PROBLEMAS DE TRANSFERENCIA DE CALOR

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PROBLEMAS DE

TRANSFERENCIA DE CALOR

Juan Carlos Ramos González Doctor Ingeniero Industrial

Raúl Antón Remírez Doctor Ingeniero Industrial

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i

ÍNDICE

Problemas Tema 1. Introducción a la transferencia de calor y a la conducción ... 1

Problemas Tema 2. Conducción unidimensional en régimen estacionario ... 7

Problemas Tema 3. Conducción bidimensional en régimen estacionario ... 15

Problemas Tema 4. Conducción en régimen transitorio ... 21

Problemas Tema 5. Introducción a la convección ... 29

Problemas Tema 6. Convección forzada en flujo externo ... 33

Problemas Tema 7. Convección forzada en flujo interno ... 37

Problemas Tema 8. Convección libre o natural ... 41

Problemas Tema 9. Introducción a la radiación ... 45

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1

PROBLEMAS TEMA 1. INTRODUCCIÓN A LA

TRANSFERENCIA DE CALOR Y A LA CONDUCCIÓN

1. (2.7 del Incropera; Ley de Fourier) En el sistema mostrado en la figura se produce una conducción de régimen estacionario unidimensional sin generación de calor. La conductividad térmica es 25 W/m·K y el espesor L es 0,5 m.

Determine las cantidades desconocidas para cada caso de la tabla siguiente y dibuje la distribución de temperatura indicando la dirección del flujo de calor.

Caso T1 T2 dT/dx (K/m) (W/mq ′′ x 2) 1 400 K 300 K 2 100 ºC -250 3 80 ºC 200 4 -5 ºC 4.000 5 30 ºC -3.000 Solución: 1) 200 K/m, -5.000 W/m2; 2) 498 K, 6.250 W/m2; 3) -20 ºC, -5.000 W/m2; 4) -85 ºC, -160 K/m; 5) -30 ºC, 120 K/m.

2. (1.13 del Incropera; Convección) Un chip cuadrado isotérmico de lado 5 mm está montado en un sustrato de manera que sus superficies laterales e inferior están bien aisladas, mientras que la superficie frontal se expone a la corriente de un fluido refrigerante a 15 ºC. La temperatura del chip no debe sobrepasar los 85 ºC. Si el fluido refrigerante es aire (h = 200 W/m2·K), ¿cuál es la potencia máxima admisible del chip? Si el fluido refrigerante es un líquido dieléctrico (h = 3.000 W/m2·K), ¿cuál es la potencia máxima admisible del chip?

Solución: 0,35 W y 5,25 W.

3. (Radiación y balance de energía) Un antiguo alumno de la Escuela que trabaja en la ESA (Agencia Espacial Europea) nos ha transmitido la siguiente cuestión: Una sonda de exploración espacial cuyas placas de energía fotovoltaica tienen una superficie Ap y una temperatura de fusión Tp = 2.000 K es enviada en dirección al Sol. Calcular el radio de la órbita solar mínima (Ro) a la que se podrá acercar la sonda al Sol. Datos: constante de

x

T2

T1

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Stefan-Boltzmann σ = 5,67·10-8 W/m2·K4; temperatura de la superficie solar Ts = 6.000 K; radio del Sol Rs = 7·108 m; suponer que tanto el Sol como las placas se comportan como cuerpos negros (ε = α = 1).

Solución: Ro = Rs (Ts/Tp)2.

4. (Convección y radiación) Una persona desvestida tiene una superficie de 1,5 m2 expuesta a un ambiente y a unos alrededores de 27 ºC. La temperatura de su piel es de 33 ºC y se puede considerar un emisor de radiación perfecto. Si el coeficiente de transferencia de calor por convección es de 9 W/m2·K, hállese:

a) Las pérdidas de calor por convección y por radiación. b) El gasto energético en kcal/día.

Solución: a) qconv = Q&conv = 81 W, qrad = Q& = 56,8 W; b) 2.846 kcal/día. rad

5. (2.6 del Incropera; Ley de Fourier) Para determinar el efecto de la dependencia de la temperatura de la conductividad térmica sobre la distribución de temperatura en un sólido, considere un material para el que esta dependencia puede representarse como

k = ko + aT

donde ko es una constante positiva y a es un coeficiente que puede ser positivo o negativo. Dibuje la distribución de temperatura de régimen estacionario asociada con la transferencia de calor en una pared plana para tres casos que corresponden a a > 0, a = 0 y a < 0.

6. (2.11 del Incropera; Ley de Fourier) En el cuerpo bidimensional que se muestra en la figura se encuentra que el gradiente en la superficie A es ∂T/∂y = 30 K/m. ¿Cuánto valen ∂T/∂y y ∂T/∂x en la superficie B?

(7)

3

de calor por convección entre la superficie y el aire es h = 20 W/m2·K. ¿Cuál es la velocidad inicial de cambio de la temperatura de la placa? Suponga que no hay alrededores.

b) ¿Cuál será la temperatura de equilibrio de la placa cuando se alcancen las condiciones de régimen estacionario?

c) Represente mediante Excel® una gráfica de la temperatura de régimen estacionario

como función de la emisividad para 0,05 ≤ ε ≤ 1, para tres valores de la absortividad de la placa de 0,5, 0,8 y 1 con el resto de condiciones constantes. Si la finalidad es maximizar la temperatura de la placa, ¿cuál es la combinación más deseable de emisividad y absortividad de la placa?

Solución: a) 0,052 K/s; b) Ts = 321 K.

8. (1.31 del Incropera; Balance de energía) En una etapa de un proceso de recocido, 1 hoja de acero inoxidable AISI 304 se lleva de 300 K a 1.250 K conforme pasa a través de un horno calentado eléctricamente a una velocidad de vs = 10 mm/s. El espesor y ancho de la hoja son ts = 8 mm y ws = 2 m, respectivamente, mientras que la altura, ancho y largo del horno son Ho = 2 m, Wo = 2,4 m y Lo = 25 m, respectivamente. La parte superior y cuatro lados del horno se exponen al aire ambiental y a alrededores a 300 K, y la temperatura de la superficie del horno, su emisividad y el coeficiente de convección respectivos son Ts = 350 K, εs = 0,8 y h = 10 W/m2·K. La superficie inferior del horno también está a 350 K y reposa en una placa de cemento de 0,5 m de espesor cuya base está a 300 K. Estimar la potencia eléctrica que se requiere suministrar al horno. Datos: kcemento (a 300 K) = 1,4 W/m·K. Propiedades termofísicas del acero inoxidable AISI 304: ρ = 7.900 kg/m3.

T (K) cp (J/kg·K) 600 557 800 582

Solución: 841 kW.

9. (2.12 del Incropera; Ley de Fourier) Algunas secciones del oleoducto de Alaska están tendidas sobre tierra, sostenidas por columnas verticales de acero (k = 25 W/m·K) de 1 m

de longitud y sección transversal de 0,005 m2. En condiciones normales de operación se sabe que la variación de temperatura de un extremo a otro de la longitud de una columna se rige por una expresión de la forma

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T = 100 – 150x + 10x2

donde T y x tienen unidades de ºC y metros, respectivamente. Las variaciones de

temperatura son insignificantes sobre la sección transversal de la columna. Evalúe la temperatura y la rapidez de conducción de calor en la unión columna-ducto (x = 0) y en la

interfaz columna-tierra (x = 1). Explique la diferencia en las transferencias de calor. Solución: 18,75 W y 16,25 W.

10. (2.17 del Incropera; Ley de Fourier) Un aparato para medir la conductividad térmica emplea un calentador eléctrico intercalado entre dos muestras idénticas de 30 mm de diámetro y 60 mm de longitud, prensadas entre placas que se mantienen a una temperatura uniforme To = 77 ºC mediante la circulación de un fluido. Se pone grasa conductora entre todas las superficies para asegurar un buen contacto térmico. Se empotran termopares diferenciales en las muestras con un espaciado de 15 mm. Las caras laterales de las muestras se aíslan para que la transferencia de calor sea unidimensional.

a) Con dos muestras de acero inoxidable AISI 316 en el aparato, el calentador toma 0,353 A a 100 V y los termopares diferenciales indican ∆T1 = ∆T2 = 25,0 ºC. ¿Cuál es la conductividad térmica del material de la muestra de acero inoxidable y cuál la temperatura promedio de las muestras? Compare los resultados con los valores de la Tabla A.1 del Incropera.

b) Calcular la conductividad térmica y la temperatura promedio de una muestra de hierro Armco puesta en lugar de la muestra inferior del acero AISI 316. En este caso el calentador toma 0,601 A a 100 V y los termopares diferenciales indican ∆T1 = ∆T2 = 15,0 ºC.

