Aplicaciones A -lineales entre s-m´ odulos

En g´ıa con la noci´on de morfismo en la categor´ıa de m´odulos usuales (no graduados) tenemos la definici´on de aplicaci´on A-lineal por la izquierda entre A-superm´odulos.

Cabe mencionar que en este trabajo consideramos adecuado llamar ‘morfismos’ preci- samente a la colecci´on de dichas aplicaciones entre superm´odulos izquierdos, a diferencia de otras referencias como [18], [25], pues como veremos m´as adelante estas aplicaciones extienden de manera natural la noci´on de A-linealidad que se espera para 1-formas graduadas.

Definici´on 1.3.1. SeanM,N dos A-superm´odulos izquierdos. Diremos que f ∶M Ð→ N

m z→ ⟨m;f⟩ R-lineal es unaaplicaci´on A-lineal por la izquierdasi

⟨αm;f⟩ =α⟨m;f⟩ ∀α∈ A,

y denotaremos por Hom_A(M, N) al espacio de todos las aplicaciones A-lineales por la izquierda entreM yN. Diremos adem´as que f es unaaplicaci´on homog´enea de grado

∣f∣ ∈Z2 si para todom∈M homog´eneo

∣⟨m;f⟩∣ = ∣m∣ + ∣f∣ (mod 2)

En adelante siempre usaremos la notaci´on⟨−;f⟩para escribir la acci´on de una aplicaci´on A-lineal por la izquierda en elementos de un m´odulo graduado, para enfatizar que a´un si f tiene grado definido, los A-escalares salen libremente multiplicando por la izquierda sin signo alguno.

Una ventaja que consideramos de trabajar con la notaci´on de dicha evaluaci´on por la izquierda ⟨−;f⟩ (como se hace en [23]) es que la evaluaci´on en una aplicaci´on A-lineal se corresponder´a con la multiplicaci´on usual de un vector por una matriz, y la composici´on de dicho tipo de aplicaciones A-lineales se corresponder´a con la multiplicaci´on usual de matrices, de modo que evita introducir productos adicionales (ver [27]).

Aunque las aplicacionesA-lineales por la izquierda son las de nuestro particular inter´es (pues extienden de manera natural la noci´on de forma graduada y en general de tensor graduado), por analog´ıa a la definici´on anterior, podemos nombrar a una aplicaci´on ho- mog´enea φ∶M →N entre A-superm´odulos izquierdos comoA-lineal por la derecha si φ(mα) =φ(m)α, o equivalentemente siφ(αm) = (−1)^{∣α∣∣φ∣}αφ(m) (remitimos a la referen- cia [18] para el an´alisis de estas aplicaciones, donde son ´estas las que consideran como ‘los morfismos’ entreA-m´odulos graduados).

Por otro lado, el conjunto Hom_A(M, N)tiene una estructura natural deA-superm´odulo derecho, con acci´on

Hom_A(M, N) × A Ð→ Hom_A(M, N)

definida por⟨m;f α⟩ = ⟨m;f⟩α para todom∈M yα∈ A, ya que sif yα son homog´eneos,

∣⟨m;f α⟩∣ = ∣⟨m;f⟩α∣

= ∣⟨m;f⟩∣ + ∣α∣

= ∣m∣ + ∣f∣ + ∣α∣ de modo que∣f α∣ = ∣f∣ + ∣α∣(mod 2).

Definici´on 1.3.2. Decimos que una aplicaci´on A-lineal por la izquierda f∶M →N es un isomorfismo A-lineal si existe otra aplicaci´on A-lineal por la izquierda g∶N →M tal que g○f =idM yf○g=idN.

1.3.1. El s-dual

En particular si consideramos el espacio Hom_A(M,A) donde A misma es vista como un A-superm´odulo izquierdo con ´unico generador 1_A, tenemos la siguiente definici´on:

Definici´on 1.3.3. SiM es unA-superm´odulo izquierdo fijo, definimos suA-superm´odu- lo dual M^∗ como

M^∗ ∶= Hom_A(M,A)

= {f ∶M→A∣ ⟨αm;f⟩ =α⟨m;f⟩ ∀m∈M, α∈ A}

Como Hom_A(M, N) tiene estructura natural deA-superm´odulo derecho, tambi´enM^∗ tiene dicha estructura

M^∗× A →M^∗ dada por

⟨−;f α⟩ = ⟨−;f⟩α (1.13)

para α∈ A.

Veremos m´as adelante que, an´alogamente a lo que ocurre en el caso no graduado,M^∗ corresponde precisamente al espacio de las 1-formas graduadas, o m´as generalmente, al espacio de 1-tensores covariantes graduados; de hecho los elementos de M^∗ homog´eneos de grado i ∈ Z2 se identificar´an con las 1-formas graduadas de bigrado (1, i) o con los 1-tensores covariantes graduados de bigrado(1, i).

Por otro lado, si M es un A-superm´odulo izquierdo libre con base pura B_M = {D₁, ..., D_p;D_p+1, ..., D_p+q}, el A-superm´odulo dual M^∗ tambi´en es libre del mismo ran- go que M. En efecto, si definimos para cada k=1, ..., p+q la aplicaci´on

D^k∗∶M → A como

⟨Dj;D^k∗⟩ ∶=δkj1_A

y extendemos la definici´on para D∈ M arbitrario por A-linealidad por la izquierda, en- tonces B_M^∗ ∶= {D^1∗, ..., D^p∗;D^p+1∗, ..., D^p+q∗} ser´a una base pura para M^∗ llamada base dual pura. Para verificar ´esto, solo falta comprobar que BM^∗ es una base y que sus ele- mentos son homog´eneos tales que ∣D^i∗∣ =0 para todo 1≤i≤p, y que ∣D^l∗∣ = 1 para todo p+1≤l≤p+q. Notemos primero que si D= ∑^p_i=⁺₁^qvⁱD_i∈M, entonces porA-linealidad por la izquierda, tenemos que para cada k=1, ..., p+q,

⟨D;D^k∗⟩ = ⟨

p+q

∑

i=1

vⁱD_i;D^k∗⟩ ≡v^k (1.14) por lo tanto si D= ∑^p_i=⁺₁^qvⁱD_i es homog´eneo, como la base B_M es pura entonces ∣vⁱ∣ = ∣D∣ para 1≤i≤p y∣v^l∣ = ∣D∣ +1 para p+1≤l≤p+q; luego por la propiedad (1.14)

∣⟨D;D^i∗⟩∣ = ∣vⁱ∣ = ∣D∣ 1≤i≤p y

∣⟨D;D^l∗⟩∣ = ∣v^l∣ = ∣D∣ +1 p+1≤l≤p+q

y as´ı losD^k∗ son homog´eneos del grado que se deseaba. Finalmente, que el conjuntoB_M^∗ es una base se sigue directamente de(ii) en el siguiente resultado:

Proposici´on 1.3.4. Sea M un A-superm´odulo izquierdo libre de rango (p, q) con base pura {D₁, ..., D_p;D_p+1, ..., D_p+q}. Si M^∗ es su A-superm´odulo dual, y D^k∗ ∈M^∗ definido por

⟨D_j;D^k∗⟩ ∶=δ_kj1_A para cada k=1, ..., p+q, se cumple que:

(i) Para todo D∈M

D= ⟨D;D^1∗⟩D1+ ⋯ + ⟨D;D^p+q∗⟩Dp+q. (1.15) (ii) Para todo f∈M^∗

f =D^1∗⟨D1;f⟩ + ⋯ +D^p+q∗⟨Dp+q;f⟩. (1.16) As´ı,{D^1∗, ..., D^p∗;D^p+1∗, ..., D^p+q∗}es una base pura deM^∗, y por lo tanto es libre y tiene el mismo rango queM.

Observaci´on.En adelante todo elemento de unA-superm´odulo izquierdo libre, ser´a iden- tificado con un vector rengl´on. Tambi´en, todo elemento de unA-superm´odulo derecho libre se identificar´a con un vector columna. En particular, si D= ∑^p_i=1vⁱDi+ ∑^p_l=⁺_p^q₊₁v^lDl∈M es homog´eneo, con {Di;Dl} base pura, como∣vⁱ∣ = ∣D∣(mod 2) y ∣v^l∣ = ∣D∣ +1 (mod 2)

D = ∑^p_i=1vⁱD_i+ ∑^p_l=⁺_p^q₊₁v^lD_l

= ∑^p_i=1(−1)^{∣vi∣∣Di∣}D_ivⁱ+ ∑^p_l=⁺_p^q₊₁(−1)^{∣vl∣∣Dl∣}D_lv^l

= ∑^p_i=1D_ivⁱ+ ∑^p_l=⁺_p^q₊₁(−1)^∣D∣+1D_lv^l

= ∑^p_i=1Divⁱ− ∑^p_l=⁺_p^q₊₁(−1)^∣D∣D_lv^l

tenemos una identificaci´on de (D)_BM visto como elemento del A-superm´odulo izquierdo M, con su supertranspuesto(D)^St_B

M en elA-m´odulo derecho M,

(D)_B

M = (v¹, ..., v^p, v^p+1, ..., v^p+q) ←→

⎛

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎜⎜

⎜

⎝

v¹

⋮ v^p

−(−1)^∣D∣v^p+1

⋮

−(−1)^∣D∣v^p+q

⎞

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎟⎟

⎟

⎠

= (D)^St_B

M.

1.3.2. La s-matriz asociada a una aplicaci´on A-lineal

A continuaci´on veremos que toda aplicaci´on A-lineal por la izquierda entre A- superm´odulos izquierdos libres est´a representada por una supermatriz; de hecho si la apli- caci´on es adem´as homog´enea, la supermatriz asociada corresponder´a a una supermatriz homog´enea del mismo grado.

SeanM yN dosA-superm´odulos izquierdos libres de rango(p, q) y(m, n)respectiva- mente, con basesB_M = {D₁, ..., D_p;D_p+1, ..., D_p+q} yB_N = {E₁, ..., E_m;E_m+1, ..., E_m+n}.

SiH ∶M →N es una aplicaci´on A-lineal por la izquierda y suponemos que la imagen bajo H de los elementos de la baseB_M se escriben como

H∶D_i ↦ ∑^m_j=1A^j_iE_j+ ∑ⁿ_k=1B_i^kE_m+k, 1≤i≤p

H∶Dl↦ ∑^m_j=1C_l^jEj+ ∑ⁿ_k=1D_l^kEm+k, p+1≤l≤p+q (1.17) con A^j_i, B^k_i, C_l^j, D_l^k ∈ A, entonces, por la A-linealidad por la izquierda, se tiene que para todo D= ∑^p_i=1vⁱD_i+ ∑^p_l=⁺_p^q₊₁v^lD_l∈M (convⁱ, v^l∈ A)

⟨D;H⟩ = ⟨∑^p_i=1vⁱDi+ ∑^p_l=⁺_p^q₊₁v^lD_l ;H⟩

= ∑^p_i=1vⁱ⟨Di;H⟩ + ∑^p_l=⁺_p^q₊₁v^l⟨D_l;H⟩

= ∑^p_i=1vⁱ(∑^m_j=1A^j_iEj+ ∑ⁿ_k=1B_i^kE_m+k) + ∑^p_l=⁺_p^q₊₁v^l(∑^m_j=1C_l^jEj+ ∑ⁿ_k=1D^k_lE_m+k)

= ∑^m_j=1(∑^p_i=1vⁱA^j_i)E_j+ ∑ⁿ_k=1(∑^p_i=1vⁱB_i^k)E_m+k + ∑^m_j=1(∑^p_l=⁺_p^q₊₁v^lC_l^j)E_j+ ∑ⁿ_k=1(∑^p_l=⁺_p^q₊₁v^lD^k_l)E_m+k

= ∑^m_j=1(∑^p_i=1vⁱA^j_i + ∑^p_l=⁺_p^q₊₁v^lC_l^j)Ej

+ ∑ⁿ_k=1(∑^p_i=1vⁱB_i^k+ ∑^p_l=⁺_p^q₊₁v^lD_l^k)E_m+k,

luego, como los elementos de todo A-superm´odulo izquierdo se identifican con vectores rengl´on,

D=

p

∑

i=1

vⁱDi+

p+q

∑

l=p+1

v^lDl ←→ (v¹, ..., v^p, v^p+1, ..., v^p+q) ∶= (D)_BM se sigue que

( ⟨D;H⟩ )_B

N = (v¹, ..., v^p, v^p+1, ..., v^p+q)

⎛

⎜

⎝ (A^j_i)

ij (B_i^k)

ik

(C_l^j)

lj (D^k_l)

lk

⎞

⎟

⎠ . As´ı, como la supermatriz

(H)_B

MBN ∶=

⎛

⎜

⎝ (A^j_i)

ij (B^k_i)

ik

(C_l^j)

lj

(D^k_l)

lk

⎞

⎟

⎠ satisface que

( ⟨D;H⟩ )_B

N = (D)_B

M (H)_B

MBN

decimos que (H)_BMBN es la representaci´on matricial de H o la supermatriz asociada a H.

Notemos que si en particularH∶M →N es una aplicaci´on homog´enea de grado∣H∣ ∈Z2

entonces, el grado de cada coeficienteA^j_i, B_i^k, C_l^j, D^k_l ∈ Aest´a completamente determinado, de hecho, como la base B_M es pura,∣D_i∣ =0 (mod 2) para todo 1≤i≤p, y ∣D_l∣ =1 (mod 2) para todop+1≤l≤p+q, por lo que

∣ ∑^m_j=1A^j_iE_j+ ∑ⁿ_k=1B_i^kE_m+n∣ = ∣H∣ (mod 2) 1≤i≤p, y

∣ ∑^m_j=1C^jE_j+ ∑ⁿ_k=1D^k_lE_m+n∣ = ∣H∣ +1 (mod 2) p+1≤l≤p+q

luego, al ser tambi´en B_N pura, ∣E_i∣ =0 (mod 2) para todo 1≤i≤m, y ∣E_l∣ =1 (mod 2) para todom+1≤l≤m+n, de modo que

∣A^j_iE_j∣ = ∣A^j_i∣ + ∣E_j∣ = ∣A^j_i∣ (mod 2) y ∣B_i^kE_m+n∣ = ∣B_i^k∣ + ∣E_m+n∣ = ∣B_i^k∣ +1 (mod 2),

∣C_l^jE_j∣ = ∣C_l^j∣ + ∣E_j∣ = ∣C_l^j∣ (mod 2) y ∣D^k_lE_m+n∣ = ∣D_l^k∣ + ∣E_m+n∣ = ∣D_l^k∣ +1 (mod 2), y concluimos que para todos i, j, k, l,

∣A^j_i∣ = ∣H∣ = ∣D_l^k∣ (mod 2) y ∣B_i^k∣ = ∣H∣ +1= ∣C_l^j∣ (mod 2).

As´ı, la supermatriz asociada a una aplicaci´on A-lineal por la izquierda que adem´as es homog´enea, es tambi´en homog´enea del mismo grado. Resumimos lo anterior en el siguiente resultado

Proposici´on 1.3.5. Sean M y N A-superm´odulos izquierdos libres, con bases puras BM = {D1, ..., Dp;Dp+1, ..., Dp+q} y BN = {E1, ..., Em;Em+1, ..., Em+n} respectivamente.

Considerando los elementos de todoA-superm´odulo graduado como vectores rengl´on, toda aplicaci´onA-lineal por la izquierda

H∶M →N tiene una supermatriz asociada

(H)_BMBN =

⎛

⎜

⎝

( ⟨D₁;H⟩ )_B

N

⋮ ( ⟨Dp+q;H⟩ )_BN

⎞

⎟

⎠

∈SM_(p+q)×(m+n)(A) tal que

( ⟨D;H⟩ )_BN = (D)_BM(H)_BMBN (1.18) donde el producto del lado derecho de la igualdad es el producto usual de matrices.

Luego, de las ecuaciones (1.20), (1.15) y el resultado anterior se sigue:

Corolario 1.3.6. Si H ∶ M → N es homog´enea, la supermatriz asociada tambi´en es homog´enea y del mismo grado que H, y toma la forma por bloques homog´eneos

(H)_BMBN = (A B

C D) (1.19)

donde

A= (⟨⟨Di;H⟩;E^j∗⟩)

ij, B= (⟨⟨Di;H⟩;E^m+k∗⟩)

ik, C= (⟨⟨Dp+l;H⟩;E^j∗⟩)

lj, D= (⟨⟨Dp+l;H⟩;E^m+k∗⟩)

lk

para todos i=1, ..., p,j=1, ..., m,k=1, ..., n,l=1, ..., q.

1.3.2.1. Comparaci´on con otros productos.

Para aplicaciones homog´eneas φ∶M →N tales que φ(αm) = (−1)^{∣α∣∣φ∣}αφ(m), siB_M = {D₁, ..., D_p;D_p+1, ..., D_p+q}es una base pura deM, yB_N = {E₁, ..., E_m;E_m+1, ..., D_m+n}es una base pura de N, y la imagen bajoφde los elementos de la base BM se escriben como

φ∶Di↦ ∑^m_j=1A^j_iEj+ ∑ⁿ_k=1B_i^kEm+k, 1≤i≤p

φ∶D_l↦ ∑^m_j=1C_l^jEj+ ∑ⁿ_k=1D_l^kE_m+k, p+1≤l≤p+q (1.20) con∣A^j_i∣ = ∣D_l^k∣ = ∣F∣,∣B_i^k∣ = ∣C_l^j∣ = ∣F∣ +1, y seaD= ∑^p_i=1vⁱD_i+ ∑^p_l=⁺_p^q₊₁v^lD_l∈M. Si se desea, como en el caso usual, que la matriz asociada a la transformaci´onφse corresponda con la matriz

⎛

⎝ (A^j_i)

ji (C_l^j)

jl

(B_i^k)

ki (D^k_l)

kl

⎞

⎠

se debe introducir un nuevo producto matricial ⋆, para que ´este se corresponda con la evaluaci´on

φ(D) =⎛

⎝ (A^j_i)

ji (C_l^j)

jl

(B_i^k)

ki (D^k_l)

kl

⎞

⎠

⋆

⎛

⎜

⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎜

⎝ v¹

⋮ v^p v^p+1

⋮ v^p+q

⎞

⎟

⎟

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎟

⎠ .

En efecto, si D = ∑^p_i=1vⁱD_i+ ∑^p_l=⁺_p^q₊₁v^lD_l ∈ M es homog´eneo de grado ∣D∣, se tiene que

∣vⁱ∣ =D,∣v^l∣ =D+1 y as´ı,

φ(D) = φ(∑^p_i=1vⁱDi+ ∑^p_l=⁺_p^q₊₁v^lDl)

= ∑^p_i=1φ(vⁱDi) + ∑^p_l=⁺_p^q₊₁φ(v^lDl)

= ∑^p_i=1(−1)^{∣F∣∣D∣}vⁱφ(D_i) + ∑^p_l=⁺_p^q₊₁(−1)^{∣F∣(∣D∣+1)}v^lφ(D_l)

= ∑^p_i=1(−1)^{∣F∣∣D∣}vⁱ(∑^m_j=1A^j_iE_j+ ∑ⁿ_k=1B_i^kE_m+k)

+ ∑^p_l=⁺_p^q₊₁(−1)^{∣F∣(∣D∣+1)}v^l(∑^m_j=1C_l^jE_j+ ∑ⁿ_k=1D_l^kE_m+k)

= ∑^m_j=1(∑^p_i=1(−1)^{∣F∣∣D∣}vⁱA^j_i + ∑^p_l=⁺_p^q₊₁(−1)^{∣F∣(∣D∣+1)}v^lC_l^j)Ej

+ ∑ⁿ_k=1(∑^p_i=1(−1)^{∣F∣∣D∣}vⁱB^k_i + ∑^p_l=⁺_p^q₊₁(−1)^{∣F∣(∣D∣+1)}v^lD^k_l)E_m+k,

y si forzamos a una multiplicaci´on matricial por la derecha como en el caso usual (no graduado), esto es, llevando los coeficientes vi, v^l de D a la derecha en cada t´ermino,

φ(D) = ∑^m_j=1(∑^p_i=1A^j_ivⁱ+ ∑^p_l=⁺_p^q₊₁(−1)^∣D∣+1C_l^jv^l)Ej

+ ∑ⁿ_k=1(∑^p_i=1(−1)^∣D∣B_i^kvⁱ+ ∑^p_l=⁺_p^q₊₁D^k_lv^l)E_m+k,

y se sigue que

φ(D) =

⎛

⎝

(A^j_i)

ji −(−1)^∣D∣(C_l^j)

jl

(−1)^∣D∣(B_i^k)

ki (D^k_l)

kl

⎞

⎠

⎛

⎜

⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎜

⎝ v¹

⋮ v^p v^p+1

⋮ v^p+q

⎞

⎟

⎟

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎟

⎠

=

⎛

⎜

⎜⎜

⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

(A^j_i)

ji

⎛

⎜

⎝ v¹

⋮ v^p

⎞

⎟

⎠

+ (C_l^j)

jl

⎛

⎜

⎝

−(−1)^∣D∣v^p+1

⋮

−(−1)^∣D∣v^p+q

⎞

⎟

⎠ (B_i^k)

ki

⎛

⎜

⎝

(−1)^∣D∣v¹

⋮ (−1)^∣D∣v^p

⎞

⎟

⎠

+ (D^k_l)

kl

⎛

⎜

⎝ v^p+1

⋮ v^p+q

⎞

⎟

⎠

⎞

⎟

⎟⎟

⎟

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠ y si denotamos

V₁=

⎛

⎜

⎝ v¹

⋮ v^p

⎞

⎟

⎠ , V₂=

⎛

⎜

⎝ v^p+1

⋮ v^p+q

⎞

⎟

⎠ entonces

φ(D) =

⎛

⎝ (A^j_i)

jiV1 + (C_l^j)

jlV₂^∗ (B^k_i)

kiV₁^∗ + (D^k_l)

klV2

⎞

⎠

=∶

⎛

⎝ (A^j_i)

ji (C_l^j)

jl

(B_i^k)

ki (D_l^k)

kl

⎞

⎠

⋆

⎛

⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝ v¹

⋮ v^p v^p+1

⋮ v^p+q

⎞

⎟

⎟⎟

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

(1.21)

(ver [27]) donde V^∗ = (v^i∗) y se define α^∗ ∶= (−1)^∣α∣α para todo α ∈ A homog´eneo, y en generalα^∗∶=α₀−α₁ para la descomposici´on natural de α=α₀+α₁∈ A₀⊕ A₁.

Observaci´on. En particular en este trabajo, se considera como la matriz asociada a una transformaci´onA-linealH∶M →N, como la supermatriz

(H)_B

MBN ≡

⎛

⎜

⎝ (A^j_i)

ij (B^k_i)

ik

(C_l^j)

lj

(D^k_l)

lk

⎞

⎟

⎠

pues en este caso se corresponden de manera natural, el producto usual de matrices, con la evaluaci´on de la aplicaci´on (aunque por izquierda)

( ⟨D;H⟩ )_B

N = (D)_B

M(H)_B

MBN

como se establece en (1.18), y consideramos que no es necesario forzar a una multiplicaci´on matricial por derecha como en (1.21).

1.3.3. La s-matriz asociada a una composici´on

Consideremos ahora dos aplicacionesA-lineales entreA-superm´odulos izquierdos libres H ∶M →N y K ∶N →L. La composici´on K○H ∶M → L es nuevamente un morfismo A-lineal ya que al ser

⟨D;K○H⟩ ≡ ⟨ ⟨D;H⟩;K⟩

por la A-linealidad de H yK se sigue que

⟨αD;K○H⟩ = ⟨ ⟨αD;H⟩;K⟩ = ⟨α⟨D;H⟩;K⟩ =α⟨ ⟨D;H⟩;K⟩.

Adem´as, siH yK son homog´eneos,K○H tambi´en es homog´eneo de grado∣H∣ + ∣K∣, pues para todoD∈M homog´eneo

∣⟨D;K○H⟩∣ = ∣⟨D;H⟩∣ + ∣K∣ = ∣D∣ + ∣H∣ + ∣K∣.

Luego, siM tiene base pura BM = {D1, ..., Dp;Dp+1, ..., Dp+q}, al ser K○H una apli- caci´onA-lineal homog´enea, tiene una supermatriz asociada

(K○H)_BMBL

del mismo grado queK○H. Veamos como se relaciona dicha matriz con las supermatrices (H)_BMBN y(K)_BNBL correspondientes aH yK respectivamente.

Por un lado, siB_N = {E₁, ..., E_m;E_m+1, ..., E_m+n}es una base pura deN y la superma- triz de grado ∣H∣asociada a H es

(H)_BMBN =

⎛

⎜

⎝ (A^j_i)

ij (B_i^k)

ik

(C_l^j)

lj (D^k_l)

lk

⎞

⎟

⎠ donde

⟨D_i;H⟩ = ∑^m_j=1A^j_iE_j+ ∑ⁿ_k=1B_i^kE_m+k, 1≤i≤p

⟨D_l;H⟩ = ∑^m_j=1C_l^jE_j+ ∑ⁿ_k=1D^k_lE_m+k, p+1≤l≤p+q y la supermatriz de grado ∣K∣asociada a K es

(K)_BNBL= ( (Rⁱ_j)

ji (S_j^l)

jl

(T_kⁱ)

ki (U_k^l)

kl

) donde

⟨Ej;K⟩ = ∑^x_g=1R^g_jFg+ ∑^y_h=1S_j^hF_x+h, 1≤j≤m

⟨E_k;K⟩ = ∑^x_g=1T_k^gFg+ ∑^y_h=1U_k^hF_x+h, m+1≤k≤m+n entonces, por la A-linealidad de K y de H, para cada 1≤i≤p,

⟨Di;K○H⟩ = ⟨ ⟨Di;H⟩;K⟩

= ⟨

n

∑

j=1

A^j_iE_j+

n+m

∑

k=n+1

B_i^kE_k;K⟩

=

n

∑

j=1

A^j_i⟨Ej;K⟩ +

n+m

∑

k=n+1

B_i^k⟨E_k;K⟩

=

n

∑

j=1

A^j_i⎛

⎝

x

∑

g=1

R^g_jFg+

y

∑

h=1

S_j^hFx+h

⎞

⎠ +

n+m

∑

k=n+1

B_i^k⎛

⎝

x

∑

g=1

T_k^gFg+

y

∑

h=1

U_k^hFx+h

⎞

⎠

y para cada p+1≤l≤p+q,

⟨D_l;K○H⟩ = ⟨ ⟨D_l;H⟩;K⟩

= ⟨

n

∑

j=1

C_l^jEj+

n+m

∑

k=n+1

D^k_lEk;K⟩

=

n

∑

j=1

C_l^j⟨E_j;K⟩ +

n+m

∑

k=n+1

D_l^k⟨E_k;K⟩

=

n

∑

j=1

C_l^j⎛

⎝

x

∑

g=1

R^g_jFg+

y

∑

h=1

S_j^hF_x+h⎞

⎠ +

n+m

∑

k=n+1

D^k_l ⎛

⎝

x

∑

g=1

T_k^gFg+

y

∑

h=1

U_k^hF_x+h⎞

⎠ por lo tanto,

(K○H)_B

MB_L= (H)_B

MB_N(K)_B

NB_L.

Notemos que para supermatrices homog´eneas, el grado del producto es la suma de los grados (Lema 1.2.8.) de modo que (K○H)_B

MBL es una supermatriz de grado ∣H∣ + ∣K∣ como se esperaba. Resumimos lo anterior en el siguiente resultado.

Proposici´on 1.3.7. Sean M, N, L, A-superm´odulos izquierdos con bases puras B_M, BN y BL respectivamente. Si H ∶M → N y K ∶N →L son aplicaciones A-lineales por la izquierda con supermatrices asociadas (H)_B

MBN y (K)_B

NBL, entonces la aplicaci´on A-linealK○H tiene supermatriz asociada

(K○H)_B

MBM = (H)_B

MBN(K)_B

NBM

donde el producto del lado derecho es el producto usual de matrices.

Si adem´asHyKson homog´eneas, cada una de las supermatrices en la ecuaci´on anterior es homog´enea.

En particular, como la supermatriz asociada a la aplicaci´on A-lineal identidad id_M ∶ (M,BM) → (M,BM), es la matriz identidad

I=

⎛

⎜

⎝

1_A ⋯ 0

⋮ ⋮

0 ⋯ 1_A

⎞

⎟

⎠ de la proposici´on anterior tenemos que:

Proposici´on 1.3.8. Una aplicaci´onA-lineal por la izquierdaH∶M →Nes un isomorfismo A-lineal si y s´olo si su supermatriz asociada (H)_B

MB_N es invertible.

En este caso, como ∣H∣ + ∣H⁻¹∣ = ∣H○H⁻¹∣ = ∣I∣ =0 (mod 2), se tiene que ∣H∣ = ∣H⁻¹∣(mod 2).

1.3.4. La s-matriz de transici´on

Sean B_M1 = {D₁, ..., D_p; ˜D_p+1, ...,D˜_p+q} y B_M2 = {E₁, ..., E_p; ˜E_p+1, ...,E˜_p+q} dos bases puras para el A-superm´odulo izquierdo libreM.

Como cadaD_i,D˜_l∈B_M1 tiene una representaci´on en la baseB_M2, digamos dada por D_i= ∑^p_j=1A^j_iE_j+ ∑^q_k=1B_i^kE˜_p+k, 1≤i≤p

D˜_l= ∑^p_j=1C_l^jE_j+ ∑^q_k=1D_l^kE˜_p+k, p+1≤l≤p+q entonces, la aplicaci´on

T^B_B^M2

M1

∶M Ð→M definida como

T^B_B^M2

M1

∶D_i↦ ∑^p_j=1A^j_iE_j+ ∑^q_k=1B_i^kE˜_p+k, 1≤i≤p T^B_B^M2

M1

∶D˜_l↦ ∑^p_j=1C_l^jE_j+ ∑^q_k=1D_l^kE˜_p+k, p+1≤l≤p+q es claramente par, y su supermatriz homog´enea asociada,

(T^B_B^M2

M1

) =

⎛

⎜

⎝ (A^j_i)

ij (B_i^k)

ik

(C_l^j)

lj (D_l^k)

lk

⎞

⎟

⎠

que tambi´en es par, se llama supermatriz de transici´on de la base B_M1 a la base B_M2, pues es tal que siD∈M tiene representaci´on (D)_B

M2 en la baseB_M2, como

⟨D; T^B_B^M2

M1

⟩ ≡ (D)_B

M2

entonces

(D)_BM

2 = (D)_BM

1(T^B_B^M2

M1

). (1.22)

An´alogamente, si escribimos cada Ei,E˜_l∈BM2 ahora en t´erminos de los elementos de la base B_M1, obtenemos la supermatriz homog´enea (par) de transici´on de la base B_M2 a la base B_M1, esto es, tal que

(D)_B

M1 = (D)_B

M2 (T^B_B^M1

M2). (1.23)

Notemos que como T^B_B^M1

M2 ○T^B_B^M2

M1 = id_M =T^B_B^M2

M1 ○T^B_B^M1

M2, en t´erminos supermatriciales tenemos que

(T^B_B^M2

M1

) (T^B_B^M1

M2) =I= (T^B_B^M1

M2) (T^B_B^M2

M1

)

y concluimos que toda supermatriz de transici´on es invertible. Con estos c´alculos tenemos probado el siguiente resultado.

Proposici´on 1.3.9. SeaM unA-superm´odulo izquierdo con dos bases purasBM1 yBM2. La supermatriz de transici´on de la baseBM1 a la baseBM2 tal que

(D)_BM

2 = (D)_BM

1(T^B_B^M2

M1

) (1.24)

es siempre homog´enea par e invertible; adem´as su inversa est´a dada por la supermatriz de transici´on de la baseB_M2 a la base B_M1, esto es,

(D)_B

M = (D)_B

M (T^B_B^M2)

−1

.

Por otro lado, sea H ∶M →N una aplicaci´on A-lineal por la izquierda y B_M1 yB_M2 bases puras de M, y B_N1 y B_N2 bases puras de N. Veamos que la supermatriz asociada a H en las bases H ∶ (M,BM1) → (N,BN1) y la supermatriz asociada a H en las bases H ∶ (M,B_M2) → (N,B_N2), se relacionan mediante las respectivas supermatrices pares de transici´on como

(H)_BM

2BN2 = (T^B_B^M2

M1

)

−1

(H)_BM

1BN1 (T^B_B^N2

N1

).

En efecto, de la Proposici´on 1.3.5. y la Proposici´on 1.3.9 anterior, tenemos que para todo D∈M

(⟨D;H⟩)_B

N2

= (D)_B

M2(H)_B

M2BN2

= (D)_B

M1(T^B_B^M2

M1

) (H)_B

M2BN2

y tambi´en que

(⟨D;H⟩)_B

N2

= (⟨D;H⟩)_B

N1

(T^B_B^N2

N1

) = (D)_B

M1

(H)_B

M1BN1

(T^B_B^N2

N1

), y as´ı, se tiene que

(D)_BM

1(T^B_B^M2

M1

) (H)_B

M2B_N2 = (D)_B

M1

(H)_B

M1B_N1 (T^B_B^N2

N1

) ∀D∈M esto es

H○T^B_B^M2

M1

=T^B_B^N2

N1

○H

y por lo tanto, como toda supermatriz de transici´on es invertible, en t´erminos supermatri- ciales tenemos que

(H)_B

M2BN2 = (T^B_B^M2

M1

)

−1

(H)_B

M1BN1(T^B_B^N2

N1

) y hemos probado el siguiente resultado:

Proposici´on 1.3.10. Sean B_M1,B_M2 bases puras para elA-m´odulo izquierdoM, y sean B_N1,B_N2 bases puras para el A-m´odulo izquierdo N. SiH∶M →N es una aplicaci´on A- lineal por la izquierda, y (T^B_B^M2

M1

),(T^B_B^N2

N1

) son las supermatrices homog´enas de transici´on entre las respectivas bases, se cumple que

(H)_B

M2B_N2 = (T^B_B^M2

M1

)

−1

(H)_B

M1B_N1(T^B_B^N2

N1

) donde las supermatrices (H)_BM

1BN1 y(H)_BM

2BN2 corresponden a la representaci´on ma- tricial deH en las respectivas bases puras.

Finalmente, veamos que toda aplicaci´onA-lineal por la izquierda induce una aplicaci´on tambi´enA-lineal por la izquierda entre los respectivos duales, donde ´estos son considerados con su estructura deA-m´odulo izquierdo inducida por su estructura natural derecha (1.13).

SeaH∶M →N una aplicaci´on A-lineal por la izquierda y homog´enea, y consideremos la aplicaci´on

H˜ ∶N^∗ Ð→ M^∗ f z→ ⟨f; ˜H⟩

definida como ⟨D;⟨f; ˜H⟩ ⟩ ∶= (−1)^{∣H∣∣f∣}⟨ ⟨D;H⟩;f⟩ para D∈M. Notemos que como H es homog´enea, si f es homog´ena,

∣⟨D;⟨f; ˜H⟩ ⟩∣ = ∣⟨D;H⟩∣ + ∣f∣ = ∣D∣ + ∣H∣ + ∣f∣

de modo que ∣⟨f; ˜H⟩∣ = ∣H∣ + ∣f∣y por lo tanto ˜H es homog´enea con∣H˜∣ = ∣H∣. Adem´as, ˜H es A-lineal por la izquierda, pues como para todoλ∈M^∗ se cumple que

⟨D;αλ⟩ = (−1)^{∣α∣∣λ∣}⟨D;λ⟩α= (−1)^{∣α∣∣D∣}α⟨D;λ⟩ (1.25) entonces, siD∈M

⟨D;⟨αf; ˜H⟩ ⟩ = (−1)^{∣H∣(∣α∣+∣f∣)}⟨ ⟨D;H⟩;αf⟩

= (−1)^{∣H∣∣f∣}(−1)^{∣α∣∣D∣}α⟨ ⟨D;H⟩;f⟩

= (−1)^{∣α∣∣D∣}α⟨D;⟨f; ˜H⟩ ⟩

= ⟨D;α⟨f; ˜H⟩ ⟩

y como D se tom´o arbitrario, se sigue que ⟨αf; ˜H⟩ =α⟨f; ˜H⟩, esto es ˜H esA-lineal por la izquierda. Veamos c´omo es la supermatriz asociada a ˜H.

Sean BM = {D1, ..., Dp;Dp+1, ..., Dp+q} y BN = {E1, ...Em;Em+1, ..., Em+n} bases puras de M y N respectivamente. Si B_M^∗ = {D^1∗, ..., D^p∗;D^p+1∗, ..., D^p+q∗}, B_N^∗ = {E^1∗, ...E^m∗;E^m+1∗, ..., E^m+n∗}son las respectivas bases duales puras, entonces, por (1.16) en la Proposici´on 1.3.4. para cadai∈ {1, ..., m}

⟨E^i∗; ˜H⟩ =

p

∑

j=1

D^j∗⟨D_j;⟨E^i∗; ˜H⟩ ⟩ +

q

∑

k=1

D^p+k∗⟨D_p+k;⟨E^i∗; ˜H⟩ ⟩

=

p

∑

j=1

⟨D_j;⟨E^i∗; ˜H⟩ ⟩D^j∗+

q

∑

k=1

−(−1)^∣H∣⟨D_p+k;⟨E^i∗; ˜H⟩ ⟩D^p+k∗

=

p

∑

j=1

⟨ ⟨Dj;H⟩;E^i∗⟩D^j∗+

q

∑

k=1

−(−1)^∣H∣⟨ ⟨D_p+k;H⟩;E^i∗⟩D^j∗ y para cada l∈ {m+1, ..., m+n}

⟨E^l∗; ˜H⟩ =

p

∑

j=1

D^j∗⟨Dj;⟨E^l∗; ˜H⟩ ⟩ +

q

∑

k=1

D^p+k∗⟨D_p+k;⟨E^l∗; ˜H⟩ ⟩

=

p

∑

j=1

⟨Dj;⟨E^l∗; ˜H⟩ ⟩D^j∗+

q

∑

k=1

(−1)^∣H∣⟨Dp+k;⟨E^l∗; ˜H⟩ ⟩D^p+k∗

=

p

∑

j=1

(−1)^∣H∣⟨ ⟨D_j;H⟩;E^l∗⟩D^j∗+

q

∑

k=1

⟨ ⟨D_p+k;H⟩;E^l∗⟩D^j∗ y por lo tanto, la supermatriz asociada a ˜H es

(H˜)_B

N∗B_M∗

=

⎛

⎝

(⟨ ⟨D_j;H⟩;E^i∗⟩)

ij −(−1)^∣H∣(⟨ ⟨D_p+k;H⟩;E^i∗)

ik

(−1)^∣H∣(⟨ ⟨Dj;H⟩;E^l∗⟩D^j∗)

lj ⟩D^j∗∑^q_k=1⟨ ⟨D_p+k;H⟩;E^l∗⟩D^j∗

⎞

⎠

= (H)^St_B^̃

MBN

donde hemos usado el Corolario (1.3.6) para la ´ultima igualdad. As´ı, tenemos probado el siguiente resultado.

Proposici´on 1.3.11. La aplicaci´on ˜H ∶ N^∗ → M^∗ inducida a partir de una aplicaci´on A-lineal por la izquierda homog´enea H ∶M →N, es tambi´en A-lineal por la izquierda y tal que∣H˜∣ = ∣H∣. Adem´as su supermatriz asociada es

(H˜)_B

N∗B_M∗ = (H)^St_B^̃

MB_N

donde(H)_B

MBN es la supermatriz asociada a H.

1.3.5. La s-traza de una aplicaci´on A-lineal

Definici´on 1.3.12. Sea M un A-superm´odulo izquierdo libre con base pura {D₁, ..., D_p;D_p+1, ..., D_p+q}. Si H ∶ M → M es una aplicaci´on A-lineal por la izquierda y homog´enea, se define la supertraza de H como

STrH ∶= ∑

i

(−1)^∣D

i∗∣(∣H∣+∣Di∣)⟨ ⟨D_i;H⟩;D^i∗⟩

=

p

∑

i=1

⟨ ⟨Di;H⟩;D^i∗⟩ − (−1)^∣H∣

p+q

∑

i=p+1

⟨ ⟨Di;H⟩;D^i∗⟩.

Veamos que la supertraza de una aplicaci´on A-lineal por la izquierda y la supertraza de su supermatriz asociada coinciden.

Lema 1.3.13. SeaH ∶M →M una aplicaci´on A-lineal por la izquierda y homog´enea, y seaB una base pura para M. Si la supermatriz asociada aH es(H)_{B B}, entonces

STrH=STr(H)_{B B}.

Demostraci´on. Sea B^∗ = {D^1∗, ..., D^p∗;D^p+1∗, ..., D^p+q∗} la base dual pura de B. Del Corolario 1.3.6. tenemos que la supermatriz homog´enea asociada a H es

(H)_{B B}= (A B C D) donde cada bloque homog´eneo est´a dado por

A= (⟨ ⟨D_i;H⟩;D^j∗⟩)

ij, B= (⟨ ⟨D_i;H⟩;D^p+k∗⟩)

ik, C= (⟨ ⟨D_p+l;H⟩;D^j∗⟩)

lj, D= (⟨ ⟨D_p+l;H⟩;D^p+k∗⟩)

lk. por lo tanto

STr(H)_{B B} = TrA− (−1)^∣H∣TrD

=

p

∑

i=1

⟨ ⟨D_i;H⟩ ;D^i∗⟩ − (−1)^∣H∣

q

∑

i=1

⟨ ⟨D_p+i;H⟩;D^p+i∗⟩

≡ STrH.

Corolario 1.3.14. El operador supertraza

STr∶SM(A) → A es invariante bajo cambio de base.

Demostraci´on. Sea H ∶M → M una aplicaci´on A-lineal por la izquierda homog´enea y (T_B^BM2

M1

)la supermatriz de transici´on de la baseB_M1 a la baseB_M2 deM. De la Proposici´on 1.3.10. tenemos que

(H)_BM

2BM2 = (T_B^BM2

M1

)

−1

(H)_BM

1BM1(T_B^BM2

M1

) y de la Proposici´on 1.3.9. tenemos que la supermatriz(T_B^BM2

M1

)es homog´enea par, de modo que aplicando la propiedad (5) en la Proposici´on 1.2.11

STr(H)_B

M2BM2 =STr[(T_B^BM2

M1

)

−1

(H)_B

M1BM1(T_B^BM2

M1

)] =STr(H)_B

M1BM1.

Notemos que las propiedades(2)y(ˆ2)de la Proposici´on 1.2.11. nos dicen que STr, St ySt no son operadores̃ A-lineales por la izquierda, a diferencia de lo que sucede en el caso no graduado donde la traza y la transpuesta lo son. Si necesitamos que STr, St y St seañ A-lineales por la izquierda, debemos definir un nuevo producto por A-escalares distinto al usual, de hecho, el dado como

α⋆ (A B

C D) ∶= ( αA αB

(−1)^∣α∣αC (−1)^∣α∣αD)

hace que STr, St ySt seañ A-lineales por la izquierda. Sin embargo, en este trabajo, usamos siempre el producto por escalar (en Ry en A) usual.

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