dinamica.docx

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO – PUNO

FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL Y ARQUITECTURA

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

TEMA:

TRABAJOS ENCARGADOS

CURSO:

DINAMICA

DOCENTE:

Ing. QUENTA FLORES, Darwin

PRESENTADO POR:

CALIZAYA MAMANI, Flavio

CODIGO:

055392

SEMESTRE:

iv

PARTE 01

TRABAJO ENCARGADO DE DINAMICA

2.1.-Una partícula se mueve sobre una curva , z=0, donde h y k constantes. Si es una constante, hallar la aceleración de la partícula.

; ; ̇ ̇ ̈ ……….(i) Derivando la función _{( )} ̇ ̇ ………. (a) De (a) tenemos ̇ ̇ ………. (b) ̈ ( ) ( ) ( ) ̇ ( ) ̈ ……….(c) (i) y (b) en (c) ( ) ̇ ( ) ̈ ̈ ̇ ̈ ̇ ( ) Rpta.

2.3.-El movimiento de una partícula está dado por las ecuaciones , . Hallar: a.- La trayectoria de la partícula

b.- las coordenadas del punto más alto de la trayectoria c.- ̇y ̇cuando la partícula cruza el eje x

Solución a) → ………. (1) ………. (2) (1) En (2) ( ) ( ) ………. (3) Rpta.

b) El punto más alto será cuando ̇ ̇ ̇ ̇ → ̇ ̇ , reemplazando en (3) ( ) ( ₎

( ) ( ) Rpta.

c) Cuando la partícula cruza el eje x entonces y = 0 De (3) Despejando x También ̇ Reemplazando en ̇ ̇ ̇ ̇ ( ₎ ̇ ̇

2.10.- Una partícula se mueve sobre la trayectoria _{con una componente x constante de la}

velocidad .

a) Hallar la velocidad y aceleración de la partícula en el punto P(11/e). Las unidades están en metros y segundos.

b) Recordando que la curva es cero en un punto de inflexión, deducir las coordenadas de los puntos de inflexión de _{a partir de consideraciones cinemáticas.}

Solución

2.11.- El centro de un rodillo se mueve hacia la izquierda con una velocidad lineal constante . Una barra AB se apoya sobre el rodillo y pivota alrededor del punto A. Determinar la velocidad y aceleración del punto B como una función de 

Solución

Por teoría sabemos que: ̅ ̅̇ ̅ ̅ Dónde: ̅̇ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ Operando: ̅̅̅ ̅ | ̅ ̅ ̅ | ̅ ̅

Ahora calculando la velocidad en el punto “B”. ̅̅̅ ̇ ̅ ̇ ̅̅̅ ………. (1) Dónde: ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ Pero: ̇ ̇

Para calcular ̇, relacionando la componente tangencial de “C”. ̇ ; Donde. ( )

Despejando. ̇ ( ) ; Pero ( ) ( ) Simplificando la expresión.

̇ ( ) ( )

̅ ( ) ̅ ( ) ̅

̅ ( ) ( ̅ ̅) Por lo tanto la velocidad en “B” será.

̅ ( ) ( ) ̅ ( ) ( ) ̅ Ahora calculando la aceleración en “B

̅ ( ̈ ̇ ) ̅ ( ̇ ̇ )̈ ̅ ( ) Dónde: ̇ ̈ ̇ ( ) ̈

Para poder calcular ̈ derivamos nuevamente la ecuación (*) ̈ ( ) ( ) ̇ ( ) Reemplazando (*) en (**) obtenemos.

̈ ( ) ( ) ( )

̈ ( ) ( )

Reemplazando todos estos datos en la ecuación (2)

̅ [ ( ( )) ] ̅ [ ( ) ( ) ( ( ) ( ))] ̅ Quedando como: ̅ * ( )+ ̅ * ( ) ( )+ ̅ ̅ * ( )+ ( ̅ ̅) * ( ) ( )+ ( ̅ ̅) ̅ ( ) ( ) ̅ ( ) ( ) ̅ ( ) ( ) ( ) ̅ ( ) ( ) ( ) ̅

̅ [ ( ) ( ) ( ) ( )] ̅

[ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )] ̅

2.19.- El movimiento de un punto está dado por las ecuaciones y . Hallar las aceleraciones normal y tangencial del punto como una función de su posición.

Solución Usamos la ecuación: ̅ ̈ ̂ ̂ Donde: Aceleración tangencial ̈ ( ) Aceleración normal → ̇ → ̈ → ̇ → ̈ Pero se sabe que: √ ̇ ̇

√ ( ) ………. (β) Pero √ ( ) ………. (1) Radio de curvatura: _{[ ̇}[ ̇ ̈ ̇ ̈] _{̇ ]} *( )( ) ( )( )+ [ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ] ………. (2)

Aceleración normal con (1) y (2) [√ ( ) ]

( * ( ) +

)

( ( ) ( ) [( ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ] Rpta.

→ Aceleración tangencial, derivando la ecuación (β)

( ) (√ ( ) ) √ ( ) ( ( ) ( )) Pero √ ( ) ( ( ) ( )) ( ) √ ( ) ( ) √ ( ) Rpta.

2.20.- Una partícula se mueve sobre una trayectoria . En x = a la rapidez de la particular es v. Hallar ̇ ̇ y las componentes normal y tangencial de la aceleración de la particular.

Solución Por dato: Si ………. (1) ̇ ̇ ………. (2) ̇ ̇ ………. (3) ( ̇) ( ̇) ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ( ) ̇ ………. (4) Ahora (2) en (4) y x = a se tiene:

( ) ̇ → ̇ _{( )} ̇ √( ) Reemplazando en (3) ̇ √( ) De (3) es lo mismo → Derivando → Si ⟦ ( ) ⟧ | | ⟦ ( )_{| |} ⟧ ⟦ ⟧ ̈ Ʌ ⟦ ⟧ → _{⟦ ⟧}

2.21.- Una partícula se mueve sobre una trayectoria circular de manera que la distancia medida a lo largo de la trayectoria desde el punto fijo (r, 0) es . Hallar ̇ ̇ y las componentes normal y tangencial de la aceleración de la particular.

Solución → ̇ → ̈ ̂ ̂ ̂ ̈ Ʌ , ρ = r Graficando la ecuación:

 ̇ ̇ ( ) ( ) , ̇ ̇  ̇  ̇ ( ) ( ) ̇

2.15.- El aparato que se muestra se usa para medir el aire. La manivela gira en sentido de las manecillas del reloj a 150 rpm. La carrera es de 60cm. Determinar la aceleración del émbolo cuando x = 10cm.

De los datos tenemos: ̇

Como la manivela gira en el sentido de las manecillas del reloj entonces: ̇ ̅ Convirtiendo a Rad/seg

̇ ( ) ( ) ( ) ̇ ̅

De la figura tenemos que: ; Donde:

La aceleración en “A “está definido como: ̅ ( ̇ ) ̅ ̅̅̅ ( ) ̅ ( ) ; Donde:

Por lo tanto la aceleración en “B” es: ̅̅̅̅ ̅ ( ) Rpta.

2.25.- Un pequeño anillo M está colocado sobre un aro de alambre de radio r. Una varilla OA pasa por el anillo y gira alrededor del punto O sobre el aro con una velocidad angular  ̇

a) Si  ̇ es una constante, hallar la velocidad y la aceleración de M. b) Si M se mueve con una rapidez constante ̇, hallar  ̇  ̈

Solución

Se sabe que por coordenadas polares: ̅ ̅ ̅ ̇ ̅  ̇ ̅_

̅ ( ̈ ̇ _{) ̅ ( ̇̇  ̈) ̅} →De la figura: 

̇   ̇ ̈  ̇ _{ ̈} a) Si ̇ constante ̈ 0 ̅ (  ) ̅ ( ) ̅ ̅ (  ̅  ̅_) | ̅| Rpta. ̅ ( ̈ ̇ _{) ̅ ( ̇̇  ̈) ̅} ̅ ((  ) ( ) ) ̅ ( ( ) ) ̅_ ̅ ( ) ̅ ( ) ̅ | ̅| Rpta. b) Si ̇ ̈ | ̅| √*(  ̇ ) ̅ (( )̇ ) ̅_ + ̇ ̇ ̇ ̇ Rpta.

2.70.- Una partícula P está obligada a moverse sobre la cardiode r = a (1 + cosθ) mediante el brazo ranurado OA, que gira con velocidad angular constante ( ̅)̇ ̅, al mismo tiempo la cardiode gira con velocidad angular ( ̅)̇ ̅. Hallar la velocidad y aceleración de P cuando t=3 seg. Se supone que a=15 cm, , . seg . En t=0 la cardiode esta en en una posición tal que φ = θ = 0.

Solución

Movimiento de coordenadas móviles

⃗ ̈ ⃗⃗ ̂̇ ̈

Movimiento de punto respecto al sistema móvil (coord. polares)

̂

̇ ̇ ̂

̇ ̂

̈ ( ̈ ̇

) ̂

( ̈ ̇ ̇) ̂

Sacamos las derivadas de las coordenadas polares:

( )

̇ ( ̇ )

̈ ( ̈ ̇ )

Vectores unitarios de las coordenadas polares:

̂

̂ ̂

̂

̂ ̂

Para t=3s entonces el ángulo con el brazo y el eje x será:

Usamos la fórmula de velocidad relativa para hallar la velocidad:

̇ ̇ ̇

⃗⃗

Remplazando tenemos:

̇ ̇ ̇

⃗⃗

̇ ̂

̂

̂ ̂

̇

̇ ̂

̇ ̂

̂

̇

(

̇ ) ̂

( ) ̇ ̂

( ) ̂

Usamos la aceleración relativa para hallar la aceleración:

̈ ̈ ̈ ̇

⃗⃗ (

⃗⃗ )

⃗⃗ ̇

Remplazando se tiene:

̈ ̈ ̈ ̇

⃗⃗ (

⃗⃗ )

⃗⃗ ̇

( ̈ ̇

) ̂

( ̈ ̇ ̇) ̂

̂ ( ̂ ̂

) ̂ ( ̇ ̂

̇ ̂

̇ )

( ̈ ̇

) ̂

( ̈ ̇ ̇) ̂

̂ ( ̂

) ̇ ̂

̇ ̂

( ̈ ̇

) ̂

( ̈ ̇ ̇) ̂

̂

̇ ̂

̇ ̂

Para

se tiene:

( )

̇ ( ̇ )

̈ ( ̈ ̇ )

Remplazando se tiene:

[ ( ) ] ̂ * ( ( ))+ ̂ ( ) ( ) ̂ ( ) ( ) ̂ ( ) ( ) ̂

̂

̂

̂

̂

̂

̂

̂

Sabemos que:

̂

̂ ̂

̂

̂ ̂

Entonces para

se tiene:

̂

̂ ̂

̂

̂ ̂

Reemplazando:

( ̂ ̂) ( ̂ ̂)

̂ ̂ ̂ ̂

̂ ̂

De igual manera para la velocidad:

̇ ̂

̇ ̂

̂

̇

̂

̂

(

) ̂

̂

̂

( ̂ ̂) ( ̂ ̂)

̂ ̂

Respuesta:

̂ ̂

̂ ̂

COORDENADAS RECTANGULARES

11.8. Las partículas Ay B están limitadas a moverse en la acanaladura circular de 1.5m de radio. Al mismo tiempo estas partículas deben estar también en una ranura con forma de parábola. La ranura se muestra en línea discontinua para el tiempo t = 0. Si la ranura se mueve hacia la derecha con una velocidad constante de 1m/s. ¿Cuál es la velocidad y la aceleración con las que se acercan las partículas entre sí para t = 1s?

i) Para la partícula A: Como se mueve en la dirección x a la velocidad constante de 1m/s considerando que inicio en el origen de coordenadas.

Pero ⃗ ̇ ̂ ⃗ ̂ ̈ ̂ Además tenemos ⃗ ̇ ̂ ⃗ ̂ ̈ ̂ _̂

Finalmente para

⃗

̂

)

)

)

La partícula A se acerca a B con una velocidad de 1.12 m/s y con una aceleración de 0.25m/s2

i) Para la Particular B: de manera similar resolvemos para B. Pero ⃗ ̇ ̂ ⃗ ̂ ̈ ̂ Además tenemos ⃗ ̇ ̂ ⃗ ̂ ̈ ̂ _̂

Finalmente para

⃗

̂

)

)

)

√ ( ) √

Se ve que la partícula B se acerca con la misma velocidad y aceleración de la partícula A

11.16. Se sopla el grano hacia un contenedor de tren abierto con una velocidad V0 de 6m/s ¿Cuáles deben ser las elevaciones máxima y mínima para asegurar que todo el grano cae en el tren? Omitir el rozamiento y el viento.

Caso 1: para que todo el grano caiga a una distancia no menor de 4.5m, entonces hallaremos “d” mínimo. En el eje x:

En el eje y:

( )

( )( )

Caso 2: para que todo el grano caiga a una distancia no mayor de 7.5m, entonces hallaremos “d” maxima.

En el eje y:

( )

( )( )

Una partícula P se mueve con una velocidad constante V a lo largo de la curva ( ) ¿En qué posición x tiene la partícula su máxima aceleración? ¿Cuál es el valor de esta aceleración si v=1m/s? Se muestra un cañón de largo alcance para el cual la velocidad de disparo es de 1000 m/s. si se desprecia el rozamiento. ¿A qué posición x,y golpeara el proyectil al terreno?

( ) ( ) Donde: ………(1) ………(2) Sabiendo que: _{……… (3)} Igualando (2) y (3) _{( )} ………. (4)

Remplazando (4) en (1) en (2) tenemos: _{( )}

¿En qué posición a lo largo de la elipse mostrada los cosenos directores del vector normal son (0.707, 0.707, 0)?. Recordar que la ecuación de una elipse como la mostrada es

⃗ ( ) √ ̇ ( ) ( ) _{( )} Donde: _{( )} ( ) ̅ ( )

( ) √

Al pasar por una boquilla un chorro de agua tiene una velocidad de 20m/s. ¿en qué posición incidirá este sobre la superficie parabólica? ¿Cuál será su velocidad en ese punto? No incluir el rozamiento.

( ) √ ( ) Donde: ………(1) √ ………(2) Sabiendo que: ……… (3) Igualando (2) y (3) ( ) √ √ _{( )} √ ………. (4) Remplazando (4) en (1) en (2) tenemos:

( )

COORDENADAS NORMAL Y TANGENCIAL

11.10. El yugo A se mueve hacia la derecha con una velocidad V = 2m/s y una aceleración = 0.6m/s2 cuando se encuentra en una posición d = 0.27m del eje “y”. Un pasador está limitado a moverse dentro de la ranura del yugo y esta forzada mediante un muelle a deslizar sobre una superficie parabólica. ¿Cuáles son los vectores velocidad y aceleración del pasador en el instante de interés? ¿Cuál es la aceleración normal a la superficie parabólica en la posición que se muestra?

Por formula sabemos:

̇

)

̇

( )

Por MRUV: tenemos:

Sabemos: ( ) ……….. (I) ……….. (II) Luego para x=0.27m en ( ) ( ) ( ) ̂ ( ) ̂

a) Finalmente los vectores velocidad y aceleración de P

⃗ ⃗

⃗

)

⃗ ( ̂ ̂)

)

( ̂ ̂)

b) Hallar la aceleración normal a la superficie parabólica en la posición que se muestra.

Sabemos:

Pero:

̇

√(

)

(

)

̇

Donde:

̇

Además:

√

Un Avión de pasajero se está moviendo con una velocidad constante de 55m/s a lo largo de una

trayectoria de altura constante. En el instante de interés, el ángulo entre el vector velocidad y el eje x es de 30°. Mediante la instrumentación giroscópica de a bordo se sabe que dicho vector está cambiando a un ritmo de de -5°/s. ¿Cuál es el radio de curvatura de la trayectoria en ese punto?.

̇ * + | ̇| * + | |

11.56. Una rueda está girando en el instante t con una velocidad angular de ω = 5rad/s. En este instante, la rueda tiene también un ritmo de cambio de la velocidad angular de 2rad/s2. En este instante, un cuerpo

B se está moviendo a lo largo de un radio con una velocidad de 3m/s respecto al radio y está aumentando

esta velocidad a un ritmo de 1.6m/s2. Estos datos están dados para cuando el radio, sobre el que se está moviendo B, está en posición vertical y para cuando B está a 0.6m del centro de la rueda, como se muestra en el diagrama. ¿Cuáles son la velocidad y la aceleración de B en este instante respecto al sistema de referencia fijo xyz?

Datos: ̇

Haciendo coincidir el sistema de coordenadas fijo y móvil ( ) de centro O y O’ Donde:

: Sistema fijo. : Sistema móvil.

Sabemos:

⃗ ⃗⃗⃗⃗ ̇ ⃗ ̇ ⃗⃗

̈ ⃗ ̈ ⃗⃗ ̇ ⃗⃗ ( ⃗⃗ ) ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ̇ Hallando los valores:

) Movimiento del sistema móvil xyz. ⃗

⃗ ̇ ⃗ ̈

̂ ̇ ̂

) Movimiento de la partícula “ ” respecto al sistema xyz ̂

̇ ̂ ̈ ̂

) De las ecuaciones de movimiento relativo tenemos:

⃗ ⃗⃗⃗⃗ ̇ ⃗ ̇ ⃗⃗ ⃗ ̂ ( ̂ ̂) ⃗ ̂ +( ̂) ⃗ ( ̂ ̂) ) ̈ ⃗ ̈ ⃗⃗ ̇ ⃗⃗ ( ⃗⃗ ) ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ̇ ̂ ( ̂ ̂) ̂ ( ̂ ̂) ( ̂ ̂) ̂ ̂ ̂ ( ̂) ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ( ̂ ̂)

PARTE 2

12.11. De repente se aplica una fuerza F de 5 kN sobre una masa A. Cuál es la velocidad de A después de que ésta haya recorrido 0.10 m?. La masa B es un bloque triangular de espesor uniforme. Solución D.C.L de B ∑ ( ) ( )( ) ( ) ( ) ………. (1) D.C.L de A

No hay aceleración vertical:

Por la segunda ley de Newton:

∑ ( ) ( ( ) ( )( )) ( _{( )} ) * ( _{( )} )+ ∫ [ ( _{( )})] ∫ [ ( )] [ ] * + Rpta.

12.13. Los bloques A y B están inicialmente estacionarios ¿Qué distancia recorrerá A sobre B si A recorre 0.20 m respecto al terreno?

Solución.

Donde:

 X = recorrido de A sobre B, lo que nos piden

 XA = recorrido de A respecto al terreno igual a 0.20 m

 XB = recorrido de B respecto al terreno Del grafico ……… (1)

De A:

( )( )( )

Por la segunda ley de Newton: ∑ ( )( ) ( )( ) De B: ( )( )( )

Por la segunda ley de Newton: ∑

( )( ) ( )( )

Se sabe también que:

Pero: ……… (2) También: ………. (3) (2) y (3) en (1) se tiene: ( ) Rpta.

