1.0/)} 21 _{ 1.8"75888/}

Fs decir, que el tiempo requerido esta entre 20 * 21 periodos de con$ersin, o sea entre 15 * 15 , eAistiendo un monto ligeramente ma*or  en la cuenta. &i el inter+s se carga por periodos de con$ersin fraccionarios, el tiempo puede ser estimado en forma similar a la del e'emplo 11. Na informacin se mane'a as4T

20 1.811"

1 n 0.026/ 1.8/50

21 1.8"76

Me la relacin A  0.0126 , A  0.28 * n  20  A  20.28, periodos de 1 0.026/

con$ersin. Fl tiempo es 15,19 aos, aproAimadamente. 2.+ PROBLEMAS RESUELTOS

1. 3na cierta cantidad es in$ertida por 6 aos, 7 meses, al 6# con$erti%le mensualmente. allar la tasa de inter+s i por el periodo de con$ersin *

2650 /000

+l numero de periodos n.

Fl periodo de con$ersin es un mes la frecuencia de con$ersin es 1/. >or tanto, i  0.06W1/  0.005 o sea  # * n  6 A 1/  7  79 periodos de con$ersin.

/. 3na cierta cantidad es in$ertida al 8# con$erti%le trimestralmente, del 10 de octu%re de 195" al 10 de enero de 196/. allar la tasa de inter+s i por el periodo de con$ersin * el numero de periodos n.

Fl periodo de con$ersin es 2 meses la frecuencia de con$ersin es ". >or tanto, i  0.08W"  0.0/ o sea /# *

 Co <es

196/ 1

195" 10 n  7 A "  1  /9 periodos de con$ersin

Bestando 7 2

2. [ o%tiene un pr+stamo de - 600 acordando pagar el capital con inter+s de 2# con$erti%le semestralmente. Ounto de%e al final de " aos

O  600, i  0.015, n  8, por tanto

&  O (1 i )n _{ 600 (1.015)}n _{ 600 (1.1/6"9)  -675.89} ". Ccumulado - /500 por 5 Z aos al "# con$erti%le mensualmente.

O  /500, i  0.0"W1/  0.01W2, n  62 *a que

&  O (1  i ) n _{ /500 (1  0.01W2)} 62 _{ /500 (1./22/"7) } -2082.1/

DJKCT Fscri%imos i  0.01W2 puesto que de otra forma i seria un d+cimo ilimitado.

5. Fl 1º de ;e%rero de 19"8, [ o%tu$o un pr+stamo de - /000 al 5# con$erti%le trimestralmente.

Ounto de%4a el 1º de agosto de 1960 O  /000, i  0.01/5, n  50 *a que,

&  O (1  i)n _{ /000 (1.01/5)} 50 _{ /000 (1.8610//)  -27//.0"} 6. &eis aos despu+s de que [ a%ri una cuenta de ahorros con - /500

ganados intereses al /  # con$erti%le semestralmente, la tasa de inter+s fue ele$ada al 2# con$erti%le semestralmente. Ounto ha%4a en la cuenta 10 aos despu+s del cam%io en la tasa de inter+s

Fn los primeros 6 aos O  /500, i  0.0/5, n  1/, * &  /500(1.01/5)1/

Fn los siguientes 10 aos O  /500(1.01/5)1/_{, i  0.0/5, n  /0, >or}  tanto,

&  O  /500(1.01/5)1/ _(1.015)/0 _{ /500(1.160755)(1.2"6855) } -2908."/

7. Ccumular - /000 por 6 aos, al "./#, con$erti%le trimestralmente. O  /000, i  0.0105, n  /" * &  /000(1.0105)/"

Fs este caso no nos sir$e la ta%la L por lo cual & se determina usando logaritmos.

Nog &  log /00  /" log 1.0105

  2.201020  0.108871  2."09901 * &  - /569.80

8. allar el monto compuesto de - 1000 por /0 aos al 5#, con$erti%le mensualmente.

O  1000, i  0.05W1/, n  /"0 * &  1000(1  0.05W1/)/"0

 1000(1  0.05W1/)150 _{(1  0.05W1/)}90  1000(1.8658//)(1."5258)  - /71/.6"

9. Na ta%la dada a continuacin, nos da el monto de - 1 a inter+s simple * a inter+s compuesto al 6#. Fl crecimiento comparati$o se ilustra en la grafica ad'unta.

 Co <onto a inter+s

simple <onto a inter+s compuesto 0 1 / 2 " 5 6 1,000 1,060 1.1/0 1,180 1,/"0 1,200 1,260 1,000 1,060 1,1/" 1,191 1,/6/ 1,228 1,"19

7 8 9 10 1,"/0 1,"80 1,5"0 1,600 1,50" 1,59" 1,689 1,791

10. allar el monto compuesto terico de, (a) - 500 por 7 aos, dos meses al "  # (%) - 1500 por 6 aos, 7 meses al 5./#, con$erti%le semestralmente. (a) O  500, i  0.0"5, n  "2W6, * &  500(1.0"5)"2W6 _{ 500(1.0"5)}7_(1.0"5)1W6  500 (1.26086)(1.00726)  - 685."" (%) O  1500, i  0.0/6, n  79W6, * &  1500(1.0/6) 79W6 log &  log 1500  79W6 log 1.0/6

 2.176091  0.1"6776  2.2//867 * &  -/102.10

11. allar el monto compuesto de, (a) - 500 por 7 aos, / meses al "  # (%) - 1500 por 6 aos, 7 meses al 5./#, con$erti%le semestralmente.

(a) 3tili@amos inter+s compuesto por 7 periodos de con$ersin e inter+s simple por dos meses, con lo cual

&  500(1.0"5) 7_{(1  0.0"5W6)}

 500(1.26086)(1.0075)  - 685.52

(%) 3tili@amos inter+s compuesto por 12 periodos de con$ersin e inter+s simple por 1 mes, con lo cual

&  1500(1.0/6) 12 _{(1  0.0/5W1/)  1500(1.0/6)} 12_(1.00"2) Nog &  log 1500  12 log 1.0/6  log 1.00"2

 2.176091  0.1""911  0.00186"  2.2//866 * &  - /102.10

1/. allar la tasa efecti$a i equi$alente a '  0.05/5 con$erti%le trimestralmente.

Fn un ao, el monto de la tasa es 1  i * la tasa '  0.05/5 con$erti%le trimestralmente es (1.0121//5) "_

Lgualando

1  i  (1.0121/5) " encontramos i  (1.0121/5) " _{? 1}

 Chora log (1.0121) " _{ "(0.00565/2)  0.0//609} E (1.0121) " _{ 1.052"}

>or tanto i  0.052" o sea 5.2"#

12. allar la tasa nominal ', con$erti%le mensualmente, equi$alente al 6# con$erti%le semestralmente.

Fn un ao, el monto de -1 a la tasa nominal ', con$erti%le mensualmente, es (1  'W1/) 1/ _{* al 6# con$erti%le semestralmente es (1.02)} /_{. aciendo}

(1  'W1/) 1/ _{ (1.02)} / encontramos 1  'W1/ (1.02) 1W6

* '  (1/ ) (1.02) 1W6 _{1  1/(0.00"9286/) } 0.059/62"" o sea 5.9/6#

1". allar la tasa nominal ', con$erti%le semestralmente, equi$alente al "./# efecti$o.

Fn un ao, el monto de -1 a la tasa nominal ', con$erti%le semestralmente, es (1  'W/) * al "./# efecti$o es 1.0"/.

Lgualando

(1  'W/) / _{ 1.0"/}

tenemos '  / X(1.0"/)  _{ 1Y}

 Cplicando logaritmos, log (1.0"/)  _{  (0.0178677)  0.0089228} E (1.0"/)  _{1.0/078, por tanto}

 '  /X1.0/078  1Y  0.0"156 o sea ".156# 2., PROBLEMAS PROPUESTOS

periodos de con$ersin cuando se in$ierte un capital OT (a)por 5 aos al "#

(%)por 8 aos al 5#

(c)por 6 aos al " # con$erti%le semestralmente (d)por 10 aos al 2  con$erti%le semestralmente (e)por 5  aos al "# con$erti%le trimestralmente

(f) por 6 aos 9 meses, al 6# con$erti%le trimestralmente

(g)del 10. de enero de 1960 al 1º. Gulio de 1971 al 5# con$erti%le semestralmente.

(h)Mel 15 de mar@o de 19"7 al 15 de septiem%re de 1962, al 2  con$erti%le semestralmente.

(i) Mel 18 de agosto de 19"8 al 18 de fe%rero de 1957, al 6# con$erti%le trimestralmente.

(') Mel /0 de enero de 1955 al /0 de 'ulio de 196/, al 6# con$erti%le mensualmente.

(=)Mel 20 de septiem%re de 19"7 al 20 de mar@o de 1962, al 2# con$erti%le mensualmente. Besp. (a) i  0," n  5. (g) i  0.0/5, n /2 (%) i  0.05, n  8 (h) i  0.0175, n  21 (c) i  0.0//5, n  1/ (i) i  0.015, n  2" (d) i  0.0175, n  /0 (') i  0.005, n  90 (e) i  0.01, n  // (=) i  0.00/5, n  186 (f) i  0.015, n  /7

16. (a) Oomparar el monto simple * el monto compuesto de - 100 por un ao al 6#. &acar conclusiones (%) Oomparar el monto simple * el monto compuesto de -100 por 5 aos al 6#. &acar conclusiones.

17. allar el monto compuesto de - 100 al 5# por (a) 10 aos, (%) /0 aos. (c). 20 aos. Fn forma aproAimada cundo el monto compuesto es el do%le del capital original. Besp. (a) -169.89, (%) -/65.22, (c) -"2/.19, despu+s de 15 aos.

18. allar el monto compuesto deT

(a)-750 por 6 aos al "# con$erti%le semestralmente. (%)-750 por 6 aos al "# con$erti%le trimestralmente. (c)-1500 por 8  aos al 2# con$erti%le trimestralmente.

(d)-1500 por 7 aos 8 meses al 5# con$erti%le mensualmente. Besp. (a) -951.18 (%) -95/.20 (c) -1919."6 (d) -/199.00

19. 3n padre coloca - 500 en una cuenta de ahorros al nacer su hi'o, &i la cuenta paga el / # con$erti%le semestralmente, cunto ha%r al cumplir 18 aos el hi'o. Bes. -781.97

/0. &e estima que un terreno %oscoso cu*o $alor es de - 75.000 aumentara su $alor cada ao en "# so%re el $alor del ao anterior  durante 1/ aos. Oul ser su $alor al final de dicho pla@o Bes. -1/0.077."/

/1. 3na pli@a total de -10.000 cu*o $encimiento fue el 1º. Me ma*o de 196/, fue de'ada en la compa4a de seguros al 2 # con$erti%le anualmente. Oul fue su $alor el 1º. Me ma*o de 1970 Bes. -12.169.09

//. [ desea un pr+stamo de - /000 por / aos. Ne ofrecen el dinero al (a) 5# con$erti%le trimestralmente, (%) 5 8W8 # con$erti%le semestralmente, (c) 5  # de inter+s simple. \u+ oferta de%e aceptar Bes. (a).

/2. Ccumular - /000 por 6 aos al 6."# con$erti%le semestralmente. Bes. -/918.70

/". Ccumular - 1500 por 7  aos al 5./# con$erti%le trimestralmente. Bes. - //09.90

/5. <ediante la regla practica, hallar el monto compuesto deT

(a)-1000 por 8 aos, 5 meses al "# con$erti%le semestralmente. Bes. - 1295.67

(%)-1500 por 6 aos, 10 meses al 5# con$erti%le trimestralmente. /6. \u+ tasa con$erti%le anualmente es equi$alente al 6# con$erti%le

trimestralmente Bes. 6.126#

/7. allar la tasa nominal con$erti%le trimestralmente equi$alente al 5# con$erti%le semestralmente. Besp. ".969#

/8. allar la tasa nominal con$erti%le mensualmente equi$alente al 5# con$erti%le semestralmente Besp. ".9"9#

/9. allar la tasa nominal con$erti%le semestralmente a la cual el monto de - /500 es - 2/50 en 5 aos. Besp. 5.21/#

20. allar la tasa nominal con$erti%le trimestralmente a la cual el monto de -2500 es -500 en 5  aos. Besp. 6.8"9#

21. allar la tasa nominal con$erti%le mensualmente a la cual el monto de -2/50 es -"00 en 8 aos.

2/. Ouantos aos se necesitaran para queT

(a)-1500 aumenten al do%le, al 6# con$erti%le trimestralmente (%)Fl monto de - /500 sea - 6000 al 5# con$erti%le

semestralmente

(c)Fl monto de - "000 sea -5000 al "# con$erti%le mensualmente

(d)Fl monto de -"000 sea -7500 al ".6# con$erti%le trimestralmente

Besp.(a) 11.6", (%) 17.72, (c) 5.59, (d) 12.7" 2. EL VALOR PRESENTE

 C la tasa i, por periodo de con$ersin, de un monto S con $encimiento en n periodos de con$ersin es la suma C  tal que in$ertida ahora a la tasa dada de inter+s alcan@ar4a el monto & despu+s de n periodos de con$ersin. Mel capitulo 7 tenemos,

&  O (1  i)n Me donde,

O  &(1  i)n

Fn la ta%la  se dan $alores para el factor de descuento (1  i) n_{, para} diferentes tasa * pla@os. Ouando no es aplica%le la ta%la , de%en utili@arse logaritmos.

F'emplo 1.

allar el $alor presente de - /000 pagaderos en 6 aos, suponiendo un rendimiento a la tasa de 5# con$erti%le semestralmente.

&  /000, i  0.0/5, n  1/ de (1) tenemos

O  & (1  i) ?n _{? /000(1.0/5)}1/_{ /000(0.7"2556)  -1"87.11} F'emplo /.

allar el $alor presente de -/000, pagaderos en 6 aos, suponiendo un rendimiento a la tasa de 5# con$erti%le semestralmente.

&  500, i  0.011, n  /1 por tanto

O  500(1.011)/1

Nog O  log500 ? /1 log 1.011

 /.698970 ? 0.099775  /.599195 O  -297.27

>CBC CNNCB FN CNJB >BF&FDKF de un pagare con inter+s, hallarT

(a) Fl monto de la deuda al $encimiento.

(%) Fl $alor presente del monto encontrado en (a. F'emplo 2.

&uponiendo una tasa de rendimiento efecti$o de "# hallar el $alor  presente de una deuda de - /500 contratada con intereses al 6# con$erti%le trimestralmente, pagadera en 8 aos.

(a) Fl $alor al $encimiento es

&  /500 (1.015)8/ _{ /500(1.6102/")  -"0/5.81}

(%) Fl $alor presente de - "0/5.81 pagadero en 8 aos al "# efecti$o esT

2.10 VALOR PRESENTE PARA EL CASO DE UN PERIODO DE CONVERSIÓN FRACCIONARIO

Ouando el tiempo en una parte fraccionaria del periodo de con$ersin, el $alor presente puede ser encontrado en forma similar al caso del inter+s compuesto mediante la regla terica * la regla practica.

F'emplo ".

allar el $alor presente de -2000 pagaderos en 8 aos 10 meses suponiendo un rendimiento de "# con$erti%le trimestralmente.

&  2000, i  0.01, n  106W2 por tanto O  2000(1.01)  ?106W2 Begla terica. aciendo uso de las ta%las  * LL tenemos

O  2000(1.01) ? 106W2 _{ 2000 (1.01)} ?25 _(1.01) ?1W2  2000(0.70591")(0.996689)  -/110.72

Begla practica. Fn este caso n 106W2  25 1W2 descontamos & por 6 periodo (+l numero ma*or entero de periodos de con$ersin ms prAimo al pla@o dado) * le sumamos inter+s simple por 26 ? 25 1W8  /W8 de periodo de con$ersin, es decir por dos meses, por tanto.

