Podemos ilustrar el caso de entrada impedida y acomodada utilizando las curvas isobeneficios que introdujimos al estudiar el modelo de Stackelberg. Dibu- jamos la funci´on de reacci´on de la empresa establecida para poder dibujar sus curvas isobeneficio. Dibujamos tambi´en la funci´on de reacci´on de la empresa en- trante que tiene una discontinuidad. Hay que dilucidar si obtiene m´as beneficios en el punto en que la curva de indiferencia es tangente a la funci´on de reacci´on de la entrante o si bien obtiene m´as beneficios en el punto en que se impide la entrada. Ser´a mejor aqu´ella que pase por una isobeneficio m´as baja. Si la canti- dad que disuade la entrada es peque˜na, se obtendr´an m´as beneficios impidiendo la entrada. Si la cantidad que disuade la entrada es grande entonces ser´a mejor acomodar la entrada.
8.1. Modelo de diferenciaci´on horizontal.
8.1.1. Elecci´on de variedades (precios fijos).
Ahora vamos a presentar un modelo de diferenciaci´on horizontal. Para represen- tar nuestro mercado con diferenciaci´on horizontal vamos a utilizar un segmento horizontal de longitud 1 (recordemos que los modelos no son representaciones de la realidad sin´o que sirven como pautas para entender mejor la realidad). Cada punto en la l´ınea representa la localizaci´on de los consumidores. Suponemos que los consumidores est´an uniformemente distribuidos en un segmento de longitud 1.
La distribuci´on uniforme implica que la medida de una partici´on del segmento nos da el porcentaje de poblaci´on que se encuentra en ese trozo. Por ejemplo entre un extremo y el punto medio, se encuentra la mitad de la poblaci´on. La poblaci´on total es igual a M.
Supongamos que 2 empresas (A y B) pueden instalar un punto de venta cada una de un producto determinado. Supongamos que cada habitante quiere com- prar una y s´olo una unidad del bien. Adem´as supongamos que los precios est´an regulados. En este caso la ´unica variable estrat´egica de las empresas ser´a la lo- calizaci´on. Los consumidores ir´an a comprar a la empresa m´as cercana. Veamos que implica esto para el reparto de la demanda.
Supongamos que la empresa A se coloca en el punto del segmento mientras que la empresa B se coloca en el punto del segmento . Tenemos que .
Para saber la demanda de cada empresa tenemos que encontrar el consumidor equidistante a las dos empresas. Se encuentra en el punto +2 . Los consumidores a la izquierda de este punto estar´an m´as cerca del puesto de venta de la empresa A y, por lo tanto, comprar´an en la tienda de A. Los consumidores a la derecha de este punto estar´an m´as cerca del puesto de venta de la empresa B y, por lo tanto, comprar´an en la tienda de B. La demanda de A ser´a +2 y la demanda de B ser´a 1− +2 .
Si las dos empresas se colocan en el mismo punto cada una obtiene la mitad de la demanda total.
Una vez que ya conocemos c´omo se reparte la demanda entre las empresas podemos analizar el equilibrio del juego en que cada empresa escoge simult´aneamente su ubicaci´on sabiendo que el coste unitario de producci´on es .
Una vez se han colocado las empresas, los consumidores hacen sus compras.
Empezamos por estudiar la localizaci´on ´optima de B dada una localizaci´on de A. La empresa B se colocar´a justo al lado de A pero escogiendo el lado donde
la demanda es mayor. Si no existe este lado (es decir A se coloca en medio), se colocar´a en el mismo puesto que A.
Para que las dos empresas act´uen ´optimamente hace falta que las dos se colo- quen en el centro.
Hasta el momento hemos relacionado los puntos del segmento con ubicaciones geogr´aficas de los consumidores. Otra interpretaci´on alternativa, que ampl´ıa las posibilidades de aplicaci´on consiste en identificar los puntos como las posibles variedades de un producto (por ejemplo, dulzura de un chocolate). El punto en que se ubica un consumidor es la variedad que ´el prefiere. El punto donde se coloca una empresa es la variedad del producto que produce. Un consumidor comprar´a de la variedad producida m´as pr´oxima a la que ´el prefiere.
Este modelo se ha utilizado para analizar cuestiones de ciencia pol´ıtica. En este caso los puntos son programas pol´ıticos ordenados de izquierada a derecha, para- metrizado por la carga impositiva. Los votantes votan al partido m´as pr´oximo a su programa preferido. El resultado del modelo anterior (los dos partidos escoger´ıan la posici´on media) se ha utilizado para explicar la convergencia de programas de los partidos en una democracia. Se tiene que hacer notar que el resultado cambia si hay m´as de dos partidos como veremos en los ejercicios.
8.1.2. Elecci´on de precios (localizaci´on fija).
Vamos a ver lo que ocurre cuando los precios no est´an regulados sino que las empresas los eligen. En este caso, el consumidor, antes de escoger, tiene que valorar dos cosas diferentes:
- la distancia de la tienda a su domicilio.
- el precio que pone la tienda por el producto.
Para que sea posible la agregaci´on de los dos elementos, supondremos que la desutilidad por la distancia se puede traducir en un coste de transporte, expresado en t´erminos monetarios. Supondremos que es una funci´on cuadr´atica de la distan- cia2. Cuanto mayor sea menos le gusta andar al consumidor. El consumidor elegir´a la tienda en que la suma del precio y el coste de transporte sea menor.
Suponemos que tenemos dos empresas ubicadas a una distancia ( ≤ 12)de los extremos. Veremos que las observaciones anteriores nos permiten derivar la demanda de cada empresa, es decir, la cantidad que venden como funci´on de los precios que cargan las empresas.
Entre las ubicaciones de las dos empresas habr´a un consumidor que estar´a indiferente entre ir a una tienda o a la otra ya que la suma de precio m´as coste de transporte es igual para las dos tiendas. Se encontrar´a en el punto y cumplir´a que:
+(−)2 =+(1−−)2
+2+2−2=++2−2+2 −2+ 2
2−4=−+(1−2) 2(1−2) =−+(1−2)
= −
2(1−2)+ 1 2
= 1−= −
2(1−2) +1 2
y determinan la elasticidad cruzada.
= ( 1
2(1−2))(
−
2(1−2)+ 1 2
) =
=
−+(1−2)
Cuanto mayor sea, menor la elasticidad cruzada y superior la diferenciaci´on del producto. Cuanto m´as distantes est´en las empresas ( menor), menor la elasticidad cruzada y superior la diferenciaci´on del producto.
Vamos a ver como la diferenciaci´on del producto se relaciona directamente con los precios que escogen las empresas y con su rentabilidad.
Π= (−)
à −
2(1−2) +1 2
!
Π
= −
2(1−2) +1
2 − − 2(1−2) = 0
Como el equilibrio ser´a sim´etrico (==∗) podemos obtenerlo imponi´endola en la condici´on de primer orden de una empresa:
∗ =+(1−2)
Esto supone los siguientes beneficios de equilibrio.
Π∗ = (1
2)(1−2)
Fij´emonos que si la diferenciaci´on del producto desaparece(= 0 o = 12), tenemos el resultado de Bertrand donde el precio se iguala al coste marginal y los beneficios son nulos. La raz´on que explica que las empresas obtienen beneficios positivos aunque compitan en precios es que venden productos diferenciados.
La literatura empresarial reconoce la diferenciaci´on como una de las armas competitivas principales que tienen las empresas a su disposici´on. Consiste en la creaci´on de algo que sea percibido por el mercado como algo ´unico. Sus ventajas residen en aislar la empresa, que consigue diferenciar sus productos, de la rival- idad competitiva debido a la lealtad de los clientes hacia la marca y a la menor sensibilidad al precio resultante.
8.1.3. Elecci´on de localizaciones y precios
En los dos apartados anteriores, hemos visto la elecci´on de localizaciones si los precios estaban fijos y la elecci´on de precios si las localizaciones estaban fijas.
Ahora vamos a ver qu´e resulta de considerar end´ogenas ambas decisiones. Vamos a considerar un juego en dos etapas donde en la primera etapa las empresas escogen localizaciones (la empresa A escoge la localizaci´ony la empresa B la localizaci´on
, donde ) y en la segunda escogen precios.
Antes de pasar a solucionar el modelo, podemos hablar de los efectos que entraran en juego ahora conjuntamente y que hemos visto por separado en los dos apartados anteriores:
- Efecto demanda: la cantidad vendida aumenta si se acercan al competidor.
- Efecto competencia: el margen aumenta a medidad que se alejan del com- petidor.
Vamos a resolver la etapa de precios. Es m´as complicado que lo que hab´ıamos hecho en el apartado anterior, porque hay que hacerlo para cualquier localizaci´on y no s´olo para las sim´etricas. Suponemos que la empresa A ha elegido la localizaci´on
y la empresa B la localizaci´on , donde . En primer lugar encontramos el
consumidor indiferente que cumple:
+(−)2 = +(−)2
+2+2−2 = +2+2−2
2−2 = −+2−2 2(−) = −+(2−2)
= −+(2−2) 2(−)
Esta es la demanda de la empresa A y lo que sigue la demanda de la empresa B:
1− = 1−
Ã−+(2−2) 2(−)
!
=
= 2(−)−+−(−)(+)
2(−) =
= −+(−)(2−−) 2(−)
A partir de aqu´ı se pueden obtener los beneficios de las empresas como funci´on de los precios.
Π= (−) y Π= (−)(1−)
El equilibrio de Nash se encuentra solucionando el sistema de ecuaciones formado por las condiciones de primer orden de las empresas:
Π
=− −
2(−) = 0 y Π
= 1−− − 2(−) = 0
Los precios de equilibrio son (la ´algebra es muy tediosa y el autor se acoge al beneficio de la duda):
=+ (−)(2 ++)
3 y =+ (−)(4−−)
3 (8.1)
Se ilustra el efecto competencia comprobando que alej´andose del competidor consiguen aumentar su precio de venta. Observe que:
= −2(1 +)
3 0 y
= 4−2
3 0
Las ventas en equilibrio vienen dadas por:
= 2 ++
6 y = 4−−
6 (8.2)
Se ilustra elefecto demanda comprobando que acerc´andose al competidor aumen- tan las ventas. Observe que:
0 y
0
De (8.1) y (8.2) se pueden derivar los beneficios de equilibrio como funci´on de las localizaciones:
Π = (−)(2 ++)2
18 y Π = (−)(4−−)2 18
Π
=(2 ++)(−2 +−3)0
Π
=(4−−)(4−3+)0
Querr´an alejarse lo m´aximo del competidor, es decir, ∗ = 0 y ∗ = 1.
Este resultado parece indicar que el efecto competencia siempre domina al efecto demanda. Esto es verdad s´olo si imponemos que las localizaciones tienen que estar dentro del segmento [0,1]. Si suprimimos esta hip´otesis, y permitimos que se coloquen en cualquier punto de la recta real, las derivadas anteriores pueden cambiar de signo. El equilibrio en ese caso ser´ıa la soluci´on al sistema de ecuaciones de las condiciones de primer orden.
−2 +−3 = 0 4−3+ = 0 De la primera ecuaci´on tenemos
= 2 + 3
Lo sustituimos en la segunda:
4−3(2 + 3) + = 0 4−6−9+ = 0
−2−8 = 0
= −1 4
= 2− 3 4 = 5
4 8.2. Modelo de diferenciaci´on vertical.
Empezamos definiendo la utilidad de un consumidor cuando compra un bien de calidad a un precio :
−+
est´a uniformente distribuida en el segmento [ ]. Las calidades pueden tomar valores en [ ]. Al mismo precio todos los consumidores est´an de acuerdo en preferir el bien de calidad m´as alta. Esto es lo que ocurre en un modelo de difrenciaci´on vertical. Asumimos que
−es suficientemente alto de tal manera que todos los consumidores compran una unidad del bien (se dice en este caso que el mercado est´a cubierto). No hay costes de producci´on.
Vamos a solucionar el mismo juego en dos etapas que en la Seccion 5.1.3.
Tenemos dos empresas: la empresa 1 y la empresa 2. En la primera etapa, escogen calidades y en la segunda etapa las empresas compiten en precios. En primer lugar, vamos a solucionar el modelo para el caso 2 (las preferencias de los consumidores son muy heterog´eneas).
En la segunda etapa, dadas las calidades 1 2, tenemos que calcular el equilibrio en precios. Para calcular la demanda de cada empresa tenemos que encontrar el consumidor indiferente entre el bien de calidad alta y el de calidad baja.
−1+1 = −2+2 (8.3)
2−1 = 2−1 (8.4)
= 2−1
2−1
Las funciones de beneficio de las empresas de calidad baja y alta son respectiva- mente:
1 =
Ã2 −1
2 −1 −
!
1
2 =
Ã
−2−1
2−1
!
2
1 =
Ã2−1−(2−1)
2−1
!
1
2 =
⎛
⎝(2−1)−2+1
2−1
⎞
⎠2
1
1
=2−21−(2−1) = 0 (8.5)
2
2
=(2−1) +1 −22 = 0 (8.6) Despejamos de (8.6) 2:
2 = (2−1) +1
2 (8.7)
y la sustituimos en (8.5):
(2−1) +1
2 −21−(2−1) = 0
(2−1) +1−41−2(2−1) = 0
31 = (−2)(2−1)
1 = (−2)(2−1) 3
Este resultado lo sustituimos en (8.7)
2 = (2 −1) + (−2)(32−1)
2 =
2 = 3(2−1) + (−2)(2−1)
6 =
2 = (2−1)(3+−2)
6 =
2 = (2−1)(4−2)
6 =
2 = (2−1)(2−) 3
A partir de los precios hallamos las cantidades vendidas en equilibrio por las diferentes empresas.
Tenemos que
2−1 = (2−1)(2−−+ 2)
3 =
= (2−1)(+) 3
La cantidad vendida por la empresa 1 es:
1 = 2−1
2−1 − = (+)
3 − = +−3
3 =
= −2
3
La cantidad vendida por la empresa 2
2 = − 2−1
2−1
=−(+)
3 = 3−−
3 =
= 2− 3
Resumiendo los precios y las ventas en equilibrio son:
1 =
⎛
⎝−2
3
⎞
⎠(2−1) y 2 =
⎛
⎝2− 3
⎞
⎠(2−1)
1 =
⎛
⎝−2
3
⎞
⎠ y 2 =
⎛
⎝2− 3
⎞
⎠
Tenemos que los precios son crecientes en el nivel de diferenciaci´on del producto (efecto competencia), mientras que las cantidades son constantes y no dependen de la diferencia de calidades (no existe efecto demanda). (8.3) muestra que, dados unos precios, la demanda aumenta cuando la empresa de calidad baja aumenta su calidad. Pero los precios se ajustan de tal manera que las ventas de la empresa de calidad baja no dependen de la calidad elegida. En este caso, es f´acil predecir
que las empresas eligir´an m´axima diferenciaci´on. Esto queda bien patente cuando calculamos los beneficios de las empresas como funci´on de las calidades:
1 =
⎛
⎝−2
3
⎞
⎠
2
(2−1) y 2 =
Ã2− 3
!2
(2−1) Entonces en equilibrio tenemos diferenciaci´on m´axima:
1∗ =
−
y 2∗ =
Entonces, para reducir la intensidad de la competencia una empresa prefiere em- peorar la calidad que ofrece incluso sin reducciones en el coste.
A continuaci´on, resolvemos el caso con peque˜na heterogeneidad en las prefer- encias 2
− En las expresiones halladas hasta ahora significar´ıa que la empresa de calidad baja fija un precio negativo. Como esto no puede ser, la empresa de calidad baja fijar´a un precio de cero y la respuesta ´optima de la empresa 2 a este precio viene dada por (8.7)2 = (2−1)
2 . A este precio incluso el consumidor con el gusto por la calidad m´as bajo prefiere comprar el bien de calidad alta, de tal manera que la empresa 1 no vende.
−(2 −1)
2 +2
−1
−(2 −1) + 22 21
−(2−1) + 22−21 0
−(2−1) + 2(2 −1) 0 (2−−)(2 −1) 0
En este caso, aunque el coste de entrada fuera muy peque˜no, tendr´ıamos que s´olo una empresa entrar´ıa en el mercado, porque una segunda empresa no puede hacer beneficios positivos.