LEYES DE EXPONENTES
LEYES DE EXPONENTES
ÁLGEBRA
ÁLGEBRA
I.
I. NOT
NOTA
ACIÓ
CIÓN
N UTI
UTILIZ
LIZAD
ADA
A
A.A. Para Para potencia:potencia:
n n aa = potencia = potencia exponente exponente base base B.
B. Para Para radicaradicación:ción:
= raíz = raíz índice índice radicando radicando n naa
II.
II. DEF
DEFINIC
INICION
IONES
ES
1. 1. a a R R a 1a 100 2. 2. a a R R a aa a11 3. 3. a a R R n n N N / n 2/ n 2 n n a
a a a a a aa..."." nn " " factfactoresores
4. 4. a a R R 0
0 n n R R 1 1 n n 1 1 aa aa 5 5 aam m n n R R / / 33a a mmnn R R m m mm n n n n a a aaIII.
III. TEOR
TEOREMA
EMAS
S
1. 1. a a a m m n a n aam m nn 2. 2. m m m m nn n n aa a a ;; a a 00 aa 3. 3.
a a m m nn aamnmn 4. 4.
a a b b
nn a ba bn n nn 5. 5. n n nn n n a a aa ;b ;b 00 b b bb 6. 6. mm n n a a mnmnaa 7. 7. n n a a b b a n n a bnnb 8. 8. n n n n n n a a aa ;b ;b 00 b b bb IV
IV.
. PROPIEDADES
PROPIEDADES
1. 1. mm a a nn b b pp cc mnpmnp an b an b p p cc x x x x x x aa 2. 2. m m m m n n 11 n n nn n n nn n n 11 "m"radicales "m"radicales x x xx... . x x aa 3. 3. nnx x xx... nn . n n 11xx 4. 4. nnx x x nnx ... . n n 11xx
DESARROLLO
LEYES DE EXPONETES
LEYES DE EXPONETES
Exigimos más! Exigimos más!
V
V.
. ECUA
ECUACIÓN
CIÓN EXPONENCIA
EXPONENCIAL
L
A.A. DiversDiversos os ejemplosejemplos::
xx x x 11 4 4 x x x x xx xx 22 2 2 44;;3 3 4 4 5 5 ; ; 3 3 8181 B. B. TTeorema:eorema:
x x yyssii ::a a a a x x yy;; a a 11
C. Propiedad: C. Propiedad:
x x yyssii ::a a a a x x 0 0;;aa,,b b 11
Problema 1 Problema 1 Reducir: Reducir: 1 1 1 1 11 2 2 3 3 22 E E 4 4 27 27 3636 Resolución: Resolución: 1 1 1 1 11 3 3 2 2 22 E E 4 4 27 27 3636 1 1 1 1 33 11 E E 44 227 7 3636 1 1 1 1 11 E E 2 2 3 3 6 6 1 1 1 1 1 1 3 3 2 2 1 1 66 E E 2 2 3 3 6 6 6 6 66 E E 11 Problema 2 Problema 2 Simplificar: Simplificar: 3 3 3 3 33 X.
X. X. X. X..X....990fa0factctoorreses x.
x. x. x. x...x...44facto44factoreress
Siendo x >1 Siendo x >1
Resolución: Resolución:
Sea "k" la expresión
Sea "k" la expresión simplificada, luegosimplificada, luego
90 90 3 3 44 44 xx k k xx 30 30 1515 11 11 22 22 x x xx k k xx xx 4 4 k k xx Problema 3 Problema 3 Determine x en: Determine x en: x x 1 1 x x 11 3 34 4 88 Resolución: Resolución:
2 2
x x 1 1
33 x x 11 3 3 2 2 22 2 2x x 2 2 33x x 33 3 32 2 22 2 2x x 2 2 33x x 33 3 3 22 2 2 22 problemas
problemas
resueltosresueltosV
V.
. ECUA
ECUACIÓN
CIÓN EXPONENCIA
EXPONENCIAL
L
A A.. ssii :: x x a x x a aa x x aa11 B. B. ssii : : x xxx bbb b x x b11b C. C. ssii :: x x c c x x y y ccyy x x yy Por teorema: Por teorema: 2 2x 2 x 2 33x x 33 3 3 22 4 4x x 4 4 9 9x x 99 5 5x x 1133 13 13 xx 5 5 Problema 4 Problema 4
Determine un valor de x en: Determine un valor de x en:
3 3 33 xx x x 44 Resolución: Resolución:
3 3 33 33 33 xx x x 44
x x 33
xx33 44
x x 3 3
xx33 2222 Por comparación: Por comparación: 3 3 x x 22 3 3 x x 22 EL POLINOMIO
EL POLINOMIO
ÁLGEBRA
ÁLGEBRA
I.
I. DE
DEFI
FINI
NICI
CIÓN
ÓN
Es la expresión algebraica que se caracteriza por
Es la expresión algebraica que se caracteriza por
presentar a todas sus variables en el mumerador,
presentar a todas sus variables en el mumerador,
estando cada una de estas afectada solo por
estando cada una de estas afectada solo por
exponentes natural.
exponentes natural.
Son ejemplos de polinomios: Son ejemplos de polinomios:
33PP xx
22xx
77xx 44
44 22 22Q
Q xx;; yy
55xx
33x y
x y 55xxyy
77
22R
R xx
xx
33xx
44
Obsevación: Obsevación:Todo númerador real es un polinomio en forma muy
Todo númerador real es un polinomio en forma muy
especial el cero, al cual llamaremos polinomio
especial el cero, al cual llamaremos polinomio
identicametne nulo.
identicametne nulo.
II.
II. GR
GRAD
ADO
O
A. Gra
A. Grado absoluto do absoluto (GA)(GA) B.
B. Grado Grado relrelativo ativo (GR(GR))
**
22 77PP xx;;yy
55x y
x y
G
GR x
R x
22;;G
GR y
R y
77;;G
GAA 22 77 99
**
33 22 22Q x
Q x;; yy
22xx
55xx yy
44yy
G
GR x
R x
33;;G
GR
R yy
22;;G
GAA 22 22 44
Obsevación: Obsevación:Todo número real diferente de cero tiene grado cero
Todo número real diferente de cero tiene grado cero
el
el cero
cero carece de
carece de grado.
grado.
III.
III. POLINOMIOS
POLINOMIOS ESPECIAL
ESPECIALES
ES
A.
A. Polinomio Polinomio homogéneo:homogéneo:
**
P x
P x;; yy
xx
44 33xxyy
3355x y
x y
22 22B.
B. PoliPolinomnomio oio ordenrdenado:ado:
**
PP xx
xx
22 55xx
110044xx
1177**
Q
Q xx
xx
5522xx
33 xx 11
C.
C. PoliPoliniminimio co complompletoeto::
**
PP xx
2 x x
2 x x
22*
*
Q
Q xx
55xx xx
33xx
221100
Obsevación:Obsevación:
En todo polinomio completo respecto a
En todo polinomio completo respecto a la variable x se
la variable x se
cumple que:
cumple que:
N° de términos = GR(x) +1
N° de términos = GR(x) +1
IV
IV.
. EUCLIDEANO
EUCLIDEANO
A
A..
Forma general
Forma general
00 nn 11 nn 11 22 nn 22 nnPP xx
aa xx
aa xx
aa xx
... a
. a
Donde: Donde:
x = variable o
x = variable o ideterminada
ideterminada
00 11 22 nn
aa , a
, a , a
, a , .