O  2000(1.01)26 (1  0.0"W6)  2000(0.6989/5)(2.0/W2)  -/110.75

2.11 ECUACIONES DE VALOR

3na ecuacin de $alor se o%tiene igualando en una fecha de comparacin focal, la suma de un con'unto de o%ligaciones con otro con'unto de o%ligaciones. Fn +l capitulo " se hi@o notar que cuanto se trata con inter+s simple, dos con'untos de o%ligaciones que son equi$alentes en una cierta fecha pueden no serlo en otra distinta. Ouando se trata con inter+s compuesto, dos con'untos de o%ligaciones que son equi$alentes en una fecha tam%i+n lo son el cualquier otra.

F'emplo 5.

aos. Ccuerdan que < liquide sus deudas, mediante un pago !nico al final de 2 aos so%re la %ase de un rendimiento de 6# con$erti%le semestralmente.

Mesignemos con [ el pago requerido. Komando el final del tercer ao como fecha focal, la deuda de - 1000 est $encida en un ao * su $alor es 1000 W1.02)/_{, la deuda de -2000 $ence en dos aos * su $alor es 2000} (1.02)"_{, mientras que el $alor del pago [ es [ en la fecha local. Lgualando} la suma de los $alores de las deudas con el $alor del pago !nico en la fecha focal tenemos.

(a) [  1000(1.02)/  2000 (1.02)"

Komando la fecha inicial como fecha focal, la ecuacin de $alor esT (%) [ (1.02)"  1000 (1.02)" _{ 2000(1.02)}10

Komando el final del quinto ao como fecha focal, la ecuacin de $alor esT

(c) [ (1.02)"  1000(1.02)6  2000

Dtese que las tres ecuaciones de $alor son equi$alentes, por  e'emplo (%) puede ser o%tenida de (a) multiplicando esta ultima (1.02) 6 _{* (c)} puede ser o%tenida de (%) multiplicando esta por (1.02) 10_{. &in em%argo, si} tomamos 100 aos despu+s como fecha focal, la ecuacin de $alor  correspondiente puede ser o%tenida de (%) multiplicando esta por (1.02) 200_. Me todas las ecuaciones que puedan formarse (a) es $isi%lemente la ms simple para determinar [. 3tili@ndola tenemos

[  1000(1.02)/ _{ 2000(1.02)}"

  1000(1.060900)  2000( 0.888"87)  - 27/6.26 F'emplo 6

< de%e -1000 pagaderos en 1 ao * -2000 pagaderos en " aos.  Ccuerda pagar -/000 de inmediato * el resto en / aos. Ounto tendr

que pagar al final del /º ao suponiendo un rendimiento de 5# con$erti%le

0 1 / 2 " 5 aos

semestralmente

/000 [

Mesignemos con [ el pago requerido. Komando como fecha focal el final del /º ao, la deuda de - 1000 est $encida 1 ao * su $alor es 1000 (1.0/5)8, mientras que la deuda de -2000 $ence en / aos * su $alor es 2000 (1.0/5)" Cnalgicamente el pago de -/000 est $encido dos aos de la fecha focal * su $alor es /000 (1.0/5)", mientras que el pago [ $ale [. Lgualando la suma del $alor de los dos pagos * de las dos deudas, tenemos

/000(1.0/5)" _{ [  1000(1.0/5)}/ _{ 2000(1.0/5)}" >or tanto, [  1000(1.0/5)/ _{ 200081.0/5)}" _{? /000(1.0/5)}"

 1050.6/  /717.85 ? //07.62  -1560.8" 2.12 TIEMPO EUIVALENTE

Na fecha en la cual un con'unto de o%ligaciones, con $encimiento en fechas diferentes, puede ser liquidado mediante un pago !nico igual a la suma de las distintas deudas, se conoce como fecha de $encimiento promedio de las deudas. Fl tiempo por transcurrir hasta dicha fecha se conoce como tiempo equi$alente.

F'emplo 7.

Oul es el tiempo equi$alente para el pago de unas deudas de -1000 con $encimiento de 1 ao * -2000 con $encimiento en / aos suponiendo un rendimiento de "# con$erti%le trimestralmente

0 1 / 2 " aos

0 1 / 2 " 5 6 "m 7 8 periodos de con$ersin "000  (trimestre)

Mesignemos con A (aos) el tiempo equi$alente. Komando el d4a de ho* como fecha focal, la ecuacin de $alor es

"00081.01)" _{ 1000(1.01)}" _{ 2000(1.01)}8

FntoncesT (1.01)" _{1000(1.01)}" _{ 2000(1.01)}8 _{ 2721."2  0.92/8575}

"000 "000

 3

tipos de anualidades.

 Ldentificar * mane'ar los distintos factores que

inter$ienen en las anualidades.

  Cplicarlos en la solucin de pro%lemas de

montos o $alores futuros, $alores actuales, rentas de anualidades, tasas de inter+s * tiempos o pla@os.

SUMARIO

3nidad 2. Cnualidades. 2.1. Lntroduccin.

2./. Olasificacin de las Cnualidades.

2.2. Cnualidades &imples Oiertas Jrdinarias.

2.2.1. alor de las Cnualidades.

2.2./. <onto * $alor actual de las Cnualidades &imples Oiertas Jrdinarias.

2.2.2. >ro%lemas resueltos. 2.2.". >ro%lemas propuestos.

2.2.5. Olculo de la renta en una Cnualidad &imple Oierta Jrdinaria.

2.2.6. Olculo del tiempo o pla@o de una anualidad.

2.2.7. Olculo de la tasa de inter+s de una anualidad simple cierta ordinaria.

2.2.8. >ro%lemas resueltos. 2.2.9. >ro%lemas propuestos. 2.". Cnualidades Cnticipadas.

2.6. Cnualidad Heneral Oaso Fspecial. 2.6.1. Lntroduccin.

2.6./. &4m%olos utili@ados en las anualidades generales.

2.6.2. Oon$ersin de una anualidad general en una anualidad simple.

2.6.". <onto * $alor de las anualidades generales ciertas ordinarias.

2.6.5. Olculo de la renta de una anualidad general cierta ordinaria.

2.6.6. Jtros m+todos de clculos de los $alores de las anualidades.

2.6.7. >ro%lemas resueltos. 2.6.8. >ro%lemas propuestos.

2.6.9. Olculo del tiempo o pla@o de una anualidad general.

2.6.10. Olculo de la tasa de inter+s de una anualidad general.

2.6.11. >ro%lemas resueltos. 2.6.1/. >ro%lemas propuestos

2.".1. Lntroduccin.

2."./. &4m%olos utili@ados en las Cnualidades  Cnticipadas.

2.".2. <onto * $alor actual de las Cnualidades &imples Oiertas Cnticipadas.

2.".". >ro%lemas Besueltos. 2.".5. >ro%lemas >ropuestos. 2.5. Cnualidades Miferidas. 2.5.1. Lntroduccin.

2.5./. &4m%olos utili@ados en las Cnualidades Miferidas.

2.5.2. alores de las Cnualidades Miferidas &imples Oiertas.

2.5.". >ro%lemas Besueltos. 2.5.5. >ro%lemas propuestos.

3. ANUALIDADES 3.1 INTRODUCCIÓN

Fn matemticas financieras la eApresin anualidad se emplea para indicar el sistema de pago de sumas fi'as a inter$alos iguales de tiempo. >or costum%re se usa la pala%ra anualidad, que en un sentido propio de las finan@as no significa pagos anuales sino simplemente pagos a inter$alos regulares de tiempo. Cs4 son anualidades los di$idendos so%re acciones, los fondos de amorti@acin, los pagos a pla@os, los pagos peridicos de las compa4as de seguros * en una forma ms general, los sueldos * todo tipo de rentas son anualidades.

D#))). 3na anualidad es una sucesin de pagos peridicos iguales.

3.2 CLASIFICACIÓN DE LAS ANUALIDADES

Nos factores financieros que inter$ienen en las anualidades * sus formas de pago, determinan diferentes tipos de anualidades. >ara su estudio ordenado es necesario clasificarlas * definirlas.

R#7. Fl $alor de cada pago peridico reci%e el nom%re de renta. P#89':' :# %7;' o %#89':' :# &7 8#7. Fl tiempo que se fi'a entre dos pagos sucesi$os en el per4odo de pago o per4odo de la renta.

T)#$%' o %&7<' :# =7 7=7&):7:. Fl inter$alo de tiempo que transcurre entre el comien@o del primer per4odo de pago * el final del !ltimo es el tiempo o pla@o de una anualidad.

R#7 7=7&. Na suma de los pagos hechos en un ao es la renta anual.

T7>7 :# =7 7=7&):7: Fl tipo de inter+s que se fi'a es la tasa de una anualidad * puede ser nominal o efecti$a.

Nas anualidades seg!n su tiempo se agrupan en dos clases que sonT anualidades ciertas * anualidades e$entuales o contingentes. &on anualidades ciertas aquellas anualidades cu*as fechas, inicial * terminal se conocen por estar estipuladas en forma concreta. Cnualidades contingentes son aquellas en las que el primer pago o el ultimo, es decir la fecha inicial *Wo la fecha final dependen de alg!n suceso pre$isi%le pero cu*a fecha de reali@acin no se puede fi'ar.

A=7&):7:#> %#8%#=7> o %#8%#=):7:#> &on una $ariacin de las anualidades ciertas en las que la duracin del pago es ilimitada.

&eg!n la forma como se estipule el pago de la renta o anualidad, se originan las anualidades ordinarias o $encidas * las anualidades anticipadas. 3na anualidad es ordinaria o $encida si el pago de la renta se hace al final del periodo de pago. Fs anticipada si el pago se efect!a al principio del per4odo de pago.

Me acuerdo con las definiciones anteriores las anualidades se clasifican en la siguiente formaT

ANUALIDADES CIERTAS

O8:)78)7> ' ?#):7> A))%7:7>

Miferidas Miferidas

>erpetuas >erpetuas

>erpetuas diferidas >erpetuas diferidas

O

CONTINGENTES

Jrdinarias o $encidas Cnticipadas

D)#8):7> D)#8):7>

>erpetuas >erpetuas

>erpetuas diferidas >erpetuas diferidas

Oada una de las distintas formas de anualidades presenta $ariantes en la forma de calcular sus $alores, seg!n el n!mero de pagos en el ao * n!mero de per4odos de capitali@aciones anuales que estipule el tipo de inter+s.

&i el per4odo de capitali@acin coincide con el per4odo de pago se dice que las anualidades son anualidades simples.

3.3 ANUALIDADES SIMPLES CIERTAS ORDINARIAS.

&on aquellas cu*o per4odo de pago coincide con el per4odo de capitali@acin.

3.3.1 VALOR DE LAS ANUALIDADES

Fl $alor de las anualidades calculado a su terminacin es el monto de ella. Fl $alor de la anualidad calculado a su comien@o es su $alor actual o presente. Fstos $alores se pueden tam%i+n calcular en fechas intermedias, en tal caso se refiere aT monto de la parte $encida o $alor actual de las anualidades por $encer. Cs4 por e'emplo una renta de - /000 pagaderos cada final de ao durante 6 aos tendr un monto & al finali@ar los 6 aos * tendr un $alor actual o presente C en su fecha inicial.

0 1 / 2 " 5 6

 C /000 /000 /000 /000 /000 /000

parte $encida  fecha intermedia  parte por $encer &

Kranscurridos / aos se tiene una fecha intermedia que separa la parte $encida de la anualidad de la parte por $encer tal como se muestra en el grfico.