(9)

5 Propiedades termofísicas del Armco:

T (K) k (W/m·K)

300 72,7 400 65,7

Solución: a) k = 15 W/m·K y T = 400 K; b) k = 70 W/m·K y T = 380 K.

11. (2.21 del Incropera; Ecuación de calor) En una varilla cilíndrica de 50 mm de diámetro de combustible de un reactor nuclear ocurre generación interna de calor a 7

1 =5·10

q& W/m3, y en condiciones de régimen estacionario la distribución de temperatura es T(r) = a+br2, donde T está en grados Celsius y r en metros, mientras a = 800 ºC y b = -4,167·105 ºC/m2. Las propiedades de la varilla de combustible son k = 30 W/m·K, ρ = 1.100 kg/m3 y cp = 800 J/kg·K.

a) ¿Cuál es la velocidad de transferencia de calor por unidad de longitud de la varilla en r

= 0 (línea central) y en r = 25 mm (superficie)?

b) Si el nivel de potencia del reactor aumenta súbitamente a 8 2 =10

q& W/m3, ¿cuál es la velocidad de cambio de temperatura en el tiempo inicial en r = 0 y en r = 25?

Solución: a) q(r =0)=0y q(r =25)=9,8×104W/m r

r ; b) 56,8 K/s.

12. (2.24 del Incropera; Ley de Fourier, ecuación de calor y balance de energía) Un estanque solar poco profundo con gradiente salino consiste en tres capas fluidas distintas y se utiliza para absorber energía solar. Las capas superior e inferior están bien mezcladas y sirven para mantener las superficies superior e inferior de la capa central a temperaturas uniformes T1 y T2, donde T2 > T1. Considere condiciones para las que la absorción de la radiación solar en la capa central proporciona una generación no uniforme de calor de la forma q(x)= Aeax

& , y la distribución de temperatura en la capa central es:

C Bx e ka A x T =ax + + 2 ) (

Las cantidades A (W/m3), a (1/m), B (K/m) y C (K) son constante conocidas, y k es la conductividad térmica que también es constante.

a) Obtenga expresiones para la rapidez a la que se transfiere calor por unidad de área de la capa inferior a la capa central y de ésta a la capa superior.

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b) Determine si las condiciones son estacionarias o transitorias.

c) Obtenga una expresión para la rapidez a la que se genera energía térmica en la capa central, por unidad de área superficial.

Solución: a) Bk a A x q Bk e a A L x q aL x x′′ = =− − ′′ = =− − − ; ( 0) ) ( ; b) Régimen estacionario; c)

(

aL

)

gen a e A E&′′ = 1− − .

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7

PROBLEMAS TEMA 2. CONDUCCIÓN

UNIDIMENSIONAL EN RÉGIMEN ESTACIONARIO

Pared plana

1. (3.2 del Incropera) La ventana posterior de un automóvil se desempaña mediante el paso de aire caliente sobre su superficie interna.

a) Calcular las temperaturas de las superficies interna y externa de una ventana de vidrio de 4 mm de espesor, siendo la temperatura del aire caliente T∞,int = 40 ºC y su coeficiente de convección hint = 30 W/m2·K y la temperatura del aire exterior T∞,ext = -10 ºC y su coeficiente de convección hext = 65 W/m2·K.

b) Evalúe cualitativamente la influencia de T∞,ext y hext sobre las temperaturas. Datos: kvidrio (a 300 K) = 1,4 W/m·K.

Solución: a) Tint = 7,7 ºC y Text = 4,9 ºC; b) Ambas disminuyen al aumentar hext y aumentan al aumentar T∞,ext.

2. (3.3 del Incropera) En la ventana posterior del automóvil del problema anterior se instala como sistema para desempañar su superficie interior un elemento de calentamiento consistente en una película transparente delgada con resistencias eléctricas. Al calentarse eléctricamente este dispositivo se establece un flujo de calor uniforme en la superficie interna.

a) Calcular la potencia eléctrica por unidad de área de ventana necesaria para mantener la temperatura de la superficie interna a 15 ºC cuando la temperatura del aire interior es

T∞,int = 25 ºC y su coeficiente de convección hint = 10 W/m2·K. El aire exterior está en las mismas condiciones que en el problema anterior.

b) Calcular la temperatura de la superficie externa de la ventana.

c) Evalúe cualitativamente la influencia de T∞,ext y hext sobre la potencia eléctrica.

Solución: a) P ′′ = 1,27 kW/melec 2; b) Text = 11,1 ºC; c) P ′′ aumenta al aumentar helec ext y disminuye al aumentar T∞,ext.

3. (3.15 del Incropera) Una casa tiene una pared compuesta de madera, aislante de fibra y tablero de yeso, como se indica en el esquema. En un día frío de invierno los coeficientes de transferencia de calor por convección son hext = 60 W/m2·K y hint = 30 W/m2·K. El área total de la superficie es de 350 m2.

Datos: Tablero de yeso: k (a 300 K) = 0,17 W/m·K. Propiedades termofísicas de la fibra de vidrio:

T (K) ρ (kg/m3) k (W/m·K) 300 16 0,046 300 28 0,038 300 40 0,035

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Tablero de madera contraplacada: k (a 300 K) = 0,12 W/m·K.

a) Determine una expresión simbólica para la resistencia térmica total de la pared incluyendo los efectos de convección.

b) Determine la pérdida de calor total de la pared.

c) Si el viento soplara de manera violenta elevando hext a 300 W/m2·K, ¿cuál sería el porcentaje de aumento relativo de la pérdida de calor?

d) ¿Qué resistencia térmica influye en mayor medida sobre la pérdida de calor a través de la pared?

Solución: b) 4.214 W; c) 0,45 %; d) La de la fibra de vidrio, que es el aislante y tiene la k

menor.

Resistencia de contacto

4. (3.25 del Incropera) Un circuito integrado (chip) disipa 30.000 W/m2 de calor eléctrico. El chip, que es muy delgado, se expone a un líquido dieléctrico en su superficie superior con

hext = 1.000 W/m2·K y T∞,ext = 20 ºC. En la superficie inferior se une a una tarjeta de circuitos de espesor Lb = 5 mm y conductividad kb = 1 W/m·K. La resistencia térmica de contacto entre el chip y la tarjeta es Rt′′ = 10,c -4 m2·K/W. La superficie inferior de la tarjeta se expone al aire ambiente para el que hint = 40 W/m2·K y T∞,int = 20 ºC.

a) Dibuje el circuito térmico equivalente señalando las resistencias térmicas, las temperaturas y los flujos de calor.

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9 Pared cilíndrica

5. (3.37 del Incropera) Un calentador eléctrico delgado se inserta entre una varilla circular larga y un tubo concéntrico con radios interior y exterior de 20 y 40 mm. La varilla A tiene una conductividad térmica kA = 0,15 W/m·K y el tubo B kB = 1,5 W/m·K. La superficie externa está en contacto con un fluido a temperatura T∞ = -15 ºC y un coeficiente de convección de 50 W/m2·K.

a) Determine la potencia eléctrica por unidad de longitud de los cilindros que se requieren para mantener la superficie externa del tubo B a 5 ºC.

b) ¿Cuál es la temperatura en el centro de la varilla A?

Solución: a) 251 W/m; b) 23,4 ºC.

6. (3.44 del Incropera) Una corriente eléctrica de 700 A fluye a través de un cable de acero inoxidable que tiene un diámetro de 5 mm y una resistencia eléctrica de 6·10-4 Ω/m. El cable esté en un medio que tiene una temperatura de 30 ºC y el coeficiente total asociado con la convección y la radiación entre el cable y el medio es aproximadamente 25 W/m2·K. a) Si el cable está expuesto, ¿cuál es la temperatura de la superficie?

b) Si se aplica un recubrimiento muy delgado de aislante eléctrico al cable, con una resistencia de contacto de 0,02 m2·K/W, ¿cuáles son las temperaturas superficiales del aislante y del cable?

c) Si se usa un aislante de conductividad térmica 0,5 W/m·K, ¿cuál será el espesor de este aislante que dará el valor más bajo de la temperatura del cable? ¿Cuál es el valor de esa temperatura?

Solución: a) Ts,cable = 778,7 ºC; b) Ts,cable = 1.153 ºC y Ts,aislante = 778,7 ºC; c) e = 17,5 mm y

Ts,cable = 318,2 ºC.

7. (3.45 del Incropera) Un tubo de acero de pared delgada de 0,20 m de diámetro y emisividad 0,8 se utiliza para transportar vapor saturado a una presión de 20 bar (Tsat = 485 K) en un cuarto para el que la temperatura del aire y de las paredes es 25 ºC y el coeficiente de transferencia de calor por convección en la superficie externa del tubo es 20 W/m2·K.

a) ¿Cuál es la pérdida de calor por unidad de longitud del tubo expuesto (sin aislante)? b) Calcule la pérdida de calor por unidad de longitud del tubo si se añade una capa

aislante de 50 mm de óxido de magnesio que también tiene una emisividad de 0,8. Calcular también la temperatura superficial exterior del aislante.

c) El coste asociado con la generación del vapor saturado es de 4 €/109 J y el del aislante y su instalación de 100 €/m. Si la línea de vapor opera 7.500 horas al año, ¿cuánto tiempo se necesita para amortizar la instalación del aislante?

Datos: Propiedades termofísicas del óxido de magnesio:

T (K) k (W/m·K)

310 0,051 365 0,055 420 0,061

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Pared esférica

8. (3.56 del Incropera) Una sonda esférica crioquirúrgica se incrusta en tejido enfermo con el propósito de congelarlo y destruirlo. La sonda tiene un diámetro de 3 mm y su superficie se mantiene a -30 ºC cuando se incrusta en tejido que está a 37 ºC. Se forma una capa esférica de tejido congelado alrededor de la sonda con una temperatura de 0 ºC en su superficie de contacto con el tejido normal. Si la conductividad térmica del tejido congelado es 1,5 W/m·K y el coeficiente de transferencia de calor por convección entre el tejido congelado y el normal es 50 W/m2·K, ¿cuál es el espesor de la capa del tejido congelado?

Resolución:

En primer lugar se expone una manera de obtener una expresión de la resistencia térmica para una esfera.

En un elemento diferencial de esfera la aplicación de la conservación de la energía implica que qr = qr+dr, es decir que la transferencia de calor es independiente del radio, para condiciones unidimensionales de régimen estacionario y sin generación interna de calor. La ecuación de Fourier para una esfera hueca cuyas superficies están en contacto con fluidos a temperaturas distintas y en condiciones de régimen estacionario sin generación de calor adopta la forma:

dr dT r k dr dT kA qr = = (4π 2)

donde A = 4πr2 es el área normal a la dirección de la transferencia de calor. Al integrar la ecuación anterior:

=− 2 1 2 1 ) ( 4 2 s s T T r r r k T dT r dr q π

Suponiendo k constante y al resolver para las condiciones de contorno de temperaturas

conocidas en las superficies se obtiene:

) / 1 ( ) / 1 ( ) ( 4 2 1 2 1 r r T T k q s s r − = π

La resistencia térmica para conducción adopta, por la tanto, la forma:

      − = − = 2 1 2 1 , 1 1 4 1 ) ( r r k q T T R r s s cond t π 1

(15)

11

La velocidad de transferencia de calor se puede expresar:

      + − − = + − = ∞ e r r k T T e r h T T q s s s 1 1 4 1 ) ( 4 1 1 2 2 2 π π

Al resolver se obtiene la siguiente ecuación en e2: 0

2 1 2 2 = − − − + ∞ r T T T T h k re e s s s Al resolver se obtiene: e = 5,34 mm. Generación interna de calor

9. (3.73 del Incropera) El aire dentro de una cámara a T∞,int = 50 ºC se calienta convectivamente con hint = 20 W/m2·K mediante una pared de 200 mm de espesor que tiene una conductividad térmica de 4 W/m·K y una generación de calor uniforme de 1.000 W/m3. Para prevenir que algo del calor generado se pierda hacia el exterior de la cámara, a

T∞,ext = 25 ºC con hext = 5 W/m2·K, se coloca un calentador de listón muy delgado sobre la pared exterior para proporcionar un flujo de calor uniforme, q ′′ . o

a) Dibuje la distribución de temperaturas en la pared (T-x) para la condición de que no se pierde nada del calor generado dentro de la pared hacia el exterior de la cámara (es decir, quitando el calentador y aislando la superficie externa de la pared).

b) ¿Cuáles son las temperaturas en las superficies externa e interna de la pared para esa condición?

c) Determine el valor de q ′′ que debe suministrar el calentador de listón de modo que o

todo el calor generado dentro de la pared se transfiera al interior de la cámara.

d) Si la generación de calor en la pared se cortara mientras el flujo de calor del calentador de listón permanece constante, ¿cuál sería la temperatura de la pared exterior en régimen permanente?

Solución: b) T(0) = 65 ºC y T(L) = 60 ºC; c) 200 W/m2; d) 55 ºC.

10. (3.83 del Incropera) Un elemento de combustible de reactor nuclear consiste en un núcleo cilíndrico sólido de radio r1 y conductividad térmica kf. El núcleo de combustible está en buen contacto con un material de encamisado de radio externo r2 y conductividad térmica

kc. Considere condiciones de régimen estacionario para las que ocurre una generación de calor uniforme dentro del combustible a una razón volumétrica q& = e& y la superficie gen

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externa del encamisado se expone a un fluido refrigerante que se caracteriza por una temperatura T y un coeficiente de convección h.

a) Obtenga expresiones para las distribuciones de temperatura en el combustible y en el encamisado, Tf(r) y Tc(r).

b) Considere un núcleo de combustible de óxido de uranio para el que Kf = 2 W/m·K y r1 = 6 mm y un encamisado para el que Kc = 25 W/m·K y r2 = 9 mm. Si q& = e& = 2·10gen

8

W/m3, h = 2.000 W/m2·K y T∞ = 300 K, ¿cuál es la temperatura máxima en el elemento de combustible?

c) Evalúe cualitativamente la influencia de h sobre las temperaturas. ¿Es posible mantener la temperatura de la línea central del combustible por debajo de 1.000 K ajustando el flujo de refrigerante y, por tanto, el valor de h?

Solución: b) Tf(r = 0) = 1.458 K; c) Si h aumenta Tf y Tc disminuyen. No es posible. Superficies extendidas y aletas

11. (3.109 del Incropera) Varillas de cobre circulares de diámetro D = 1 mm y longitud L = 25 mm se usan para reforzar la transferencia de calor de una superficie que se mantiene a Ts1 = 100 ºC. Un extremo de la varilla se une a esta superficie (en x = 0) y el otro (x = 25) se une a una segunda superficie que se mantiene Ts2 = 0 ºC. El aire que fluye entre las superficies también está a una temperatura T = 0 ºC y tiene un coeficiente de convección h = 100 W/m2·K.

a) ¿Cuál es la transferencia de calor de una sola varilla de cobre?

b) ¿Cuál es la transferencia total de calor de una sección de 1 m x 1 m de la superficie a 100 ºC, si se instala una disposición de varillas separadas entre centros 4 mm?

Datos: kcobre (a 300 K) = 401 W/m·K.

Solución: a) qf = 1,51 W; b) qt = 103,8 kW.

12. (3.114 del Incropera) A menudo se forman pasajes de aletas entre placas paralelas para reforzar la transferencia de calor por convección en núcleos compactos de intercambiadores de calor. Considere una pila de aletas de 200 mm de ancho y 100 mm de profundidad con 50 aletas de 12 mm de longitud. La pila completa está fabricada de aluminio (k = 240 W/m·K) de 1 mm de espesor. Las temperaturas máximas permisibles asociadas a las placas opuestas son To = 400 K y TL = 350 K. El aire que fluye entre las placas tiene una h = 150 W/m2·K y una T∞ = 300 K. ¿Cuáles son las disipaciones de calor de una aleta y del sistema de aletas en cada una de las placas?

(17)

13

Solución: qfo = 114,95 W; qfL = -88,08 W; qto = 5.972,5 W; qtL = -4.291,5 W.

