ESCUELA DE CIENCIAS Y HUMANIDADES DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS PROGRAMA ACADÉMICO

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ESCUELA DE CIENCIAS Y HUMANIDADES DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS

PROGRAMA ACADÉMICO

ASIGNATURA: ECUACIONES DIFERENCIALES

CÓDIGO: CB0235

INTENSIDAD HORARIA: 3 HORAS SEMANALES.

MODALIDAD: MAGISTRAL CARACTERISTICA: SUFICIENTABLE PRE-REQUISITOS: CÁLCULO II CO-REQUISITOS: NINGUNO CREDITOS: 3 1. JUSTIFICACION CURSO

El curso de Ecuaciones Diferenciales se presentará a los estudiantes como una de las áreas de las Matemáticas que tienen relación directa con los problemas específicamente prácticos que se presentan en las diversas ramas de la Ingeniería. Se introduce el modelaje de estos problemas a partir de las leyes físicas que los rigen y que conduzcan a ecuaciones diferenciales ordinarias, así como ciertos problemas de naturaleza geométrica.

Se darán las técnicas matemáticas para tratar de hallar la solución del problema. Si esta no se puede encontrar se estudian aspectos de existencia y unicidad de las soluciones, teoría esta que proporciona una solución aproximada (método de aproximaciones sucesivas).

En este sentido el curso se justifica de acuerdo al plan de estudios dado que establece conexiones con diferentes disciplinas

2. OBJETIVO (s) GENERALES DEL CURSO

 Modelar problemas geométricos, físicos, químicos mediante ecuaciones diferenciales de primer orden, resolverlos e interpretar sus resultados.

 Identificar y resolver ecuaciones diferenciales de primer orden.

 Obtener soluciones aproximadas usando el método de aproximaciones sucesivas.  Modelar problemas diversos que se resuelven mediante una ecuación diferencial lineal.  Utilizar la transformada de Laplace en la resolución de ecuaciones diferenciales

lineales.

3. DESCRIPCION ANALITICA DE CONTENIDOS

UNIDAD 1. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Total horas: 20 OBJETIVOS ESPECIFICOS:

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 Comprender la importancia de las Ecuaciones Diferenciales como herramienta fundamental para resolver problemas que surgen en Ingenierías, Física, Biología, etc.  Reconocer los problemas de valor inicial.

 Aplicar técnicas elementales para la solución de ecuaciones diferenciales CONTENIDO (Clase detallada por semanas)

Semana 1.

Profesor. Clase Magistral 4 horas

Sección 1.1 _ Fundamentos.

Sección 1.2 _Soluciones y problemas con valores iniciales. Sección 2.2 _ Ecuaciones separables.

Al profesor se le sugiere hacer la sección 2.1 como ejemplo y también resolver Ejercicios 1.2: 6, 12, 16, 22.

Ejercicios 2.2: 21, 29, 31, 38.

Estudiante. Trabajo fuera del aula 5 horas

TALLER: (texto guía)

Ejercicios 1.1: 1, 4, 5, 7, 9, 11.

Ejercicios 1.2: 1, 2, 4, 8, 10, 13, 14, 20, 21, 22, 24, 28. Ejercicios 2.2: 2, 6, 11, 14, 20, 23, 27(a), (c), 33

Objetivo: Mediante los ejercicios se pretende que el estudiante clasifique las ecuaciones diferenciales como ecuaciones diferenciales ordinarias o ecuaciones diferenciales parciales, proporcione el orden, ver si es lineal o no lineal. Mostrar que una función dada en forma explícita o implícita es solución de una ecuación diferencial ordinaria. Reconocer si la ecuación diferencial es separable y obtener una solución al problema de valor inicial.

Semana 2.

Profesor. Clase Magistral 4 horas

Discusión sobre temas propuestos de la consulta Aula de clase Solución dudas sobre Taller

Sección 2.3 _ Ecuaciones lineales. Sección 2.4 _ Ecuaciones exactas. Sección 2.5 _ Factores integrantes. Al profesor se le sugiere resolver Ejercicios 2.3: 9, 30, 36. Ejercicios 2.4: 20, 26, 32. Ejercicios 2.5: 12, 17

Ejercicios 2.3: 3, 5, 7, 13, 15, 24, 25, 29, 35. Ejercicios 2.4: 3, 8, 16, 23, 28, 30, 33, 34. Ejercicios 2.5: 3, 9, 13, 15, 17.

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Objetivo: Mediante los ejercicios se pretende que el estudiante adquiriera destrezas con las diversas sustituciones para resolver ecuaciones diferenciales. Clasifique las ecuaciones diferenciales como ecuaciones diferenciales separables, lineales, exactas. Resolver un problema geométrico (trayectorias ortogonales)

Semana 3.

Profesor. Clase Magistral. 4 horas Solución dudas sobre Taller

Sección 2.6 _ Sustituciones especiales.

Sección 3.2 _ Aplicaciones: Problemas de mezclas. _ Modelos de población. Al profesor se le sugiere resolver

Ejercicios 2.6: 4, 16, 43, 46. Ejercicios 3.2: 3, 12, 18, 25.

TALLER: (texto guía)

Ejercicios 2.6: 6, 13, 25, 37, 45, 47, 48. Ejercicios 3.2: 1, 3, 4, 7, 9, 15, 21, 26.

Objetivo: Mediante los ejercicios se pretende que el estudiante resuelva usando sustituciones apropiadas ecuaciones diferenciales. Resuelva ejemplos de algunos modelos (problemas de mezclas, modelos de población).

Semana 4.

Profesor. Taller dirigido por el profesor 2 horas Solución dudas sobre Taller

Semana 5.

Profesor. Clase Magistral. Taller dirigido por el profesor 4 horas Solución dudas sobre Taller

Aplicaciones:

Sección 3.3 (Ley de enfriamiento de Newton) Sección 3.4 (Mecánica de Newton)

Al profesor se le sugiere resolver _ Ejercicios 3.3: 1, 8, 16. _

Sección 3.4: 2, 8, 13, 5, 7, 13, 25.

Ejercicios 3.3: 2, 5, 7, 9, 11. Sección 3.4: 1, 5, 7, 8, 12, 16, 24.

Objetivo: Mediante los ejercicios se pretende que el estudiante resuelva ejemplos de

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UNIDAD 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Total horas: 20 OBJETIVOS ESPECIFICOS:

 Identificar los diferentes métodos para resolver ecuaciones lineales de orden mayor que uno.

 Aplicar estas técnicas en la solución de ciertos modelos que aparecen en la vida real. CONTENIDO

Semana 6.

Capítulos 4 y 6.

Sección 4.1 _ Introducción: el oscilador masa-resorte.

Sección 4.2 y sección 6.1 _ Operadores diferenciales lineales. Sección 4.3 _ Soluciones fundamentales de ecuaciones homogéneas. Al profesor se le sugiere resolver

Ejercicios 4.2: 8, 15, 22, 30. Ejercicios 4.3: 4, 12, 14.

Ejercicios 6.1: 3, 5, 9, 17, 23, 31.

TALLER: (texto guía) Ejercicios 4.1: 3, 4(d), (e).

Ejercicios 4.2: 5, 13, 17, 21, 29, 31. Ejercicios 4.3: 6, 7, 22, 13, 23, 24, 27. Ejercicios 6.1: 3, 5, 9, 17,21, 23.

Objetivo: Mediante los ejercicios se pretende que el estudiante reconozca ecuaciones lineales y no lineales, homogéneas y no homogéneas, coeficientes constantes o coeficientes variables. Ver si dos funciones son soluciones de una homogénea. Resuelva problemas de valor inicial. Saber cuando dos o más funciones son linealmente independientes calculando el Wronskiano.

Semana 7.

Sección 4.4_Reducción de orden.

Sección 4.5 y sección 6.2_Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes (incluyendo raíces complejas sección 4.6).

Al profesor se le sugiere resolver _ Ejercicios 4.4: 6, 8, 15, 18.

Ejercicios 4.5: 10, 24, 35, 46. Ejercicios 6.2: 11, 20, 31(c).