12.16. Se aplica una fuerza de 10 kN sobre un cuerpo B cuya masa es de 15 kg. El cuerpo A tiene una masa de 20 kg. ¿Cuál es la velocidad de B después de recorrer 3m? tomar . El centro de masas del cuerpo A esta en su centro geométrico.

Solución D.C.L. de A

∑ : . ( ) ( ) ( ) ( )

_{( )} ………. (1) D.C.L. de B

No hay aceleración vertical Por la segunda ley de Newton

∑ ( ) Con (1)

( ) (

( ))

( ( )) [ (_{( )} )] [ (_{( )} )] ∫ [ (_{( )} )] ∫ [ ( )] Rpta.

12.120 Un esquiador está bajando por una colina a una velocidad de 14m/s mientras está en la posición que se muestra. Si el esquiador pesa 800N ¿Qué fuerza total ejercen sus esquís sobre la superficie de la nieve? Suponer que el coeficiente de rozamiento es de 0.1. La colina se puede considerar como una superficie parabólica.

12.138. Un automóvil se está moviendo a una velocidad constante de 18 m/s por un tramo de carretera parte del cual (A→B) es parabólico y parte del cual (C→D) es circular con un radio de 3km. si el automóvil tiene un sistema de frenos con ABS y el coeficiente de rozamiento estático µs entre los neumáticos y el pavimento es de 0.6. ¿Cuál será la máxima deceleración posible en la posición x = 2 km y en la posición x = 10 km? el peso total del vehículo es de 12 kN.

12.139 Una masa de 3 kg se está moviendo a lo largo de una varilla vertical parabólica cuya

ecuación es y = 3.4x

. Un resorte lineal con K = 550N/m está conectado a la masa y no presenta

deformación cuando la masa está en su posición más baja teniendo en ese momento una

longitud l

= 1 m. cuando la directriz del resorte está a 30º de la vertical, como se muestra en el

diagrama, la masa se está moviendo a 2.8 m/s. En ese instante.

¿Cuál es la componente de la fuerza sobre la varilla en la dirección perpendicular a la misma?

Datos:

En la ecuación:

(

)

Hallando radio de curvatura:

* ( ) + | _| [ ( ) ] | | Para:

Fuerza normal: ∑

(

)

Para saber el Angulo : Para Para: ( ) ∑ ( ) Donde: Remplazando: ( ) ( )

3.24 Una partícula de masa m se mueve en un canal cilíndrico, partiendo del reposo en θ = 0º.

Determinar la fuerza normal sobre la partícula como una función de θ.

SOLUCION

Los trabajos sobre el canal cilíndrico , se trataran como variaciones de energías potenciales , y la recreación , y la esfera con las paredes del canal es perpendicular al movimiento y no realiza trabajo . Por tanto U1-2=0 Las variaciones de energía son las siguientes.

0 ) ( 2 1 2_ 2 _  v_k k x_B x_A

) ( 2 1 ) ( 2 1 2 2 2 B A B v m v v m T    

)

(

)

(

h

h

mg

rsen



mg

V











0





V





V





T



U

Despejando la velocidad en función de

)

(

2

g

rsen



v



Por dinámica circular se tendrá:

mg

l

mv

F





mg

mgsen

F



2





o Por lo tanto la respuesta es:

)

1

2

(





mg

sen



F

3.27. EL bloque situado sobre la mesa giratoria pesa 1 kg a 60 cm del centro. La masa giratoria

tiene una aceleración angular de 1 rad/s

. El coeficiente de rozamiento es 0.45. Determinar la

SOLUCION La fuerza que ejerce el bloque con la superficie es:

………. (1) Poe dinámica circular:

……….. (2)

Reemplazando la ecuación (2) en (1) tenemos la siguiente ecuación. ………. (3)

Despejando w de la ecuación (3)

√

……….. (4)

Reemplazando los datos en la ecuación (4) W=1.45j rad/s