ECONOMIA
MINERA
ARNALDO ALEJANDRO RUIZ CASTRO
UNIVERSIDAD NACIONAL DE ANCASH
“SANTIAGO ANTUNEZ DE MAYOLO”
FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS, GEOLOGIA Y METALURGIA
AGRADECIMIENTO
En primer lugar vaya mi profundo agradecimiento a Dios por ser el artífice de mi existencia.
Agradecer a las autoridades de la UNASAM, en la persona del Sr. Rector Dr. Fernando Castillo Picón, Sr. Vicerrector Académico Mag. Roosevelt Villalobos Diaz, Sr. Vicerrector Académico Cesar Narro Cachay y al Sr. Decano de la Facultad de Ingeniería de Minas, Geología y Metalurgia Mag. Porfirio Baldomero Poma Rique, por permitirme realizar la siguiente publicación. Así mismo, vaya mi agradecimiento al Ing. Luís Torres Yupanqui, por su continua contribución para la ejecución de la presente publicación.
Un cariñoso agradecimiento a mi esposa Rosa Enith, y a mis hijos, Rosa Milagros, Martín Gregorio, Yessenia, Carla Virginia, Rainer; quienes en forma silenciosa mostrando su comprensión, permitían el desarrollo del presente tratado técnico -económico.
PRESENTACION
Uno de los retos cotidianos que afrontamos todos los profesionales es la adecuada toma de decisiones en los diferentes campos en los cuales nos desarrollamos, para afrontar los mismos se hace necesario contar con las herramientas adecuadas que propicien los logros técnico-económicos óptimos de la solución de problemas.
En el presente tratado denominado simplemente Economía Minera, se realiza el enfoque de algunas de las tantas herramientas económicas, que nos permitirán tomar las decisiones convenientes sobre aspectos técnicos, utilizando algunas de las herramientas con las cuales se cuenta, como es el caso por ejemplo de la selección de equipos de limpieza, que dada la gran cantidad y variedad de equipos, será necesario aplicar la matemática financiera para lograr la mejor elección final, que permita una mayor rentabilidad de esta operación unitaria minera.
Dada mi experiencia como profesional en el campo netamente de la actividad minera a lo largo de diez años, en proyectos mineros como son el caso de Mina Aguila, Proyecto de Expansión Cobriza, Proyecto Aurífero Arirahua y proyectos de la pequeña minería y minería artesanal, así como más de veinte años en la actividad docente, han permitido que desarrolle un apropiado enfoque sobre las herramientas económicas que posibilitarán tomar decisiones apropiadas y a su debido tiempo, en el campo de la minería; como es el caso de la matemática financiera; el análisis marginal para una determinación estática-periódica de la capacidad operativa de la mina; la ley mínima explotable, como un indicador dinámico-periódico del minado. Finalmente se predisponen la variedad de consideraciones para la realización de la valuación o valorización de las propiedades mineras en sus diferentes etapas; es decir, ya sea como un proyecto inicial, o dentro de la etapa de operación.
Es bien cierto, que en este primer enfoque, se están visualizando los principales algoritmos para tomar decisiones, muchos de los cuales se encuentran sistematizados en programas computarizados, que permiten una rápida determinación de los mismos, pero también es necesario que se continúen con los análisis de los mismos, para una adecuación inmediata y a su debido tiempo. Por lo cual, tengo la esperanza que se de continuidad a la presente publicación, con otros tratados similares.
Arnaldo Ruiz Castro
PROLOGO
En los momentos actuales en que la cantidad de textos en la materia de Economía en forma general casi llega a ser exuberante, sin embargo la publicación de esta obra en “Economía Minera” acreditada por varias razones, como la influencia en la ciencia y tecnología de esta materia en el mundo económico, y aparece en un momento en que la economía minera adquiere una notable relevancia sin precedentes, específicamente cuando la minería en el mundo y particularmente en nuestra región atraviesa sus apogeos más importante. Además acrecienta el mérito del autor, el formidable esfuerzo realizado para escribirla, como fruto de su experiencia académica y profesional desarrollada en la Facultad de Ingeniería de Minas Geología y Metalurgia de la UNASAM, que desde años viene compartiendo la docencia de la asignatura de “Economía Minera” , y la necesidad imprescindible de una constante actualización en los temas involucrados, aportando de esa manera un texto que sea de mucha utilidad tanto para estudiantes, profesionales dedicados a la industria minera.
En la FIMGM- UNASAM, este es el primer libro que se publica en “Economía Minera”, personalmente para mí es un honor que el Ing. Arnaldo Ruiz Castro autor del presente tratado, me haya solicitado que prologue esta obra. Además, quiero hacer recomendar y hacer extensiva la necesidad ser leída en forma obligatoria por nuestros alumnos de ingeniería, de manera que puedan afianzar y especializarse en este fascinante mundo de la economía minera, adquiriendo y introduciendo en ella los conocimientos y herramientas necesarias para entenderlas, comprenderlas y hacer mucho más fácil su aplicación.
El autor ha explicado en forma sencilla, sucinta, claramente estructurados, y desarrolla con detalles los conceptos necesarios, y resuelve las interrogantes más frecuentes, desde las definiciones básicas, las matemáticas financieras, el complejo trabajo de clasificarlas, finalmente complementan con amplios ejemplos prácticos que consolidan el saber de la Economía Minera, presentarlo en forma didáctica los diferentes métodos de análisis y con el mérito singular, de recoger conceptos que talvez todavía no se haya incluido en otros tratados similares.
Finalmente quiero subrayar, que nuestro país y en el mundo entero, se vive actualmente el auge de la minería, particularmente debido al alza de los precios de los metales, y muy excepcionalmente en nuestro medio, la Regiòn Ancash, donde se ubican las operaciones de dos grandes empresas, lideres en la minería mundial, la Cìa Minera Antamina SA y la Cìa Barrica Misquichica SA, por lo que nos obligan acentuar los conocimientos cada vez más crecientes en la economía minera. Por una de estas razones es que justamente llega a nuestras manos una obra con lo que acertadamente ha afianzado y consolidado el Ing. Arnaldo Ruiz Castro..
M. Sc. Ing. Porfirio B. Poma Rique Decano de la FIMGM- UNASAM
INDICE
AGRADECIMIENTO ii PRESENTACION iii PROLOGO iv INDICE vCAPITULO I
CONCEPTOS BASICOS
1.1. Definición de Economía 7 1.1.1. Análisis Macroeconómico 7 1.1.2. Análisis Macroeconómico 8 1.2. La Industria Minera y su clasificación. 9 1.3. Análisis Económico de la Actividad Minera. 10 1.4. La aplicación de la economía a la actividad minera. 12 1.5. Toma de Decisiones: 12 1.6. “Ingeniería Económica” y “Evaluación Económica”. 13 1.7. Análisis general de inversiones: 13 1.8. Uso Industrial de los minerales: 14CAPITULO II
MATEMATICA FINANCIERA
2.1. Definición. 16
2.2. Relaciones de las Matemáticas Financieras con otras Disciplinas: 16 2.2.1. Contabilidad: 16 2.2.2. Derecho 16 2.2.3. Economía 17 2.2.4. Ciencia Política 17 2.2.5. Ingeniería 17 2.2.6. Informática 17 2.2.7. Finanzas 17 2.2.8. Sociología 17 2.3. Interés económico y financiero.
