BINOMIO DE NEWTON

EJERCICIO 67

Factorización en forma completa cada uno de los siguientes polinomios:

Hay ciertas propiedades que cumplen los desarrollos de las potencias sucesivas de un binomio, contesta las siguientes preguntas para it descubriendo estas regularidades:

Formalicemos ahora las observaciones que acabamos de realizar las caracteristicas del desarrollo de (f+h)ⁿ donde nє n son:

Para formar el triangulo aritmetico que llamamos triangulo de Pascal, tomaremos los coeficientes de los desarrollos de las potencias sucesivas de (f + h) y los vamos a organizar en forma triangular:

PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACION____________________________________

EJEMPLO 1

Utilicemos el triangulo de Pascal para desarrollar (a + 2b)⁵.

Para encontrar los coeficientes binomicos desarrollamos el triangulo de Pascal Ilegando una fila mas ally que la indicada por el exponente del binomio:

PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACION____________________________________

Estos ejemplos que hemos desarrollado, nos permiten intuir que la forma de calcular potencias de binomios por medio del triangulo de Pascal, será cada vez mas complicada al it aumentando el valor del exponente que representa Ia potencia a la que se quiere elevar un binomio, por lo que en estos casos resulta poco practico.

Para ejemplificar esto desarrolla en to cuaderno (a³-2f)²⁰

Una expresión mas general para desarrollar expresiones binómicos elevadas a una potencia es el binomio de Newton o Teorema del binomio, que fue demostrado por Isaac Newton en el siglo XVI I I y que permite además poder encontrar cualquiera de los términos del desarrollo de una potencia.

Para poder estudiar este método necesitamos introducir un concepto nuevo en nuestro estudio que es necesario para su aplicación, este concepto es el de factorial.

FACTORIAL

Hay procesos en matemáticas en los que es necesario multiplicar los n primeros ni meros enteros positivos, este tipo de producto recibe el nombre de factorial y representa como n! (que se lee n factorial).

EJEMPLOS

5! = 5x4x3x2x1 = 120

12! = 12x11 x1 Ox9x8x7x6x5x4x3x2x1 = 479 001 600 1!=1

Es importante antes de continuar definir que 0! = 1

Otra forma de definir un n factorial es n! = n(n - 1)! que es una forma recursiva de representar este tipo de producto. Esta forma es de gran utilidad cuando se realizan operaciones con factoriales o se quiere representar por medio de factoriales otros productos.

PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACION____________________________________

EJEMPLO 3

Expresar el producto de 8x5 mediante una operación con factoriales.

En este caso podemos multiplicar cada factor de la operación por un uno conveniente expresado por medio de

factoriales:

Si tomamos estas equivalencias de cada uno de los factores, el producto propuesto en este ejercicio se puede expresar como:

EJEMPLO 4

RESOLVER L AOPERACIÓN

PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACION____________________________________

Antes de ver el siguiente ejemplo, completa el siguiente cuadro, en el cual se desarrollan en forma recursiva algunos factoriales sucesivos:

Para simplificar esta expresión podemos utilizar la forma recursiva de definir(n+2)!,así

Resolviendo el producto del denominador:

Regresemos a analizar nuevamente uno de los binomios que ya desarrollamos, por ejemplo (f + h)5, cuyo desarrollo es:

Para calcular cualquier coeficiente después del primero, sin desarrollar nuevamente el triangulo de Pascal podemos utilizar la siguiente formula:

Desarrolla la potencia (f + h)¹⁰ y comprueba los coeficientes binómicos, desarrollando el triangulo de Pascal hasta la decimoprimer fila.

Comprobamos esta formula para calcular tres de los coeficientes del desarrollo de (f + h)⁵. Calculamos el coeficiente de fh⁴, partiendo del termino anterior 10f²h³.

PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACION____________________________________

Calculamos el coeficiente de f⁴h, partiendo del termino anterior f⁵.

Calcula el coeficiente de f²h³, partiendo del termino anterior 10f³h².

Observa que el calculo de los coeficientes que acabamos de realizar, por medio de la formula descrita, el numero que se obtiene en el denominador de cada uno de ellos (exponente de h) + 1 es equivalente a (numero de termino que se quiere calcular) - 1.