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Ejercicios 4.4: 4, 9, 14, 16. Ejercicios 4.5: 10, 15, 29, 37, 42. Ejercicios 6.2: 5, 12, 17, 21, 28, 32.

Objetivo: Mediante los ejercicios se pretende que el estudiante determine una segunda solución linealmente independiente a una dada. Reducir el orden a una ecuación diferencial homogénea. Determinar la solución general de una ecuación diferencial dada y resolver problemas de valor inicial.

Semana 8.

Profesor. Taller dirigido por el profesor. 2 horas Solución dudas sobre Taller

Semana 9.

Profesor. Clase Magistral. 4 horas

Solución dudas sobre Taller

Sección 4.7 _ Superposición y ecuaciones no homogéneas. Sección 4.8 _ Método de los coeficientes indeterminados. Sección 4.9 y sección 6.4 _ Variación de parámetros. Al profesor se le sugiere resolver

Ejercicios 4.7: 5, 11(c), 14, 17, 20.

Ejercicios 4.8: 10, 21, 30, 37, 43,48, 51, 56, 60. Ejercicios 4.9: 12, 21, 22.

Ejercicios 6.4: 7, 14(a), (b).

Estudiante. Trabajo fuera del aula 5 horas TALLER: (texto guía) _

Ejercicios 4.7: 5, 11(c), 14, 17, 20.

Ejercicios 4.8: 10, 21, 30, 37, 43,48, 51, 56, 60. Ejercicios 4.9: 11, 20, 25.

Ejercicios 6.4: 6, 9, 14 (c), (d)

Objetivo: Mediante los ejercicios se pretende que el estudiante determine una solución general para una ecuación diferencial no homogénea cuando se conoce una solución particular. Determine una solución general de una ecuación diferencial y resuelva el problema de valor inicial. Determine una solución general de una ecuación diferencial usando el método de variación de parámetros.

Semana 10.

Sección 4.11 _ Un acercamiento a las vibraciones mecánicas libres. Sección 4.12 _ Un acercamiento a las vibraciones mecánicas forzadas. Al profesor se le sugiere resolver

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Ejercicios 4.11: 2, 11, 16. Ejercicios 4.12: 5, 12.

TALLER: (texto guía) _ Ejercicios 4.11: 1, 3, 7, 9,13. Ejercicios 4.12: 3, 9, 11, 13.

Objetivo: Mediante los ejercicios se pretende que el estudiante resuelva algunos sistemas mecánicos con vibración.

UNIDAD 3. TRANSFORMADA DE LAPLACE Total horas: 16

OBJETIVOS ESPECIFICOS:

 Resolver problemas de valor inicial, aplicando la técnica de la transformada de Laplace.

CONTENIDO Semana 11.

Sección 7.2 _ Definición de la transformada de Laplace. Sección 7.3 _Propiedades de la transformada de Laplace.

Al profesor se le sugiere motivar con un ejemplo la sección 7.1. Resolver Ejercicios 7.2: 8, 11, 17, 23, 31

Ejercicios 7.3: 10, 31, 37.

Ejercicios 7.2: 2, 4, 5, 7, 10, 12, 13, 15, 19, 23, 26, 29 (b), (h), (j). Ejercicios 7.3: 3, 7, 12, 13, 17, 21, 24, 26, 31, 35, 38(b), (c), (g).

Objetivo: Mediante los ejercicios se pretende que el estudiante adquiera destrezas con las propiedades de la transformada de Laplace y resolver problemas de valor inicial usando esta técnica.

Semana 12.

Profesor. Taller dirigido por el profesor. 2 horas Solución dudas sobre Taller

Semana 13

Sección 7.4 _ Transformada inversa de Laplace. Sección 7.5 _ Soluciones de problemas con valores iniciales. Sección 7.6_Transformadas de funciones discontinuas y periódicas.

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Al profesor se le sugiere resolver

Ejercicios 7.4: 35, 40. Ejercicios 7.5: 10, 19, 27, 33, 37. Ejercicios 7.6: 3, 6, 17, 23, 28, 32, 37, 43,56.

Estudiante --Trabajo fuera del aula 5 horas

Ejercicios 7.4: 1, 5, 9, 15, 21, 25, 28, 31, 33. Ejercicios 7.5: 1, 4, 10, 15, 23, 28, 32, 36.

Ejercicios 7.6: 1, 3, 5, 10, 13, 18, 23, 27, 31, 36, 38, 49, 56.

Objetivo: Mediante los ejercicios se pretende que el estudiante adquiera destrezas con las propiedades de la transformada de Laplace y resolver problemas de valor inicial usando esta técnica.

Semana 14.

Sección 7.7 _ Convolución.

Sección 7.9 _Solución de sistemas lineales mediante la transformada de Laplace. Al profesor se le sugiere resolver

Ejercicios 7.7: 3, 13, 27. Ejercicios 7.9: 6, 18.

Ejercicios 7.7: 1, 4, 8, 14, 19, 25, 33, 35. Ejercicios 7.9: 1, 5, 9, 11, 13, 17, 20.

Objetivo: Mediante los ejercicios se pretende que el estudiante adquiera destrezas con las propiedades de la transformada de Laplace y resolver problemas de valor inicial usando esta técnica.

UNIDAD 4. SOLUCIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE SERIES Total horas: 8

OBJETIVOS ESPECIFICOS:

 Resolver ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden, mediante la técnica de series de potencias cuando los coeficientes son funciones analíticas.

 Identificar las funciones de Bessel y los polinomios de Legendre, resolviendo las respectivas ecuaciones.

CONTENIDO Semana 15.

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Solución dudas sobre Taller

Sección 8.3_ Soluciones de ecuaciones diferenciales lineales mediante series de potencias. Sección 8.4 _ Ecuaciones con coeficientes analíticos.

Al profesor se le sugiere Resolver Ejercicios 8.3: 9, 17, 27.

Ejercicios 8.4: 2, 12, 19, 26.

Ejercicios 8.3: 1, 6, 10, 15, 24, 28, 32. Ejercicios 8.4: 1, 5, 10, 18, 21, 27.

Objetivo: Mediante los ejercicios se pretende que el estudiante identifique puntos ordinarios y singulares de una ecuación diferencial y obtener la solución vía series de potencias.

Semana 16.

Profesor. Clase Magistral. Taller dirigido por el profesor. 4 horas Solución dudas sobre Taller

Sección 8.6_ Método de Frobenius.

Sección 8.8_ Funciones especiales: Ecuación de Bessel y ecuación de Legendre. Al profesor se le sugiere que en la sección 8.6, del método de Frobenius se trabaje el caso cuando las raíces de la ecuación indicial difieran en un entero. Considerar sólo la ecuación de Bessel y la ecuación de Legendre. Resolver los

Ejercicios 8.6: 5, 37, 45 Ejercicios 8.8: 17, 21, 31, 39.

TALLER: (texto guía)

Ejercicios 8.6: 1, 3, 4, 6, 10, 13, 18, 23, 27, 30, 33, 35, 39, 41. Ejercicios 8.8: 13, 19, 21, 25, 30, 36, 37, 40.

Objetivo: Mediante los ejercicios se pretende que el estudiante identifique puntos singulares regulares e irregulares de una ecuación diferencial y resolver la ecuación usando el método de Frobenius.

4. EVALUACION Primer examen parcial 25% Segundo examen parcial 25% Tercer examen parcial 25% Cuarto examen parcial 25%

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5. BIBLIOGRAFIA

 Texto Guía: Ecuaciones Diferenciales. Texto en preparación

 R. Kent Nagle, Edward B. Saff, A. Davidb Zinder, Ecuaciones Diferenciales con problemas de valor en la frontera. Addison-Wesley. 3ª Ed. 2001.

 S. L. Ross, Introducción a las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, Mc Graw- Hill, 3ª Ed. 1989.

 G. F. Simmons, Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones y Notas Históricas, Mc Graw-Hill.

 D. G. Zill, Ecuaciones Diferenciales con problemas de valor en la frontera. Thomson Learning. 2001.

 William Trench, Ecuaciones Diferenciales con problemas de valor en la frontera. Thomson Learning. 2001.

Sitios en internet