18
2.3.1. Regímenes de Intereses. 18 2.3.2. Tipos de Tasa de Interés. 21 2.3.3. Determinación de la Tasa de Interés Nominal. 24 2.4. Formulas de Interés Compuesto en Toma de Decisiones. 25 2.4.1. Factor de Pago Simple – Cantidad compuesta. 27 2.4.2. Factor de Pago Simple – Cantidad Presente. 28 2.4.3. Factor de Series Uniformes - Cantidad Compuesta. 28 2.4.4. Factor de Depósito de Fondo de Amortización. 29 2.4.5. Factor de Series Uniformes – Valor Presente 30 2.4.6. Factor de Recuperación del Capital. 31 2.5. Aplicación General de la Matemática Financiera en Toma de Decisiones. 32 2.5.1. Primera Etapa.- Identificación de Variables: 32 2.5.2. Segunda Etapa.- Elaboración del Diagrama o Flujo Económico: 32 2.6. Series de Gradientes. 37 2.6.1. Series de gradientes aritméticas. 37
2.6.2. Series geométricas. 38 2.7. Efectos económicos de proyectos frente al radio de retorno (ROR).
40
2.8. Aplicación de la Matemática Financiera a la Minería. 42
2.8.1. En proyectos de inversión minero metalúrgicos. 42 2.8.2. En la toma de decisiones de proyectos mutuamente excluyentes: 44 2.8.3. En la selección económica de equipos y maquinarias
de mina y planta. 46 2.8.4. En la toma de decisiones que consideran diferentes horizontes
de vida útil. 47
CAPITULO III
VARIABLES ECONOMICAS ESTÁTICAS Y DINAMICAS EN LA MINERIA
3.1. Concepto y clasificación de costos en la actividad minera. 50
3.2. Método del análisis marginal. 53
3.2.1. Fundamentos.- 53 3.2.2. Interrelación de las Variables
Fundamentales.-53
3.2.3. Análisis de la Producción Económica.-54
3.2.4. Análisis del Factor Marginal.-55
3.2.5. Rentabilidad Máxima. 56
3.3. Ley mínima explotable. 57 3.3.1.
Fundamentos.-57
Determinación de la ley mínima explotable. 58 3.4. Aplicaciones a la minería 60
CAPITULO IV
DEPRECIACION, AGOTAMIENTO, AMORTIZACIÓN Y FLUJO DE CAJA
4.1. Flujo Corporativo en la actividad minera. 73 4.2. Definición y métodos de depreciación. 75
4.2.1. Métodos de depreciación.- 75 4.3. Definición y métodos de agotamiento. 77 Métodos de agotamiento.- 78 4.4. Definición y métodos de amortización. 80
4.4.1. Métodos de amortización 81 4.5. Flujo de caja. 87 4.5.1.Clasificación de flujo de caja. 87 4.6. Aplicaciones a la minería 90
CAPITULO V
VALUACION DE PROPIEDADES MINERAS
5.1. Conceptos básicos para la valorización de propiedades mineras. 92 5.2. Metodologías genéricas aplicadas a la valorización de empresas. 92
5.2.1. Métodos basados en el balance 92 5.2.2. Métodos basados en el descuento de flujo de fondos 95 5.3. Valorización de propiedades mineras en proyecto. 98 5.4. Valorización de propiedades mineras en operación. 98 5.5. Aplicaciones a la minería. 99 BIBLIOGRAFIA. 100
CAPITULO I
CONCEPTOS BASICOS
1.1. Definición deEconomía.-Resulta complicado obtener una definición exacta de la economía, por cuanto presenta una serie de efectos sobre el que hacer del ser humano, para considerar su presencia indiscutible sobre la actividad humana, presentamos algunos enfoques de la economía. Según la Real Academia Española, la economía deriva del latín oeconomía y este a su vez del griego ο κονομ α, y presenta las siguientes definiciones:ἰ ί
a) Administración eficaz y razonable de los bienes.
b) Conjunto de bienes y actividades que integran la riqueza de una colectividad o un individuo.
c) Ciencia que estudia los métodos más eficaces para satisfacer las necesidades humanas materiales, mediante el empleo de bienes escasos.
d) Contención o adecuada distribución de recursos materiales o expresivos. e) Ahorro de trabajo, tiempo o de otros bienes o servicios.
f) Ahorros mantenidos en reserva.
g) Reducción de gastos anunciados o previstos.
La mayoría de autores bajo consideraciones generales, establecen una definición que concuerda con lo establecido por Francisco Mochón Morcillo, que lo define como: “Aspectos de toda actividad humana que en el intento de satisfacer las necesidades materiales, implica la necesidad de elegir”.
El análisis económico se establece bajo dos enfoques: el microeconómico y el macroeconómico.
1.1.1. Análisis
Macroeconómico.-a. Definición.- La macroeconomía es la rama de la economía que estudia el
funcionamiento de ésta en su conjunto. Es decir, estudia la economía global de un país, si bien para proceder a dicho estudio lo que hace es fijarse en el funcionamiento individual de una serie de mercados y en las interrelaciones que se producen entre ellos.
b. Tipos de Mercado.- Dentro del contexto internacional, se presentan los siguientes
tipos de mercados: Mercado de bienes y servicios: donde se compran y venden todo tipo de bienes (alimentos, electrodomésticos, ordenadores, ladrillos, etc.) y de servicios (servicios profesionales de abogados, médicos, espectáculos, competiciones deportivas, peluquería, etc.). Mercado de dinero: donde confluye la demanda de dinero (interés de familias, empresas, organismos públicos, etc. de disponer de dinero) y la oferta de dinero (cantidad de dinero que el Banco Central del país mantiene en circulación). Mercado de trabajo: donde confluye la oferta de trabajo (deseo de los habitantes del país de trabajar) y la demanda de trabajo (interés de las empresas de contratar trabajadores).
c. Indicadores Macroeconómicos.- Entre los indicadores de mayor relevancia
tenemos:
El PBI (Producto Bruto Interno): El PBI se puede medir desde dos enfoques diferentes, obteniendo en ambos casos el mismo resultado: Como flujo de gastos (o de productos finales): es decir, cuál ha sido el destino de los distintos bienes y servicios producidos durante el ejercicio, y Como flujo de rentas: cómo se distribuyen las rentas que se han generado durante la producción de esos bienes y servicios.
El PNB (Producto Nacional Bruto): mide lo producido por los nacionales de un país, ya residan en el mismo, ya residan en el extranjero.
El PIN (Producto Interior Neto): es igual que el PBI, pero deduciendo la pérdida de valor (el desgaste) que haya experimentado el equipo productivo (infraestructuras, maquinaria, instalaciones, etc.) durante el ejercicio.
1.1.2. Análisis
Microeconómico.-a. Definición.- La Microeconomía estudia la conducta de las unidades (empresas,
hogares o consumidores, y otros agentes económicos) que integran la economía. Según el Dr. Antonio García Sánchez, “la microeconomía es el conjunto de teorías cuyo objetivo consiste en explicar el proceso mediante el cual los recursos escasos se asignan a usos alternativos”.
b. Teorías Microeconómicos.- La microeconomía, establece sus criterios
fundamentados en las siguientes teorías:
Teoría de la Conducta del Consumidor y de la Demanda: Esta teoría,
según Ferguson, establece que “El esfuerzo más o menos consciente, para alcanzar la satisfacción máxima con un ingreso limitado, determina la demanda individual de bienes y servicios”.
Teoría de la Producción y el Costo: Toda acción que se realiza con la
finalidad de generar bienes y servicios, se establece mediante procesos productivos, que de hecho hacen necesario la participación de recursos humanos y recursos físicos (maquinarías y/o equipos, y materiales e insumos). Tanto los recursos humanos y recursos físicos a través destiempo condicionan su transformación económica a costos.
Teoría de la Empresa y la Organización del Mercado: Los bienes y
servicios generados por acciones empresariales, son procesados en los mercados reales y/o virtuales, donde dadas las consideraciones de una competencia perfecta a través de las ofertas y demandas, se determinan los precios de los bienes y servicios; así mismo, bajo consideraciones de competencias restringidas (monopolio y/o oligopolio), también se condicionan los precios de los bienes y servicios. Un caso, específico de mercados monopólicos y oligopólicos lo establece la actividad minera, donde el precio de los metales se genera a través de la bolsa de valores donde tienen ingerencia sólo algunas empresas.
Teoría de la Distribución: Dadas las consideraciones de la oferta y la
demanda de un mercado bajo consideraciones de competencia perfecta o imperfecta, se determina la cantidad de los bienes y servicios que serán distribuidos a los mercados, para su respectivo proceso de comercialización.
La Teoría del Equilibrio General y el Bienestar Económico: Los
consideraciones establecidas en los procesos operativos de una empresa de bienes o 9
prestación de servicios, condicionan efectos de producción y productividad, estableciendo la productividad como la medida de la producción frente a los recursos utilizados, esto conlleva a establecer la optimización de resultados que permitan obtener un equilibrio adecuado del uso de recursos, es decir una minimización de costos permitiendo una maximización de utilidades generadas por la empresa.
1.2. La Industria Minera y su clasificación.
El Perú ostenta un gran potencial minero, los mismos que se encuentran ubicados en la costa, sierra y selva, por lo cual su clasificación, se diversifica del modo siguiente: Por el Tipo de Minerales que se Explotan:
Yacimientos metálicos. Yacimientos no metálicos. Yacimientos carboníferos Yacimientos de hidrocarburos. Por el Grado de Tecnificación:
Minería artesanal.
Minería tecnificación continúa. Minería altamente tecnificada. Por el Tipo de Procesamiento:
Industria minera con productos iniciales. Industria minera con productos intermedios. Industria minera con productos terminados. Por el Sistema de Explotación:
Minado subterráneo. Minado Superficial.
Por la Cuantificación del Proceso Minero:
Minería artesanal. Pequeña minería Mediana minería. Gran minería
En lo referente a la quinta clasificación, los detalles de cuantificación técnica y económica, se detallan en el Cuadro Nº 1 - 001.
CUADRO Nº 1 – 001
CLASIFICACION DE LA MINERIA EN EL PERU
E S T R A T O
T A M A Ñ O D E L A C O N C E S IÓ N (H as.)
C A P A C ID A D P R O D U C T IV A (T M D )
V E N T A S A N U A L E S (U S $)
M inería A rtesanal
H asta 1,000
H asta 25
P equeña M inería
H asta 2,000
H asta 350
M ediana M inería
M ás de 2,000
H asta 5,000
> 30'000,000 < 100'000,000
G ran M inería
M ás de 2,000
M ás de 5,000
> 100'000,000
C aso: M ateriales de construcción, arenas grav as auriferas de placer, m etales pesados detríticos.
M inería artesanal: H asta 200 m
3
/día
P equeña M inería: H asta 3,000 m
3
/día
F u en te: M IN E M
< 30'000,000
1.3. Análisis Económico de la Actividad Minera.
Dentro del desarrollo de la actividad minera, así como dentro de otras actividades empresariales, se predisponen dos aspectos de fundamentación económicos, por un lado tenemos los ingresos económicos generados por la comercialización de los productos accesibles a los mercados de compra y venta de los minerales, y por otro lado, los gastos generados por el proceso minero – metalúrgico, que se pueden diversificar en costos operativos y costos productivos.
El análisis de ingresos, es propio de cada producto que es puesto al mercado para su comercialización, en el presente caso lo sustentaremos a la comercialización de productos minero metálicos, para lo cual se recurren a dos aspectos fundamentales: el aspecto técnico que consiste en elaborar adecuada y cuidadosamente el Balance Metalúrgico del mineral procesado, obtenido este del beneficiado de los minerales, por cualquiera de los métodos utilizados (separación gravimetrica, flotación, hidrometalurgia, etc.), además de la consideración de la presencia cualitativa y cuantitativa de los elementos metálicos penalizables, y el aspecto de valorización económica de los productos obtenidos, sustentados bajo estándares establecidos y corroborados por los contratos bipartitos contraídos entre el productor y el comprador.
En lo referente a los egresos económicos, se predisponen los costos de operación, que bajo los lineamientos establecidos en la presente publicación corresponden a los generados por las operaciones de minado, ya sean operaciones unitarias y operaciones auxiliares; las operaciones metalúrgicas extractivas y/o las de fundición y refinación, y las actividades de transporte. Por otro lado se consigan los costos productivos, que son aquellos que involucran todos los rubros para un desarrollo empresarial sostenido, incluyendo los costos operacionales.
En el Gráfico Nº 1 - 002, se observa los flujos físicos y monetarios establecidos por el proceso general del desarrollo de la actividad minera.
En este gráfico, establecemos que el punto de partida de la actividad minera, son las reservas de mineral generadas a través de los trabajos de exploración realizados, posteriormente iniciada la actividad de explotación, mediante el minado superficial o subterráneo del yacimiento, establecemos el proceso de producción minero metalúrgico, hasta obtener un mineral intermedio (concentrado) o terminado (metal), que sea accesible al mercado consumidor, produciéndose el proceso de comercialización del producto obtenido, en este punto lo que se comercializa tiene características de un flujo físico, obteniéndose después de la comercialización un flujo monetario por las ventas
del producto. En el proceso de distribución del ingreso, se canalizan cuatro rubros de distribución: los costos operativos, el capital financiero, esto es el monto que retorna a la actividad minera para su continuidad, que también podría establecerse como capital de trabajo, los pagos de impuestos y las utilidades establecidas por las empresas. El proceso financiero, nos permite tener un monto económico que mantenga la operatividad del proceso minero metalúrgico, teniendo además cuidado de tener una cierta reserva de dinero por las posibles eventualidades que pueden estar presente durante la operación de la mina; bajo las circunstancias de una falta de liquidez, se recurrirá a un financiamiento externo, que posteriormente debe ser cubierto con los ingresos generados por la empresa. El capital de operación e inversiones nos permite acceder al mercado abastecedor donde se realizan las acciones de compra de maquinarías, equipos, materiales e insumos necesarios para las operaciones minero metalúrgicas. Este circuito cerrado se mantiene durante la vida útil del yacimiento.
GRAFICO Nº 1 – 002
FLUJO FISICO – ECONOMICO DE LA ACTIVIDAD MINERA
UTILIDAD
LEYENDA:
Flujo Físico
Flujo Monetario
PROCESO DE
ABASTECI-MIENTO
MERCADO
ABASTECE-DOR
PROCESO DE
PRODUCCION
RESERVAS Y
STOCK DE
PRODUCTOS EN
PROCESO
PROCESO
FINANCIERO
MERCADO
FINANCIERO
STOCK DE
CAPITAL
STOCK DE
MATERIALES
EQUIPOS E
INSUMOS
MERCADO
CONSUMIDOR
PROCESO DE
COMERCIA-LIZACION
STOCK DE
PRODUCTOS
VENDIBLES
MERCADO
TRIBUTARIO
PROCESO DE
DISTRIBUCION
DEL INGRESO
COSTOS
OPERATIVOS
CAPITAL FINANCIERO
CAPITAL DE
OPERACIÓN
E INVERSION
MAQUINARIAS,
EQUIPOS,
MATERIALES E
INSUMOS PARA EL
PROCESO MINERO
METALURGICO
INGRESO
ECONOMICO
POR VENTAS
1.4. La aplicación de la economía a la actividad minera.
Como se puede deducir de los párrafos antes descritos, la microeconomía es la parte de la economía que nos permitirá adecuar parámetros, para realizar adecuadas tomas de decisiones dentro del desarrollo de la actividad minera en sus diferentes clasificaciones, de este modo estaremos maximizando la rentabilidad de la empresa, mediante la
minimización de costos y por ente la optimización de los recursos humanos y físicos utilizados en los procesos minero metalúrgicos. Las consideraciones de la microeconomía, se hacen aplicativos en las diferentes etapas de los proyectos mineros; esto es que, en el anteproyecto minero, se debe enfocar un uso racional de la inversión que permita el descubrimiento del yacimiento mediante exploraciones sistemáticas sucesivas, hasta obtener las reservas de mineral que rentabilicen el proyecto en sí. Durante el proyecto minero, considerando la etapa de la infraestructura e implementación, es decir la etapa pre – operativa, será necesario utilizar adecuadamente las inversiones que permitan la puesta en marcha del proceso minero y/o metalúrgico. Finalmente el la etapa operativa del proyecto se debe sustentar la optimización técnico – económica del proceso.
1.5. Toma de Decisiones:
Peter Drucker, en sus textos de administración gerencial, ha establecido que la toma de decisiones tiene cinco fases que son las siguientes:
Definir el problema. Analizar el problema.
Desarrollo de soluciones alternas. Decidir sobre la mejor solución.
Convertir la decisión en una acción eficaz.
Estas fases de la toma de decisión se aplican a la toma de decisiones de evaluación económica, así como a la toma de decisiones empresariales en general. Definir problemas de evaluación económicos claramente, es tan importante en el análisis económico como cualquier otra situación que requiera una decisión. En cualquier situación que requiere toma de decisiones es necesario hacer las preguntas convenientes antes de que uno pueda esperar conseguir las respuestas que son necesarias. El análisis del problema o de las preguntas es el paso siguiente en el procedimiento de toma de decisiones, para el análisis económico así como decisiones empresariales en general. Esto conduce a la tercera fase de la toma de decisiones, respecto a si las aproximaciones alternativas o las inversiones no pudieran ser mejores. El análisis de estas inversiones alternativas entonces nos deja en una posición para decidir sobre la mejor opción económica y para tomar la decisión de poner la mejor opción en ejecución.
Estas consideraciones de toma de decisiones, se puede efectivizar haciendo uso de la “Ingeniería Económica” y la “Evaluación Económica”, las consideraciones al respecto lo analizamos en el siguiente párrafo.
1.6. “Ingeniería Económica” y “Evaluación Económica”.
La ingeniería y la tecnológica científica, de un modo u otro proporcionan la base para las mejores oportunidades de inversión en mundo actual. Incluso la posibilidad económica de inversiones en terrenos se relaciona a menudo con la tecnología de la
ingeniería que puede hacer la tierra más valiosos varios años después, con departamentos, un parque o la utilización de una planta industrial. En una sociedad capitalista es imprescindible que las propuestas de ingeniería tanto como otros tipos de propuestas de inversión sean evaluadas en términos de valor monetario y costos antes que ellos sean emprendidos. Incluso en actividades públicas, los beneficios deben ser mayores que los costos antes que los gastos sean normalmente aprobados. Así, el término “ingeniería económico” que se utiliza ampliamente en la literatura y los textos se aplican en general a la “evaluación económico” de todos los tipos de situaciones de inversión. Los términos “evaluación económica” e “ingeniería economía” son considerados para tener el mismo significado en este tratado. Una persona no necesita ser un ingeniero para ser proficiente en la aplicación de los principios de la ingeniería económica (o evaluación económica) para evaluar alternativas de inversión. El prerrequisito de las empresas exitosas de ingeniería es la factibilidad económica. Este prerrequisito aplicado a las situaciones de inversión de ingeniería y de no-ingeniería, tanto como los términos “evaluación económica” o “ingeniería económica” tienen el significado e importancia válidos, no sólo para los ingenieros, sino también para los banqueros, los contadores, los administradores de negocios y otro personal en una amplia variedad de descripciones de trabajo donde ellos están involucrados en la evaluación económica de las alternativas de la inversión.
1.7. Análisis general de inversiones:
La actividad minera en sus diferentes etapas de proyecto, establece tres criterios generales de inversión, los cuales deben ser adecuadamente analizados y sustentados, para realizar una adecuada toma de decisiones.
Para toda consideración empresarial, deben considerarse los siguientes análisis de inversión:
Análisis Económico. Análisis Financiero. Análisis Intangible.
El análisis económico implica la evaluación de los méritos relativos de situaciones de inversión desde un punto de vista de la utilidad y del costo (o económicos). El análisis
financiero establece de donde se obtendrán los fondos de inversión para las inversiones
propuestas. Algunas métodos alternativos de financiar inversiones incluyen el uso de fondos personales o corporativos, solicitando prestamos bancarios, teniendo un ofrecimiento de deuda financiado corporativo de enlaces o de obligaciones, o ir al público con un nuevo ofrecimiento de la acción ordinaria. El análisis intangible implica la consideración de factores que afectan las inversiones pero que no puede ser cuantificado fácilmente en términos económicos. Los factores intangibles típicos son consideraciones legales, opinión o voluntad pública, factores ecológicos y ambientales, condiciones inciertas de la ley reguladora o de impuesto, y muchas otras.
Muchas veces una alternativa que parece ser económicamente la mejor puede ser rechazada por razones financieras o intangibles. Por ejemplo, los proyectos atractivos pueden ser rechazados por razones financieras, si los fondos internos no están disponibles para financiarlos y los financiamientos externos no pueden ser obtenidos con radios de interés atractivos. Los factores intangibles que pueden causar el rechazo
de proyectos económicamente atractivos son innumerables, pero los más altos en la lista de importancia son la opinión pública potencial y los problemas legales de la posible contaminación del aire, de la tierra o del agua. La importancia del análisis de los factores financieros e intangibles en relación con los factores económicos nunca debe ser subestimando en la toma de decisión de la gerencia de inversiones. Ellos a menudo son tan importantes o más importantes que las consideraciones económicas.
Hay una tendencia en la literatura y la práctica de intercambiar el uso de los términos “análisis económico” y “análisis financiero”. Esto conduce a menudo a la confusión y al uso incorrecto de los métodos de la decisión de la inversión. Es importante reconocer eso, según lo utilizado en este tratado, el “análisis económico” se relaciona con lo beneficioso de un proyecto propuesto y el “análisis financiero” se relaciona con cómo el proyecto será financiado. En esta publicación nos referiremos sobre todo, al desarrollo y la ilustración de las técnicas económicas del análisis.
1.8. Uso Industrial de los minerales:
En el Cuadro Nº 1 - 003, se presenta en forma muy sintetizada la utilización de los minerales en forma genérica, los mismos que están en relación con las demandas efectivizadas por los sectores que los utilizan.
CUADRO Nº 1 – 003
USO INDUSTRIAL DE LOS MINERALES
PRODUCTOS MINEROS SECTOR DE USO
Fierro y metales ferrosos (manganeso, molibdeno, vanadio, wolframio, telurio, etc.)
Aluminio, cobre, zinc.
Plomo, antimonio, cadmio, tungsteno, indio.
Productos industriales.
Bienes de inversión, maquinarias, equipos, y en la construcción.
Bienes de consumo durables. Estaño
Plata Bismuto Selenio
Industrias en general o sectores no productores de bienes y servicios.
Roca fosfórica. Arsénico. Sector agrario. Oro Plata Sector Financiero
Los fines de uso de los minerales permiten realizar la siguiente clasificación: a) Metálicos:
De utilidad general: fierro, cobre, plomo, níquel y mercurio. 16
Metales ligeros, imprescindibles en la era espacial: aluminio, magnesio, titanio., etc.
Metales preciosos: oro, plata, platino, etc.
Metales ferrosos de uso industrial: cromo, manganeso, molibdeno, tungsteno, vanadio, berilio, etc.
b) No metálicos:
Azufre y pirita: fuentes de ácido sulfúrico.
Nitratos, fosfatos y potasa: para fertilizantes y otros usos.
Fluospar, dolomita, magnesita, criolita: en procesos metalúrgicos. Cal, tiza: diversos usos.
Caolín, arcilla: diversos usos
Asbesto, mica, grafito y otros: usos especiales. c) Combustibles:
Carbón de piedra: dependiendo de la calidad tiene diversidad de usos. Petróleo.
Gas natural.
CAPITULO II
MATEMATICA FINANCIERA
2.1. Definición.
Es una rama de la matemática aplicada que estudia el valor cronológico del dinero, es decir el valor que toma el dinero con respecto al tiempo, al combinar elementos fundamentales que lo condicionan como son: capital, tasa de interés y el tiempo, para conseguir un rendimiento o interés económico, al brindarle herramientas y métodos que permitan tomar la decisión más correcta al momento de realizar una inversión.
2.2. Relaciones de las Matemáticas Financieras con otras Disciplinas:
Según Tovar Jiménez, José y Carlos Ortiz, Mairena, establecen que es fundamental una adecuada toma de decisiones en muchas disciplinas del que hacer humano, para este fin se recurre a las matemáticas aplicadas, que permitirá lograr resultados adecuados y coherentes para el logro de los fines que se persiguen. A continuación detallamos algunas de las disciplinas fundamentales donde interviene la matemática financiera. 2.2.1. Contabilidad: Es el proceso mediante el cual se identifica, mide, registra y
comunica la información económica de una organización o empresa, con el fin de que las personas interesadas puedan evaluar la situación de la entidad.
Relación: Suministra en momentos precisos o determinados, información
razonada, en base a registros técnicos, de las operaciones realizadas por un ente privado o publico, que permitirá tomar la decisión mas acertada al momento de realizar inversiones.
2.2.2. Derecho: Es el conjunto de leyes, preceptos y reglas, a los que están sometidos los hombres que viven en toda sociedad civil. El derecho posee diferentes ramas por lo que se relaciona de diversas maneras con las matemáticas financieras. Derecho Mercantil: es el conjunto de leyes relativas al comercio y a las
transacciones realizadas en los negocios.
Relación: En sus leyes se encuentran artículos que regulan las ventas, los
instrumentos financieros, transportes terrestres y marítimos, seguros, corretaje, garantías y embarque de mercancías; que representan instrumentos esenciales en las finanzas.
Derecho Civil: es el conjunto de normas e instituciones destinadas a laprotección y defensa de la persona y de los fines que son propios de ésta.
Relación: Regula la propiedad de los bienes, la forma en que se pueden
adquirir, los contratos de compra y venta, disposiciones sobre hipotecas, prestamos a interés; que representa el campo de estudio de las matemáticas financieras, es decir, todas las transacciones económicas que estudia esta disciplinas.
2.2.3. Economía: Es una ciencia social que estudia los procesos de producción, distribución, comercialización y consumo de bienes y servicios; es decir, estudia la riqueza para satisfacer necesidades humanas.
Relación: esta disciplina brinda la posibilidad de determinar los mercados en
los cuales, un negocio o empresa, podría obtener mayores beneficios económicos.
2.2.4. Ciencia Política: es una disciplina que predispone el estudio sistemático del gobierno en su sentido más amplio. Abarca el origen de los regímenes políticos, sus estructuras, funciones e instituciones, las formas en que los gobiernos identifican y resuelven problemas socioeconómicos y las interacciones entre grupos e individuos importantes en el establecimiento, mantenimiento y cambio de los gobiernos.
Relación: Las ciencias políticas estudian y resuelven problemas económicos
que tengan que ver con la sociedad, donde existen empresas e instituciones en manos de los gobiernos. Las matemáticas financieras auxilian a esta disciplina en la toma de decisiones en cuento a inversiones, presupuestos, ajustes económicos y negociaciones que beneficien a toda la población.
2.2.5. Ingeniería: Es él termino que se aplica a la profesión en la que el conocimiento de las matemáticas y la física; alcanzado con estudio, experiencia y practica, se aplica a la utilización eficaz de los materiales y las fuerzas de la naturaleza.
Relación: Esta disciplina controla costos de producción en el proceso fabril, en
el cual influye de una manera directa la determinación del costo y depreciación de los equipos industriales de producción.
2.2.6. Informática: Es el campo de la ingeniería y de la física aplicada, relativo al diseño y aplicación de dispositivos, por lo general circuitos electrónicos, cuyo funcionamiento depende del flujo de electrones para la generación, transmisión, recepción y almacenamiento de información.
Relación: Esta disciplina ayuda a ahorrar tiempo y a optimizar procedimientos
manuales que estén relacionados con movimientos económicos, inversiones y negociaciones.
2.2.7. Finanzas: Es el termino aplicado a la compra-venta de instrumentos legales cuyos propietarios tienen ciertos derechos para percibir, en el futuro, una determinada cantidad monetaria.
Relación: Esta disciplina trabaja con activos financieros o títulos valores e
incluyen bonos, acciones y prestamos otorgados por instituciones financieras, que forman parte de los elementos fundamentales de las matemáticas financieras.
2.2.8. Sociología: Es la ciencia que estudia el desarrollo, la estructura y la función de la sociedad. Esta analiza las formas en que las estructuras sociales, las instituciones y los problemas de índole social influyen en la sociedad.
Relación: La sociedad posee empresas que necesitan el buen manejo o una
buena administración de los recursos tanto humano como material. La matemática financiera trabaja con inversiones y le proporciona a la sociología las herramientas necesarias para que esas empresas produzcan más y mejores beneficios económicos que permitan una mejor calidad de vida de la sociedad.
2.3. Interés económico y financiero.
Según el glosario de términos de definición.org, se define la tasa de interés o sólo interés como: “Es la valoración del costo que implica la posesión de dinero producto de un crédito. Rédito que causa una operación, en cierto plazo, y que se expresa porcentualmente respecto al capital que lo produce. Es el precio en porcentaje que se paga por el uso de fondos prestables”.
Desde una interpretación semántica el término interés queda establecido según R. Nicolau Casellas, como: “El vocablo “interés” proviene del latín “inter esse” que significa “estar entre”. Tratamos de explicar la idea: si tenemos un capital inicial de 100 unidades monetarias (um) y al cabo de un tiempo dado tenemos 120 um, lo que esta en medio entre ambas cifras, es la diferencia (20 um) y corresponde precisamente a los intereses”.
Desde un punto de vista técnico, el interés es el costo del dinero y su cálculo, se fundamenta en:
a) El capital inicial prestado o ahorrado, que financieramente se denomina valor presente (P).
b) El periodo o fracción de tiempo (t). c) La tasa de interés, que es un porcentaje (i)
El costo del dinero puede establecerse por día, por semana, por mes, etc., siendo lo más usual que el dinero se preste a una tasa de interés anual.
2.3.1. Regímenes de Intereses.
Bajo las consideraciones de efectivización entre los entes naturales o jurídicos que lo aplican, los intereses se establecen bajo dos regímenes: interés simple e interés compuesto.
a) Interés Simple.
En la modalidad de interés simple, el interés de cada periodo es calculado siempre en función del capital o monto inicial:
De acuerdo a lo establecido el interés simple se puede formular del modo siguiente:
Interés Simple (I) = Capital Inicial (P) x Tasa de Interés (i) x Tiempo (t)
El monto final, o financieramente denominado valor futuro (F), se calcula mediante la siguiente fórmula:
Ejemplo Nº 2 – 001:
Se pide un préstamo bancario de US $ 1,000.00, con una tasa de interés de 60 % nominal anual, esto es 15 % trimestral. Calcular el interés simple que debe generarse durante un año y los montos finales que se generarían trimestralmente.
El interés generado durante un año es de:
I = P x i x t = 1,000.00 x 0.60 x 1 = US $ 600.00
El monto final o valor futuro será de:
F = P (1 + it) = 1,000.00 (1 + 0.60 x 1) = US $ 1,600.00
Los montos trimestrales generados son:
TABLA Nº 2 – 004
MONTOS TRIMESTRALES CON INTERES SIMPLE
TRIMESTRE
MONTO INICIAL
INTERES
MONTO FINAL
1
1,000.00
150.00
1,150.00
2
1,150.00
150.00
1,300.00
3
1,300.00
150.00
1,450.00
4
1,450.00
150.00
1,600.00
Como podemos apreciar en el cuadro expuesto, los intereses generados trimestralmente son siempre los mismos.
b) Interés Compuesto.
En la actualidad, el uso del interés simple se ha restringido a algunas operaciones comerciales, siendo el interés compuesto el de mayor utilización para actividades económicas y financieras. El proceso de capitalización denominado interés compuesto, establece el criterio del pago sobre el capital inicial y sobre el interés establecido. Por lo general se calcula el interés compuesto sobre una tasa anual, la cual puede ser capitalizada en forma continua, diaria, mensual, bimestral, trimestral o semestral.
Por lo establecido, el monto final o futuro de una capital invertido, ahorrado o prestado, se calcula utilizando la siguiente fórmula matemática:
F = P + I = P (1 +it)
F = P (1 + i)n
Donde:
F = Monto Final o Valor Futuro P = Monto inicial o Valor Presente i = Tasa de interes.
n = Número de períodos.
Ejemplo Nº 2 – 002:
Se pide un préstamo bancario de US $ 1,000.00, con una tasa de interés compuesto anual de 60 % nominal, esto es 15 % trimestral. Calcular el monto final que debe generarse durante un año y los montos finales que se generarían trimestralmente.
Aplicando la fórmula general tendremos el siguiente resultado: F = P (1 + i)n = 1,000.00 (1 + 0.60)1
F = US $ 1,600.00
Bajo las consideraciones de la aplicación de un interés compuesto de 60/4 = 15 % trimestral, los resultados que se obtienen se muestran el la Tabla N° 2 – 005:
TABLA Nº 2 – 005
MONTOS TRIMESTRALES CON INTERES COMPUESTO
TRIMESTRE
MONTO INICIAL
INTERES
MONTO FINAL
1
1,000.00
150.00
1,150.00
2
1,150.00
172.50
1,322.50
3
1,322.50
198.38
1,520.88
4
1,520.88
228.13
1,749.01
En el Gráfico N° 2 – 006, observamos la diferencia que se predispone entre un monto final generado por la aplicación de un interés simple y un interés compuesto, bajo las consideraciones de un mismo monto inicial y una misma tasa de aplicación, lo cual estaría produciendo que para periodos de tiempo mayores existiría un incremento del interés compuesto que se obtiene.
GRAFICO Nº 2 – 006
COMPARACION DE MONTOS FINALES GENERADO POR UN INTERÉS SIMPLE Y UN INTERES COMPUESTO
2.3.2. Tipos de Tasa de Interés.
En el mercado financiero existe una gran variedad de tipo de intereses, que además dependen de los efectos de su aplicación. En el presente tratado, nos referimos a los tipos de tasa de interés de acuerdo a su aplicación en el mercado financiero en concordancia con las entidades que solicitan los préstamos (prestatarios).
a) Tasa de Interés Nominal (in).
Es la tasa de interés básica que se nombra o declara en una operación financiera. Por lo general el valor correspondiente a esta tasa lo determina el Banco Centra de cada país, para transacciones bancarias y comerciales; pero también, se puede establecer por contrata de los prestamistas y prestatarios. Esta tasa de interés por lo general se establece para un periodo anual y es propio de cada unidad monetaria. Por ejemplo en el país el Banco de la Nacional establece un promedio de 6 % anual para una cuenta de ahorros, mientras que esta misma entidad establece un 18 % anual para préstamos.
b) Tasa de Interés Periódica (ip).
Esta tasa se determina para diferentes fracciones de tiempo, generalmente periodos menores a un año, el cual es directamente proporcional al tiempo establecido. Por
INTERES SIMPLE VS INTERES COMPUESTO
1,000.00
1,100.00
1,200.00
1,300.00
1,400.00
1,500.00
1,600.00
1,700.00
1,800.00
1
2
3
4
PERIODO DE TIEMPO
M
O
N
T
O
(
U
S
$
)
Serie1
INTERES SIMPLE
INTERES COMPUESTO
ejemplo, si la tasa de interés nominal anual es de 60 % su tasa de Interés periódica mensual, será de: 60/12 = 5 %.
Por lo tanto podemos establecer que:
100 x m i i n p = Donde:
ip = Tasa de interés periódica, correspondiente al periodo del año.
in = Tasa de interés nominal anual dividida entre 100.
m = Número de periodos al año.
c) Tasa de Interés Efectiva (ief).
Es la tasa que utilizan las entidades bancarias y financieras, para la concretización de pago de intereses, impuestos, comisiones y cualquier tipo de gastos que la operación implique. Esta tasa de interés es la variación que sufre el interés periódico por la aplicación de un interés compuesto a los periodos de tiempo que se establecen durante un año, de aquí que su fórmula matemática, sea la siguiente:
100 ] 1 ) 1 [( x m i i n m ef = + − Donde:
Ief = Tasa de interés efectiva anual
in = Tasa de interés nominal anual dividida entre 100.
m = Número de veces al año que se acumulan intereses al capital (capitalización).
Ejemplo 2 – 003:
Determinar la tasa de Interés efectiva anual, de una tasa de interés nominal del 60 %, capitalizable mensualmente.
Ief = [(1 + in/m)m – 1) x 100] = [(1 + 0.60/12)12 – 1) x 100]
Ief = 79.59 %
d) Tasa de Interés Continua (ic).
Este tipo de tasa de interés se genera cuando, el número de periodos, m, por año, es bastante grande. Por lo establecido deducimos que el radio de interés periódico, in/m,
será muy pequeño.
Aplicando geometría analítica de límites podemos deducir: ic = limite [(1 + in/m)m – 1] m ∞ ic = limite [{(1 + in/m)m/in}in – 1] m ∞ ic = limite [em/inln(1+in/m)]in – 1 m ∞ ic = ein - 1 Ejemplo 2 – 004:
¿Qué tasa de interés efectiva es equivalente a las siguientes consideraciones? 1. Una tasa de interés nominal de 8 % compuesto trimestralmente. ief = [(1 + 0.08/4)4 –1] x 100 = 8.243 %
2. Una tasa de interés nominal de 8 % compuesto diariamente. ief = [(1 + 0.08/365)365 –1] x 100 = 8.328 %
3. Una tasa de Interés nominal de 8 % compuesto continuo.
ic = (e0.08 – 1) x 100 = 8.329 % e) Tasa de Interés Real (ir).
Una de las variables que influye sobre el poder adquisitivo del dinero con respecto al tiempo, es la inflación, la Tasa de Interés Real establece esta variable (inflación) para corregir los efectos causados sobre una tasa de interés efectiva, ya que esta última es la que más se aplica en las transacciones financieras; la influencia de la inflación queda determinada en la siguiente fórmula que determina la tasa de interés real:
Donde:
Ir = Tasa de Interés Real anual.
ief = Tasa de Interés efectiva anual dividida entre 100.
ϕ = Tasa de Inflación anual dividida entre 100.
Ir = [(ief - ϕ )/(1 + ϕ )] x 100
La inflación puede condicionarse de dos maneras:
Ex – post.- Es decir después de haberse producido el efecto inflacionario, el cual es utilizado para encontrar el costo real de una operación financiera, una vez efectuada la misma.
Ex – ante.- Antes de que suceda el efecto inflacionario, como efecto para tomar decisiones, por lo cual la inflación será una variable estimada, con la consiguiente incertidumbre de su cumplimiento.
Ejemplo Nº 2 – 005:
Calcular la tasa de interés real, producida una inflación de 2.35 % en el año 2006, bajo las consideraciones de una moneda nacional, considerando una tasa efectiva anual de 79.59 %:
Ir = [(ief - ϕ )/(1 + ϕ )] x 100 = [(0.7959 – 0.0235)/(1 + 0.0235)] x 100
Ir = 75.47 %
2.3.3. Determinación de la Tasa de Interés Nominal.
Como se manifestó anteriormente la tasa de interés nominal queda fijada anualmente por el Banco de Crédito de cada país, al cual denominaremos tasa de interés bancario, el cual sirve como base para determinar las tasas que podrían aplicarse a cada tiempo de empresa económica o financiera, lográndose así establecer la denominada tasa mínima atractiva de retorno y la tasa interna de retorno, esta última bajo consideraciones económicas es la máxima tasa de interés que podría lograrse por efectos económicos financieros.
De un modo gráfico sencillo esto podría apreciarse del modo siguiente:
GRAFICO Nº 2 – 007 TASAS DE INTERES
R
IE
S
G
O
TASAS DE INTERES
TASA MINIMA ATRACTIVA DE RETORNO (TMAR)
TASA INTERNA DE RETORNO (TIR)
R
IE
S
G
O
TASA DE INTERES BANCARIA O BASICA (TIB)
TASA MINIMA ATRACTIVA DE RETORNO (TMAR)
Del grafico inferimos que una TIB, produciría el mínimo interés que estará generándose por la inversión de un capital determinado, tomándose como inversión en este caso un ahorro establecido, si asumimos que en moneda extranjera (dólar), ahorramos US $ 100.00 y la tasa de interés bancario es de 2 % anual, el interés generado anual sería de US $ 2.00, que representaría la ganancia de una persona natural o jurídica.
Pero, bajo las circunstancias que esta misma persona natural o jurídica, desease invertir en una actividad empresarial se debe establecer una TMAR, que por las consideraciones de inversión están sujetas a riesgos de inversión, que inclusive podrían llegar a la pérdida del capital invertido. Los riesgos de una actividad empresarial tienen características de internas y externas; en el caso de consideraciones internas están los riesgos técnicos y económicos; en cuanto a los externos se encuentran los efectos de políticas económicas y sociales. Por ejemplo en el caso de la minería un riesgo técnico será la determinación de las reservas de mineral y en el caso de política económica encontramos la variación del precio de los metales en el mercado internacional, y como política social, encontramos por ejemplo el cambio de un mandato presidencial.
La cuantificación de los riesgos es típica de la actividad empresarial la cual se establece, por ejemplo en el caso de la minería el valor del riesgo estaría variando entre 50 % a 100 %. Esto estaría generando una TMAR entre 27 % a un 36 % anual.
2.4. Formulas de Interés Compuesto en Toma de Decisiones.
La toma de decisiones sobre acciones técnicas, económicas o financieras, conllevan al éxito o fracaso de una actividad empresarial, siendo la elección económica y/o financiera la de mayor preponderancia para determinar la(s) mejor(es) alternativa(s). El flujo económico y/o financiero de una actividad empresarial sobre diferentes periodos de tiempo; considerando el flujo como un efecto monetario de ingresos, egresos o combinación de ambos; para una aplicación específica; esta relacionada a seis (06) fórmulas básicas de interés compuesto, que a su vez se sustentan únicamente a cinco (05) variables, que en el presente tratado se detallarán con la siguiente nomenclaturas:
P = Valor Presente, referido a un valor de ingresos o costos monetarios. F = Valor futuro, referido a un valor de ingresos o costos monetarios.
A = Valor anual, de una serie de “n” valores anuales iguales, realizados al final de cada periodo de interés, denominado también valor anual equivalente.
i = Tasa de interés efectiva por periodo (utilizaremos esta nomenclatura por consideraciones de simplificación, ya que la nomenclatura del interés efectivos es ief).
n = Número de periodos de interés.
Gráficamente, estas variables pueden ser visualizadas del modo siguiente: 27
GRAFICO Nº 2 – 008
VALOR CRONOLOGICO DEL DINERO
Cada problema de interés esta compuesto de cuatro (04) de estas variables, tres (03) de las cuales son valores dados y el cuarto debe ser determinado.
Para facilitar la solución de problemas complejos, se recomienda utilizar la notación denominada estándar, que describe de un modo particular las consideraciones de configuración de las variables que intervienen en un problema específico. Por ejemplo: La notación estándar (F/P,i,n), significa que la variable incógnita (es decir que debe ser hallada) es F (valor futuro); conocidos: P (valor presente), i (tasa de interés efectiva) y n (periodo anual de tiempo). La notación estándar (A/F,i,n); significaría, determinar “A”, dados “F”, “i” y “n”.
Los seis (06) factores derivados para la solución de problemas de interés compuesto, son las siguientes:
2.4.1. Factor de Pago Simple – Cantidad compuesta.
Mediante este factor se calcula el valor futuro simple, teniendo como dato el valor presente simple.
Un análisis de la generación del interés y del monto final en los diferentes periodos de tiempo, nos conduce a los siguientes resultados:
Primer Periodo: Capital inicial P Interés Pi Capital Final P (1 + i) Segundo Periodo: Capital Inicial P (1 + i) Interés [P (1 + i)]i Capital Final P(1 + i)2.
A
A
A
A
A
0
1
2
3
n-2
n-1
n
P
F
VALORES ANUALES EQUIVALENTES
VALOR PRESENTE
VALOR FUTURO
PERIODOS ANUALES DE TIEMPO
Tercer Periodo:
Capital Inicial P(1 + i)2.
Interés [P(1 + i)2]i
Capital Final P(1 + i)3.
Por analogía establecemos que en el periodo final (n), tendremos: Capital Inicial P(1 + i)n-1.
Interés [P(1 + i)n-1]i
Capital Final P(1 + i)n.
Este último valor así determinado viene a representar al valor futuro, por lo tanto en forma genérica tendremos:
n
i P
F = (1+ )
El factor (1 + i)n, es el denominado Factor de Pago Simple – Cantidad Compuesta, cuya denominación estándar es:
(1 + i)n = (F/P, i, n)
Ejemplo Nº 2 – 006:
Calcular el monto final, después de 7 años, de una inversión inicial de US $ 1,250.00 al 8 % efectivo compuesto anualmente.
F = 1,250.00 (1 + 0.08)7
F = US $ 2,142.28
2.4.2. Factor de Pago Simple – Cantidad Presente.
Mediante este factor se realiza la transformación de un valor futuro a un valor presente, utilizando la siguiente fórmula:
] ) 1 ( 1 [ n i F P + = 29
El factor 1/(1 + i)n, es el denominado Factor de Pago Simple – Cantidad Compuesta, el mismo que tiene la siguiente denominación estándar:
[1/(1 + i)n] = (P/F, i, n)
Ejemplo Nº 2 – 007:
Si se necesita un monto final US $ 6,500.00 al final del año 5, que cantidad debe invertirse en la actualidad, con una tasa de interés efectiva de 7.5 % compuesto anual.
P = 6,500.00 [1/(1 + 0.075)5]
P = US $ 4,527.63.
2.4.3. Factor de Series Uniformes - Cantidad Compuesta.
Este factor nos permite calcular el valor futuro, de una series de valores anuales equivalente.
Analíticamente podemos establecer lo siguiente: Para: n = 1 F = A
n = 2 F = A (1 + i) + A
n = 3 F = A (1 + i) (1 + i) + A (1 + i) + A F = A (1 + i)2 + A (1 +i) + A
De donde podemos establecer que para un periodo de tiempo “n”, tendremos la siguiente relación:
F = A (1 + i)n-1 + A (1 + i)n-2 + ………….. + A (1 + i) + A
F = A [(1 + i)n-1 + (1 + i)n-2 + ………….. + (1 + i) + 1]
Si multiplicamos esta última ecuación por (1 + i), obtendremos:
F (1 + i) = A [(1 + i)n + (1 + i)n-1 + ………….. + (1 + i)2 + (1 + i)]
Sustrayendo estas dos últimas ecuaciones, tendremos: Fi = A [(1 + i)n – 1] ] 1 ) 1 ( [ i i A F n − + =
La relación [(1 + i)n – 1]/i, se denomina Factor de Series Uniformes - Cantidad
Compuesta, y tiene la siguiente notación estándar: [(1 + i)n – 1]/i = (F/A, i, n).
Ejemplo Nº 2 – 008.
Si se realizaron inversiones anuales de US $ 725.00, durante 12 años consecutivos, con un interés efectivo compuesto anual de 9 %, determinar la cantidad total generada al final de este periodo.
F = [725.00 (1 + 0.09)12 – 1]/0.09
F = US $ 14,602.02
2.4.4. Factor de Depósito de Fondo de Amortización.
Este factor nos permitirá determinar el valor anual equivalente de un valor futuro establecido; la interrelación entre estas dos variables es la siguiente:
] 1 ) 1 ( [ − + = n i i F A
El factor i/[(1 + i)n – 1], es el denominado Factor de Depósito de Fondo de
Amortización, cuya notación estándar es: i/[(1 + i)n – 1] = (A/F, i, n) Ejemplo Nº 2 – 009:
Si se considera una tasa de interés efectiva anual de 6 %, que cantidad debe depositarse al final de cada año para redituar US $ 2,825.00 al final del año 7.
A = 2,825.00 x 0.06/ [(1 + 0.06)7 – 1]
A = US $ 336.56.
2.4.5. Factor de Series Uniformes – Valor Presente
Mediante este factor se realiza la transformación de valores anuales equivalentes a un valor presente, el mismo que puede ser deducido del modo siguiente:
Si: F = A [(1 + i)n – 1]/i y F = P (1 + i)n. Luego: P (1 + i)n = A [(1 + i)n – 1]/i n n i x i i A P ) 1 ( 1 ) 1 ( + − + =
El valor [(1 + i)n – 1]/[i x (1 + i)n], es el denominado Factor de Series Uniformes –
Valor Presente, y cuya denominación estándar es la siguiente: [(1 + i)n – 1]/[i x (1 + i)n] = (P/A, i, n)
Ejemplo Nº 2 – 010:
Una inversión producirá US $ 610.00, al final de cada año durante 15 años. Si la tasa de interés efectiva compuesta anual es de 10 %. ¿Cuál es el valor presente de esta inversión?.
P = 610.00 [(1 + 0.10)15 – 1]/[0.10 x (1 + 0.10)15]
P = US $ 4,639.71
2.4.6. Factor de Recuperación del Capital.
Mediante este factor se calcula el valor de las anualidades equivalentes, de un valor presente, para lo cual se utiliza la siguiente fórmula de matemática financiera:
1 ) 1 ( ) 1 ( − + + = n n i i x i P A
Donde [i(1 + i)n]/[(1 + i)n – 1], es el denominado Factor de Recuperación del
Capital, cuya formulación estándar es el siguiente: [i(1 + i)n]/[(1 + i)n – 1] = (A/P, i, n) Ejemplo Nº 2 – 011:
Se ofertan US $ 3,500.00 para una inversión; determinar cuanto se conseguirá al final de cada año en un periodo de 6 años para la justificación de esta inversión a una tasa de interés efectiva anual de 12 %.
A = 3,500.00 {[0.12(1 + 0.12)6]/[(1 + 0.12)6 – 1]}
A = US $ 851.29
En el Cuadro Nº 2 – 009, presentamos en forma resumida las fórmulas de los factores antes descritos:
CUADRO Nº 2 – 009
FORMULAS DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS
2.5. Aplicación General de la Matemática Financiera en Toma de Decisiones.
La aplicación de las fórmulas antes descritas, tienen la finalidad de tomar decisiones técnico – financieras, ya que establecido el aspecto técnico de características generales o específicas, se aplica el enfoque económico, permitiendo de este modo realizar la selección de consideraciones análogas o mutuamente excluyentes.
Para la solución integral de problemas de matemáticas financieras, se debe recurrir a dos etapas, lo cual permitirá el planteamiento y la solución adecuada del problema, las etapas son las siguientes:
2.5.1. Primera Etapa.- Identificación de Variables:
Los problemas de matemáticas financieras, como quedó establecido, se base en cinco (05) variables: Valor Presente, Valor Futuro, Valor Anual Equivalente, Tasa de Interés y Periodo de duración. En esta primera etapa, se identifican las variables que condicionan valores dados y se establece la variable que se desea determinar.
2.5.2. Segunda Etapa.- Elaboración del Diagrama o Flujo Económico:
En problemas generales y específicamente en aquellos de difícil interpretación, es útil visualizar el problema a través de un flujograma económico, a criterio del proyectista,
NOMBRE, FORMULA: ESPECIFICA/ESTANDAR
1. Factor de Pago Simple - Cantidad compuesta
P = Dado
F=P(F/P,i,n)
(1 + i)
n
= F/P, i, n
0
n
2. Factor de Pago Simple - Cantidad Presente
P=F(P/F,i,n)
F = Dado
1/(1 + i)
n
= P/F, i, n
0
n
3. Factor de Series Uniformes-Cantidad Compuesta
A = Dado
F=A(F/A,i,n)
[(1 + i)
n
- 1]/i = F/A, i, n
0
1
n
4. Factor de Depósito de Fondos de Amortización
A = F(A/F,i,n)
F = Dado
i/[(1 + i)
n
- 1] = A/F, i, n
0
1
n
5. Factor de Series Uniformes - Valor Presente
P=A(P/A,i,n)
A = Dado
A
[(1 + i)
n
- 1]/i(1 + i)
n
= P/A, i, n
0
1
n
6. Factor de Recuperación del Capital
P=Dado
A = P(A/P,i,n)
A
i(1 + i)
n
/[(1 + i)
n
- 1] = A/P, i, n
REPRESENTACION GRAFICA
donde se interrelaciona el Efecto Económico frente al Periodo de Tiempo establecido. Tal como se muestra en el Grafico Nº 2 - 010:
GRAFICO Nº 2 – 010
INTERRELACION EFECTO ECONOMICO VS. TIEMPO
P A A A A A F
0 1 2 3 n-1 n TIEMPO Donde:
P = Valor Presente. F = Valor Futuro
A = Valor Anual Equivalente 0, 1, 2, n-1, n = Período de tiempo
En el caso descrito de representación, los valores anuales equivalentes, así como el valor presente y el valor futuro, se establecen como valores económicos positivos, la representación de valores negativos estarían precedido por el signo menos (-).
Algunos autores prefieren hacer una representación de valores económicos mediante flechas, los valores positivos tendrán las flechas hacia arriba, mientras que los negativos lo harán con flechas hacia abajo, tal como se aprecia en el Gráfico Nº 2 – 011
GRAFICO Nº 2 – 011
REPRESENTACION SAGITAL DE UN FLUJO ECONOMICO
P F
A A A A
0 1 2 3 n-1 n TIEMPO
Para dar solución a problemas de matemáticas financieras, es necesario establecer criterios de solución adecuados, ya que un mismo problema puede resolverse de varias formas, pero al final del proceso deben arribarse a resultado similares.
Ejemplo 2 – 012:
Una inversión minera establece el siguiente criterio económico, para la oportunidad de canalización de un determinado capital; el monto invertido genera US $ 1,000.00 durante los tres (03) primeros años y US $ 600.00 para los dos (02) años siguientes. Si al final del periodo de inversión no se tienen un valor de rescate y la tasa de interés para este tipo de inversiones es de 12 % efectivo anual. Establecer el monto que debe tenerse para ejecutar dicho proyecto.
Solución:
Como se puede apreciar, la aplicación directa de una de las fórmulas antes indicadas no estaría solucionando el problema en mención, por lo cual es necesario recurrir a un análisis de solución, en este caso el problema en discusión puede ser resuelto de tres modos diferentes.
El planteamiento general del problema utilizando las etapas antes mencionadas, es el siguiente:
Primera Etapa:
El análisis del problema, nos conduce a determinar que las variables con valores conocidos son: Valor anual, Tasa de interés anual efectiva y el periodo de tiempo. Mientras que el valor que se desea conocer es el valor presente, el mismo que debe ser calculado de los valores anuales, que en este caso tienen datos numéricos que no son equivalentes.
Segunda Etapa:
El flujograma económico se puede simular del modo siguiente: P =?
A1 A2 A3 A4 A5
0 1 2 3 4 5 Tiempo (años) Donde:
P = Valor presente, incógnita del problema 35