13. (3.131 del Incropera modificado, examen septiembre 2005) Se quiere disipar el calor generado en el interior de un transformador situando en una de sus paredes un dispositivo de aletas rectas. La pared del transformador tiene una conductividad térmica de 5 W/m·K y un espesor de 6 mm. Sobre ella se coloca un dispositivo de aletas de sección rectangular de aluminio (kal = 240 W/m·K). El soporte del dispositivo de aletas tiene un espesor de 4 mm. Entre la pared del transformador y el soporte de las aletas hay una resistencia de contacto de valor 10 4m2·K/W , − = ′′c t

R . Las aletas tienen una longitud de 25 mm, un espesor de 2 mm y la distancia entre ellas es de 2 mm. El calor generado en el transformador se puede asimilar a un flujo de calor uniforme sobre la pared de valor ′′=105W/m2

i

q . El aire

exterior está a 320 K y proporciona un coeficiente de convección de 100 W/m2·K.

q"

i

Pared del

transformador

Soporte de

las aletas

R"

t,c

t = 2 mm

δ

= 2 mm

T

= 320 K

6 mm

4 mm

25 mm

h = 100 W/m

2

·K

T

int

T

al

T

b

k

tra

= 5 W/m·K

k

al

= 240 W/m·K

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a) Dibuje el circuito térmico equivalente entre el interior del transformador y el aire exterior para la parte de pared que le corresponde a una aleta teniendo en cuenta que la dimensión perpendicular al dibujo es muy larga.

b) Calcule los valores de las resistencias térmicas que aparecen en el circuito térmico anterior.

c) Calcule la temperatura de la superficie interna del transformador, Tint.

d) Calcule la temperatura de la superficie interna del soporte de aluminio (en contacto con la resistencia de contacto), Tal.

e) Calcule la temperatura de la base de las aletas, Tb.

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15

PROBLEMAS TEMA 3. CONDUCCIÓN

BIDIMENSIONAL EN RÉGIMEN ESTACIONARIO

Factores de forma

1. (4.16 del Incropera) Con las relaciones de resistencia térmica desarrolladas en el tema 3 determine expresiones del factor de forma para las siguientes geometrías:

a) Pared plana, capa cilíndrica y coraza esférica.

b) Esfera hueca de superficie isotérmica de diámetro D en el interior de un medio infinito.

Solución: a) A/L, 2πL/ln(r2/r1), 4πr1r2/(r2-r1); b) 2πD.

2. (4.20 del Incropera) Un cable largo de transmisión de energía se entierra a una profundidad (distancia de la tierra a la línea central del cable) de 2 m. El cable está enfundado en un tubo de pared delgada de 0,1 m de diámetro y para hacer al cable superconductor (esencialmente cero disipación de energía), el espacio entre el cable y el tubo está lleno de nitrógeno líquido a 77 K. Si el tubo se cubre con un superaislante (ki = 0,005 W/m·K) de 0,05 m de espesor y la superficie de la tierra (kg = 1,2 W/m·K) está a 300 K, ¿cuál es la carga de enfriamiento por unidad de longitud de tubo [W/m] que debe suministrar un refrigerador criogénico para mantener el nitrógeno a 77 K?

Solución: 9,89 W/m.

3. (4.25 del Incropera) Por un tubo de cobre de pared delgada de 30 mm de diámetro fluye agua caliente a 85 ºC. El tubo está forrado de una capa cilíndrica excéntrica que se mantiene a 35 ºC y mide 120 mm de diámetro. La excentricidad, definida como la distancia entre los centros del tubo y la capa, es 20 mm. El espacio entre el tubo y la capa está lleno de un material aislante que tiene una conductividad térmica de 0,05 W/m·K. Calcule la pérdida de calor por unidad de longitud de tubo y compare el resultado con la pérdida de calor para una disposición concéntrica.

Solución: 12,5 W/m y 11,33 W/m. Factores de forma con circuitos térmicos

4. (4.28 del Incropera) Un fluido caliente pasa por tubos circulares de una plancha de hierro colado de espesor LA = 60 mm que está en contacto con unas placas de cubierta de espesor

LB = 5 mm. Los canales tienen un diámetro D = 15 mm con un espaciado de línea central de Lo = 60 mm. Las conductividades térmicas de los materiales son kA = 20 W/m·K y kB = 75 W/m·K, y la resistencia de contacto entre los dos materiales es 4

, 2·10 − = ′′c t R m2·K/W. El fluido caliente está a Ti = 150 ºC y el coeficiente de convección es 1.000 W/m2·K. Las placas de cubierta se exponen al aire ambiental que está a 25 ºC y tiene un coeficiente de convección de 200 W/m2·K.

(20)

a) Determine la transferencia de calor de un solo tubo por unidad de longitud de la plancha en dirección normal a la página, q′i.

b) Determine la temperatura de la superficie externa de la placa de cubierta, Ts.

c) Comente los efectos sobre q′i y Ts de un cambio en el espaciado de los canales. ¿Cómo afectaría a q′i y Ts aislar la superficie inferior?

Solución: a) q′i = 1.578,6 W/m; b) Ts = 90,8 ºC; c) Si Lo aumenta, q′i aumenta y Ts disminuye. Si la superficie inferior está aislada, q′i disminuye y Ts permanece constante. 5. (4.31 del Incropera) En el Tema 3 se supuso que cuando se une una aleta a un material

base, la temperatura de la base no cambia. Lo que en verdad ocurre es que, si la temperatura del material de la base excede la temperatura del fluido, al colocar una aleta disminuye la temperatura de la unión, Tj, por debajo de la de la base y el flujo de calor del material de la base a la aleta es bidimensional. Considere condiciones en las que una aleta larga circular de aluminio de diámetro D = 5 mm se une al material de la base cuya temperatura lejos de la unión se mantiene a Tb = 100 ºC. Las condiciones de convección en la superficie de la aleta son T = 25 ºC y h = 50 W/m2·K.

(21)

17

a) Calcule la temperatura de la unión y la transferencia de calor cuando el material de la base es (i) aluminio (k = 240 W/m·K) y (ii) acero inoxidable (k = 15 W/m·K).

b) Repita los cálculos anteriores para el caso del aluminio si entre la unión de la aleta y el material de la base hay una resistencia térmica " =3·10−5

tc

R m2·K/W

c) ¿Cómo influye el coeficiente de convección en la transferencia de calor?

Solución: a) (i) Tj = 98 ºC, qf = Q&f = 4,44 W; (ii) Tj = 78,4 ºC, qf = Q&f = 3,24 W; b) Tj = 92 ºC, qf = Q&f = 4,08 W; c) Si h aumenta qf aumenta.

6. (4.32 del Incropera) Se construye un iglú en forma de hemisferio con un radio interno de 1,8 m y paredes de nieve compactada de 0,5 m de espesor. En el interior del iglú el coeficiente de transferencia de calor por convección es 6 W/m2·K; en el exterior, en condiciones normales de viento, es 15 W/m2·K. La conductividad térmica de la nieve compactada es 0,15 W/m·K. La temperatura de la capa de hielo sobre la que se asienta el iglú es de -20 ºC y tiene la misma conductividad térmica que la nieve compactada.

a) Suponiendo que el calor corporal de los ocupantes proporciona una fuente continua de 320 W dentro del iglú, calcule la temperatura del aire interior cuando la del aire exterior es -40 ºC. Considere las pérdidas de calor a través del suelo.

b) ¿Cómo afecta a la temperatura interior el que el coeficiente de convección exterior se triplique debido al viento? ¿Y cómo afecta el doblar el espesor de las paredes?

Solución: a) Ti = 1,2 ºC; b) Ti = 0,8 ºC; Ti = 20,8 ºC.

7. (4.34 del Incropera) Un dispositivo electrónico en forma de disco de 20 mm de diámetro disipa 100 W cuando se monta sobre un bloque grande de aleación de aluminio (2024-T6) cuya temperatura se mantiene a 27 ºC. En la interfaz entre el dispositivo y el bloque hay una resistencia de contacto " =5·10−5

tc

(22)

a) Calcule la temperatura que alcanzará el dispositivo suponiendo que toda la potencia que genera debe transferirse por conducción al bloque.

b) Para aumentar la potencia del dispositivo se instala un sistema de aletas en la parte superior del dispositivo. Las aletas rectas de sección circular (aletas de aguja) están hechas de cobre (k = 400 W/m·K) y están expuestas a un flujo de aire a 27 ºC para el que el coeficiente de convección es 1.000 W/m2·K. Para la temperatura del dispositivo que se calculó en el apartado a), ¿cuál es la potencia de operación permisible?

Datos: Propiedades termofísicas de la aleación de aluminio 2024-T6:

T (K) k (W/m·K) 200 163 300 177 400 186

Solución: a) Td = 57 ºC; b) Peléct. = 138,65 W. Método de las diferencias finitas

8. (4.41 del Incropera) Las superficies superior e inferior de una barra de conducción se enfrían convectivamente por acción de aire a T, pero con hsup ≠ hinf. Los lados se enfrían manteniendo contacto con sumideros de calor a To, a través de una resistencia térmica de contacto Rt′′ . La barra tiene conductividad térmica k y el ancho es el doble del espesor L. ,c

Considere condiciones de estado estacionario para las que se genera calor de manera uniforme a una tasa volumétrica q& debido al paso de una corriente eléctrica. Obtenga las ecuaciones en diferencias finitas para los nodos 1 y 13.

(23)

19

9. (4.48 del Incropera) Las temperaturas de estado estacionario (en K) en tres puntos nodales de una varilla rectangular son como se muestra en la figura. La varilla experimenta una rapidez de generación de calor volumétrica uniforme de 5·107 W/m3 y tiene una conductividad térmica de 20 W/m·K. Dos de sus lados se mantienen a una temperatura constante de 300 K, mientras que los otros dos están aislados.

a) Determine las temperaturas en los nodos 1, 2 y 3 resolviendo el sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas que forman las ecuaciones nodales.

b) Calcule la transferencia de calor por unidad de longitud de la varilla (W/m) a partir de las temperaturas nodales. Compare este resultado con la transferencia de calor calculada a partir del conocimiento de la generación volumétrica de calor y las dimensiones de la varilla.

Solución: a) T1 = 362,4 K; T2 = 390,2 K; T3 = 369 K; b) q’ = 7.502,5 W/m; q’ = 7.500 W/m.

(24)

10. (4.52 del Incropera) Una barra larga de sección transversal rectangular tiene 60 mm de ancho, 90 mm de largo, y una conductividad térmica de 1 W/m·K. Uno de sus anchos está sometido a un proceso de convección con aire a 100 ºC y un coeficiente de convección de 100 W/m2·K. El resto de los lados se mantiene a 50 ºC.

a) Con un espaciado de malla de 30 mm y mediante el método iterativo de Gauss-Seidel, determine las temperaturas nodales y la transferencia de calor (por unidad de longitud normal a la página) desde el aire a la barra.

b) Utilizando Matlab® para resolver el sistema de ecuaciones (método de inversión de matrices), repita los cálculos con un espaciado de malla de 15 mm.

Solución: a) Empezando desde el lado sometido a convección las temperaturas nodales son: 81,7 ºC, 58,5 ºC y 52,1 ºC; q’ = 205 W/m; b) Temperaturas de los nodos a lo largo del ancho sometido a convección: 50 ºC, 80,33 ºC, 85,16 ºC, 80,33 ºC y 50 ºC; q’ = 156,27 W/m.

11. (Basado en Ejemplo 5.1 del Chapman, 5ª edición) Se dispone de una varilla de hierro (k = 50 W/m·K) de 1 cm de diámetro y 20 cm de longitud. La varilla se une en un extremo a una superficie calentada a 120 ºC y en el extremo libre se encuentra aislada. Su superficie lateral está en contacto con un fluido a 20 ºC para el que el coeficiente de transferencia de calor por convección es 10 W/m2·K.

a) Determine la distribución de temperaturas en la varilla resolviendo las ecuaciones nodales mediante el método iterativo de Gauss-Seidel y con un ∆x = 5 cm. El número de iteraciones viene dado por un criterio de convergencia en la temperatura del extremo de un 1 %. Es decir, la diferencia relativa de la temperatura en el extremo en dos iteraciones sucesivas ha de ser inferior al 1 %.

(25)

21

PROBLEMAS TEMA 4. CONDUCCIÓN EN RÉGIMEN

TRANSITORIO

Método de la resistencia interna despreciable

1. (5.8 del Incropera) Una bala esférica de plomo de 6 mm de diámetro se mueve aproximadamente a Mach 3. La onda de choque resultante calienta el aire alrededor de la bala a 700 K, y el coeficiente de convección promedio para la transferencia de calor entre el aire y la bala es 500 W/m2·K. Si la bala sale de la escopeta a 300 K y el tiempo de vuelo es 0,4 s, ¿cuál es la temperatura en la superficie en el momento del impacto?

Datos: Propiedades termofísicas del plomo a 300 K: k = 35,3 W/m·K; ρ = 11.340 kg/m3; cp = 129 J/kg·K.

Solución: T = 351 K.

2. (5.10 del Incropera) Una unidad de almacenamiento de energía térmica consiste en un canal rectangular largo, que está bien aislado en la superficie externa y encierra capas alternadas del material de almacenamiento y rejillas para el flujo.

Cada capa del material de almacenamiento es una plancha de aluminio de ancho W = 0,05 m que está a una temperatura inicial de 25 ºC. Considere condiciones en las que la unidad de almacenamiento se carga con el paso de un gas caliente a través de las rejillas, suponiendo que la temperatura del gas y el coeficiente de convección tienen valores constantes de T = 600 ºC y h = 100 W/m2·K a lo largo del canal. ¿Cuánto tiempo se tardará en alcanzar el 75 % del almacenamiento máximo posible de energía? ¿Cuál es la temperatura del aluminio en ese momento?

Datos: Propiedades termofísicas del aluminio: ρ = 2.702 kg/m3.

T (K) k (W/m·K) cp (J/kg·K) 300 237 903 400 240 949 600 231 1.033

Solución: t = 933,5 s ≈ 15,55 min y T = 456 ºC.

3. (5.14 del Incropera) La pared plana de un horno se fabrica de acero al carbono simple (k = 60 W/m·K; ρ = 7.850 kg/m3; cp = 430 J/kg·K) y tiene un espesor de L = 10 mm. Para protegerla de los efectos corrosivos de los gases de combustión del horno, una superficie

(26)

de la pared se cubre con una película delgada de cerámica que, para un área superficial unitaria, tiene una resistencia térmica de R ′′tf = 0,01 m2·K/W. La superficie opuesta está bien aislada de los alrededores.

Al poner en funcionamiento el horno, la pared está a una temperatura inicial de Ti = 300 K y los gases de combustión entran en el horno a T∞ = 1.300 K, con lo que proporcionan un coeficiente de convección de 25 W/m2·K en la película cerámica. Suponiendo que la película tiene una resistencia térmica interna insignificante, ¿cuánto tiempo tardará la superficie interior del acero en alcanzar una temperatura de Tsi = 1.200 K? ¿Cuál es la temperatura Tso de la superficie expuesta de la película cerámica en ese momento?

Resolución:

Se dibuja el circuito térmico equivalente del sistema:

hA

1

A Rtf′′

Como entre la pared y el fluido existe una película que aporta una resistencia térmica de contacto, para poder calcular el número de Biot y estudiar si se puede aplicar el método de la resistencia interna despreciable hay que trabajar con el coeficiente global de transferencia de calor, U: ·K W/m 20 01 , 0 25 / 1 1 1 1 1 = 2 + = ′′ + = ⇒ =

t h Rtf U R UA q TTso Tsi

(27)

23 s 75 , 687 . 1 20 430 · 01 , 0 · 850 . 7 = = = = s p c t UA Vc C R ρ τ min 65 s 886 . 3 300 . 1 300 300 . 1 200 . 1 ·ln 75 , 687 . 1 ln = ≈ − − = − − − = ∞ ∞ T T T T t i si τ

A partir del circuito térmico equivalente, la temperatura de la superficie de la película vendrá dada por:

K 220 . 1 / 1 / / ) ( ) ( = ′′ + ′′ + = ⇒ ′′ − = − ∞ ∞ tf tf si so tf si so so h R R T hT T R T T T T h

Efectos espaciales: análisis de semejanza

4. (5.28 del Incropera) Considere la pared unidimensional que se muestra en el dibujo que inicialmente se encuentra a temperatura uniforme Ti y se somete de pronto a la condición de frontera de convección con un fluido a T∞.

Para una pared en particular, caso 1, la temperatura en x = L1 después de t1 = 100 s es

T1(L1,t1) = 315 ºC. Otra pared, caso 2, tiene diferentes condiciones de espesor y térmicas como se muestra en la siguiente tabla.

Caso L (m) α (m2/s) k (W/m·K) Ti (ºC) T∞ (ºC) h (W/m2·K)

1 0,10 15·10-6 50 300 400 200

2 0,40 25·10-6 100 30 20 100

¿Cuánto tiempo tardará la segunda pared en alcanzar 28,5 ºC en la posición x = L2?

Solución: t = 960 s = 16 min.