, ... aa ssoon c
n cooeeffiicciieenntteess
nn 00
aa xx = término dominante, aquí
= término dominante, aquí
aa
00 00 yy nn
00
aa = coeficiente principal
= coeficiente principal
nn
aa
= término independiente de x
= término independiente de x
Obsevación: Obsevación:
Un polinomio se dice literal si su
Un polinomio se dice literal si su grado mayor o igual
grado mayor o igual
que la unidad, de no ocurrir esto el polinomio es
que la unidad, de no ocurrir esto el polinomio es
constante.
constante.
B.
B. Propiedades Propiedades del del polinomipolinomio lo literal iteral P(x)P(x)
** P(1
P(1) = su
) = suma de c
ma de coe
oefifici
cien
ente
tess
** P(0
P(0) = té
) = térm
rmino
inos in
s indep
depend
endien
ientes d
tes de x
e x
DESARROLLO
EL POLINOMIO
EL POLINOMIO
Exigimos más! Exigimos más!
problemas
problemas
resueltosresueltosII
III.
I. POLINOMI
POLINOMIOS
OS MÓNICO:
MÓNICO:
Es un plinomio literal que se encuentra en función de
Es un plinomio literal que se encuentra en función de
una sola variable, todos sus coeficientes son enteras y
una sola variable, todos sus coeficientes son enteras y
el princiapl es uno.
el princiapl es uno.
Son polinomios mónicos: Son polinomios mónicos:
55 22 22PP xx
xx
22xx
x 1
x 100
Q
Q xx
xx
77xx 44
Problema 1 Problema 1¿Cuántos polinomios de la forma
¿Cuántos polinomios de la forma
nn 77 nn 1100 nnPP xx;; yy
xx
nnxx yy yy
existen?
existen?
Resolución:Resolución:
Según la
Según la defini
definición
ción
nn 77 ,,nn
1100 nn
deben ser números naturales, luego:
deben ser números naturales, luego:
77 nn 1100
nn 77 00 1100 nn 00
nn 77 nn 1100
Como n
Como n
tenemos:
tenemos:
n = 7; 8; 9 y 10
n = 7; 8; 9 y 10
existen cuatro p
existen cuatro p olinomios
olinomios
Problema 2 Problema 2Si
Si
PP 22xx 77
66xx 11
. Determinar el
. Determinar el
polinomio P(7x + 2)
polinomio P(7x + 2)
Resolución: Resolución:Según el polinomio dato.
Según el polinomio dato.
PP 22xx 77
66xx 11
De acuerdo con en ca
De acuerdo con en ca mbio de variable
mbio de variable
22xx 77 uu
22xx uu 77
uu 77
xx
22
uu 77
PP uu
66
11
22
PP uu
33 u 7
u 7
11
P u
P u
33uu 2222
Finalmente el polinomio buscado es:
Finalmente el polinomio buscado es:
PP 77xx 22
33 77xx 22
2222
P 7
P 7xx 22
2211xx 66 2222
P 7
P 7xx 22
2211xx 2288
Problem Problema a 33Calcular mn si el polinomio:
Calcular mn si el polinomio:
mm 22 33 nn 11PP xx,, yy
xx
55xxyy
m
mnnyy
es homogéneo.
es homogéneo.
Resolución: Resolución:Por
Por condición el
condición el polinomio dado
polinomio dado es
es
homogéno., luego se cumple:
homogéno., luego se cumple:
m 2 4 n 1
m 2 4 n 1
m 6 n 3
m 6 n 3
m
mnn 1188
Problema 4 Problema 4Dado el siguiente polinomio mónico
Dado el siguiente polinomio mónico
lineal:
lineal:
22
PP xx
a 2 xx
a 2
a b 1
a b 1 x 2
x 2a b
a b
Determine su término independiente.
Determine su término independiente.
Resolución: Resolución:
Por ser un polinimio lineal se cumple
Por ser un polinimio lineal se cumple
que:
que:
aa 22 00
aa 22
ahora tenemos:
ahora tenemos:
PP xx
3 b
3 b x 4 b
x 4 b
Por se un polinomio mónico se cumple
Por se un polinomio mónico se cumple
que:
que:
33 bb 11
bb 22
con lo cual tenemos:
con lo cual tenemos:
PRODUCTOS NOTABLES
ÁLGEBRA
I. CONCEPTO
Son los resultados de ciertas multiplicaciones indicadas que tienen forma determinada, se pueden recordar fácilmente sin necesidad de efectuar la operación.
II. TEOREMAS
1. Trinomio cuadrado perfecto
• (a + b)2a2+ 2ab + b2 • (a – b)2 a2 – 2ab + b2 Nota: 2n 2n (a - b) (b - a)
Corolario: Identidad de Lengendre
• (a + b)2+ (a – b)2= 2(a2+ b2) • (a + b)2 – (a – b)2= 4ab
• (a + b)4 – (a – b)4= 8ab(a2+ b2)
2. Diferencia de cuadrados
• (a + b)(a – b) = a2 – b2
3. Desarrollo de un binomio al cubo
• (a + b)3= a3+ 3a2b + 3ab2+ b3 .... forma desarrollada • (a + b)3= a3+ b3+ 3ab(a + b) .... forma abreviada • (a – b)3= a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 .... forma desarrollada. • (a – b)3= a3 – b3 – 3ab(a – b) ... forma abreviada
4. Suma y diferencia de cubos
• (a + b)(a2 – ab + b2) = a3+ b3 • (a – b)(a2 + ab + b2) = a3 – b3
5. Producto de multiplicar binomios con término común
• (x + a)(x + b) = x2+ (a + b)x + ab
• (x + a)(x + b)=x3+ (a+b+c)x2+ (ab+bc+ac)x + abc
6. Desarrollo de un trinomio al cuadrado
• (a + b + c)2= a2+ b2+ c2+ 2(ab + bc + ac)
7. Desarrollo de un trinomio al cubo
• (a + b + c)3= a3+ b3+ c3+ 3(a + b)(b+c)(a+c) • (a+b+c)3=a3+b3+c3+3(a+b+c) (ab+bc+ac)–3abc 8. Identidad de Argan’d • (a2m+ambn+b2n)(a2m –ambn+b2n) = a4m+a2mb2n+b4n Caso particular: (x2+ x + 1)(x2 – x + 1) = x4+ x2+ 1 9. Identidades de Lagrange • (a2+b2)(x2+y2) (ax+by)2+(ay–bx)2 • (a2+b2+c2)(x2+y2+z2) (ax+by+cz)2+ (ay–bx)2 + (az–(cx)2+(bz–cy)2 10. Identidades condicionales
Si: a+b+c=0, se verifica: • a2+b2+c2=–2(ab+bc+ac) • a3+b3+c3=3abc
III. PROPIEDAD
Si a2+b2+c2=ab+ac+bc; a,b c a = b = c
PRODUCTOS NOTABLES Exigimos más! Problema 1 Si x x1 5 . Calcular: x3x3 Resolución: En la condición de plantea:
3 1 3 3 1 1 3 3 3 3 3 3 x x 5 x x 3 x.x x x 125 x x 3 1 5 125 x x 15 125 x x 140 Problema 2 Sabiendo que: x 12 7;y 7 10 z 10 12 Calcular: 3 3 3 x y z xyz Resolución:Fácilmente podemos reconocer que: x + y +z = 0
Luego se cumple que:
3 3 3 x y z 3xyz Finalmente tenemos: 3 3 3 x y z E xyz 3xyz E xyz E 3 Problema 3
Si x,y,z; tal que
xy z
23 xy
xz yz
Calcular: 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 x y z 2x yz k x y x z y z Resolución: De la condición tenemos:
2 2 2 2 2 2 x y z xy xz yz 3 xy xz yz x y z xy xz yz Por propiedad tenemos:x = y = z Finalmente en "k" tenemos: 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 4 4 4 4 4 x y z 2x yz k x y x z y z x x x 2x k x x x 5x k x K 5
problemas
resueltosdivisión algebraica
ÁLGEBRA
I.
DEFINICIÓN
Dados dos polinomios llamados dividendo y divisor, es posible encontrar otros dos polinomio llamados cocientes y residuo, tal que verifiquen la siguiente identidad. x x x x D d Q R Donde: x D : es el dividendo x d : es el divisor x Q : es el cociente x
R :es el resto o residuo
A. Propiedades:
1. El grado del dividendo d eberá ser mayor o igual que el grado del divisor.
D d
2. El grado del cociente es igual al grado del dividendo menos el grado del divisor.
Q D d
3. El grado del resto o residuo, con respecto a la variable con la cual se efectúa la división, es menor que el grado del divisor. Por lo cual se deduce que, el máximo valor que puede tomar el grado del resto o residuo es igual al grado del divisor disminuido en uno.
max
R d R d 1
B. Clases de cocientes
Hay dos clases de cocientes.
1. Cociente Entero. Es el cociente propiamente dicho de la división.
2 . C o ci e nt e C o m p le t o. Es una expresión fraccionaria que está compuesto por el cociente entero, por el residuo y por el divisor
Se sabe que: D x d x Q x R x Dividiendo entre d x : x x x x x cociente entero CocienteCompleto D R Q d d C. Teorema
Si al dividendo y al divisor de una división se les multiplica por una misma expresión distinta de cero, entonces el resto o residuo también quedará multiplicado por dicha expresión.
Sabemos que:
x x x x
D d Q R
Multiplicando ambos miembros por A x :
Ax D x
A x d x
Q x
A xR x
Observación:Para efectuar la división entre polinomios se recomienda utilizar el método de Horner o para cierto caso especial la regla de Ruffini.
DIVISIÓN ALGEBRAICA
Exigimos más!
Problema 1
Calcular ab si la división es exacta
4 3 2 2 2x 5x x ax b x x 1 Resolución: Dada la ecuación: 1 2 - 5 1 a b - 1 2 - 2 2 1 7 - 7 - 10 10 2 - 7 10 0 0
En las columnas del residuo:
a 7 10 10 b 10 0 a 17 b 10 ab 170 Problema 2 Si Q(x) es el cociente de dividir: 5 x 2x 7 x 1 Resolución:
Según la regla de Ruffini tenemos:
1 0 0 0 -2 7 x = -1 -1 1 -1 1 1 1 -1 1 -1 -1 8
4 3 2 Q x x x x x 1 Q 1 1 1 1 1 1 Q 1 3 Problema 3Dertermine el resto de dividir:
problemas
resueltosII. TEOREMA DEL RESTO
A. Definición:Es una regla práctica que permite encontrar en forma directa el residuo de cierta división, consta de dos pasos.
1. Se iguala el divisor a cero y se despeja por transposición de términos la parte variable.
2. Se reemplaza el valor numérico de la parte variable en el polinomio dividendo, obtenido así el residuo de la división.
Ejemplo: Determinar el residuo de dividir
4 x 2x 7 x 1 a. x 1 0 x 1 b.
D x
x
4
2x 7
4 R x 1 2 1 7 1 2 7 R x 10 Observación:El teorema del resto o teorema de Descartes en sus inicios solo se aplicaba cuando el divisor era un binimio de primer grado, hoy en día el divisor podrá ser un polinomio literal de grado arbitrario.
III. DIVISIONES NOTALES
A. Definición:Es una división entre binomios que presenta la siguiente forma. n n x y ;n / n 2 x y B. Cociente notable (C--N):
Es el cociente de una división exacta. Ejemplo: La división: n n x y ;n / n 2 x y
¿Origina un cociente notable? Por el teorema del resto x - y = 0
x = 0 sea el dividendo:
n n n n D x x y R x y y R x 0 n n x y Si origina C N n / n 2 x y B. Propiedad: Si la división: m r a b x y x y origina un C - N se cumple:1. El número de términos del C - N "n" verifica:
m r
n
a b
2. En el C - N los exponentes de x disminuyen de "a" en "a", mientras que los de y aumentan en "b" en "b"
DIVISIÓN ALGEBRAICA Exigimos más! 7 5 3 2 x 2x x x 1 x 1 Resolución:
Según el teorema del resto:
2 2 x 1 0 x 1 En el dividendo tenemos:
2 3 2 2 2 D x x x 2 x x x x x 1 Reemplazando x por 12
R x x 2x x 1 R x x 1 Problema 4 Si la división: n 2 33 5 3 x y x y Origina un cociente notable. Calcular la suma de cifras del número que
representa "n"
Resolución:
Según propiedad se cumple que :
n 2 33 5 3 n 2 11 5 n 2 55 n 57 de c ifras 12
factorización en
ÁLGEBRA
I.
DEFINICIÓN
Es el proceso mediante el cual un polinomio de coeficientes enteros se transforma como la multiplicación de dos o más polinomios, también de coeficientes enteros.
II. FACTOR PRIMO
Es aquel polinomio literale que no se puede expresar como una multiplicación de otros polinomios literales. Ejemplo:
* f(x) x2 – 4 no es primo, por que se puede expre-sar como (x – 2)(x + 2).
* f(x) x – 2 es primo, por que no se puede factorizar.
* f(x) 3x – 6 si es primo porque al obtener 3(x – 2) percatese que 3 es de grado cero.
Se dice que la factorización se realiza en cuando los factores primos obtenidos presentan únicamente coefi-cientes enteros; mientras no se indique alguna aclara-ción la factorizaaclara-ción solo se realiza en .
Observación:
* Al factor primo también se le llama polinomio irreductible.
III. CRITERIOS DE FACTORIZACIÓN
A. Factor común
Se denomina así al factor repetido en varios térmi-nos, para lo cual se eligen las bases comunes afec-tadas del menor exponente.
Ejemplo: Factorizar:
f(x;y) 4x3y4 + 5x2y5+ 7x4y7 Se observa: x2y4 como factor común. Luego factorizando tenemos:
f(x; y) x2y4 (4x – 5y + 7x2y3)
B. Identidades
Es la aplicación inmediata de algunos productos notables como: – Diferencia de cuadrados: A2 – B2 = (A + B) (A – B) Ejemplo: Factorizar : P(x) 9x2 –16 Reconocemos : P(x) (3x)2 – (4)2 Luego : P(x) (3x + 4) (3x – 4) – Diferencia de cubos A3 – B3 = (A – B) (A2+ AB + B2) Ejemplo: Factorizar : P(x) 27x3 – 8 Reconocemos : P(x) (3x)3 – (2)3 Luego : P(x) (3x – 2)(9x2+ 6x + 4) – Suma de cubos A3+ B3 = (A + B) (A2 – AB + B2) Ejemplo: Factorizar : f(x) 8x6 + 1
FACTORIZACIÓN EN Z
Exigimos más!
Reconocemos : f(x) (2x2)3 + (1)3
Luego : f(x) (2x2 + 1) (4x4 –2x2+ 1) – Trinomio cuadrado perfecto
A2+ 2AB + B2 = (A + B)2 A2 – 2AB + B2 = (A – B)2 Ejemplo Factorizar : f(x) 9x4 + 6x2 + 1 Notese : f(x) (3x2)2 + 2(3x2)(1) + (1)2 Luego : f(x) (3x2 + 1)2 C. Agrupación de términos
Consiste en seleccionar convenientemente los tér-minos de tal manera que se genere algún factor común o alguna identidad.
Ejemplo: Factorizar:
f(x;y) x10 – x2y8 + x8y2 – y10
Nos percatamos que no existe factor común en todos los términos, pero si agrupamos de dos en dos obtenemos: f(x;y) x2 (x8 – y8) + y2 (x8 – y8) Factor Repetido: (x8 – y8) Luego: f(x;y) (x8 – y8) (x2 + y2) Continuamos: f(x;y) (x4 + y4) (x2 + y2) (x + y) (x – y) (x2+ y2) Se uso repetidas veces diferencia de cuadrados:
f(x;y) (x4 + y4) (x2 + y2)2 (x + y) (x – y)
D. Aspa simple
Se utiliza para factorizar particularmente Polinomios de la forma: P(x) ax2n + bxn + c ó que se amol-den a dicha forma.
Proceso
* Descomponer los extremos.
* Verificar que la suma de productos en aspa sea igual al término central.
Ejemplo:
Luego los factores se forman: Horizontalmente: (x – 3) (x – 4)
E. Aspa doble
Se usa en forma particular para polinomios de la forma: P(x;y) ax2m + bxmyn + cy2n + dxm + eyn + f Proceso:
* Traza dos aspas simples
* Verificación final con los extremos, veamos en un ejemplo:
Factorizar:
P(x;y) 15x2 – xy – 6y2 + 34x + 28y – 16 como se encuentra ordenado.
1.er Aspa
2.O Aspa
Verificación final
(Los términos estan descompuestos)
Luego, en un esquema se tiene:
FACTORIZACIÓN EN Z
Exigimos más!
F. Aspa doble especial
Se emplea para factorizar polinomios de 5 términos con la forma:
P(x) Ax4n + Bx3n + Cx2n + Dxn+ F Proceso:
* Se descomponen los términos extremos en 2 factores cada uno.
* Se hace el balanceo Ejemplo: Factorizar: 2 2 P(x) (x 5x 1)(x x 1)
G. Divisores binomicos (evaluación)
Se usa básicamente para factorizar polinomios de grado mayores o iguales a 3.
Proceso:
Consiste en evaluar usando la regla de Ruffini.
Luego:
f(x) = (x – a) q (x)
Al valor de "a” se denomina cero del polinomio.
Por ejemplo:
P(x) = x3 – x2 – 4; si evaluamos en x = 2, tenemos:
Luego: x3 – x2 – 4 se puede expresar como: P(x)= (x – 2) (x2 + x + 2)
(Nótese que esta factorizada)
problemas
resueltos Problema 1 Factorizar: 5r(p4+q)–p2(r2+25q) A) (rp2 –5q)(5p2 –r) B) (rp–5q)(5p4 –r) C) (rp4 –5q)(5p3 –r) D) (rp3 –5q)(5p2 –r) E) (rp2 –5q)(5p4 –r) Resolución: Agrupando los términos indicados y factorizando parcialmente = 5p2(rp2 –5q)–r(rp2 –5q) = (rp2 –5q)(5p2 –r) Respuesta: A) (rp 2 –5q)(5p 2 –r) Problema 2 Factorizar: 10x2+21y2+29xy A) (6x+7y)(2x+3y) B) (5x+7y)(2x+4y) C) (5x+7y)(2x+3y) D) (5x+7y)(3x+3y) E) (4x+7y)(2x+3y) Resolución: 10x2+29xy+21y2 5x 2x 7y 3y 14xy 15xy 29xy + Finalmente: (5x+7y)(2x+3y) Respuesta: C) (5x+7y)(2x+3y)
FACTORIZACIÓN EN Z
Exigimos más!
Problema 3
Factorizar e indicar la suma de sus factores primos.
12a2 –59b–63– 7ab–10b2+15a A) 7a–3b+4 B) 7a– 3b+3 C) 7a– 4b+2 D) 7 a– 5b+2 E ) 7a– 3b+2 Resolución:
Ordenando y aplicando el criterio de aspa doble 4a 3a – 2b 5b
12a -7ab - 10b - 15a - 59b - 632 –7 9
2
Finalmente (4a–5b–7)(3a+2b+9) luego factores primos: 7a– 3b+2
Respuesta:E) 7a–3b+2
Problema 4
¿Cuántos factores primos tiene el polino-mio: 7 6 2 5 3 P(x; y) x y 2x y x y ? UNI A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 Resolución:
De acuerdo con el criterio del factor común tenemos:
5 2 2
P(x; y) x y (x 2xyy )
Dando uso de los productos notables tenemos:
5 2
P(x; y) x y (x y) Finalmente los factores primos son:
x, y (xy)
N de factores p ri mos 3
Respuesta C) 3
Problema 5
Determine la suma de los factores pri-mos del polinomio:
3 2 (x) x x x 1 UNI A) 2x + 1 B) 3x + 2 C) 3x – 1 D) 3x + 1 E) 2x Resolución:
Por agrupación de términos tenemos:
3 2
P(x) x x ( x 1)
2
P(x) x (x 1) (x 1)
Por el criterio del factor común:
2
P(x) (x 1) (x1)
Por diferencia de cuadrados tenemos: P(x) (x 1) (x 1) (x 1)
2
P(x) (x 1) (x 1)
Aquí recono cemos que los factor es primos son: (x + 1) y (x – 1)
de f .p 2x
Respuesta E) 2x
Problema 6
Reconocer un factor de:
5 P(x) x x 1 UNI A) x2 – x – 1 B) x2 – x + 1 C) x3 – x – 1 D) x3 – x2 + 1 E) x3 + x2 + 1 Resolución:
Con la finalidad de formar una diferencia de cubos sumamos y restamos x2.
5 2 2 P(x) xx x x 1 2 3 2 P(x) x (x 1) x x 1 2 2 2 P(x) x (x 1) (x x 1) (x x 1)
Por el criterio del factor común:
2 2 P(x) (x x 1) x (x 1) 1 2 3 2 P(x) (x x 1)(x x 1) Respuesta D)x 3 – x 2 + 1
POTENCIA DE UN BINOMIO
I. FACTORIAL DE UN NÚMERO Z
+Llamamos así al producto que resulta de multiplicar todos los números enteros y positivos de manera consecutiva desde la unidad hasta el número indicado.
Notación: n! ó n Se lee: Factorial de "n". Así: 2! 1 2 2 3! 1 2 3 6 4 ! 1 2 3 4 24 5! 1 2 3 4 5 120 6 ! 1 2 3 4 5 6 720 En general: n! 1 2 3... (n – 2)(n – 1)n o también: n ! n(n – 1)(n – 2). .. 3 2 1 Observaciones: 1. (a b) ! a! b! 2. (ab) ! (a !) (b !) 3. a ! a! b b! Propiedades 1. n! existe n zo Luego: • (–5)! No existe • –5! Si existe • (2/3)! No existe • 7! Si existe 2. Por definición 1! = 1. Por acuerdo 0! = 1.
Ejemplo: Hallar "x" en: (x – 4)! = 1
Luego: x – 4 0 x – 1 1 x 4 x 5 3. Si: a! = b! a = b * a; b 0; 1 Ej emplo: (x – 5 )! = 6 (x – 5)! = 3! x – 5 = 3 x = 8
4. Todo factorial contiene en su desarrollo a otro factorial menor. (n 2) ! (n 1) ! n! n (n 1) (n 2)...3 2 1 n! = n(n – 1)! n! = n(n – 1) (n – 2)!
II. NÚMERO COMBINATORIO
Representa el número de combinaciones de "n" ele-mentos tomados de "k" en "k". Notación: Cnk nCk n kC Definición: Cnk n! ; n k k !(n k)! Donde: n k o Ejemplo: 5 2 5! 120 C 10 2!(5 2)! 2 6 Regla práctica: "k " factores n k n(n – 1)(n – 2)...(n – k 1) (n – k) n! C k!(n – k)! "k " factores ! 1 2 3...k (n – k) !
ÁLGEBRA
POTENCIA DE UN BINOMIO Exigimos más! Propiedades 1. nk o C Existe n z k z k n 2. Propiedad complementaria n n k n–k C C Ejemplo: 50 50 48 2 50 49 C C 1 225 2 1 3. Propiedad de igualdad n n p q C C 1.aPosibilidad: p = q 2.a Posiblidad: p + q = n Ejemplo:
Hallar la suma de valores de "n" en:
10 10 n 6 C C . 1.a Posibilidad: n 1 = 6. 2.a Posibilidad: n + 6 = 10 n 2 = 4. Luego n1 + n2 = 10. 4. Suma de combinatorios n n n 1 k k 1 k 1 C C C Ejemplo: Hallar: S C04 C15 C26 C73 Luego: S C50 C51 C62 C73 6 6 7 1 2 3 S C C C 7 7 2 3 S C C 8 3 SC 8 7 6 S 3 2 1 56 5. Reglas de degradación • Cnk nCn 1k 1 k Ejemplo: C103 10C92 3 • Cnk n – k 1 Cnk–1 k Ejemplo: C85 8 5 1C84 C85 4C84 5 5 • n n–1 k n k C C n – k Ejemplo: 94 84 9 8 4 4 9 C C 9 – 4 9 C C 5
III. BINOMIO DE NEWTON
(Para exponente entero y positivo)
Definición: n n n n–k kk k 0 (x a) C x a Donde: x; a 0 n Así: (x + a)2 = x2+ 2 x a + a2 (x + a)3 = x3 + 3x2a + 3xa2 + a3 (x + a)4 = x4 + 4x3a + 6x2a2 + 4xa3 + a4 (x + a)5 = x5+ 5x4a + 10x3a2 + 10x2a3 + 5xa4+ a5
Nos damos cuenta:
5 5 5 5 4 5 3 2 5 2 3 5 4 5 5 0 1 2 3 4 5 (x a) c x c x a c x a c x a c xa c a Luego: n n n n n 1 n n 2 2 n n 3 3 n n 0 1 2 3 n
Desarrolloo expansión delbinomio
(xa) c x c x a c x a c x a ... C a Propiedades 1. n N. de términos Exponente " n " 1 de (x a)
Hallar el nº de términos en el desarrollo de: (x + 3y)7.
POTENC IA DE UN BINOMIO
Exigimos más!
Problema 1
Si "x" es un número real tal que el término central en el desarrollo de:
12 2 –3x 3 2
Es 924, hallar el valor de: 1 + x2 + x4 + x6 Nivel intermedio A) 4 B) 8 C) 6 D) 16 E) 2 Resolución: Sabemos que: n n–k k K 1 k T C x a C 12 1 7 2 T T T 12 12–6 6 7 6 T C (2 3) (–3x 2) 924 6 6 6 6 6 12.11.10.9.8.7 2 3 x 924 6.5.4.3.2.1 3 2 x = 1 Entonces: 1 + 12 + 14 + 16 = 4 Respuesta: A) 4 Problema 2
Hallar el valor de "n" de modo que:
n n 4 r 0 n (2r 1) 2 r Nivel difícil A) 18 B) 16 C) 17 D) 15 E) 20 Resolución: Sabemos: n n n n–1 r 0 r 0 n n 2 r n 2 r r
2. Si: x = a = 1; se obtiene la sumatoria de coeficien-tes: n n n n n n 0 1 2 3 n c c c c ... c 2 5 5 5 5 5 5 5 0 1 2 3 4 5 c c c c c c 2 32 n–2 n–2 n–2 n–2 n–2 0 1 2 n–2 c c c ... c 2
Hallar la suma de coeficientes en el desarrollo de: (5x2+ y4)40
Luego: x = y = 1 (5(1)2+ (1)4)60 660 3. Término de lugar general:
Siendo: (x + a)n.
En su desarrollo: Tk 1 c xn n–k k k a
Donde: "k + 1" es el lugar.
Ejemplo:
Hallar el T61 en el desarrollo de:
B(x; y) = (3x2 + 2y3)90 90 2 30 3 60 61 60 T c (3x ) (2y ) 90 30 60 60 180 61 60 T c 3 x 2 y 90 30 60 60 180 61 60 T c 3 2 x y
4. Término central ("n" exponente del binomio) Si "n" par existe un solo término central:
c n 1 2 T T 5. Suma de exponentes Siendo B(x,a) = (xp + aq)n (p q)n(n 1) Exponentes 2 Ejemplo:
Hallar la suma de exponentes en el desarrollo de:
3x 4
39 Luego: p = 1/3; q = 1/2; n = 39. 1 1 39(39 1) 3 2 exponentes Exp 650 2 problemas
resueltosPOTENCIA DE UN BINOMIO Exigimos más! Entonces: n n n– 4 r 0 r 0 n n 2r 2 r r n 1 n n 4 2 n 2 2 2 n n 4 (n 1) 2 2 2 n = 15 Respuesta: D) 15 Problema 3 Si: n! (n! 3) 18 n! 4 .
Determinar el valor de:
2 K n 3n 7 Nivel intermedio A) 47 B) 17 C) 3 3 D) 35 E) 61 Resolución: Tenemos: (n!)2 – 3(n!) = 18(n!) + 18 4 (n!)2 – 21(n!) – 72 = 0 (n! – 24 )(n! + 3) = 0 n! = 24 ; n! = -3 n = 4 Entonces: 2 K 4 4 3 7 K 35 Respuesta:D) 35
I.
DEFINICIÓN:
Es el proceso mediante el cual una expresión irracional se transforma en otra parcialmente racional.
Frecuentemente se racionalizan denominadores con el auxilio del factor racionalmente (R:F) según la relación.
(Exp. Irracional).(FR) = Exp. Racional
A. Factor racionalizante (F.R)
Es el menor número irracional positivo que multiplica a otro número irracional y lo transforma en racional. Ejempo:
¿Cuál es el factor racionalizante de 2 ?
Resolución: observar lo siguiente 2 2 4 2 2 8 16 4 2 18 36 6 2 32 64 8
Existen varios números irracionales que multiplican a 2 y lo transforman en racional pero entre todos ellos 2 es el menor FR 2
B. Radical simple:
Se denomina así a todo número irracional que se puede experesar segúnla foma:
n A;n A Q
Veamos algunos ejemplos:
5 3 3
3 4 2 3 24
Veamos algunos ejemplos:
C. Radical doble:
Se denomina asi a todo número irracional que se puede expresar según la forma:
m A nB ;m n , A B Q
Veamos algunos ejemplos:
3
4 12 2 3 10 108
II. TRANSFORMACIÓN DE RADICALES
DOBLE A SIMPLES
A. 1° caso
A B . Se transforma según la fórmula:
A C A C
A B
2 2
Donde "C" se calcula Así: C A2B !racional!
B. 2° caso
A B . Se transforma en M 2 N x y Donde: x.y N x y M
racionalización
ÁLGEBRA
RACIONALIZACIÓN
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II. CASOS DE RACIONALIZACIÓN
n m A FR A; A # primo A. Denominador monomio
Donde: FRnAn m , veamos algunos ejemplos.
• 1 1 1. 3 3 3 3 3.FR • 3 1 3 3 3 2 5 5. 2 5 2 2 4 2 .FR • 5 5 2 4 4 5 3 5 3 13 13 13 2 .3 .5 120 2 .3.5 2 .3.5.FR 13FR 13FR 2.3.5 30
B. Denominador binomio con índice potencia de dos:
veamos algunos ejemplos:
•
2 2 1 7 2 1 7 2 7 2 7 2 FR 7 2 1 7 2 7. 2 7 2 5 7 2 •
2 2 5 11 3 5 11 3 5 11 3 11 3 FR 11 3 5 11 3 5 FR 5 11 3 8 11 3 •
2
2 2 2FR 2FR 13 9 13 3 13 3 2 2FR FR 4 2 13 3 •
4 4 4 2 2 4 4 4 2 2 4 4 1 FR 5 1 5 1 5 1 5 1 5 1 FR 5 1 FR 1 5 1 5 1 5 1 5 1 5 1 1 4 5 1 C. Denominador binomio con índice potencia de tres:
veamos los siguientes ejemplos
2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1. 5 5. 2 2 1 5 2 5 2 FR 1 25 10 4 25 10 4 5 2 5 2 5 2 1 25 10 4 7 5 2 • •
2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1. 11 11. 5 5 1 11 5 11 5 FR 1 121 55 25 121 55 25 11 5 11 5 11 5 1 121 55 25 6 11 5 D. Denominador con índice susperior a tres: 1.
n n
n A B FR A B Donde: A B A B A B A B A - B A - B Expresión FR Resultado Expresión FR Resultado 3 A 3B 3 A 3B 2 2 3 A 3A. B3 3B 2 2 3 A 3A. B3 3B A B A B n 1 n 2 n 1 n n n n FR A A B ... B RACIONALIZACIÓN
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Problema 1
Transformar a radicales simples la siguiente expresión: E 8 60 Resolución: Reconociendo: A = 8 B = 60 Hallemos "C": 2 C 8 60 4 C 2 Luego: 8 2 8 2 E 2 2 Finalmente: E 8 60 5 3
Método práctico:Debemos observar que el radical doble presenta la siguiente forma:
x2 y Luego podemos afirmar que:
x 2 y a b
Donde se debe cumplir que: a b a b x ab y Problema 2
Transformar a radicales simples la siguiente expresión: 5 2 6 Resolución:
5 2 6 3 2 2 32 5 2 6 3 2 Problema 3 El equivalente de: E 6 2 5 11 2 30 1.Es : Resolución:Utilizemos el método práctico para transformar a los radicales dobles en simples. * 6 2 5 5 1 5 1 * 11 2 30 6 5
problemas
resueltos 2.
n n
n / n número impar A B FR A B Donde: n 1 n 2 n 1 n n n n FR A A B ... B 3.
n n
n / n número par A B FR A B Donde: n 1 n 2 n 1 n n n n FR A A B ... B Como: E 6 2 5 11 2 30 1Ahora en la expresión "E" se tendría:
E 5 1 6 5 1 Reduciendo: E 6 Problema 4 Racionalizar el denominador de la expresión: 7 7 7 E 5 3 Resolución:Observamos que 7573 corresponde a la relación (2) visto anteriormente, con lo cual tenemos.
7 7
7FR 7FR E 5 3 5 3 FR 7FR E 8 ECUACIONES
ÁLGEBRA
I. ECUACIÓN
Es una igualdad entre dos expresiones matemáticas en la que al menos esté presente una variable que ahora recibirá el nombre de incógnita.
Notación:
Primer miembro Segundo miembro
A(x; y;...z) B(x; y;...z)
Donde: x; y; ...; z: incógnita
Una ecuación que sólo se verifique para ciertos v alores de las incógnitas recibe el nombre de ecuación condi-cional o, simplemente, ecuación.
Por ejemplo:
• x – 1= 3 se verifica solo para x = 2; es una ecuación condicional.
• x2 – 1 = (x + 1) (x – 1) se verifica para todos los valores de x; es una identidad.
Para representar una identidad se emplea el símbolo
en lugar del símbolo =.
A. Soluciones de una ecuación
Las soluciones de una ecuación son los valores de las incógnitas que transforman la ecuación en una identidad, es decir, se igualan ambos miembros. L as soluciones satisfacen a la ecuación. Resolver una ecuación es hallar todas sus soluciones.
Por ejemplo:
x = 2 es una raíz, o solución de la ecuación x + 3 = 5, ya que sustituyendo x = 2 en esta se obtiene 2 + 3 = 5, es decir, los dos miembros se hacen iguales y la ecuación se convierte en una identidad.
B. Operaciones aplicadas en la transformación
de ecuaciones
• Si se suman miembro a miembro varias igual-dades, se obtiene otra igualdad.
Por ejemplo la igualdad x – y = z, podemos sumar “y” a ambos miembros, con lo que resulta x = y + z.
• Si se restan miembro a miembro varias igual-dades, se obtiene otra igualdad. Por ejemplo, en la igualdad x + 5 = 7, podemos restar 5 a ambos miembros con lo que se obtiene x = 2. • Si se multiplican miembro a miembro varias
igualdades se obtiene otra igualdad.
Por ejemplo, si se multiplican por 3 los dos miembros de la igualdad: 1 y 5x2
3 .
Se obtiene: y = 15x2
Análogamente, si los dos miembros de: 9 C k – 492 5 se multiplican por: 59 Se obtiene: C 5(k – 492) 9
• Si se dividen miembro a miembro varias igual-dades se obtiene otra igualdad siempre que no se divida por cero.
Por ejemplo, si se dividen los dos miembros de la igualdad 3x = 6 por 3, se obtiene x = 2. Análogamente, en la igualdad F = ma se puede dividir los dos miembros por m(m0) obte-niéndose: F a m Fórmula:
La fórmula es una ecuación que expresa un hecho general, una regla o un principio.
ECUACIONES
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II. ECUACIÓN LINEAL O DE PRIMER
GRA-DO CON UNA INCÓGNITA
Forma General: ax + b = 0 ; a0; en donde a y b son constantes arbitrarias.
Como primer paso para la resolución de esta ecuación transponemos “b” al segundo miembro obteniéndose así la ecuación equivalente.
ax = b
Después dividimos ambos miembros entre “a”, obte-niéndose otra ecuación equivalente que es la solución de la ecuación dada:
b
x –
a
Si este valor de “x” se sustituye en ax + b = 0 ob-tendremos la identidad: b a – b 0 a –b + b = 0 Teorema:
La ecuación lineal con una incógnita ax + b = 0, a0
Tiene solución única:
b
x –
a
III. ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
(CUA-DRÁTICA)
A. Forma general
2
ax bx c 0
donde: x incógnita, asume dos valores a ; b ; c / a0
B. Fórmula de Carnot
Si: x1; x2 son las raíces de la ecuación: ax2 + bx + c = 0; a0 Estas se obtienen a partir de la relación:
2 1;2 –b b – 4ac x 2a 1. Discriminante
dada la ecuación cuadrática en "x":ax2 + bx + c = 0; a0
se define como: b – 4ac2
2. Propiedad del discriminante
El discriminante de una ecuación cuadrática per-mite decidir qué clase de raíces presenta, es decir:
1 . Si: , la ecuación tiene raíces reales y0 diferentes.
2 . Si: , la ecuación tiene raíces reales e0 iguales (raíces dobles).
3 . Si: , la ecuación tiene raíces imagi-0 narias y conjugadas.
IV. RELACIÓN ENTRE LAS RAÍCES Y LOS
CO- EFICIENTES (PROPIEDADES DE LAS
RAÍ-CES) DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA
Si x1 ; x2 son las raíces de la ecuación cuadrática en "x" ax2 + bx + c = 0 Se cumple: • Suma: s x1 x2 –b a • Producto: p x .x1 2 c a • Diferencia:| x1 x |2 b2 4ac ; a 0 a
Para determinar la diferencia de raíces se recomienda utilizar la equivalencia de Legendre, veamos:
(x1 + x2)2 – (x
1 – x2)2 = 4(x1 x2)
A. Casos particulares
Dada la ecuación cuadrática en "x": ax2 + bx + c = 0 De raíces x1 ; x2, si estas son:
1. Simétricas, se cumple: x1 + x2 = 0. 2. Recíprocas, se cumple: x1. x2 = 1.
V. RECONSTRUCCIÓN DE LA ECUACIÓN
CUADRÁTICA EN "X"
Siendo "s" y "p", suma y producto de raíces, res-pectivamente, toda ecuación cuadrática en "x" se determina según la relación:
2
x – sx p 0
VI. TEOREMAS CUADRÁTICAS
EQUIVA-LENTES
A. Ecuaciones cuadráticas equivalentes
Siendo: ax2 + bx + c = 0 a1x2 + b1 x + c1 = 0 Se cumple: 1 1 1 a b c a b c
B. Ecuaciones cuadráticas con una raíz común
Sean: ax2 + bx + c = 0 a1 x2 + b 1 + c1 = 0 Se cumple: 2 1 1 1 1 1 1 (ab – a b)(bc – b c) (ac – a c)
ECUACIONES
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VII.POLINOMIO DE GRADO SUPERIOR
A. Definición
Dado un número entero n , un polinomio en3 variable x con coeficientes en k de grado n, es una función de la forma:
P(x) anxn+ an–1xn–1+ ... + a1x + a0, con an 0
A la cual llamaremos polinomio de grado superior, donde:
• x = es la variable independiente.
• aiK, son los coeficientes de las x y son constantes que pueden ser cualesquiera números.
• K es un conjunto. • an= coeficiente principal • ao= término constante
• n = [P]° es el grado del polinomio P(x)
Observación:
El estudio de todo polinomio: P(x) anxn+ a
n–1xn–1+ ... + a1x + a0 con an 0, a0 0 radica en el tratamiento de sus
coeficientes ai y en particular de aK n y a0.
B. El Teorema fundamental del Álgebra
Todo polinomio P(x) de grado n > 0 con coeficientes complejos en general, tiene al menos una raíz gene-ralmente compleja.
Colorario:
Todo polinomio P(x) de grado n > 0, tiene exacta-mente "n" raíces.
Por ejemplo P(x) = x5 + x – 1 tiene en total 5 raíces entre reales e imaginarias, asimismo podemos decir que F(x)x4 tiene en total 4 raíces (cada una es igual a cero).
VIII. POLINOMIOS CON COEFICIENTES
REALES
A. Teorema (paridad de las raíces imaginarias)
Si un polinomio P(x) con coeficientes reales tiene como raíz el número imaginario Z, entonces Z tam-bién es raíz de P(x).
Observaciones
• La paridad de raíces imaginarias, refiere lo siguiente, si Z = a + bi, con b 0 es raíz de
un polinomio P(x) entonces Z = a – bi tam-bién es raíz de P(x).
• Si Z = a + bi es raíz del polinomio P(x), entonces (x – Z) (x – Z) será un factor de P(x).
Propiedad
Un polinomio con coeficientes reales puede escri-birse como el producto de un número real, multi-plicado por factores cuadráticos irreductibles con coeficientes reales y factores lineales con coeficien-tes reales.
B. Teorema (paridad de raíces irracionales)
Si un polinomio P(x) con coeficientes racionales tiene como raíz a b, donde b es irracional, a y b son racionales; entonces a b también es raíz de P(x). Sea P(x) un polinomio con coeficientes racionales. Si ( a b) es raíz del polinomio P(x), donde a, b, ab son irracionales, entonces a b,; a b,
a b
también son raíces de P(x).
Si la raíz ( a b) es de multiplicidad K, las otras raíces también son de multiplicidad K.
IX. RELACIONES ENTRE LAS RAÍCES Y
LOS COEFICIENTES
Dado el polinomio de grado n > 0: P(x) = anxn+ a
n–1xn–1+ ... + a0
an 0 (con coeficientes reales o complejos) y cuyas n
raíces son r1, r2, r3, ..., rn (reales o complejas, incluidas tantas veces como se repiten las raíces múltiples), en-tonces existen relaciones entre los coeficientes de P(x) y las raíces ri.
Dichas relaciones se obtienen del siguiete modo: • a xn n an 1 xn 1 ... a0 0 n n 1 n 1 n 2 n 2 0 n n n n a a a x x x ... 0 a 0 a a a (1*)
• Como r1, r2, ..., rn son las n raíces de P(x), entonces el polinomio P(x) se puede escribir como:
P(x) = an(x – r1) (x – r2) .... (x – rn)
Como P(x) = 0 an(x – r1)(x – r2)....(x – rn)=0, an 0 (x – r1)(x – r2)....(x – rn) = 0
(2*)
• Pero son idénticos (1*) y (2*):
n n 1 x 1 n 2 n 2 0 n n n a a a x x x ... a a a 1 2 n (x r )(x r )...(x r ) xn
r1 r2 ... r xn
n 1
r r1 2 r r1 3 ... x
n 1 ...
1 r r r ...r
n 1 2 3 n ECUACIONES
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Problema 1
Sea la ecuación 4x2 – 2x + 3 = 0, cuyas raíces son a y b. Halle otra ecuación cuadrática que tenga por raíces (2a – 1) y (2b – 1) UNI 2008 - I Nivel fácil A) y2 – y + 1 = 0 B) y2 – y – 2 = 0 C) y2 + y + 3 = 0 D) y2 1y 2 0 2 E) y2 1y 3 0 4 Resolución: Dada la ecuación: 4x2 – 2x + 3 = 0 de raíces {a;b} 1. Si cambiamos: "x" por " y 2 " entonces: 2 y y 4 2 + 3 = 0 2 2 tenemos: y2 – y + 3 = 0 de raíces {2a; 2b}
2. Si cambiamos: "y" por "y+1" Entonces: (y + 1)2 – (y + 1) + 3 = 0 Tenemos: y2+ y + 3 = 0 de raíces {2a – 1, 2b – 1}
Respuesta:C) y 2+ y + 3 = 0
Problema 2
Las raíces de la ecuación x x 2 4 son: UNI 2007 - II Nivel intermedio A) solo x = 6 B) so lo x = 3 C) x = 3, x = 6 D) x 6, x = 3 E) No existen soluciones Resolución: x x 2 4 x 2 4 x Elevando al cuadrado y teniendo en cuenta que
x – 2 0 4 – x 0
tenemos x2 – 9x + 18 = 0
(x – 3)(x – 6) = 0 de donde la que verifica solo será x = 3
Respuesta:B) Solo x = 3
Problema 3
Una ecuación cuadrática tienen como raíces a 4 y 2. Halle la suma de las cifras del producto de estas raíces, siendo el discriminante de la ecua-ción. UNI 2006 - II Nivel difícil A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14 Resolución: Suma de Raíces S 2 2 2 Producto Raíces P 2 8 Luego la ecuación será:
2 2
x (2 2)x 2 8 0 Luego calculando el discriminante:
2 2 (2 2) 4( 2 8) 36 Luego: Producto de Raíces = (40)(34) = 1360 cifras 10
Respuesta: A) 10 Problema 4Si {x1; x2} es el conjunto solución de:
x 1 x x
3 3 1 3 2 entonces la suma de x1 y x2 es:
UNI 2008-I Nivel fácil A) –4 B) –2 C) 2 D) 4 E) 0 Resolución: Si:3x 1 – 3 – 1x 3x 2 Si: x0
Eliminando los valores absolutos: 3x+1 – (3x – 1) = 3x+ 2 Reduciendo: 3x. 3 –2 . 3x – 1 = 0 Tenemos: 3x= 1 x 0 Si: – 1 x 0
Eliminando los valores absolutos: 3x+1+ 3x – 1 = 3x+ 2 Reduciendo: 3x+1= 3 Tenemos: x + 1 = 1 De donde: x = 0 0 1 x 0 Si: x < –1
Eliminando los valores absolutos:
–x –1 3 3x – 1 3x 2 Reduciendo: 3 –x–1 = 3 Tenemos: –x – 1 = 1 De donde: x –2 C.S. {–2;0} Piden: –2 + 0 = –2 Respuesta: B) –2 Problema 5
Las raíces de la ecuación x x 2 4 son: UNI 2008-I Nivel intermedio A) Solo x = 6 B) So lo x = 3 C) x = 3, x = 6 D) x 6, x = 3 E) No existen soluciones Resolución: x x 2 4 x 2 4 x
problemas
resueltosECUACIONES
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Elevando al cuadrado y teniendo en cuenta que:
x 2 0 4 x 0
Tenemos: x2 – 9x + 18 = 0
(x – 3)(x – 6) = 0 de donde la que verifica solo será x = 3.
Respuesta:B) x = 3, x = 6
Problema 6
La suma de todas las soluciones posi-tivas de la ecuación: 2 2 10 6 x x 1 x x es: UNI 2009-II Nivel difícil A) 2 5 17 2 B) 2 5 17 2 C) 2 5 17 2 D) 3 5 17 2 E) 3 5 17 2 Resolución: Piden: x > 0 Llamemos a: x2+ x + 1 = m; m > 0 Del dato: 2 2 10 7 (1 x x ) 1 x x 2 10 Reemplazando : 7 m m m 7m 10 0 (m 2)(m 5) 0 m 2 m 5 Reemplazando: 2 2 2 2 x x 1 2 x x 1 5 x x 1 0 x x 4 0
Utilizando la fórmula general:
1 5 1 17 x x 2 2 como x > 0: 1 1 5 2 1 17 x x 2 2 1 2 2 5 17 x x 2 Respuesta:B) 2 5 17 2 Problema 7 La función polinomial:
2 4 2 F(x, y, z) (x y)(y z 3) [(Z y)(y x 3)] (x y z 3) tiene N raíces (x, y, z). Entonces N es igual a: UNI 2008 - I Nivel fácil A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 Resolución:
2
4 0 0 (x y)(y z 3) (z y)(y x 3) 2 0 (x y z 3) 0 Se genera un sistema de ecuaciones:
x y 0 y z 3 0 z y 0 y x 3 0 x y z 3 0 De donde: 1
x y 0 z y 0 x y z 3 0 C.S. (1,1,1) 2 x y 0 y x 3 0 x y z 3 0 C.S. 3 y z 3 0 z y 0 C.S. x y z 3 0 4
y z 3 0 y x 3 0 C.S. (2; 1,2) x y z 3 0 Nesiguala2 Respuesta:C) 2 Problema 8Determine el polinomio mónico de me-nor grado de coeficientes enteros que tenga como raíces a los números reales
2 3 y 3 2. Dar como respuesta
la suma de sus coeficientes.
UNI 2007 - II Nivel intermedio A) 28 B) 42 C) 56 D) 70 E) 84
Resolución:
Por el teorema de la paridad de raíces irracionales: Si una raíz es 3 2 la otra será ( 3 2) la cual origina el polinomio cuadrático x2 + 6x + 7.
Análogamente: Si la otra raíz es 2 3
la otra será 2 3 que origina el polinomio: (x2 + 4x + 1).
Por lo tanto el polinomio mónico será: P(x) = (x2 + 6x + 7)(x2 + 4x + 1) Nos piden: P(x) (14)(6)84
Respuesta:E) 84
Problema 9
Dados los siguientes polinomios: P(x) de grado 2 y término independiente uno; y Q(x) = (x – 1) P(x) + 3x + 1. Si Q(2) = 7 y P(1) = 2, halle la suma de raíces de Q(x). UNI 2004 - II Nivel intermedio A) 0 B) 8/3 C) 10/3 D) 4 E) 5 Resolución: De los datos: P(x) = ax2 + bx + 1 Q(x) = (x – 1) (ax2 + bx + 1) + 3x + 1 Pero: Q(2) 7; (1)(4a 2b 1) 7 7 4a 2b 1...(1) P(1) 2 ; a b 1 2 a b 1...(2) de (1) y (2) = a 3 / 2;b5 / 2 De donde: 3 2 3 3 Q(x) x 4x x 2 2 se pide: 1 2 3 4 8 x x x 3 / 2 3 Respuesta:B) 8/3
I.
DEFINICIÓN AXIOMÁTICA DE LOS
NÚMEROS REALES
El sistema de los números reales, es un conjunto provisto de dos operaciones internas (adición y multiplicación) y una relación de orden y otra de igualdad.
Notación
Denotamos por al conjunto de los números reales.
A. Axiomas de adición
(A1) a, b : a b (Clausura o cerradura) (A2) a, b : a b b a (Conmutatividad) (A3) a, b, c : a (b c) (a b) c (Asociatividad) (A4) a : !0 / a 0 0 a a
(Existencia y unidad del elemento neutro)
(A5) a : !(–a) / a (–a) (–a) a 0 (Existencia y unidad del elemento inverso)
B. Axiomas de multiplicación (M1) a, b : ab (Clausura) (M2) a, b : abba (Conmutatividad) (M3) a, b, c : a(bc)(ab)c (Asociatividad) (M4) a : !1 / a 1 1 a a
(Existencia y unicidad del elemento neutro)
(M5) a– {0} : !a 1 / a a –1 a–1a 1
(Existencia y unidad del elemento inverso)
C. Axioma distributiva
Distributividad de la multiplicación respecto de la adición.
(D1) a, b, c : a(b c) ab ac (D2) a, b, c : (b c)a ba ca
D. Relación de orden
Es una comparación que se establece entre 2 ele-mentos de un conjunto que pertenece al campo de los números reales, el campo real es un campo ordenado.
Símbolos de la relación de orden:
> : "mayo r que" : "menor o igual que" < : "menor que" : "mayor o igual que"
II. DESIGUALDAD
Es una relación de orden que se establece entre dos números reales de diferente valor.
Existen dos tipos de desigualdades. 6 > 1 (Desigualdad verdadera) 5 < –2 (Desigualdad falsa)
A. Axioma de tricotomia
Si a b , entonces una y solamente una de las siguientes relaciones se cumple:
