Formalización

Esta práctica se localizó básicamente en los siglos XVIII y XIX, y contempla la consolidación de la teoría analítica de las funciones. Las funciones trigonométricas son consideradas ya cantidades trascendentes con un estatus funcional y analítico, y resultan fundamentales en la solución de problemas ligados a fenómenos periódicos¹⁵. Pero nuevos fenómenos expandieron su uso, por ejemplo, la transferencia de calor, el enfriamiento de los cuerpos, las vibraciones sonoras y las oscilaciones en la marea. Sin embargo, era necesario un cambio de paradigma para resolver los problemas que plateaban tales fenómenos:

Sobre el paradigma newtoniano, se construyeron una oleada de producciones que extendían los primeros hallazgos sobre el movimiento y el cambio. Se habían estudiado y explicado fenómenos tan diversos soportados en pocas leyes fundamentales, pues se aceptaba que los mismos principios regían tanto el movimiento de los astros, como sus respectivas formas, la diversidad de sus trayectorias, el equilibrio y las oscilaciones de los mares, las

15 El centro de atención pasa del periodo (nuestra variable independiente) a la cantidad que se repite (nuestra variable dependiente).

vibraciones armónicas del aire y de los cuerpos sonoros, la transmisión de la luz, los fenómenos de capilaridad, las ondulaciones de los líquidos, y en fin los más complejos efectos de todas las fuerzas naturales, todo lo cual confirma el célebre pensamiento de Newton expresado en sus Principia.

... Fourier sostiene que tanto las ecuaciones del calor como aquellas que expresan las vibraciones de los cuerpos sonoros, o las oscilaciones últimas de los líquidos pertenecen a la entonces rama del análisis y que a la postre sería el inicio de lo que hemos dado el llamar análisis clásico real.

(Cantoral y Farfán, 2004)

El problema de la transferencia de calor implica el uso de las funciones trigonométricas como un objeto matemático mayor, por así decirlo, denominado serie trigonométrica.

Pero el contexto físico del problema exige un nivel de abstracción avanzado que permita entender la variabilidad dentro de la estabilidad, esto es, entender que en un flujo de calor constante las temperaturas en los puntos difieren.

La actividad matemática central consiste en modelar la variación (distinguiendo lo que varía respecto a qué es lo que produce tal variación) y determinar el estado estacionario. De esto deviene necesario el estudio de la convergencia de la serie trigonométrica infinita, siendo este concepto un pilar en la teoría del análisis.

Denominamos formalización a la práctica social que regula la actividad de este periodo pues constituye el paso del cálculo a su teorización (Cantoral y Farfán, 2004), donde los nuevos resultados se convierten en conceptos que van dando cuerpo y coherencia a la teoría.

Hemos caracterizado hasta este momento, los tres momentos de construcción social de la función trigonométrica a partir de la actividad que le da origen y significación.

Ahí, en cada momento, hemos distinguido elementos que viven actualmente en el discurso matemático escolar como los objetos matemáticos (razón, función y serie), algunos elementos que se han perdido como la actividad experimental de medir (longitudes, distancias y temperaturas) y, finalmente, otros que han sido remitidos a

FORMALIZACIÓN

Matematización de la Transferencia de Calor

Comprobar Medir

Modelar

otras áreas, como el estudio del movimiento circular uniforme (y la explicación del uso del radián) en la física. Sin embargo, es factible encontrar prácticas asociadas a las nociones trigonométricas en otros escenarios. Patricio, et al. (2005) señalan que el uso de las nociones de razón y función trigonométrica es cotidiano en prácticas profesionales como la del arquitecto o el ingeniero:

En comunidades de arquitectos podemos encontrar actividades que están relacionadas con la semejanza y el seno es empleado como una razón entre dos lados, mientras que en comunidades de ingenieros electrónicos la modulación de ondas utiliza al seno como un instrumento periódico, como una onda.

Esto es, identifican las prácticas que se realizan en comunidades vivas fuera del escenario escolar, señalando que hay un divorcio entre dichas prácticas (de semejanza, por ejemplo) y las herramientas escolares (la razón trigonométrica) que teóricamente debieran utilizarse.

En escenario escolar y bajo la perspectiva socioepistemológica, Buendía (2004) estudió cómo la práctica social de predicción permite la construcción de la noción de periodicidad, siendo esta, quizá, la propiedad analítica más importante de la función trigonométrica. De hecho, es con esta función que la periodicidad encuentra definición escolar, en tanto concepto. Cuando hablamos de escenario escolar nos referimos a la exploración que se realiza con estudiantes dentro de una institución educativa, aun cuando los diseños experimentales no sean típicamente escolares o se lleven a cabo fuera del programa o calendario institucional.

Pero ¿podríamos llamar arquitectos a quienes construyeron las pirámides egipcias donde se calculaba el se-qet o ingenieros electrónicos a aquellos que estudiaron por primera vez los movimientos ondulatorios?, ¿de donde parte el conocimiento especializado de los actuales arquitectos o ingenieros si no de la escuela? Pues bien, la investigación en los tres escenarios y en varias direcciones proveerá de la evidencia teórica y empírica para generar la interacción y retroalimentación de los tres escenarios. Esto favorecerá la constitución de un discurso matemática escolar que articule las cuatro componentes de la construcción social del conocimiento y satisfaga las demandas de la sociedad actual. Esta labor precisa de grandes esfuerzos, esta tesis abona en ese camino.