Ejemplifiquemos esta afirmacion:

Para 5fh⁴ que es el 5to. Termino, partiendo de 10f²h³

(exponente de h) + 1 = (numero de termino que se quiere calcular) – 1

Para 5f⁴h que es el 2do. termino, partiendo de f⁵

(exponente de h) + 1 = (numero de termino que se quiere calcular) – 1

Para 10f²h³ que es el 4to. termino, partiendo de 10f⁵h²:

(exponente de h) + 1 = (numero de termino que se quiere calcular) – 1

Tomando en cuenta las ideas anteriores, obtengamos la expansión de (f + h)' calculando los coeficientes de cada término:

PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACION____________________________________

Cada uno de estos coeficientes se puede expresar por medio de operaciones con factoriales;

veamos por ejemplo el calculo del coeficiente del cuarto termino 35f⁴h³

PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACION____________________________________

¿Cuanto suman estos dos números sin considerar el símbolo de factorial?

Expresemos el coeficiente del sexto termino 21f²h³ por medio de operaciones con factoriales:

El coeficiente del segundo termino 7f⁶h por medio de operaciones con factoriales es: Expresa con factoriales como encontrar el coeficiente del quinto termino de este ejemplo

Como puedes notar, en cada uno de los cálculos que hemos realizado ara encontrar el coeficiente de un término, si sumamos los elementos numéricos del denominador el resultado es el exponente de la potencia que estamos desarrollando.

En forma general, el coeficiente de frhn^-I en el desarrollo o expansión de (f+ h)n se puede calcular mediante el cociente de factoriales:

Ejemplifiquemos ahora la utilización de este cociente en el desarrollo de la potencia de un binomio.

EJEMPLO

PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACION____________________________________

El exponente (r) de m como decreto de término a término de 4 a 0 podemos predecirlo mediante la relación

R=(n-el numero de término buscado)+1

Esta forma de desarrollar la potencia de un binomio, siempre que n Є N. es la generalizacion del triangulo de pascal y recibe el nombre de binomio de Newton o teorema del binomio.

EJEMPLO 2.

Desarrollar los cuatro primeros términos de (2x+3y)^-6 Para desarrollar los cuatro términos pedidos utilizaremos:

Cuando se eleva un binomio a un exponente negativo hay que considerar que los exponentes del segundo término del binomio aumentan de uno en uno, por lo que el desarrollo de la potencia tiene un número de términos ilimitado, así que se desarrollan solamente algunos de los primeros términos de su expansión o desarrollo.

Donde t representa el numero de termino buscado, (t - 1); el numero de factores que se van a multiplicar, y n el valor absoluto del exponente del binomio al cual se esta elevando este.

PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACION____________________________________

EJEMPLO 3

Escriban el quinto termino de (2x + 3y²)¹⁰

El término que estamos buscando es el quinto, por lo que el exponente que le corresponde a 2x en este termino es:

r = n - el numero de termino buscado + 1 = 10 - 5 + 1 = 6

Y el quinto termino de (2x + 3y2)10 lo podemos calcular de la siguiente forma:

EJEMPLO 4

Obtén en el termino central de (b³ - 4d)¹⁶

Como la potencia de un binomio tiene un termino mas que el exponente al cual se esta elevando el binomio, podemos decir que el termino central sera el noveno termino del desarrollo, y que el exponente que en este termino Ie corresponde a b³ es:

R=n-el numero de término buscado+1=16-9+1=8

El noveno termino de (b³-4d)¹⁶ lo podemos calcular de la siguiente forma:

PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACION____________________________________

EJEMPLO 5

Obtener el quinto termino de (2p² - 5q³)^-9 En este caso utilizaremos la formula

El binom. de Newton se acostumbra representar como:

PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACION____________________________________

EJEMPLO 6

PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACION____________________________________

EJERCICIO 68

1. Utilizando el triángulo de pascal obtén la expansión de cada ino de los siguientes binomios.

2. Desarrolla y calcula los siguientes factorales.

PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACION____________________________________

3. Escribe en términos de factoriales:

4.calcula:

5. escribe el desarrollo decada uno de los siguientes binomios de Newton:

6. Encuentra el término indicado en el desarrollo de cada uno de los siguientes binomios:

7.Busca los primeros cinco terminos de cada una de las siguientes raíces: