DEMOSTRACIÓN DE LA ECUACIÓN DE BERNOULLI MODIFICADA (Modificación de
DEMOSTRACIÓN DE LA ECUACIÓN DE BERNOULLI MODIFICADA (Modificación de la
la
ecuación de balance de energía):
ecuación de balance de energía):
Aunque no es el tema de
Aunque no es el tema de interés del presente trabajo, es de suma importancia elinterés del presente trabajo, es de suma importancia el manejo de la presente ecuación en los problemas sobre flujos de
manejo de la presente ecuación en los problemas sobre flujos de fluidos, pues nos dafluidos, pues nos da una explicación de los cambios energéticos que se producen en el sistema de e
una explicación de los cambios energéticos que se producen en el sistema de e studio.studio. En nuestro caso, evaluaremos para problemas de
En nuestro caso, evaluaremos para problemas de cavitación y sistemas con bombas, lacavitación y sistemas con bombas, la
fórmula de “Bernoulli modificadas” se demuestra a continuación: fórmula de “Bernoulli modificadas” se demuestra a continuación:
La ecuación general del balance de energía, se
La ecuación general del balance de energía, se expresa de la siguiente forma:expresa de la siguiente forma:
La cual expresada matemáticamente nos queda: La cual expresada matemáticamente nos queda:
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Donde: Donde: ̇ ̇
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NOTA: En el caso de flujo neto de trabajo, se consideran diversas formas de este, NOTA: En el caso de flujo neto de trabajo, se consideran diversas formas de este, incluyendo al trabajo de inyección, que se presenta cuando hay movimiento de fluido. incluyendo al trabajo de inyección, que se presenta cuando hay movimiento de fluido.
Acumulación Acumulación de energía de energía dentro del dentro del sistema sistema Transferencia Transferencia de energía a de energía a través de la través de la frontera del frontera del sistema sistema Transferencia Transferencia de energía de energía fuera de la fuera de la frontera del frontera del sistema sistema Energía Energía generada generada dentro del dentro del sistema sistema Energía Energía consumida consumida dentro del dentro del sistema sistema
Energías que atraviesan las Energías que atraviesan las fronteras del sistema y no fronteras del sistema y no sese
acumulan acumulan
Energías que puede acumular Energías que puede acumular
un sistema un sistema
En estos casos (al haber trabajo de inyección) alternativamente, podemos unir el término de trabajo de inyección con la energía interna y trabajaríamos con la entalpía.
Figura 4: Sistema en el que aplicamos la ecuación de balance de energía
Podemos simplificar la expresión anterior para situaciones específicas, como en el caso mostrado en la figura anterior, podemos considerar.
1. No hay acumulación de energía dentro del sistema 2. No hay acumulación de masa dentro del sistema
Tomamos nuestro volumen de control desde el punto 1 al punto 2. Con las restricciones hechas la ecuación de balance de energía quedaría:
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(
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Si multiplicamos el flujo másico por las diversas formas de energía obtendremos:
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̇
Entonces tendremos:
Pero tenemos que, por la definición de entalpía, y por tener un volumen prácticamente constante, al tratarse de un líquido:
̅̅
Reemplazando en la ecuación y ordenando convenientemente:
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̇
La forma de la ecuación aún no es lo suficientemente conveniente que quisiéramos. Deseamos encontrar resultados en términos de distancias que nos faciliten el cálculo de potencias y/o trabajos, para ello multiplicamos por
:(
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)
̇
De aquí podemos simplificar los términos de la manera siguiente:
(
̇
)
Que nos representa las pérdidas por fricción dentro de las tuberías (al haber fricción hay pérdidas de calor y cambios en la energía interna del líquido)
̇
Que representa cualquier clase de trabajo en el sistema (generalmente viene a ser el trabajo de una bomba o una turbina)
Peso específicoFinalmente tendremos:
.
Análisis entre los puntos 1 y 2 para obtener una relación para el tubo de PitotAnálisis del tubo de Pitot:
Para encontrar la velocidad con ayuda de un tubo de Pitot, es necesario hacer un análisis en el sistema aplicando la ecuación de Bernoulli modificada, ecuación que es demostrada en el apéndice.
Aplicando la ecuación de Bernoulli modificada entre los puntos 1 y 2 de la Figura 3 se obtiene
Se puede observar lo siguiente:
La velocidad en el punto 2 es cero, ya que el fluido está estancado. La distancia es muy corta, podemos despreciar las pérdidas por fricción. No hay trabajo que entre ni salga del sistema.
Los puntos se encuentran al mismo nivel,
La ecuación quedaría de la siguiente manera:
Despejando
se tendrá:
√
... (1)
Ahora para hallar la presión en el punto 1 y 2 se debe tener en cuenta las lecturas del manómetro inclinado, analizando en los puntos A y B:
... (2)
Donde:
Peso específico del líquido manométrico
Peso específico de la sustancia que fluye Diferencia de alturas en el manómetro
Aceleración de la gravedad
Velocidad puntual del fluidoTeniendo en cuenta que el equipo de Pitot tiene un factor de corrección Cp, igual a
0.98 la ecuación anterior quedará finalmente:
