3.3 Materiales y métodos
3.3.2 Evaluación de la transferencia de calor
39 de recirculación se aisló térmicamente con elastómero de célula cerrada de 1.9 cm de espesor.
Figura 3.3. Diagrama de tubería e instrumentación del sistema de agitación hidráulica del biorreactor.
Los sensores de temperatura (TE-01 a TE-03) son de tipo resistivo de platino Pt100 y están conectados al controlador (TIC-101) a través de 2 módulos de entradas analógicas modelo LOGO AM2 (Siemens®, Múnich, Alemania), mientras que los sensores (TE-04 y TE-05) se conectaron a las entradas analógicas del controlador TIC-101. Transmisores Novus modelo TxMiniBlock se utilizaron para acondicionar la señal de los sensores de temperatura. El flujo de la bomba de recirculación se midió con el caudalímetro (FE-01) modelo DN32 (SEA, GuangDong. China). El caudal se registró con un microprocesador Arduino UNO y un módulo de memoria SD.
40 frecuencias de operación de la bomba de recirculación: 30, 35, 40 y 45 s-1, en cada experimento. Al mantener constantes la velocidad de recirculación y temperatura de la camisa térmica (37 ±1 °C) en cada prueba, la temperatura del fluido dentro del biorreactor se indujo a un incremento de 35 hasta 36.5 °C.
Los datos de temperatura del fluido, temperatura de la camisa térmica y caudal de recirculación se registraron cada minuto. Cada experimento consistió en 15 repeticiones. El flujo de recirculación promedio, la temperatura inicial promedio del fluido, la temperatura final promedio del fluido y duración promedio de los experimentos realizados para cada frecuencia de operación de la bomba de recirculación se muestran en el Cuadro 3.1. Se empleó como fluido de proceso, durante el experimento, agua de grifo para mantener un patrón de comportamiento newtoniano. En la camisa térmica se usó aceite vegetal como fluido térmico. Las propiedades termofísicas del agua, en cada experimento, se obtuvieron mediante interpolación en función de la temperatura promedio del fluido (Incropera, Dewitt, Bergman, & Lavine, 2006).
Cuadro 3.1. Flujo de recirculación (Q), temperatura del fluido inicial (Tf1), temperatura del fluido final (Tf2) y duración del experimento (te) para cada frecuencia de operación (f ) de la bomba de recirculación.
Frecuencia de operación
(s-1)
Flujo de recirculación
(L min-1)
Temperatura del fluido inicial
(°C)
Temperatura del fluido final
(°C)
Duración del experimento
(min)
30 35.1 ±0.5 34.9 ±0.2 36.4 ±0.07 243 ±22
35 41.8 ±0.3 35.1 ±0.1 36.7 ±0.04 210 ±14
40 47.9 ±0.4 35.0 ±0.1 36.6 ±0.06 160 ±7
45 53.0 ±0.5 35.0 ±0.2 36.6 ±0.07 115 ±9
Modelo térmico
Uno de los supuestos metodológicos para la modelación de la transferencia de calor fue despreciar las pérdidas energéticas debido a la condición de aislamiento del sistema. Se estableció un balance de energía entre los dos fluidos separados por la pared del biorreactor mostrado en la Ecuación (3.2) (Müller et al., 2018):
d INH (
HE = 5 ' •“− () 3.2
41 El coeficiente global de transferencia de calor (Uh), estimado mediante un procedimiento de optimización de la Ecuación (3.3) (Valle-Guadarrama et al., 2011):
ƒ{ = L” ( •N− (S {”•
ˆ Š+
3.3
La temperatura del fluido de proceso (Tfexp) se tomó como el promedio de la lectura de los sensores TE-01, TE-02, TE-04 y TE-05.
Para ajustar la Ecuación (3.3) se utilizó el método de optimización por mínimos cuadrados no lineales, aplicando la función “lsqnonlin” disponible en el paquete optim de GNU Octave versión 5.1.0 (Free Software Foundation, Inc., Boston, MA, USA). Se estableció una tolerancia de 1e-6 para la finalización en el valor de la función. La temperatura simulada (Tfsim) se obtuvo resolviendo numéricamente la Ecuación (3.2) por el método de Dormand-Price de orden 4, con la función “ode45” de GNU Octave. Las condiciones iniciales se establecieron como la temperatura inicial del fluido (Cuadro 3.1), la tolerancia relativa y absoluta del paso de tiempo fue de 1e-8. El procedimiento anterior se repitió para cada experimento realizado.
Método gráfico de Wilson
La diferencia máxima entre la temperatura del líquido térmico (Ttj≈ 37.5 °C) y la temperatura del fluido de trabajo (Tfi≈ 35 °C) fue menor a 2.5 °C. Entonces, la diferencia de temperatura entre la pared interna y el fluido de trabajo debe ser aún menor. Por lo tanto, la relación de viscosidad (Vi) en la Ecuación (3.1) se omitió, ya que no tiene un impacto significativo sobre la correlación mostrada en la Ecuación (3.4).
hA = z k; m<+/• 3.4
El valor de la constante C se estimó mediante el método gráfico de Wilson descrito en la siguiente sección. Las constantes C y n se ajustaron con un modelo de regresión no lineal ponderado y el método de Monte Carlo, descritos a continuación.
42 La suma de resistencias térmicas que intervienen en el proceso de transferencia de calor desde la camisa térmica hacia el interior del biorreactor se muestra en el formato de la Ecuación (3.5).
5 ˜+= 1
ℎ + + 1
ℎ 3.5
Por definición del número Nusselt (Nu=hiD/kf), el coeficiente convectivo interno de transferencia de calor se puede expresar con el formato de la Ecuación (3.6).
ℎ ˜+= n
(hA 3.6
Por sustitución de la Ecuación (3.6) en la Ecuación (3.5), la suma de resistencias o resistencia global se define con la Ecuación (3.7):
5 ˜+= n
(hA + + 1
ℎ 3.7
El número de Nusselt en la Ecuación (3.7) se puede expresar en términos del número Reynolds y Prandtl mostrada en la Ecuación (3.4). Linealizando la suma de resistencias térmicas mostrada con la Ecuación (3.7), la resistencia térmica global se puede expresar en un formato lineal mostrada en la Ecuación (3.8). La visualización gráfica del método de Wilson se muestra en la Figura 3.4.
5 ˜+= z+
k; m<{+ z• 3.8
43 Figura 3.4 Método gráfico de Wilson
El líquido térmico se mantuvo sin movimiento, por lo tanto, se asume que el coeficiente local de transferencia de calor externo (ho) se mantiene constante.
Entonces, la pendiente de la ecuación lineal (C1) y la intersección (C2) se pueden expresar con las Ecuaciones (3.9) y (3.10), respectivamente:
z+= n
z ( 3.9
z•= + 1
ℎ 3.10
El método gráfico de Wilson se aplicó para fijar los límites de inicialización de los parámetros n, C1 y C2 del método de Monte Carlo (Apéndice C). El parámetro n utilizado en tanques agitados generalmente es igual a 2/3 (Mohan et al., 1992), por lo que se utilizó para estimar los parámetros iniciales.
Los limites inferiores y superiores de n, C1 y C2 se fijaron en ±50 % del valor estimado para cada parámetro.
Método de Monte Carlo
La simulación de Monte Carlo se combinó con el método de mínimos cuadrados ponderados para estimar los parámetros de n, C1 y C2 de la Ecuación (3.11) (Sieres & Campo, 2018). En primera instancia, se generó un conjunto de datos de entrada aleatorios asumiendo una distribución normal y
44 con una desviación estándar igual a la obtenida para los coeficientes globales de transferencia Uh y los valores del número de Reynolds calculados experimentalmente para cada velocidad de agitación. Después, se estimaron los coeficientes C1, C2 y n optimizando el modelo de regresión no lineal ponderado expresado con la Ecuación (3.11):
ƒ{ = L ™
5 − …z1 •+ z+
k; m<+ •⁄ †
A4 ›
ˆ •
Š+
3.11
La incertidumbre general (ug) (Bevington & Robinson, 2003) se calculó con la Ecuación (3.12)
A4= L œ•ž,
Ÿhe
•
+ j ¡i
¡k;r
••ž¢
Ÿhe
•
£
ˆ‰
3.12
Se aplicó un algoritmo de optimización global basado en evolución diferencial propuesto por Rainer Storn y Kenneth Price (1997). De esta manera, La Ecuación (3.11) se resolvió mediante la función “de_min” (Apéndice C) del paquete optim de GNU Octave. Donde el vector base en la etapa de mutación fue el valor menor de la función objetivo y se utilizaron dos vectores de diferencia y el método de cruzamiento binomial (Das, Abraham, Chakraborty,
& Konar, 2009). Como criterio de detención se estableció un valor de 1e-10, el tamaño de población fue de 30 individuos. El factor de diferenciación de 0.8 y el coeficiente de cruzamiento de 0.9. El procedimiento anterior se repitió 1e4 veces.
Las distribuciones resultantes de los parámetros n, C1 y C2 de la simulación de Monte Carlo se analizaron con una gráfica de Cullen y Frey (Apéndice E) mediante la función “descdist” del paquete “fitdistrplus” disponible en el software R (R Foundation for Statistical Computing, Vienna, Austria). Se calcularon los intervalos de confianza por percentiles de los parámetros estimados. Para validar el método de Monte Carlo el coeficiente n obtenido se utilizó como valor inicial para estimar los coeficientes C1 y C2 resolviendo la
45 Ecuación (3.6) mediante el algoritmo de Marquardt-Levenberg disponible en el software SigmaPlot (Systat Software, San Jose, CA) versión 12.0.