Conducción unidimensional: pared plana

5. (5.32 del Incropera) Considere la unidad de almacenamiento de energía del problema 2, pero con un material de mampostería de k = 0,70 W/m·K; ρ = 1.900 kg/m3; cp = 800 J/kg·K empleado en lugar del aluminio. ¿Cuánto tiempo se tardará en alcanzar el 75 % del almacenamiento máximo posible de energía? ¿Cuáles son las temperaturas máxima y mínima de la mampostería en ese momento?

(28)

Conducción unidimensional: cilindro

6. (5.45 del Incropera) Una varilla larga de 40 mm de diámetro fabricada de zafiro (óxido de aluminio) e inicialmente a una temperatura uniforme de 800 K, se enfría de súbito con un fluido a 300 K que tiene un coeficiente de transferencia de calor de 1.600 W/m2·K. Después de 35 segundos la varilla se envuelve en un aislante y no experimenta pérdidas de calor. ¿Cuál será la temperatura de la varilla después de un largo tiempo?

Datos: Propiedades termofísicas del óxido de aluminio (zafiro) a T = 600 K: k = 18,9 W/m·K; ρ = 3.970 kg/m3; cp = 1.110 J/kg·K.

Solución: Tinf = 510 K.

Conducción unidimensional: esfera

7. (5.48 del Incropera) En el tratamiento térmico para endurecer bolas de acero de rodamientos (k = 50 W/m·K; ρ = 7.800 kg/m3; cp = 500 J/kg·K) se desea aumentar la temperatura de la superficie por un tiempo corto sin calentar de manera significativa el interior de la bola. Este tipo de calentamiento se lleva a cabo mediante la inmersión súbita de la bola en un baño de sal derretida con T = 1.300 K y h = 5.000 W/m2·K. Suponga que cualquier posición dentro de la bola cuya temperatura exceda 1.000 K se endurecerá. Estime el tiempo que se necesita para endurecer el milímetro externo de una bola de 20 mm de diámetro si su temperatura inicial es de 300 K.

Solución: t = 3,4 s.

Sólido semiinfinito

8. (5.61 del Incropera) Una grúa para levantar losas adheridas al suelo emplea un bloque de hierro que se mantiene a temperatura constante de 150 ºC mediante un calentador eléctrico empotrado. El bloque de hierro se pone en contacto con la losa para suavizar el adhesivo, lo que permite levantarla posteriormente. El adhesivo entre la losa y el suelo se suavizará lo suficiente si se calienta por encima de 50 ºC durante al menos 2 minutos, pero su temperatura no debe superar 120 ºC para evitar su deterioro. Suponga que la losa y el suelo tienen una temperatura inicial de 25 ºC y propiedades termofísicas equivalentes de k = 0,15 W/m·K; ρ·cp = 1,5·106 J/m3·K.

a) ¿Cuánto tiempo se tardará en despegar una losa de espesor 4 mm empleando el bloque de hierro? ¿La temperatura del adhesivo excederá 120 ºC?

b) Si el bloque de hierro tiene un área superficial cuadrada de 254 mm de lado, ¿cuánta energía se eliminará de él durante el tiempo que se tarda en despegar la losa?

(29)

25

Resolución:

En el problema en cuestión la longitud y el diámetro del cilindro son comparables por lo que se tiene una transmisión de calor bidimensional. La expresión de la ecuación de calor para este caso será:

t T x T r T r r r ∂ ∂ = ∂ ∂ +       ∂ ∂ ∂ ∂ α 1 1 2 2

Se puede demostrar que la solución ha esta ecuación se puede obtener por el método de separación de variables, llegando a la siguiente expresión:

infinito Cilindro plana Pared ) , ( · ) , ( ) , , ( ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ − − − − = − − T T T t r T T T T t x T T T T t r x T i i i

Es decir, la solución bidimensional se expresa como producto de las soluciones unidimensionales correspondientes a una pared plana y a un cilindro infinito. Para las soluciones unidimensionales se emplearán el método de la resistencia interna despreciable (si Bi < 0,1), la solución exacta o la aproximada con el primer término (si Fo > 0,2) según corresponda.

En la Tabla 4.2 del Cuaderno de Fórmulas, Tablas y Figuras se presenta un resumen de soluciones para distintos sistemas multidimensionales como productos de las soluciones unidimensionales.

Visto esto se resuelve este problema en concreto. Como se pide la temperatura central en t = 8 s, a partir de la ecuación vista antes se tiene que:

infinito Cilindro plana Pared ) 8 , 0 ( · ) 8 , 0 ( ) 8 , 0 , 0 ( ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ − − − − = − − T T T T T T T T T T T T i i i

A continuación se resuelve cada sistema unidimensional por separado. Se calcula el número de Biot para la conducción a través de una pared plana:

∞ = = k hL Bi c pp

(30)

Como para este caso la temperatura superficial está fijada esto es equivalente a tener una h infinita. Como el número de Biot es mayor que 0,1 no se puede emplear el método de la resistencia interna despreciable. Empleamos la solución aproximada con el primer término. A partir de la Tabla 4.1 del Cuaderno de Fórmulas, Tablas y Figuras se obtienen los coeficientes de la aproximación de un término: ξ1 = 1,5707 y C1 = 1,2733.

Se buscan las propiedades del cobre para una temperatura media de: K 533 C º 260 2 500 20+ = = = T ⇒ ρ = 8.933 kg/m3; k = 384 W/m·K; cp = 410 J/kg·K.

Se calcula el número de Fourier: 0,304

05 , 0 · 410 · 933 . 8 8 · 384 2 2 2 = = = = c p c c L kt L t Fo ρ α . Como Fo > 0,2 la aproximación con el primer término es correcta.

601 , 0 ) 304 , 0 · 5707 , 1 ·exp( 2733 , 1 ) exp( ) 8 , 0 ( 2 2 1 1 plana Pared = − = − = − − ∞ ∞ C Fo T T T T i ξ

A continuación se resuelve la conducción a través de un cilindro infinito. Se calcula el número de Biot: 3 . 6,51·10 384 025 , 0 · 100 = − = = k hr Bi o cil

Por ser menor que 0,1 se puede aplicar el método de la resistencia interna despreciable:

     − = − − ∞ ∞ τ t T T T T i exp ) 8 , 0 ( infinito Cilindro s 8 , 457 2 · 100 410 · 025 , 0 · 933 . 8 = = = = s p c t hA Vc C R ρ τ 9827 , 0 8 , 457 8 exp ) 8 , 0 ( infinito Cilindro =    − = − − ∞ ∞ T T T T i 5906 , 0 9827 , 0 · 601 , 0 ) 8 , 0 ( · ) 8 , 0 ( 500 20 500 ) 8 , 0 , 0 ( ) 8 , 0 , 0 ( infinito Cilindro plana Pared = = − − − − = − − = − − ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ T T T T T T T T T T T T T i i i T (0,0,8) = 216,5 ºC

(31)

27

a) Con el método explícito obtenga las ecuaciones en diferencias finitas para los nodos 1, 2, 3 y 4.

b) Con Fo = ½ construya una tabla que tenga como encabezados p, t y las temperaturas nodales de T0 a T4. Determine la temperatura de la superficie, T0, cuando T4 = 35 ºC. c) Resuelva el problema mediante el método implícito y el método de la inversión de

matrices

Solución: b) ∆t = 30 s; T0 (t = 210 s) = 230 ºC.

Resolución del apartado c):

De las ecuaciones nodales explícitas se pueden deducir las ecuaciones nodales implícitas fácilmente: Nodo 1:

(

p p

)

p p p p p p p T T FoT FoT FoT T Fo T T T 1 1 0 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 0 (1 2 ) 1 2 = − ⇒− + + =− − − + + + + + + + +

Nodo 2: FoTp Fo Tp FoTp Tp

2 1 3 1 2 1 1 −(1+2 ) + =− + + +

Nodo 3: FoTp Fo Tp FoTp Tp

3 1 4 1 3 1 2 −(1+2 ) + =− + + + Nodo 4: FoTp FoTp Tp 4 1 4 1 3 (1 2 ) 2 + − + + =−

Expresadas en forma matricial:

              − − − − − =                           + − + − + − + − + + + + + p p p p p p p p p T T T T FoT T T T T Fo Fo Fo Fo Fo Fo Fo Fo Fo Fo 4 3 2 1 1 0 1 4 1 3 1 2 1 1 ) 2 1 ( 2 0 0 ) 2 1 ( 0 0 ) 2 1 ( 0 0 ) 2 1 (

[ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

A·T = C T = A−1·C

Se inicia un proceso iterativo en que para cada tiempo p hay que evaluar el vector [C] antes de resolver las temperaturas en el tiempo siguiente p+1.

(32)

p t T0 T1 T2 T3 T4

0 0 20 20 20 20 20

1 30 50

2 60 80

3 90 110

11. (5.100 del Incropera) Se sueldan dos barras muy largas en la dirección normal a la página, las cuales tienen las distribuciones de temperaturas iniciales que se muestran en la tabla inferior. En el tiempo t = 0, la cara m = 3 de la barra de cobre hace contacto con la cara m = 4 de la barra de acero AISI 1010. La soldadura actúa como una capa interfacial de espesor insignificante y resistencia efectiva de contacto Rt′′ = 2·10,c -5 m2·K/W.

(33)

29

PROBLEMAS TEMA 5. INTRODUCCIÓN A LA

CONVECCIÓN

Coeficientes de transferencia de calor

1. (6.2 del Incropera) Para la convección laminar libre de una superficie vertical caliente, el coeficiente de convección local se expresa como hx = Cx-1/4, donde hx es el coeficiente a la distancia x desde el inicio de la superficie y la cantidad C, que depende de las propiedades del fluido, es independiente de x. Obtenga una expresión para la razón hx/ hx, donde hx es el coeficiente promedio entre el inicio (x = 0) y la posición x. Dibuje la variación de hx y

x

h con x.

Solución: hx/ hx = 4/3.

2. (6.5 del Incropera) Aire a una temperatura de flujo libre T∞ = 20 ºC está en un flujo paralelo sobre una placa plana de longitud L = 5 m y temperatura Ts = 90 ºC. Sin embargo, los obstáculos colocados en el flujo intensifican la mezcla al aumentar la distancia x desde el inicio, y la variación espacial de las temperaturas medidas en la capa límite están correlacionadas por una expresión de la forma T (x, y) [ºC] = 20 + 70 exp(-600xy), donde x e y están en metros. Determine y elabore una gráfica de la forma en que varía el coeficiente de convección local h con x. Evalúe el coeficiente de convección promedio h para la placa.

Solución: hx = 600·k·x [W/m2·K] = 15,44·x[W/m2·K]; h = 38,6 W/m2·K. Perfiles de la capa límite

3. (6.10 del Incropera) Agua a una temperatura T∞ = 25 ºC fluye sobre una de las superficies de una pared de acero (AISI 1010) cuya temperatura es Ts1 = 40 ºC. La pared es de 0,35 m de espesor y la temperatura de la otra superficie es Ts2 = 100 ºC. Para condiciones de estado estacionario, ¿cuál es el coeficiente de convección asociado con el flujo de agua? ¿Cuál es el gradiente de temperatura en la pared y en el agua que está en contacto con la pared? Dibuje la distribución de temperaturas en la pared y en el agua contigua.

Datos: Propiedades termofísicas del acero AISI 1010: ρ = 7.832 kg/m3.

T (K) cp (J/kg·K) k (W/m·K) 300 434 63,9 400 487 58,7 Solución: h = 700 W/m2·K; y Tpared ∂ ∂ = -171,4 K/m; 0 = ∂ ∂ y agua y T = -17.222,22 K/m. Transición de la capa límite

4. (6.12 del Incropera) Considere un flujo de aire sobre una placa plana de longitud L = 1 m en condiciones para las que ocurre la transición en xc = 0,5 m con base en el número de

(34)

Reynolds crítico Rex,c = 5·105. En las regiones laminar y turbulenta los coeficientes de convección local son, respectivamente:

5 , 0 ) (x =C xhlam lam y h (x)=C x−0,2 turb turb

donde Clam = 8,845 W/m3/2·K, Cturb = 49,75 W/m1,8·K y x tiene unidades de m.

a) Mediante la evaluación de las propiedades termofísicas del aire a 350 K determine la velocidad del flujo de aire.

b) Desarrolle una expresión para el coeficiente de convección promedio hlam(x), como función de la distancia desde el inicio de la placa, x, para la región laminar, 0 ≤ x ≤ xc. c) Desarrolle una expresión para el coeficiente de convección promedio de toda la placa

) (x

h , como función de la distancia desde el inicio de la placa, x, para la región turbulenta, xc≤ x ≤ L.

d) Dibuje una gráfica de hlam(x), hlam(x), )hturb(x y h(x) para 0 ≤ x ≤ L.

Solución: a) V = u∞ = 20,92 m/s; b) hlam(x)=2Clamx−0,5; c)

[

2 0,5 1,25 0,8 1,25 0,8

]

1 )

( Clamxc Cturbx Cturbxc x

x

h = + − .

Ecuaciones de conservación y soluciones: flujo de Couette

5. (6.18 del Incropera 5ª edición en inglés) Considere un cojinete hidráulico ligeramente cargado que usa aceite con propiedades constantes ρ = 800 kg/m3, ν = 10-5 m2/s y k = 0,13 W/m·K. El diámetro del eje es de 75 mm, el espacio hasta su apoyo es de 0,25 mm y trabaja a 3.600 rpm.

a) Determine la distribución de temperaturas en la película de aceite suponiendo que no hay transferencia de calor hacia el interior del eje y que la superficie del apoyo del cojinete se mantiene a 75 ºC.

b) ¿Cuál es la transferencia de calor del cojinete?

Solución: a)      −       ∂ ∂ − = y Ly y u K T y T 2 ) ( 2 2 0 ρν ; b) q’(y = 0) = -1.508 W/m.

6. (6.21 del Incropera) Considere el flujo de Couette con transferencia de calor para el cual la placa inferior (placa móvil) se mueve con una velocidad de U = 5 m/s y está perfectamente aislada. La placa superior (placa estacionaria) está construida con un material de

(35)

31

a) Determine la distribución de temperaturas en la película de aceite, To(y).

b) Determine la temperaturas en los extremos de la película de aceite en contacto con las dos placas, To(y = 0) y To(y = Lo).

c) Dibuje la distribución de temperaturas en la película de aceite y en la placa estacionaria.

Solución: a) T(y) = -2,755·106·y2 + 390 [K]; b) To(y = 0) = 390 K y To(y = Lo) = 321 K. 7. (6.22 del Incropera) Un eje con un diámetro de 100 mm gira a 9.000 rpm en un cojinete

hidráulico de 700 mm de longitud. Las propiedades del aceite lubricante son µ = 0,03 N·s/m2 y k = 0,15 W/m·K, mientras que el material del cojinete tiene una conductividad térmica de kc = 45 W/m·K.

a) Determine la disipación viscosa µΦ [W/m3] en el lubricante.

b) Determine la transferencia de calor [W] del lubricante suponiendo que no se pierde calor a través del eje.

c) Si la cubierta del cojinete se enfría con agua, de modo que la superficie externa del cojinete se mantiene a 30 ºC, determine las temperaturas del cojinete y del eje, Tc y Te.

Solución: a) µΦ = 6,66·107·W/m3; b) q = 14.646 W; c) T

c = 81,3 ºC y Te = 303,3 ºC. Similitud y parámetros adimensionales

8. (6.27 del Incropera, examen septiembre 2002) Un objeto de forma irregular tiene una longitud característica L1 = 1 m y se mantiene a una temperatura superficial uniforme Ts,1 = 400 K. Cuando se coloca en aire atmosférico a una temperatura T∞ = 300 K y se mueve con una velocidad V1 = 100 m/s, el flujo promedio de calor desde la superficie al aire es 20.000 W/m2. Si un segundo objeto de la misma forma, pero con una longitud característica, L2 = 5 m, se mantiene a la misma temperatura superficial y se coloca en aire atmosférico a T∞ =

(36)

300 K, ¿cuál será el valor del coeficiente promedio de convección si la velocidad del aire es V2 = 20 m/s?

9. (6.31 y 6.34 del Incropera) Considere las condiciones para las que un fluido con una velocidad de flujo libre V = 1 m/s fluye sobre una superficie con una longitud característica

L = 1 m, lo que proporciona un coeficiente promedio de transferencia de calor por

convección h = 100 W/m2·K.

a) Calcule los parámetros adimensionales NuL, ReL y Pr para los siguientes fluidos: aire, aceite de motor, mercurio y agua. Suponga que los fluidos están a una temperatura de 300 K.

b) Dibuje la variación relativa entre el espesor de la capa límite hidrodinámica y la capa límite térmica para el flujo laminar sobre una placa plana para los cuatro fluidos anteriores. Suponga un coeficiente del número de Prandtl n = 0,35.

Datos: Propiedades termofísicas del mercurio:

T (K) (kg/mρ 3) cp (kJ/kg·K) µ·10 2 (N·s/m2) ν·106 (m2/s) k·103 (W/m·K) α·10 7 (m2/s) Pr 300 13.529 0,1393 0,1523 0,1125 8.540 45,30 0,0248

Solución: a) aire: NuL = 3.802; ReL = 62.932; Pr = 0,706; aceite de motor: NuL = 690; ReL = 1.818; Pr = 6.403; mercurio: NuL = 11,7; ReL = 8.888.889; Pr = 0,0248; agua: NuL = 163; ReL = 1.166.092; Pr = 5,83; b) =0,885 aire t δ δ ; =21,5 aceite t δ δ ; =0,27 mercurio t δ δ ; 85 , 1 = agua t δ δ .

10. (6.35 del Incropera) Se utiliza aire forzado a T∞ = 27 ºC y V = 10 m/s para enfriar elementos electrónicos sobre una tarjeta de circuitos. Uno de tales elementos es un chip, de 4 mm por 4 mm, que se localiza a 120 mm desde el inicio de la tarjeta. Los experimentos revelan que el flujo sobre ésta es perturbado por los elementos y que la transferencia de calor por convección está correlacionada mediante una expresión de la forma:

3 / 1 85 , 0 04 , 0 Re Pr Nux = x

Estime la temperatura superficial del chip si éste disipa 30 mW.

Nota: Las propiedades del fluido se deben calcular a la temperatura media entre el fluido y la superficie.

(37)

33

PROBLEMAS TEMA 6. CONVECCIÓN FORZADA EN

FLUJO EXTERNO

Placa plana en flujo paralelo

1. (7.3 del Incropera) Sobre ambas superficies de una placa plana de 1 m de longitud que se mantiene a 20 ºC fluye aceite de motor a 100 ºC y a una velocidad de 0,1 m/s. Determine: a) Los espesores de las capas límite de velocidad y térmica al final de la placa.

b) El flujo local de calor al final de la placa.

c) La transferencia de calor por unidad de ancho de la placa.

Solución: a) δL = 146,7 mm; δt,L = 14,3 mm; b) q ′′L = 1.304 W/m 2; c)

total

q′ = 5.216 W/m.

2. (7.11 del Incropera) Una placa plana de 1 m de ancho se mantiene a una temperatura superficial uniforme Ts = 150 ºC mediante el uso de módulos rectangulares generadores de calor, controlados de manera independiente, de espesor a = 10 mm y longitud b = 50 mm.

Cada módulo está aislado de sus alrededores, así como de su parte posterior. Aire atmosférico a 25 ºC fluye sobre la placa a una velocidad de 30 m/s. Las propiedades termofísicas del módulo son k = 5,2 W/m·K, cp = 320 J/kg·K y ρ = 2.300 kg/m3.

a) Encuentre la generación de potencia que se requiere, q& [W/m3], en el módulo situado a 700 mm del inicio.

b) Encuentre la temperatura máxima en ese módulo generador de calor.

Solución: a) q& = 873.448 W/m3; b) Tmáx = 158,4 ºC.

3. (7.32 del Incropera) Un conjunto de componentes electrónicos disipadores de calor se monta sobre el lado inferior de una placa horizontal de aluminio de 1,2 x 1,2 m, mientras que el lado superior se enfría con un flujo de aire para el que u∞ = 15 m/s y T∞ = 300 K. La placa se une a un recinto bien aislado de manera que todo el calor se debe transferir al aire. Además la placa de aluminio es lo suficientemente delgada para asegurar una temperatura casi uniforme en ella.

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a) Si la temperatura del aluminio no debe exceder de 350 K, ¿cuál es la disipación de calor máxima permisible?

b) Determine la disipación de calor máxima permisible si sobre la placa de aluminio se coloca un sistema de aletas longitudinales cuya longitud, espesor y espaciado (entre planos centrales de las aletas) son 25 mm, 5 mm y 10 mm, respectivamente.

Datos: Propiedades termofísicas del aluminio:

T (K) (kg/mρ 3) cp (J/kg·K) k (W/m·K) 300 2.702 903 237 Solución: a) q = 2,14 kW; b) q = 12,71 kW.

Flujo alrededor de un cilindro

4. (7.42 del Incropera) Un tubo circular de 25 mm de diámetro exterior se coloca en un flujo de aire a 25 ºC y presión de 1 atm. El aire se mueve en flujo cruzado sobre el tubo a 15 m/s, mientras que la superficie externa del tubo se mantiene a 100 ºC. ¿Cuál es la transferencia de calor del tubo por unidad de longitud?

Solución: q′ = 527 W/m.

5. (7.49 del Incropera) Aire a 27 ºC y a velocidad de 5 m/s pasa sobre la pequeña región As (20 x 20 mm) en una superficie grande que se mantiene a Ts = 127 ºC. Para estas condiciones se eliminan 0,5 W de la superficie As. Con el fin de aumentar la velocidad de eliminación de calor, se sujeta una aleta de alfiler de acero inoxidable AISI 304 de diámetro 5 mm a As, que se supone permanece a Ts = 127ºC.

Datos: Propiedades termofísicas del acero inoxidable AISI 304:

T (K) (kg/mρ 3) cp (J/kg·K) k (W/m·K)

(39)

35

a) Determine la velocidad máxima posible de eliminación de calor a través de la aleta. b) ¿Qué longitud de aleta proporciona esa velocidad máxima de eliminación de calor? c) Determine la efectividad de la aleta, εf.

d) ¿Cuál es el porcentaje de aumento en la transferencia de calor de As debido a la instalación de la aleta?

Solución: a) qfmáx = 2,3 W; b) L = 37,4 mm; c) εf = 93,7; d) 455 %.

6. (7.62 del Incropera) En un proceso de fabricación, una varilla larga recubierta de plástico (ρ = 2.200 kg/m3, cp = 800 J/kg·K, k = 1 W/m·K) de diámetro D = 10 mm está inicialmente a una temperatura uniforme de 25 ºC y súbitamente se expone a un flujo cruzado de aire a

u∞ = 50 m/s y T∞ = 350 ºC. ¿Cuánto tiempo le costará a la superficie de la varilla alcanzar 175 ºC, temperatura por arriba de la cual se curará el recubrimiento especial?

Solución: t = 8,27 s (Calculado con Tf = ((25+175)/2 +350) /2 y correlación de Hilpert ⇒ 240

=

h W/m2·K); Fo = 0,1879.

Flujo a través de bancos de tubos

7. (7.76 del Incropera) Considere un banco de tubos escalonado para el que el diámetro exterior del tubo es 16,4 mm y los espaciados longitudinal y transversal son SL = ST = 20,5 mm. Hay siete líneas de tubos en la dirección del flujo de aire y ocho tubos por línea (NL = 7 y NT = 8). La temperatura superficial de los tubos es de 70 ºC y la temperatura y velocidad del flujo de aire son 15 ºC y 6 m/s, respectivamente. Determine el coeficiente de convección y la transferencia de calor para el banco de tubos. Comience evaluando las propiedades del aire a T∞ = 15 ºC.

Solución: h = 235 W/m2·K; q’ = 28,5 kW/m.

8. (7.80 del Incropera) Los componentes eléctricos montados en cada una de dos placas isotérmicas se enfrían al hacer pasar aire atmosférico entre ellas, y se usa un dispositivo en línea de aletas de alfiler de aluminio para aumentar la transferencia de calor al aire. Las aletas son de diámetro D = 2 mm, longitud L = 100 mm y conductividad térmica k = 240

W/m·K. Los espaciados longitudinales y transversales son SL = ST = 4 mm con un dispositivo cuadrado de 625 aletas (NL = NT = 25) montadas en placas cuadradas de ancho

(40)

a) Evaluando las propiedades del aire a 300 K, estime el coeficiente promedio de convección para el dispositivo de aletas.

b) Suponiendo el coeficiente de convección anterior uniforme sobre las aletas y las placas determine la temperatura de salida del aire y la transferencia total de calor cuando las placas se mantienen a 350 K. Sugerencia: La temperatura de salida del aire está

gobernada por una relación exponencial de la forma [(TplacaTsal) / (TplacaTent)] = exp[-(h Atηo) / (m&cp)], donde m& = ρVLNTST es el flujo de masa del aire que pasa a través de las aletas, At es el área superficial total de transferencia de calor (placas más aletas) y ηo es la eficiencia superficial global del conjunto placas más aletas.

Figure

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Referencias

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