Cálculo - MAT311

CUADERNO DE

APRENDIZAJE

_CÁLCULO

Estimado estudiante de AIEP, en este Cuaderno de Aprendizaje, junto a

cada Aprendizaje Esperado que se te presenta y que corresponde al Módulo que

cursas, encontrarás “Ejercicios Explicativos” que reforzarán las competencias

que debes lograr.

Esperamos que estas Ideas Claves entregadas a modo de síntesis te

orienten en el desarrollo del saber, del hacer y del ser.

Mucho Éxito.-

Dirección de Desarrollo Curricular y Evaluación

VICERRECTORÍA ACADÉMICA AIEP

UNIDAD 1

APRENDIZAJE ESPERADO:

: Funciones reales, límite y continuidad

1. Resuelven problemas de la vida cotidiana y de la especialidad aplicando la función

lineal como modelo

Criterio 1.1. Identifica la función lineal y la caracteriza a través de sus parámetros, ceros

y gráfica.

Recordar que una función lineal es de la forma:

y =

f(x) = mx + n, y = mx + n, donde m, n є R, Aquí:

x: Variable independiente ( Abscisas)

y: Variable dependiente ( Ordenadas)

m: Coeficiente de dirección o pendiente de la recta.

n: Coeficiente de posición u ordenada en el origen.

1. Ejemplo:

Determine cuál de las siguientes funciones es una función lineal.

2 3

) ( )

3

) ( )

2

3

) ( )

3

) ( )

3

a f x

x

x

b f x

x

c f x

x

x

d f x

x

=

+ −

=

−

=

+ −

= −

Solución

Para poder identificar funciones lineales debemos fijarnos en la variable x, esta no puede tener un exponente distinto de 1 (x1 = x). Por lo tanto, en este caso la función b y d son lineales.

0

3

6

6

3

6

3

2

x

x

x

x

=

−

=

=

=

2. Ejemplo:

Determine los puntos en que la función y= f(x)= 3x – 6 corta a los ejes. Grafique la situación.

Solución

Para resolver este tipo de problemas debemos reemplazar f(x) = 0; (y = 0) y calculamos el valor de x. Esto nos dice el punto de corte en el eje X.

:

Pasamos el 6 sumando para el otro lado

Pasamos el 3 dividiendo para el otro lado

Simplificamos el resultado

Por lo tanto la recta corta el eje x en el punto (2,0).

Luego remplazamos x por 0 y calculamos f(x). Esto nos dice el punto de corte en el eje Y

(0)

= ⋅ − = −

3 0

6

6

f

Por lo tanto la recta corta el eje y en el punto (0,-6).

Para graficar ubicamos los dos puntos en el plano y los unimos con una recta

3. Ejemplo:

Determine la función lineal que tiene pendiente -2 y pasa por el origen. Grafíquela.

Solución

Si la función tiene pendiente -2 ya sabemos que es de la forma :

( )

2

f x

= −

x

+

n

Para poder descubrir el valor de n debemos reemplazar las coordenadas del origen en nuestra función. Esto se debe a que, cuando la recta pasa por un punto éste satisface la ecuación.

0

2 0

0

n

n

= − ⋅ +

=

La función sería

( )

2

f x

= −

x

Para poder graficarla vamos a buscar 2 puntos (arbitrarios) que pasen por esta recta.

Vamos a reemplazar x por 1 calculando:

(1)

2 1

2

f

= − ⋅ = −

Por lo tanto la recta pasa por el punto (1, -2).

Vamos a reemplazar x por -1 calculando:

( 1)

2

1

2

f

− = − ⋅ − =

Por lo tanto la recta pasa por el punto (-1, 2).

4. Ejemplo:

Calcular la pendiente de la recta entre los puntos señalados. a) ( 3, -1 ) y ( 0, 5 )

b) ( 3, 5 ) y ( -1, 2) c) ( 2, 3 ) y ( 5, 3 ) d) ( 3,1 ) y ( 3, -2)

Respuesta:

Para calcular la pendiente recordemos que:

Sean A = y B = dos puntos cualesquiera de una recta. Se llama pendiente de la

recta que pasa por los puntos A y B al cuociente:

m

=

a) Tenemos los siguientes puntos (3, -1) y (0, 5) reemplazando los valores en la ecuación

m = se tiene que m = = = = -2

En este caso la función es decreciente.

b) Tenemos los siguientes puntos ( 3, 5 ) y ( -1, 2) reemplazando los valores en la

ecuación

m = se tiene que m = = =

En este caso la función es creciente.

c) Tenemos los siguientes puntos (2, 3) y (5, 3) reemplazando los valores en la ecuación

m = se tiene que m = = = 0

En este caso la función es constante.

d) Tenemos los siguientes puntos (3,1) y (3, -2) remplazando los valores en la ecuación

m = se tiene que m = = , Se indetermina ya que en las fracciones el

denominador no puede ser cero, por lo tanto, no existe pendiente. (También es válido decir que tiene pendiente infinita) En este caso la recta es vertical y la gráfica no representa una función.

Criterio 1.2. Opera con la función lineal en forma analítica y gráfica, relacionando su

estudio a situaciones de la vida laboral.

1. Ejemplo:

Determine la pendiente de las aguas de una techumbre, si sabe que su punto más alto está a 6 metros de altura y la distancia entre las piernas de la costanera donde se apoya la techumbre es de 14 metros. Considere el eje X sobre la costanera y el eje Y en el centro de ésta.

Solución

Para saber la pendiente debemos utilizar la siguiente fórmula: : 2 1 2 1

y

y

m

x

x

−

=

−

Luego remplazamos:

6 0

6

0,857

0 7

7

m

=

−

= − = −

−

Cabe destacar, que la pendiente nos da negativa por ser la recta que se forma al lado derecho, si calculáramos la pendiente de la otra pierna nos daría el mismo valor numérico pero positivo.

2. Ejemplo:

Se necesita arrendar una camioneta, esta tiene un costo inicial de $45.000 más $350 por kilómetro recorrido. Determine la función lineal que representa el costo de arriendo de la camioneta, en función de los kilómetros utilizados.

Solución

Para desarrollar este ejercicio debemos identificar primero nuestra variable x, en este caso serían los kilómetros. Luego, tenemos que entender que el coeficiente de posición será nuestro costo fijo, ya que, aún cuando no utilicemos la camioneta y nuestro kilometraje sea 0, igual

Por lo tanto la función será:

( )

350

45000

f x

=

x

+

3. Ejemplo:

Con respecto al ejercicio anterior, determine el valor a pagar por el arriendo de una camioneta, si viaja 987 kilómetros.

Solución:

Debemos reemplazar el valor de los kilómetros por x

( )

350 987

45000

390450

f x

=

⋅

+

=

Deberíamos pagar $390.450

4. Ejemplo:

Paula tiene $37.000 y puede ahorrar $9.000 a la semana. Si no gasta su dinero:

a) Encuentra una expresión analítica que exprese la relación entre tiempo (variable independiente) y el dinero (variable dependiente).

b) Al cabo de 8 semanas, ¿cuánto dinero tendrá Paula?

c) Si quiere comprar un video que cuesta $127.000, ¿en cuántas semanas reunirá el dinero?

Solución:

Realizaremos una tabla que nos permita ver el dinero que ella va ahorrando cada semana: Tiempo ( Semana) Dinero ($) 0 1 2 3 4 ….. 37.000 46.000 55.000 64.000 73.000 ……

a) Vemos que el incremento por semana es el mismo, su valor es $9.000. Lo cual puede ser expresado como una ecuación lineal.

Tomamos dos relaciones al azar, tenemos (1,46.000) y (2,55.000) reemplazando estos valores en la fórmula:

55.000

46.000

9000

2 1

m

=

−

=

−

,

este valor coincide con el valor constante antes expuesto

y recibe el nombre de pendiente de la recta.

Utilizando este valor y cualquiera de los dos puntos en la siguiente ecuación:

y

−

y

1

= ⋅ −

m

(

x

x

1

)

Dondeobtenemos la ecuación de la recta. Reemplazando los números tenemos:

46.000

9000 (

1)

y

−

=

⋅ −

x

46.000

9000

9000

9000

9000

46000

y

x

y

x

−

=

−

=

−

+

9000

37000

y

=

x

+

, ecuación de la recta

Si realizamos el mismo cálculo pero con el otro punto tenemos:

2

(

2

)

y

−

y

= ⋅ −

m

x

x

. Remplazando los valores en la ecuación se tiene:

55000

9000 (

2)

55000

9000

18000

9000

18000

55000

y

x

y

x

y

x

−

=

⋅ −

−

=

−

=

−

+

y

=

9000

x

+

37000

, ecuación de la recta b) x: Tiempo en semanas y: Dinero ahorrado en $ Datos: x = 8 semanas y = f(8) = ?

Reemplazando el valor de x en la función se obtiene el dinero ahorrado por Paula en 8 semanas.

(8)

9000 8 37000

109000

f

=

⋅ +

=

R:

En 8 semanas Paula tiene $109.000

c) Cómo nos dan el dinero y nos piden encontrar el tiempo, debemos utilizar el siguiente procedimiento:

127000

=

9000

x

+

37000

,

donde lo único que no conocemos es el tiempo, pero, al despejar x se tiene:

9000

127000 37000

9000

90000

90000

10

9000

x

x

x

=

−

=

=

=

R: en 10 semanas Paula tendrá $127.000

5 Ejemplo:

Se necesita arrendar un camión, cuyo arriendo está dado por la función

( )

=

1.600

+

6.000

A x

x

, donde x son los kilómetros recorridos por el camión. ¿Cuánto se debe

cancelar por el arriendo, si el camión anduvo 40 kilómetros? Solución:

Como sabemos el arriendo del camión $ (Variable Y= A(x)), está en función de los kilómetros recorridos por el camión (Variable X). Si queremos saber el valor del arriendo del camión tenemos que calcular el valor de:

A (40) = 1.600* 40 +6.000 = $70.000

R: Se debe cancelar $70.000

6 Ejemplo:

Un estudio oceanográfico estableció que la relación entre la longitud (L) del pejerrey y el radio de sus escamas (R) está dada por la función: L = 36 R + 26, donde L y R están en mm. Si esto es así, el radio de las escamas de un pejerrey de 29,6 cm de longitud es:

Solución:

Como sabemos la longitud del pejerrey (Variable Y = L), está en función del radio de sus escamas (Variable X= R). Si queremos saber el valor del radio de las escamas conociendo la longitud del pejerrey lo primero es transformar la longitud del pejerrey a mm quedando 296 mm. Luego resolveremos la siguiente igualdad.

296

36

26

36

296

26

36

270

270

7, 5

36

R

R

R

R

=

+

=

−

=

=

=

Criterio 1.3. Resuelve problemas de la vida cotidiana y de la especialidad aplicando la

función lineal como modelo.

1. Ejemplo:

Determine qué compañía de celular le conviene más contratar, si usted habla normalmente 400 minutos mensuales desde su celular:

La compañía A le cobra $10.500 mensuales más $35 el minuto utilizado

La compañía B le cobra solo el consumo a $275 el minuto utilizado

La compañía C le cobra $5.000 mensuales más $100 el minuto utilizado

Solución

Para resolver este ejercicio vamos a definir la función de costo ($) en función de los minutos hablados en cada caso y luego reemplazamos el valor de x por 400 para saber el costo.

: Compañía A

( )

35

10500

f x

=

x

+

(400)

35 400 10500

$24.500

f

=

⋅

+

=

Compañía B

( )

275

( )

275 400

$110.000

f x

x

f x

=

=

⋅

=

Compañía C

( )

100

5000

( )

100 400 5000

$45.000

f x

x

f x

=

+

=

⋅

+

=

2. Ejemplo:

Un albañil de la ciudad fija el costo del m2 de pintura a $1980. ¿Cuánto dinero tendría que pagar una persona que necesita pintar 780 m2 en su departamento?

Solución

Primero debemos encontrar la función que representa el costo :

( )

1980

(780)

1980 780

1.544.400

f x

x

f

=

=

⋅

=

R: Para pintar 780m2 _{se tienen que pagar $1.544.400}

3. Ejemplo:

Si sabemos que 100°C equivalen a 373°K y que 2°C equivalen a 275°K. Determine la función que relaciona °C en función de °K

Solución

X: Grados Celsius (°C) :

Y: Grados Kelvin (°K)

En un par ordenado la primera coordenada es “x” y la segunda coordenada es “y”, por lo que tenemos (100,373) y (2,275), luego aplicamos la fórmula para calcular la pendiente:

2 1 2 1

373 275

98

1

100 2

98

y

y

m

x

x

−

−

=

=

=

=

−

−

Elijo un punto para reemplazar en la función y calculo n:

275 1 2

275 2

273

273

n

n

n

= ⋅ +

=

− =

=

f x

( )

= +

x

273

4. Ejemplo:

Un fabricante tiene costos fijos de $1.500.000 y costos variables de $12.500 por unidad. Encuentre la función lineal que relaciona los costos con la producción.

a) ¿Cuál es el costo de producir 100 unidades?

b) ¿A qué nivel de producción el costo será igual a $2.000.000?

c) Si cada artículo se vende a $25.000. Determine la función de ingresos y la función de utilidad de la empresa.

d) Utilizando la función de utilidad de la pregunta anterior, responda las siguientes preguntas: • ¿Cuál es la utilidad de producir 250 unidades?

• ¿A qué nivel de producción la empresa tendrá una utilidad de $1.000.000? • ¿A qué nivel de producción la empresa tendrá una pérdida de $1.000.000?

Solución:

Lo primero es determinar la función de costo que se compone de una parte que depende de la producción como lo es el costo variable y otra que no depende de la producción como es el

costo fijo.

Costo = costo variable + costo fijo Si definimos las variables tenemos que:

x: Cantidad de unidades producidas. y : Costo de producción de las unidades($)

a) El costo variable como sabemos que depende de la producción, se define como: C.V = costo unitario∙ cantidad; C.V = 12.500∙x

Finalmente tenemos que la función de costo es igual a:

C(x) = 12.500∙x + 1.500.000

Para responder esta pregunta sabemos que la cantidad producida es 100 reemplazando este valor en la ecuación se tiene:

C (100) = 12.500∙100 + 1.500.000 = $2.750.000

b) Para responder esta pregunta nos damos cuenta que lo que me preguntan es cuál es la cantidad producida para obtener un costo total de $2.000.000, reemplazando este valor en la ecuación se tiene:

12.500∙x + 1.500.000 = 2.000.000 resolviendo esta ecuación (lineal) se tiene el valor de la producción que me entrega el costo de $2.000.000.

12500

x

=

500000

500000 40 12500 = = x Unidades

R: Se tienen que producir 40 unidades para que el costo sea de $2.000.000

c) Antes de responder la pregunta definiremos la función de ingresos como:

Ingresos = precio unitario∙ cantidad, r eemplazando los valores numéricos en la ecuación tenemos:

( )

25000

I x

=

x

, representa la función de ingresos.

Para la segunda parte de la pregunta, definiremos la utilidad como sigue:

Utilidad = Ingresos – costos

reemplazando las funciones de ingreso y de costo se tiene.

( )

( )

( )

25000

(12500

1500000)

25000

12500

1500000

( )

12500

1500000

U x

I x

C x

x

x

x

x

U x

x

=

−

=

−

+

=

−

−

=

−

R: La función de ingreso es

I x

( )

=

25000

x

y la función de utilidad es

I x

( )

=

12500

x

−

1500000

d) Para responder esta pregunta utilizaremos la función de utilidad:

( )

12500

1500000

U x

=

x

−

Reemplazando el valor de la producción que son 250 unidades en la ecuación de utilidad tenemos:

(250)

12500 250 1500000

1.625.000

U

=

⋅

−

=

En la siguiente pregunta calcularemos la cantidad de unidades a producir para obtener una utilidad de $1.000.000. Se tiene que reemplazar el valor de la utilidad en la ecuación.

12500

1500000

1000000

12500

1000000 1500000

12500

2500000

2500000

200

12500

x

x

x

x

−

=

=

+

=

=

=

R: Para que la utilidad sea de $1000.000 se tiene que producir 200 unidades

Ahora nos preguntan cuál es la cantidad de artículos a producir para obtener una pérdida de $1.000.000 se tiene que remplazar el valor de la perdida en la ecuación.

12500

1500000

1000000

12500

1000000 1500000

12500

500000

500000

40

12500

x

x

x

x

−

= −

= −

+

=

=

=

5. Ejemplo:

Para un fabricante de computadoras, el costo de la mano de obra y de los materiales por unidad es de $200.000 y los costos fijos son de 1.500.000 al día. Si vende cada computador a $300.000, ¿cuántas unidades deberá producir y vender cada día, con objeto de garantizar que el negocio se mantenga en el punto de equilibrio?

Solución:

Sea X el número de computadoras producidas y vendidas cada día La función de costo total por producir X computadoras está dada por:

( )

200000

1500000

C x

=

x

+

Para determinar la función de ingresos tenemos que utilizar el precio por cada artículo y la cantidad X de artículos vendidos, así tenemos:

( )

300000

I x

=

x

El punto de equilibro se obtiene cuando los ingresos son iguales a los costos:

300000

200000

1500000

100000

1500000

1500000

15

100000

x

x

x

x

=

+

=

=

=

Interpretación: La cantidad de computadoras que debe producir la fábrica para no tener pérdidas

ni utilidades es de 15. Bajo ese valor Existirán pérdidas para la empresa y sobre ese valor existirán utilidades.

APRENDIZAJE ESPERADO

2. Resuelven problemas de la vida cotidiana y de la especialidad aplicando la función

cuadrática como modelo.

Criterio 1.5. Representa gráficamente funciones cuadráticas dadas mediante enunciados,

tablas o expresiones algebraicas indicando sus elementos característicos.

Recordemos que una función cuadrática es de la forma:

2

( )

,

(

0)

Y

=

f x

=

ax

+

bx

+

c con a

≠

1. Ejemplo

Determine la concavidad de la función cuadrática y grafíquela.

2

( )

f x

= −

x

Solución

Para determinar la concavidad debemos identificar α en la función dada, si es positivo es cóncava hacia arriba, si es negativo es cóncava hacia abajo.

:

En este caso

1

a

= −

Por lo tanto, es cóncava hacia abajo

2. Ejemplo

Determine la gráfica que mejor representa a la función

f x

( )

=

x

2

−

2

x

−

15

Solución:

Primero vamos a calcular el vértice

2

(

,

)

2

2

2

1

2

2 1

(1)

1

2 1 15

16

−



−











−

=

=

⋅

= − ⋅ −

= −

b

b

V

f

a

a

b

a

f

Por lo tanto, el vértice es V (1,-16)

Ahora, calcularemos los puntos en que la parábola corta al eje x para ello calculamos f(x)=0

2 2 1 2

( )

2

15

0

2

2

4 1

15

2 8

2 1

2

2 8

10

5

2

2

2 8

6

3

2

2

=

−

−

=

±

− ⋅ ⋅ −

₌

±

⋅

+

=

=

=

−

−

=

=

= −

f x

x

x

x

x

3. Ejemplo:

Grafique la función cuadrática según la siguiente tabla:

X Y

0 0

1 1

-1 1

2 4

-2 4

Solución:

4. Ejemplo:

¿Cuál de los siguientes gráficos representa a la función cuadrática

f x

( )

=

x

2

+

2

x

+

2

?

a) b)

c) d)

Solución:

Lo primero es calcular en qué puntos la parábola corta al eje X para ello calculamos f(x)= 0

Como la raíz cuadrada es negativa, la ecuación cuadrática no tiene solución, eso, gráficamente, quiere decir que la parábola no intersecta al eje x.

2 2

( )

2

2

0

2

2

4 1 2

2

4

2 1

2

=

+

+ =

− ±

− ⋅ ⋅

₌

− ± −

⋅

f x

x

x

Ahora, calcularemos la intersección de la parábola con el eje y para eso tomaremos el valor de x=0, reemplazando este valor en la función. Se tiene que:

La parábola pasa por el punto (0,2) Ahora calcularemos el vértice:

( )

2

(

,

)

2

2

2

1

2

2 1

( 1)

1

2 ( 1)

2

1

b

b

V

f

a

a

b

a

f

−



−











−

₌

−

_{= −}

⋅

− = −

+ ⋅ − + =

Por lo tanto, el vértice es V (-1,1)

Es importante mencionar que la parábola se abre hacia arriba, ya que, el valor de α es mayor que cero.

Con todos los datos calculados se llega a la conclusión de que la alternativa correcta es la letra b

Criterio 1.6. Utiliza los elementos característicos de una función cuadrática para

interpretar su comportamiento.

1. Ejemplo:

Determine en qué rango la siguiente función es decreciente

2

( )

f x

= −

x

Solución

Para determinar la concavidad debemos identificar α en la función dada , si es positivo es cóncava hacia arriba, si es negativo es cóncava hacia abajo.

:

En este caso

1

a

= −

Por lo tanto es cóncava hacia abajo.

2

(0)

0

2 0 2

2

Analizando el siguiente gráfico

Podemos observar que esta función es decreciente en el intervalo [0,+∞ [, ya que, cuando aumentamos el valor de x el valor de y va disminuyendo.

2. Ejemplo:

Determine el vértice de la siguiente función cuadrática:

2

( )

=

(

−

1)

+

1

f x

x

Solución 2 2 2

( )

(

1)

1

( )

2

1 1

( )

2

2

f x

x

f x

x

x

f x

x

x

=

−

+

=

−

+ +

=

−

+

: 2

(

,

)

2

2

2

1

2

2 1

(1)

1

2 1 2

1

−



−











−

₌

₌

⋅

= − ⋅ + =

b

b

V

f

a

a

b

a

f

3. Ejemplo:

Si tenemos la función f(x)= – x2 – 9, determine la gráfica que la representa.

Solución

Primero vamos a calcular el vértice : 2

(

,

)

2

2

0

0

2

2

1

(0)

0

9

9

−



−











−

₌

₌

⋅ −

= − − = −

b

b

V

f

a

a

b

a

f

Por lo tanto, el vértice es V (0,-9)

Ahora, calcularemos los puntos en que la parábola corta al eje x para ello calculamos f(x)=0 y resolvemos la ecuación cuadrática asociada

2 2

( )

9

0

9

9

f x

x

x

x

= − − =

= −

= −

Como la raíz cuadrada es negativa, la ecuación no tiene solución en los Números Reales, esto gráficamente significa que la parábola no corta al eje X.

Analizaremos la concavidad:

4. Ejemplo:

Una función cuadrática está dada por la expresión

y

= − +

x

2

ax

, y pasa por el punto

( )

1,5

. Si

y

representa las unidades vendidas (en miles) cada semana,

x

es la cantidad gastada en

publicidad (en millones de pesos). ¿Cuánto deberían gastar a la semana en publicidad para obtener la venta máxima?

Solución:

a) $2.000.000

b) $3.000.000

c) $4.000.000

d) $6.000.000

El punto (1,5) pertenece a la recta, es por esta razón, que se reemplazará en la ecuación para encontrar el valor de

a

quedando lo siguiente:

2

5

= − + ⋅

1

a

1

, el valor de

a

= 6, reemplazando el valor de

a

en la ecuación, se tiene la siguiente ecuación cuadrática.

2

6

y

= − +

x

x

, como sabemos para obtener la cantidad gastada en publicidad que nos permita obtener el volumen de venta máximo, lo que tenemos que calcular es la coordenada x del vértice con la siguiente fórmula:

6 3 2 2 1 − ₌ − ₌ ⋅ − b a La respuesta es de $3.000.000

R: La alternativa correcta es la letra b

Criterio 1.7. Aplica métodos gráfico y analítico para resolver ecuaciones de segundo

grado.

1. Ejemplo:

Resuelva la siguiente ecuación

2

(2

x

−

3)

=

0

Para resolver la ecuación podemos utilizar distintos métodos:

Método 1: Para poder resolver aplicamos raíz

2 (2 3) 0 (2 3) 0 − = ± − = x x 2 3 0 2 3 − = = x x

1 3 2 = x 2 (2 3) 0 2 3 0 2 3 3 2 − − = − + = − = − − = − x x x x

2 3 2 = x

Método 2: Desarrollaremos el cuadrado de binomio y encontraremos las soluciones de la ecuación de segundo grado quedando lo siguiente:

2 2

(2

x

−

3)

=

4

x

−

12

x

+ =

9

0

Para resolver esta ecuación lo primero es igualar a cero quedando lo siguiente:

Finalmente se obtiene que _{1 2}

3

2

x

=

x

=

2. Ejemplo:

Resuelva la siguiente ecuación:

2

25

5

− −

=

x

x

Solución 2 2

25

5

30

0

(

6)(

5)

0

− −

=

− −

=

−

+

=

x

x

x

x

x

x

:

Primero, igualamos a 0, luego, factorizamos (buscamos dos números que sumados sean -1 y multiplicados sean -30, en nuestro ejemplo los números son -6 y 5)

Como sabemos que para que un producto sea 0 uno de los factores debe ser 0, entonces, calculamos ambas opciones.

1

6

0

6

− =

=

x

x

₂

5

0

5

+ =

= −

x

x

2

12

( 12)

4 4 9

12

0

3

2 4

8

2

±

−

− ⋅ ⋅

±

=

=

=

⋅

x

3. Ejemplo:

Resuelva la siguiente ecuación 2

9

0

+ =

x

Solución 2 2

9

0

9

9

x

x

x

+ =

= −

= ± −

:

Como este valor no pertenece al conjunto de los números reales (es un número complejo), decimos que esta ecuación no tiene solución en el conjunto de los números reales.

4. Ejemplo:

Las raíces de la ecuación

4

1

32

+

=

x

x

son: Solución: 2

(

4)

32 1

4

32

⋅ +

=

⋅

+

=

x

x

x

x

Lo primero es multiplicar cruzado

2

₄

₃₂

₀

x

+

x

−

=

Igualamos a cero la ecuación de segundo grado

Resolvemos la ecuación resultante usando la fórmula:

Así, obtenemos las soluciones:

1

4 12

16

8

2

2

− −

−

=

=

= −

x

_y

₂

4 12

8

4

2

2

− +

=

= =

x

2

4

(4)

4 1

32

4

144

4 12

2 1

2

2

− ±

− ⋅ ⋅ −

− ±

− ±

=

=

=

⋅

x

Criterio 1.8. Utiliza la función cuadrática para modelar y resolver problemas de la vida

cotidiana y de la especialidad.

1. Ejemplo:

Se requiere construir un camino que pasa por sobre una colina, como indica la figura. Determinar la función que describe la colina. Considere los ejes en el centro de la colina y a los pies de la misma.

Solución

El vértice tiene coordenadas (0,4) y la colina pasa por los puntos (-8,0) y (8,0) :

Reemplazando el vértice y uno de los puntos en la fórmula, tenemos:

2 2

(

)

4 (

)

(8 0)

4 (0 4)

64

16

4

−

=

−

−

=

−

= −

= −

x

h

p y

k

p

p

p

Luego, 2 2 2 2

(

0)

4 ( 4) (

4)

16(

4)

16

64

64

16

16

−

= ⋅ − ⋅ −

= −

−

= −

+

= −

+

x

y

x

y

x

y

x

y

Luego, la función es:

2

( )

4

16

= −

x

+

2. Ejemplo:

Considere una viga simplemente apoyada con una luz de 10 metros, que al deformarse debido a su peso propio desciende en el punto medio de ésta 3 centímetros. Determine la función que describe la deformación de la viga. Considerando el eje x en la recta que une los apoyos y en el centro de la viga el eje y.

Solución

El vértice con coordenadas (0, -0.03) y los apoyos en los puntos (-5,0) y (5,0) : Aplicando: 2 2

(

)

4 (

)

(5 0)

4 (0 0, 03)

25

0,12

25

2500

625

0,12

12

3

−

=

−

−

=

+

=

=

=

=

x

h

p y

k

p

p

p

2 2 2

625

(

0)

4

(

0, 03)

3

2500

2500

3

3

3

100

2500

25

3

−

= ⋅

+

=

+

⋅

=

+

x

y

x

y

x

y

Despejando

f x

( )

=

y

, se tiene: 2

2500

25

3

=

+

x

y

/

⋅

3

3

x

2

=

2500

y

+

75

/

−

75

2

2500

y

=

3

x

−

75

/

: 2500

3

2

75

2500

2500

=

−

y

x

3

2

3

2500

100

=

−

y

x

3. Ejemplo:

Si la siguiente función

( )

2

0, 02

450

=

x

−

f x

, describe la deformación de una viga simplemente

apoyada. ¿Cuánto será la deformación a 1,5 metros de distancia de cualquier apoyo? Considerando el eje x en la recta que une los apoyos y en el centro de la viga el eje y

Solución

Necesitamos saber el largo de la viga, calculamos f(x)=0 : 2 2 2 1 2

0

0, 02

450

0

9

9

3

3

x

x

x

x

x

=

−

=

−

=

=

= −

Por lo tanto, como queremos saber la deformación a 1,5m del apoyo y este se encuentra a 3m del origen. 3 – 1,5 = 1,5 Necesitamos calcular f (1,5) 2

(1, 5)

(1, 5)

0, 02

450

(1, 5)

0, 005 0, 02

0, 015

f

f

m

=

−

=

−

= −

Entonces la deformación es 1,5cm

4. Ejemplo:

Si se utilizan 100 pies de alambre para cercar un patio, entonces, el área resultante se determina por medio de

A x

( ) (

=

x

50

−

x

)

, donde x pies es el ancho del patio y 50 – x pies es el largo. Determine el ancho del patio para que el área sea máxima y, también, determine cuál es el área máxima.

Solución:

Lo primero es obtener la ecuación cuadrática, por lo tanto, se multiplica el paréntesis por x quedando lo siguiente:

( )

2

50

A x

=

x

−

x

, como tenemos que obtener el ancho (x), para que el área sea máxima se debe

calcular el valor de x vértice:

50

25

2

2

1

b

a

−

₌

−

₌

⋅ −

El valor del ancho es de 25 pies, reemplazando este valor en la ecuación se obtiene el área máxima:

( )

2 2

25

50 25

25

625

A

=

⋅

−

=

pies

R: El ancho del patio tiene que ser de

25 pies

para obtener el área máxima que es de

625 pies

2

5. Ejemplo:

Una multinacional ha estimado que sus costos en dólares pueden calcularse mediante

la siguiente función 2

( )

30

12000

2000000

C x

=

x

−

x

+

, donde X representa la cantidad de unidades

producidas (vendidas).

a) ¿Qué número de unidades producidas minimizarían el costo?

b) ¿Cuál es el correspondiente costo mínimo de la multinacional?

Solución:

a) Lo primero que tenemos que hacer es identificar los coeficientes de la función cuadrática de costo siendo:

a: El coeficiente que acompaña al X2 b: El coeficiente que acompaña a la X c: El coeficiente que no depende de X

a= 30 (al ser positivo la parábola se abre hacia arriba), b= -12.000, c= 2000.000 Al remplazar estos valores en la fórmula del Vértice

−  −  _  _{ } _   ; ; , 2 2 vértice vértice b b x y f a a Se tiene que

( 12000)

12000

200

2

2 30

60

vértice

b

x

a

− −

= −

=

=

=

⋅

unidades

R: Se tienen que producir 200 unidades para obtener el costo mínimo.

b) Se reemplaza este valor en la función, quedando lo siguiente.

2

(200)

30 200

12000 200

2000000

800000

C

=

⋅

−

⋅

+

=

6. Ejemplo:

Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en dólares vienen dados por la función: I(X)= 28X2 + 36.000X, mientras que sus costos (también en dólares) pueden calcularse mediante la función: C(X)= 44X2 + 12.000X +700.000, donde X representa la cantidad de unidades vendidas.

Determine:

a) La función de Utilidad de la empresa

b) La cantidad de unidades que deben ser vendidas para que la utilidad sea máxima.

c) ¿Cuál es la utilidad máxima?

Solución: 2 2 2 2

( )

( )

( )

28

36000

(44

12000

700000)

( )

28

36000

44

12000

700000

=

−

=

+

−

+

+

=

+

−

−

−

U x

I x

C x

x

x

x

x

U x

x

x

x

x

2

( )

= −

16

+

24000

−

700000

U x

x

x

Se identifica los coeficientes de la función de Utilidad a= -16; b = 24.000; c = -700.00 Al remplazar estos valores en la fórmula del Vértice:

−  −            ; ; , 2 2 vértice vértice b b x y f a a

24000)

24000

750

2

2

16

32

vértice

b

x

a

−

−

= −

=

=

=

⋅ −

−

unidades

Se reemplaza en la función de Utilidad

U

(750)

= − ⋅

16 750

2

+

24000 750

⋅

−

700000

=

8300000

APRENDIZAJE ESPERADO

3. Resuelven problemas de la vida cotidiana y de la especialidad aplicando la función

exponencial y logarítmica como modelo.

Criterio 1.10. Identifica la función exponencial de la forma y =

a ⋅bx

, y la caracterizan a

través de sus parámetros, ceros y gráfica, cuando

0<b <1

y cuando

b >1.

1. Ejemplo:

Grafique una función exponencial con b >1 de la forma

f x

( )

=

2

x

Solución

Daremos valores a x para obtener los correspondientes valores de “y” : 2 1 0 1 1 2 2

(2)

2

4

(1)

2

2

(0)

2

1

1

( 1)

2

0, 5

2

1

( 2)

2

0, 25

2

f

f

f

f

f

− −

=

=

=

=

=

=

− =

=

=

− =

=

=

2. Ejemplo:

Grafique una función exponencial con 0< b <1 de la forma

( )

1

2

 

=  

_{ }

x

f x

Solución

Daremos valores a X para obtener los correspondientes valores de Y : 2 1 1 1 2 2 1 1 (2) ( ) 2 4 1 (1) ( ) 0, 5 2 (0) 1 1 ( 1) ( ) 2 2 2 1 ( 2) ( ) 2 4 2 − − = = = = = − = = = − = = = f f f f f

3. Ejemplo:

Determine el dominio y recorrido de cualquier función exponencial.

Solución:

El dominio son todos los valores que puede tomar x en una función, por lo tanto, en este caso, si miramos los gráficos de los ejemplos 1 y 2 nos damos cuenta que x no está limitado puede tomar cualquier valor en los reales. Por lo tanto Dom =]-∞,∞[

= 

El recorrido son todos los valores que puede tomar “y” en una función, por lo tanto, en este caso si miramos los gráficos de los ejemplos 1 y 2 nos damos cuenta que “y” jamás se intersecta con el eje x y nunca toma valores negativos. Por lo tanto Rec =]0,∞[

4. Ejemplo:

¿Cuál de los siguientes gráficos representa a la función exponencial

f x

( )

=

3

x+2?

a) b)

c) d)

Solución:

Lo primero es ver en qué valor la curva exponencial intersecta al eje y, para eso tenemos que reemplazar el valor de x=0 en la función exponencial, quedando lo siguiente:

( )

0 2 2

0

3

3

9

f

=

+

=

=

, la curva exponencial pasa por el punto (0 ,9)

Otro importante punto es saber que la función exponencial es creciente, ya que, el valor de la base es mayor que uno.

Criterio 1.11. Resuelve problemas contextualizados en el mundo cotidiano y en la

especialidad, aplicando el modelo exponencial.

1. Ejemplo

Determine la función que representa el valor de una retroexcavadora en función del tiempo en años, que tenía un valor inicial de $110.000.000 y sufre una depreciación de un 7% anual.

Solución:

100%

−

7%

=

93%

=

0,93

( )

110000000 0, 93

t

V t

=

⋅

2. Ejemplo

Según el ejemplo anterior, determine el valor de la retroexcavadora a los 8 años

Solución

Basta reemplazar t=8, es decir: :

8

( )

110000000 0, 93

t

110000000 0, 93

61553999

V t

=

⋅

=

⋅

=

El valor seria $61.553.999 a los 8 años

3. Ejemplo

Determine el valor de un departamento a 20 años, si sabe que inicialmente cuesta $45.000.000 e incrementa su valor en un 3% anual.

Solución

:

100% 3%

+

=

103%

=

1, 03

Luego la función es:

( )

=

45000000 1, 03

⋅

t

V t

A los 20 años, el valor será:

20

(20)

=

45000000 1, 03

⋅

=

81275006

V

Criterio 1.12. Identifica la función logarítmica de la forma y =

a +blogx

, y la caracteriza a

través de sus parámetros, ceros y gráfica.

1. Ejemplo:

Grafica la función

f x

( )

=

2 log

₃

x

Solución

Le damos valores a y para obtener x : Cuando y vale -1 3 3 3 0,5

1

2 log

1

log

2

0, 5

log

3

0, 58

−

− =

− =

−

=

=

=

x

x

x

x

x

De la misma manera buscamos más puntos, los graficamos e interpolamos:

X Y 0,58 -1 1 0 1,73 1 3 2 5,2 3

2. Ejemplo:

Determinar el valor de

f

( )

1

para la función

f x

( )

=

log

₂

x

Solución: Recordemos que

log

=

_a

y

b

Entonces,

=

y

a

b

Luego, 2 0

(1)

log

2

1

2

2

0

y y

y

f

y

=

=

=

=

=

(1)

=

0

f

3. Ejemplo

Determine el dominio (valor de x) y el recorrido (valor de y) de las funciones logarítmicas

Solución

Los valores de “x” son los números reales positivos, es decir, :

] [

:

,∞

dom o

Los valores de “y” son todos los números reales, es decir,

rec

:

]

−∞ ∞

,

[

Observe que ambas gráficas tienen el mismo dominio y recorrido y las funciones que representan no son iguales, pues, la primera es decreciente y la segunda es creciente.

4. Ejemplo

Grafica la función

f x

( )

=

log

₂

x

Solución:

Este logaritmo lo graficaremos utilizando la siguiente tabla. Que se puede completar con lo antes visto.

x

1/2

1/4

1/8

1/16

1

2

4

8

16

y

-1

-2

-3

-4

0

1

2

3

4

Observando el gráfico podemos apreciar algunas características como:

• Que el logaritmo de 1, en cualquier base vale cero: esto se observa, ya que, el grafico corta al eje x en el punto (1,0).

• Que para

x

≤

0

, la función no está definida (no hay valores de “y” para este intervalo de “x”).

• Que para

0

< <

x

1

los valores de la función son negativos. • Que para

x

>

1

los valores de la función son positivos. • La función es creciente para todos los valores de x. • La función no corta al eje y.

• El dominio de la función son los números reales positivos. • El recorrido de la función son los números reales.

5. Ejemplo:

Grafica la función ₁ 2

log

y

=

x

Solución:

Este logaritmo lo graficaremos utilizando la siguiente tabla. Que se puede completar con lo antes visto

.

X

1/2

1/4

1/8

1/16

1

2

4

8

16

Y

1

2

3

4

0

-1

-2

-3

-4

Observando el gráfico podemos apreciar algunas características como:

• Que el logaritmo de 1, en cualquier base vale cero: esto se observa ya que el grafico corta al eje x en el punto (1,0).

• Que para

x

≤

0

, la función no está definida (no hay valores de “y” para este intervalo de “x”).

• Que para

0

< <

x

1

los valores de la función son positivos. • Que para

x

>

1

los valores de la función son negativos. • La función es decreciente para todos los valores de x. • La función no corta al eje y.

• El dominio de la función son los números reales positivos. • El recorrido de la función son los números reales.

Criterio 1.13. Resuelve problemas contextualizados en el mundo cotidiano y en la

especialidad, aplicando el modelo exponencial y logarítmico.

1. Ejemplo:

Charles Richter propuso una escala para comparar la fuerza de los terremotos, en esta escala la magnitud R de un terremoto viene dada por la siguiente expresión R=log A/B

En esta expresión A= mayor amplitud de la onda sísmica

B= amplitud de referencia correspondiente a la magnitud R=0

La magnitud del terremoto del 27 de febrero del 2010 se ha calculado en 8,8 en la escala Richter. El terremoto del día 3 de Marzo de 1985 tuvo magnitud 7,7 en esta misma escala. ¿Cuántas veces más intenso fue el terremoto de 2010?

Solución

log( )

a

R

b

=

:

Tenemos R de ambos sismos por lo que podemos sacar relación

7,7

7, 7

log( )

( )

10

a

b

a

b

=

=

Para sismo de 1985

8,8

log( )

a

b

=

8,8

( )

a

10

b

=

Para saber cuánto más intenso fue, debemos calcular

8,8

7,7

10

12, 59

10

=

2. Ejemplo:

Suponga que el valor de un bien raíz se incrementa en un 2,5% anual. Si inicialmente el valor del bien raíz es de $35.000.000

Hallar una expresión que permita calcular el valor v del bien raíz en un tiempo t cualquiera, donde t se mide en años, luego, calcule el valor del bien raíz en 10 años.

Solución 100%+2,5%=102,5%=1,025 : 10

( )

35000000 1, 025

(10)

35000000 1, 025

44802959

=

⋅

=

⋅

=

t

v t

v

Respuesta: El valor del bien raíz a los 10 años es de $44.802.959.

3. Ejemplo:

Charles Richter propuso una escala para comparar la fuerza de los terremotos, en esta escala la magnitud R de un terremoto viene dada por la siguiente expresión R=log A/B.

En esta expresión A= mayor amplitud de la onda sísmica

B= amplitud de referencia correspondiente a la magnitud R=0

La magnitud del terremoto del 27 de febrero del 2010 se ha calculado en 8,8 en la escala Richter. El terremoto del día 21 de Mayo de 1960 tuvo magnitud 9,6 en esta misma escala. ¿Cuántas veces más intenso fue el terremoto de 1960?

log( )

a

R

b

=

Solución:

Tenemos R de ambos sismos por lo que podemos sacar relación

9,6

9, 6

log( )

( )

10

a

b

a

b

=

=

Para sismo de 1960

8,8

log( )

a

b

=

8,8

( )

a

10

b

=

Para saber cuánto más intenso fue, debemos calcular

9,6

8,8

10

6,31

10

=

4. Ejemplo:

La cantidad P en que un capital C se convierte después de t años a una tasa de interés compuesto-anual i, se determina mediante la expresión:

1

100

t

i

p

= ⋅ +

c



_



_





Se ha invertido un capital de $4.000.000 a una tasa de interés anual de un 6% hasta alcanzar un valor de $5.353.535.

¿Por cuantos años fue la inversión?

Solución:

Lo primero es anotar los datos que nos entrega el problema que son:

C= $4.000.000; i = 6% y P = $ 5.353.535 y t=?

Reemplazando en la fórmula se tiene:

6

5353535

4000000 1

100

5353535

(1, 06)

4000000

t t





=

⋅ +

_

_





=

1, 33838375

=

(1, 06)

t, para despejar el valor de t aplicamos a ambos lados el logaritmo en base 10 que se denomina log.

log1, 33838375

=

log1, 06

t, aplicando la propiedad de potencia de un logaritmo queda lo siguiente:

log1, 33838375

= ⋅

t

log1, 06

, despejando el valor de t se tiene que:

log1, 33838375

log1, 06

t

=

, utilizando la calculadora se obtiene el valor de t que es 5 años

aproximadamente.

5. Ejemplo:

El crecimiento del número de habitantes de una población viene dado por la expresión:

0 k t

P

=

P e

⋅

⋅ , donde

P

₀ es el número de habitantes de la población en un instante inicial, P es el número de habitantes de la población en un instante t y k es una constante de proporcionalidad.

El pueblo de Doñigue en el año 1990 tenía 14.298 habitantes y en el año 2000 dicha población había aumentado a 16.414. Calcular:

a) ¿Cuál es el valor de la constante k de proporcionalidad? b) ¿Cuál es la población para el año 2009?

Solución:

a) Lo primero es anotar los datos que nos entrega el problema que son:

0

14.298

P

=

habitantes,

P

=

16.414

habitantes t = 10 y k=?

Reemplazando estos valores en la ecuación se tiene que:

16.414

14.298

16.414

14.298

⋅ ⋅

=

⋅

=

k t k t

e

e

10

1,14799273

=

e

⋅k

,

para poder bajar la k que esta como exponente tenemos que aplicar logaritmo natural (ln) quedando lo siguiente:

10

ln1,14799273

ln

ln1,14799273

10 ln

ln1,14799273

10 1

⋅

=

= ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅

k

e

k

e

k

Despejando el valor de k se tiene:

ln1,14799273

0, 014

10

=

=

k

b) Reemplazando este valor en la fórmula, queda lo siguiente:

0,014

14298

⋅

=

⋅

t

P

e

, con esta fórmula podemos conocer cuál será la población para el año 2009.

Se tiene que el valor de t es 9 reemplazando en la ecuación junto con la población inicial que es 14.298 habitantes se tiene que:

0,014 9

14298

⋅

16.218

=

⋅

=

APRENDIZAJE ESPERADO

4.- Resuelven problemas contextualizados, utilizando límites de funciones polinómicas,

racionales e Irracionales y sus propiedades

Criterio 1.15. Calcula límite de funciones polinómicas en forma analítica y gráfica,

aplicando propiedades.

1. Ejemplo:

Calcular 2 3

lim

1

→−

+

x

x

2 3

lim

1

x→−

x

+

Solución:

;

En este límite la variable x tiende a -3, reemplazando este valor en el lugar de x y efectuando las operaciones se tiene lo siguiente:

2

( 3)

1

9 1 10

= −

+ = + =

,

que corresponde al valor final del límite.

2. Ejemplo:

Calcular 3 2 1

lim 3

2

7

→−

−

+ +

x

x

x

x

3 2 1

lim 3

2

7

x→−

x

−

x

+ +

x

Solución:

;

En este límite la variable x tiende a -1, reemplazando este valor en el lugar de x y efectuando las operaciones se tiene lo siguiente:

3 2

3 ( 1)

2 ( 1)

( 1)

7

3 2 1 7

1

= ⋅ −

− ⋅ −

+ − + = − − − + =

,

que corresponde al valor final del límite.

3. Ejemplo:

Calcular 2

1

lim

3

+ →∞

 

 

 

x x Solución:

Aplicando las propiedades de las potencias se tiene:

2 ₂ 2 2

1

1

1

3

3

3

+ ₊ + +

 

₌

₌

 

 

x _x x x

Luego el límite queda:

2 2

1

1

lim

lim

3

3

+ + →∞ →∞

 

₌

 

 

x x x x

Notamos que el numerador se mantiene constante, mientras que el denominador crece exponencialmente. Por lo tanto, la fracción es cada vez más pequeña.

Luego: 2

1

lim

0

3

+ →∞

 

₌

 

 

x x .

Observe que no tiene sentido reemplazar x por infinito, ya que, éste no es un valor sino un símbolo.

4.

Ejemplo:

Calcular 2 0

(1

)

1

lim

→

+

−

x

x

x

Lo primero que debemos hacer es desarrollar el cuadrado de binomio y reducir los términos semejantes quedando lo siguiente:

Solución:

2 2 2

0 0 0

(1

)

1

1 2

1

2

lim

lim

lim

→ → →

+

−

₌

+

+

−

₌

+

x x x

x

x

x

x

x

x

x

x

Reemplazando el valor de x por 0, nos queda,

2 2 0

2

0

2 0

0

lim

0

0

→

+

+ ⋅

=

=

x

x

x

x

, lo cual no está definido,

para solucionar esto tenemos que factorizar por el valor de x arriba y abajo para poder simplificar los factores iguales quedando lo siguiente:

2 0

2

lim

→

+

=

x

x

x

x

0 0

(

2)

lim

lim

2

→ →

⋅ +

₌

₊

x x

x

x

x

x

(Se puede simplificar, ya que x no es cero)

5.

Ejemplo

Determine el límite de la siguiente función cuando x tiende a infinito.

Debemos analizar que ocurre con la función cuando x va aumentando su valor, en este caso la gráfica se acerca cada vez más al 0. Por lo tanto:

Solución:

lim ( )

0

x→∞

f x

=

6. Ejemplo:

Determine el límite de la siguiente función cuando x tiende a dos.

Debemos mirar el grafico y ver qué valor le corresponde a “y” cuando “x” vale 2. Además, se debe aproximar tanto por la izquierda como por la derecha a 2, y ambos límites laterales deben coincidir para que el límite exista. Viendo el gráfico anterior vemos que se cumple, luego:

Solución:

2 2

2

lim

2

4

Criterio 1.16. Calcula límite de funciones racionales en forma analítica y gráfica,

aplicando propiedades.

1. Ejemplo:

Calcular 2 2 3

2

lim

5

2

→

−

−

+

x

x

x

x

2 2 3

2

lim

5

2

→

−

−

+

x

x

x

x

Solución:

; En este límite la variable x tiende a 3, reemplazando este valor en el lugar de x y efectuando las operaciones se tiene lo siguiente:

2 2 3

2

lim

5

2

→

−

−

+

x

x

x

x

2 2

3

2

7

7

3

5 3

2

4

4

−

=

=

= −

− ⋅ +

−

, que corresponde al valor final del límite

2. Ejemplo:

Calcular 2 3

9

lim

3

→

−

−

x

x

x

2 3

9

lim

3

→

−

−

x

x

x

Solución:

, lo primero es reemplazar el valor de x por 3 quedando lo siguiente:

2 2 3

9 3

9

0

lim

;

3

3 3

0

→

−

−

₌

−

−

x

x

x

, lo cual no está definido, para solucionar esto tenemos que factorizar el

numerador para poder simplificar los factores iguales quedando lo siguiente.

2

3 3 3

9

(

3) (

3)

lim

lim

lim

3

3

3

→ → →

−

− ⋅ +

=

=

+

−

−

x x x

x

x

x

x

x

x

Reemplazando el valor de x por 3 se tiene que el valor del límite es 6.

3. Ejemplo:

Calcular 2 2 2

6

lim

3

2

→

+ −

−

+

x

x

x

x

x

Solución: 2 2 2

6

lim

3

2

→

+ −

−

+

x

x

x

x

x

, lo primero es reemplazar el valor de x por 2 quedando lo siguiente.

2 2 2 2 2

6

2

2 6

6 6

0

lim

;

3

2 2

3 2

2

6 6

0

→

+ −

+ −

₌

−

₌

−

+

− ⋅ +

−

x

x

x

x

x

, lo cual no está definido, para solucionar esto tenemos

que factorizar el numerador y el denominador para poder simplificar los factores iguales quedando lo siguiente: