Resultados principales

Lema 4. La funci´on p^M_e ((∇v₁)a+∇q1), soluci´on de la ecuaci´on (3.36), satisface CIhKk(∇v₁)a+∇q1k0,K ≤ kp^M_e ((∇v₁)a+∇q1)k0,K ≤ hK

π k(∇v₁)a+∇q1k0,K, (3.47) para todov₁ ∈P₁(K)², q1 ∈P₁(K).

Demostraci´on. Usando el hecho que (∇v₁)a +∇q1 = ∇p^M_e ((∇v₁)a+∇q1) y de la de- sigualdad inversa (3.46) obtenemos

kp^M_e ((∇v₁)a+∇q₁)k0,K ≥C_Ih_Kk∇p^M_e ((∇v₁)a+∇q₁)k0,K =C_Ih_Kk(∇v₁)a+∇q₁k0,K. Por otra parte, como p^M_e ∈ L²₀(K) aplicamos la desigualdad de Poincar´e generalizada en K y obtenemos

kp^M_e ((∇v₁)a+∇q1)k^0,K ≤ hK

π k∇p^M_e ((∇v₁)a+∇q1)k^0,K

= hK

π k(∇v₁)a+∇q1k^0,K.

y as´ı(3.33) tiene una ´unica soluci´on. Adem´as, sea (u, p)∈ H²(Ω)²×H¹(Ω) la soluci´on del problema (Os) y (u1, p1) la soluci´on de (3.33). Entonces

B((u−u₁, p−p1),(v1, q1)) = 0, ∀(v1, q1)∈V_h×Q¹_h. (3.50)

Demostraci´on. La elipticidad es inmediata de la definici´on de la forma bilineal B(·,·), en efecto,

B((v1, q1),(v1, q1)) = A((v1, q1),(v1, q1))

+ X

K∈Th

αK

ν

χh(q1+x·(∇v₁)a), χh(q1+x·(∇v₁)a)

K

+ X

F∈Eh

τF(ΠF(^[ν∂ⁿv₁+q1n^℄),ΠF(^[ν∂ⁿv₁+q1n^℄))F

=ν|v₁|²1,Ω+ X

K∈Th

α_K

ν kp^M_e ((∇v₁)a+∇q₁)k²0,K + X

F∈Eh

τ_Fk^[ν∂nv₁^℄k²0,F,

y usando el Lema 4, con C=min{1, C_I²}, se tiene (3.49).

En cuanto a la consistencia, notemos que

B((u−u₁, p−p₁),(v₁, q₁)) =B((u, p),(v₁, q₁))−B((u₁, p₁),(v₁, q₁))

=A((u, p),(v1, q1)) +B_T((u, p),(v1, q1)) +B_E((u, p),(v1, q1))

−B((u1, p1),(v1, q1))

=A((u, p),(v₁, q1)) +F_T((v₁, q1))

− X

K∈Th

α_K

ν (p^M_e (R^M(u, p)), p^M_e ((∇v₁)a+∇q₁))_K +B_E((u, p),(v1, q1))−B((u1, p1),(v1, q1))

=− X

K∈Th

αK

ν (p^M_e (R^M(u, p)), p^M_e ((∇v₁)a+∇q1))K

+B_E((u, p),(v1, q1)),

comou∈H²(Ω)² y p∈H¹(Ω) entonces ^[∂nu^℄= 0 y ^[p^℄= 0 en lados internos F, y as´ı los t´erminos asociados a los saltos se anulan. El t´ermino extra en los elementos tambi´en se anula usando el hecho que p^M_e (R^M(u, p)) = 0 para cadaK ∈ Th.

Para demostrar el resultado principal de esta secci´on introducimos el interpolante de Cl´ement Ch (Ver Ern y Guermond [26]), con la obvia extensi´on a funciones evaluadas vectorialmente, el cual satisface

kv−Ch(v)kl,K ≤Ch^m_K^−l|v|m,˜ωK, kv−C_h(v)k0,F ≤Ch^m−

1 2

F |v|m,˜ωF, (3.51)

para todo v ∈ H^m(Ω), donde 0 ≤ l ≤ m, m = 1,2, la constante C es positiva, indepen- diente deh. Recordemos que las vecindades ˜ωK y ˜ωF fueron definidos en (2.3).

Teorema 1. Supongamos que(u, p), soluci´on de la ecuaci´on (2.14), pertenece aH²(Ω)²× H¹(Ω) y sea (u₁, p₁) la soluci´on de la ecuaci´on (3.33). Entonces, existe C > 0, indepen- diente de h, a y ν, tal que

k(u−u₁, p−p1)kh ≤Ch √

νm´ax{1, ϑ^3/2}kuk2,Ω+ 1

√ν|p|1,Ω

, (3.52)

donde ϑ:= kak∞,Ωh 18ν .

Demostraci´on. Sea ( ˜u₁,p˜1) = (Ch(u), Ch(p)−ΠΩ(Ch(p))),sean (w1, q1) := (u1−u˜₁, p1−

˜

p1) y (ζ^u, ζ^p) := (u−u˜₁, p−p˜1). Entonces,

k(u−u₁, p−p₁)kh =k(u−u˜₁+ ˜u₁−u₁, p−p˜₁+ ˜p₁−p₁)kh

=k(u−u˜₁, p−p˜1) + ( ˜u₁−u₁,p˜1−p1)kh

≤ k(ζ^u, ζ^p)k^h+k(w1, q1)k^h, (3.53) es claro que el error de interpolaci´onζ^p tambi´en satisface la primera desigualdad en (3.51), entonces el t´ermino k(ζ^u, ζ^p)k^h es acotado usando (3.51), la desigualdad de trazas local (3.45), la regularidad de la malla y el Lema 3. Con lo que obtenemos

k(ζ^u, ζ^p)k²h ≤ν|ζ^u|²1,Ω+ X

K∈Th

αKh²_K

ν k(∇ζ^u)a+∇ζ^pk²0,K+ X

F∈Eh

hF

2νk^[ν∂ⁿζ^u℄k²0,F

≤ν|ζ^u|²1,Ω+ X

K∈Th

αKh²_K

ν k(∇ζ^u)a+∇ζ^pk²0,K+C1 ν

X

K∈Th

hKkν∇ζ^uk²0,∂K

≤ν|ζ^u|²1,Ω+ X

K∈Th

αKkak²_∞,Kh²_K

ν |ζ^u|²1,K + X

K∈Th

α_Kh²_K

ν k∇ζ^pk²0,K

+C1 ν

X

K∈Th

kν∇ζ^uk²0,K +h²_K|ν∇u|²1,K

≤ν|ζ^u|²1,Ω+ X

K∈Th

18|K|^1/2

kak0,K kak²_∞,Kh_K|ζ^u|²1,K + X

K∈Th

h²_K ν |ζ^p|²1,K

+C1 ν

X

K∈Th

kν∇ζ^uk²0,K +h²_K|ν∇u|²1,K

≤ν|ζ^u|²1,Ω+C X

K∈Th

1

18kak0,Kkak²_∞,Kh²_K|ζ^u|²1,K + X

K∈Th

h²_K ν |ζ^p|²1,K

+C X

K∈Th

νk∇ζ^uk²0,K+h²_Kν|∇u|²1,K

≤ν|ζ^u|²1,Ω+C X

K∈Th

kak∞,Kh_K

18 |ζ^u|²1,K

+C (

X

K∈Th

ν|ζ^u|²1,K +νh²_K|u|²2,K + h²_K ν |p|²1,˜ωK

)

≤C1νh²|u|²2,Ω+C2kak∞,Ωh³ 18 |u|²2,Ω

+C (

X

K∈Th

νh²_K|u|²2,K +νh²_K|u|²2,K+ h²_K ν |p|²1,˜ωK

)

≤C

νh²|u|²2,Ω+kak∞,Ωh³

18 |u|²2,Ω+h² ν |p|²1,Ω

=Ch²

ν|u|²2,Ω+kak∞,Ωh

18 |u|²2,Ω+ 1 ν|p|²1,Ω

=Ch²

ν

|u|²2,Ω+ kak∞,Ωh 18ν |u|²2,Ω

+ 1

ν|p|²1,Ω

≤Ch²

νm´ax{1, ϑ}|u|²2,Ω+ 1 ν|p|²1,Ω

. (3.54)

Para el t´ermino k(w1, q1)k^h en (3.53) usamos los Lemas 4, 5, el hecho que a es un campo

solenoidal, integramos por partes y usando la desigualdad de Cauchy-Schwartz, obtenemos Ck(w1, q1)k²h ≤B((w1, q1),(w1, q1))

=B((u₁−u˜₁, p1−p˜1),(w₁, q1)) +B((u−u₁, p−p1),(w₁, q1))

=B((ζ^u, ζ^p),(w1, q1))

=ν(∇ζ^u,∇w₁)_Ω−(ζ^p,∇ ·w₁)_Ω+ (q₁,∇ ·ζ^u)_Ω+ ((∇ζ^u)a,w₁)_Ω

+ X

K∈Th

αK

ν (χh(x·((∇ζ^u)a+∇ζ^p)), χh(x·(∇w₁)a+q1))_K

+ X

F∈Eh

τF (^[ν∂nζ^u℄,^[ν∂nw₁^℄)_F

≤ν(∇ζ^u,∇w₁)Ω−(∇ ·a, ζ^u·w₁)Ω

− X

K∈Th

(ζ^p,∇ ·w₁)K−(∇q1+ (∇w₁)a, ζ^u)K

+ X

K∈Th

αK

ν p^M_e ((∇ζ^u)a−ν∆u+∇p), p^M_e ((∇w₁)a+∇q1)

K

+ X

F∈Eh

τF (^[ν∂nζ^u℄,^[ν∂nw₁^℄)_F

≤ν|ζ^u|1,Ω|w₁|1,Ω+ X

K∈Th

kζ^pk0,K|w₁|1,K

+ X

K∈Th

√ν

√α_Kh⁻_K¹kζ^uk^0,K

√α_K

√ν hKk(∇w₁)a+∇q1k^0,K

+ X

K∈Th

αK

ν

p^M_e ((∇ζ^u)a−ν∆u+∇p) 0,K

p^M_e ((∇w₁)a+∇q1) 0,K

+ X

F∈Eh

τF k^[ν∂ⁿζ^u℄k0,Fk^[ν∂ⁿw₁^℄k0,F

≤C (

ν|ζ^u|²1,Ω+ X

K∈Th

h

να⁻_K¹h⁻_K²kζ^uk²0,K + 1

νkζ^pk²0,K

i

+ X

F∈Eh

τF k^[ν∂nζ^u℄k²0,F

+ X

K∈Th

αK

ν

p^M_e ((∇ζ^u)a−ν∆u+∇p) ²

0,K

)1/2(

ν|w₁|²1,Ω

+ X

K∈Th

αKh²_K

ν k(∇w₁)a+∇q1k²0,K + X

F∈Eh

τF k^[ν∂ⁿw₁^℄k²0,F

+ν X

K∈Th

|w₁|²1,K + X

K∈Th

αK

ν

p^M_e ((∇w₁)a+∇q1) ²

0,K

)1/2

≤C (

k(ζ^u, ζ^p)k²h+ν X

K∈Th

α⁻_K¹h⁻_K²kζ^uk²0,K +h²_K ν |p|²1,˜ωK

+ X

K∈Th

α_K ν

kp^M_e ((∇ζ^u)a)k²0,K +kp^M_e (−ν∆u+∇p)k²0,K

)1/2

(

k(w1, q1)k²h+ X

K∈Th

αK

ν kp^M_e ((∇w₁)a+∇q1)k²0,K

)1/2

.

Definamosα:= m´ax{α_K :K ∈ Th}, entonces, por los Lemas1,2y 4, la linealidad dep^M_e , la identidad p^M_e (∇p) = χh(p), (3.51) y la regularidad de la malla, obtenemos

Ck(w1, q1)k²h ≤C (

k(ζ^u, ζ^p)k²h+ν X

K∈Th

α⁻_K¹h²_K|u|²2,˜ωK + h²_K ν |p|²1,˜ωK

+C X

K∈Th

αKkak²_∞,Kh⁴_K

ν |u|²2,˜ωK

+ X

K∈Th

αK

ν kp^M_e (−ν∆u)k²0,K + X

K∈Th

αK

ν kp^M_e (∇p)k²0,K

)1/2

(

k(w1, q1)k²h+ X

K∈Th

αKh²_K

ν k(∇w₁)a+∇q1k²0,K

)1/2

≤C (

k(ζ^u, ζ^p)k²h+ m´ax

1,kak∞,Ωh 18ν

νh²|u|²2,Ω+ h² ν |p|²1,Ω

+ αkak²_∞,Ωh⁴

ν m´ax

1,kak²_∞,Ωh² ν²

|u|²2,Ω

+ X

K∈Th

α_K ν

ν|u^M_e (ν∆u)|1,K +kp^M_e (ν∆u)k0,K

2

+ X

K∈Th

αKh²_K ν |p|²1,K

)1/2

k(w1, q1)k^h

≤C (

k(ζ^u, ζ^p)k²h+ m´ax

1,kak∞,Ωh 18ν

νh²|u|²2,Ω

+ αkak²_∞,Ωh⁴

ν m´ax

1,kak²_∞,Ωh² ν²

|u|²2,Ω

+ αm´ax

1,kak²_∞,Ωh² ν²

νh²|u|²2,Ω+h² ν |p|²1,Ω

^1/2

k(w₁, q₁)kh

≤C (

k(ζ^u, ζ^p)k²h+νm´ax (

1,

kak∞,Ωh 18ν

3)

h²|u|²2,Ω+h² ν |p|²1,Ω

)1/2

k(w1, q1)k^h. (3.55) As´ı (3.52) se obtiene, usando (3.54) y (3.55) en (3.53).

Estimador de Error a Posteriori

En este cap´ıtulo introducimos y analizamos un estimador de error a posteriori de tipo residual para el m´etodo RELP estudiado en el cap´ıtulo anterior. Al igual que en secciones anteriores, supondremos, por simplicidad quea|^K,f|^K ∈R² y supondremos una aproximaci´on P²

1×P₁, de donde las funciones que aproximan a la presi´on son continuas.

En el caso de no considerar f constante a trozos, t´erminos de orden superior podr´ıan aparecer en el an´alisis sin que afecten significativamente al mismo.

4.1. Resultados Preliminares

En esta secci´on introducimos las funciones burbuja y otras definiciones necesarias m´as adelante para la demostraci´on del teorema principal de este cap´ıtulo.

Para todo K ∈ T^h, definimos la funci´on burbuja por elemento, por bK := 27 Y

x∈N(K)

λx,

donde λx denota la coordenada baric´entrica asociada al nodo x y N(K) es el conjunto de v´ertices de K. Sea ˆK el tri´angulo de referencia, de v´ertices nˆ₁ := (1,0), nˆ₂ := (0,1), ˆ

n₃ := (0,0), entonces

bFˆ := 4ˆλ1λˆ3 en ˆK,

42

donde ˆF :={(t,0)∈R² : 0 ≤t≤1}. Luego, seaF ∈ E^h y supongamos queωF =K1∪K2, entonces definimosGF,i como la transformaci´on af´ın (que preserva la orientaci´on) dada en laFigura 4.1 y tal que GF,i( ˆK) =Ki y GF,i( ˆF) =F, i= 1,2.

Figura 4.1: Transformaci´on Af´ın GF,i, i= 1,2.

Definimos la funci´on burbuja asociada aF ∈ Eh por bF :=

( bFˆ ◦G⁻¹_F,i en Ki, i= 1,2

0 en Ω\ωF

Sea ˆΥ := {(x,0) : x∈R} y sea ˆQ: R² →Υ la proyeci´on ortogonal deˆ R² en ˆΥ. Introdu- cimos el operador de levantamiento ˆPFˆ :P_k( ˆF)→P_k( ˆK) por

PˆFˆ(ˆs) = ˆs◦Qˆ ∀sˆ∈P_k( ˆF).

Sea K_i ⊆ω_F, definimos otro operador de levantamiento ˆP_F,Ki :P_k(F)→P_k(K_i) por PF,Ki(s) = ˆPFˆ(s◦GF,i)◦G⁻¹_F,i.

Usando estas notaciones se puede definir un ´ultimo operador de levantamiento PF : P_k(F)→P_k(ωF) por

PF(s) :=

( PF,K1(s) en K1

PF,K2(s) en K2

, ∀s ∈P_k(F),

y para s= (s1, s2)∈P_k(F)² denotamos

P(s) = (PF(s1), PF(s2)). (4.1)

4.2. Estimador Residual

En esta secci´on introducimos el estimador de error de tipo residual, bas´andonos en [6]

y analizamos te´oricamente el comportamiento del mismo.

Para todo K ∈ Th y para todoF ∈ Eh, definimos los siguientes residuos

R_K := (f +ν∆u1−(∇u₁)a− ∇p1)|^K (4.2)

R_F :=^[−ν∂nu₁^℄_F. (4.3)

De esta definici´on, integrando por partes, obtenemos que para todo (v, q) en V×Q A((e^u, e^p),(v, q)) =ν(∇(u−u₁),∇v)Ω+ ((∇(u−u₁))a,v)Ω−(p−p1,∇ ·v)Ω

+ (q,∇ ·(u−u₁))Ω

= (f,v)_Ω−ν(∇u₁,∇v)_Ω−((∇u₁)a,v)_Ω+ (p₁,∇ ·v)_Ω

−(q,∇ ·u₁)Ω

= X

K∈Th

n(f,v)_K−ν(∇u₁,∇v)_K−((∇u₁)a,v)_K + (p₁,∇ ·v)_Ko

−(q,∇ ·u₁)Ω

= X

K∈Th

n

(f,v)K+ (ν∆u1,v)K−((∇u₁)a,v)K−(∇p1,v)K

o

+ X

K∈Th

n−(ν∂nu₁,v)_∂K+ (p₁n,v)_∂Ko

−(q,∇ ·u₁)_Ω

= X

K∈Th

(f +ν∆u1−(∇u₁)a− ∇p1,v)K

+ X

F∈Eh

(^[−ν∂ⁿu₁+p1n^℄,v)F −(q,∇ ·u₁)Ω,

por lo tanto

A((e^u, e^p),(v, q)) = X

K∈Th

(RK,v)K+ X

F∈Eh

(RF,v)F −(q,∇ ·u₁)Ω, (4.4)

donde e^u := u − u₁ y e^p := p −p₁. Recordemos que (u, p) ∈ V × Q es la soluci´on del problema continuo (2.14) y de ahora en adelante (u1, p1) ∈ V_h ×Q¹_h es la soluci´on entregada por el m´etodo (3.32).

Luego, de la definici´on de los residuos y del m´etodo estabilizado, se tiene que para todo v₁ ∈V_h

A((e^u, e^p),(v1,0)) =A((u, p),(v1,0))−A((u1, p1),(v1,0))

= (f,v₁)_Ω−A((u₁, p₁),(v₁,0))

= (f,v₁)Ω−B((u˜ 1, p1),(v1,0)) +B_T((u1, p1),(v1,0)) +B_γ((u1, p1),(v1,0)) +B_E((u1, p1),(v1,0))

= (f,v₁)Ω−F(v₁,0) +B_T((u₁, p1),(v₁,0)) +B_γ((u1, p1),(v1,0)) +B_E((u1, p1),(v1,0))

=−F_T(v1,0) +B_T((u1, p1),(v1,0))

+B_γ((u1, p1),(v1,0)) +B_E((u1, p1),(v1,0))

=− X

K∈Th

α

ν(χh(x·f), χh(x·(∇v₁)a))K

+ X

K∈Th

α

ν(χh(p1+x·(∇u₁)a), χh(x·(∇v₁)a))K

+ X

K∈Th

γ

ν(χh((a·x)(∇ ·u₁)), χh((a·x)(∇ ·v₁)))K

+ X

F∈Eh

τF(^[ν∂ⁿu₁^℄,^[ν∂ⁿv₁^℄)F

= X

K∈Th

α

ν(χh(x·(−f +∇p1+ (∇u₁)a)), χh(x·(∇v₁)a))K

+ X

K∈Th

γ

νkχh((a·x)(∇ ·u₁))k^0,Kkχh((a·x)(∇ ·v₁))k^0,K

+ X

F∈Eh

τF(^[ν∂nu₁^℄,^[ν∂nv₁^℄)F

≤ X

K∈Th

α

νkχh(x·(−f +∇p1+ (∇u₁)a)k0,Kkχh(x·(∇v₁)a)k0,K

+ X

K∈Th

γ

νh²_K|(a·x)(∇ ·u₁)|1,K|(a·x)(∇ ·v₁)|1,K

+ X

F∈Eh

τFk^[ν∂ⁿu₁^℄k0,Fk^[ν∂ⁿv₁^℄k0,F

≤C (

X

K∈Th

α

νh²_K|x·(−f +∇p1+ (∇u₁)a)|1,K|x·(∇v₁)a)|1,K

+ X

K∈Th

γ

νh²_K|∇ ·u₁| |∇ ·v₁| |a·x|²1,K

+ X

F∈Eh

τFkR_Fk0,Fk^[ν∂nv₁^℄k0,F

)

≤C (

X

K∈Th

α

νh²_Kk(−f +∇p1 + (∇u₁)a)k^0,Kk(∇v₁)a)k^0,K

+ X

K∈Th

γkak²0,K

ν

h²_K

|K|k∇ ·u₁k^0,Kk∇ ·v₁k^0,K

+ X

F∈Eh

τFkR_Fk^0,Fk^[ν∂nv₁^℄k^0,F )

≤C (

X

K∈Th

α

νh²_KkR_Kk0,Kk(∇v₁)ak0,K + X

F∈Eh

τFkR_Fk0,Fk^[ν∂ⁿv₁^℄k0,F

+ X

K∈Th

γkak²0,K

ν k∇ ·u₁k0,Kk∇ ·v₁k0,K

)

≤C (

X

K∈Th

h²_K

P eKνkR_Kk^0,Kk(∇v₁)ak^0,K + X

F∈Eh

τFkR_Fk^0,Fk^[ν∂nv₁^℄k^0,F

+ X

K∈Th

kak²0,K

P eKν k∇ ·u₁k0,Kk∇ ·v₁k0,K

)

≤C (

X

K∈Th

hKkR_Kk0,K|v₁|1,K + X

F∈Eh

τFkR_Fk0,Fk^[ν∂nv₁^℄k0,F

+ X

K∈Th

kak^0,Kk∇ ·u₁k^0,K|v₁|^1,K )

(4.5)

donde la constanteC es positiva e independiente de h,ν y a.

El siguiente resultado corresponde a una condici´on inf-sup para la forma bilinealAdefinida en (2.15).

Lema 6. Sea (v, q)∈V×Q, entonces existe una constante positiva C, independiente de h, ν y a, tal que

√ν|v|1,Ω+ 1

√νkqk0,Ω ≤Cm´ax

1,kak∞,Ω

ν 2

sup

(w,t)∈V×Q−{0}

A((v, q),(w, t))

√ν|w|1,Ω+^√1_νktk0,Ω

(4.6) Demostraci´on. Para la demostraci´on revisamos la Proposici´on 2.36 en [26], de donde te- nemos los siguientes resultados

√ν|v|1,Ω ≤ 1

β + 1 α

1 + kak^(V×V)^′

β

sup

(w,t)∈V×Q−{0}

A((v, q),(w, t))

√ν|w|1,Ω+^√1_νktk0,Ω

√1

νkqk0,Ω ≤ 1 β

1 +kak(V×V)^′

1 β + 1

α

1 + kak^(V×V)^′

β

sup

(w,t)∈V×Q−{0}

A((v, q),(w, t))

√ν|w|1,Ω+ ^√1_νktk0,Ω

, donde α y β son constantes que vienen de las condiciones inf-sup de las formas a y b

respectivamente, que en nuestro caso son independientes de h, ν y a. Luego, usamos el hecho que

kak(V×V)^′ := sup

v,w∈V,v,w6=0

a(v,w)

√ν|v|^1,Ω√

ν|w|^1,Ω ≤C1m´ax

1,kak∞,Ω

ν

de donde se tiene el resultado y la constante C depende de la constante de Poincar´e en H₀¹(Ω)², de α y de β, es decir, es independiente de h, ν y a

4.2.1. Resultado Principal

A continuaci´on presentamos el estimador de error a posteriori de tipo residual y mos- tramos su equivalencia con el error de aproximaci´on del m´etodo RELP.

Definimos el estimador residualη como sigue:

η

:=

( X

K∈Th

η

²_R,K

)1/2

,

donde para cadaK ∈ T^h

η

²_R,K := h²_K

ν kR_Kk²0,K +1 2

X

F∈E(K)∩Eh

h_F

ν kR_Fk²0,F +νk∇ ·u₁k²0,K. (4.7) Con las definiciones anteriores, presentamos el teorema principal de este cap´ıtulo que muestra la equivalencia entre este estimador y el error de aproximaci´on obtenido al utilizar el m´etodo RELP.

Teorema 2. Sea (u, p)∈V×Qla soluci´on de (2.14) y sea(u₁, p1)∈V_h×Q¹_h la soluci´on de (3.32), entonces existen constantes positivas C₁ yC₂, independientes deh, ν y a, tales que

|u−u₁|+kp−p1k ≤C1m´ax

1,kak∞,Ω

ν 3

η

^{, (4.8)}

C2m´ax

1,kak0,ωK

ν

₋1

η

_R,K ≤√

ν|u−u₁|1,ωK + 1

√νkp−p1k0,ωK. (4.9) Demostraci´on. Cota superior:

Sea (v, q)∈H₀¹(Ω)²×L²₀(Ω) y sea ˜v₁ :=C^h(v)∈V_hel interpolante de Cl´ement. Aplicando (4.4) a (v−v˜₁, q) se tiene

A((e^u, e^p),(v−v˜₁, q)) = X

K∈Th

(RK,v−v˜₁)K+ X

F∈Eh

(RF,v−v˜₁)F −(q,∇ ·u₁)Ω

≤ X

K∈Th

kR_Kk0,Kkv−v˜₁k0,K + X

F∈Eh

kR_Fk0,Fkv−v˜₁k0,F

+kqk0,Ωk∇ ·u₁k0,Ω, luego, por lo anterior y la desigualdad (4.5) tenemos

A((e^u, e^p),(v, q)) =A((e^u, e^p),(v−v˜₁, q)) +A((e^u, e^p),(˜v₁,0))

≤C (

X

K∈Th

kR_Kk0,Kkv−v˜₁k0,K+ X

F∈Eh

kR_Fk0,Fkv−v˜₁k0,F

+kqk^0,Ωk∇ ·u₁k^0,Ω+ X

K∈Th

hKkR_Kk^0,K|v˜₁|^1,K

+ X

F∈Eh

τFkR_Fk0,Fk^[ν∂ⁿv˜₁^℄k0,F

+ X

K∈Th

kak0,Kk∇ ·u₁k0,K|v˜₁|1,K

)

≤C (

X

K∈Th

hKkR_Kk0,K|v|1,˜ωK + X

F∈Eh

h^1/2_F kR_Fk0,F|v|1,˜ωF

+ kqk0,Ωk∇ ·u₁k0,Ω+ X

K∈Th

hKkR_Kk0,K|v˜₁|1,K

+ X

F∈Eh

hFkR_Fk^0,Fk^[∂nv˜₁^℄k^0,F

+ X

K∈Th

kak0,Kk∇ ·u₁k0,K|v˜₁|1,K

)

≤C (

X

K∈Th

h²_K

ν kR_Kk²0,K + X

F∈Eh

hF

ν kR_Fk²0,F +νk∇ ·u₁k²0,Ω

)1/2

( X

K∈Th

ν|v|²1,˜ωK + X

F∈Eh

ν|v|²1,˜ωF + 1

νkqk²0,Ω+ X

K∈Th

ν|v˜₁|²1,K

+ X

F∈Eh

νhFk^[∂nv˜₁^℄k²0,F + X

K∈Th

kak²0,K

ν |v˜₁|²1,K

)1/2

.

Usando la regularidad de la malla, tenemos que X

K∈Th

ν|v|²1,˜ωK + X

F∈Eh

ν|v|²1,˜ωF ≤Cν|v|²1,Ω,

adem´as

X

K∈Th

kak²0,K

ν k∇ ·v˜₁k²0,K ≤ X

K∈Th

kak²0,K

ν |v˜₁|²1,K

≤C

kak0,Ω

ν 2

X

K∈Th

ν|v˜₁|²1,K

≤C

kak∞,Ω

ν 2

X

K∈Th

ν|v˜₁|²1,K

≤C

kak∞,Ω

ν 2

ν|v|²1,Ω.

Por otra parte, usando el Teorema de trazas local (3.45), obtenemos X

K∈Th

ν|v˜₁|²1,K + X

F∈Eh

νhFk^[∂ⁿv˜₁^℄k²0,F ≤C (

ν|v|²1,Ω+ X

K∈Th

νhKk∂ⁿv˜₁k²0,∂K

)

≤C (

ν|v|²1,Ω+ν X

K∈Th

hK[h⁻_K¹|v˜₁|²1,K +hK|v˜₁|²2,K] )

≤Cν|v|²1,Ω. As´ı, para todo (v, q)∈V×Q se tiene que:

A((e^u, e^p),(v, q))≤C (

m´ax

1,kak∞,Ω

ν 2

ν|v|²1,Ω+ 1 νkqk²0,Ω

)1/2

η

≤Cm´ax

1,kak∞,Ω

ν ν|v|²1,Ω+ 1 νkqk²0,Ω

1/2

η

^{, (4.10)}

por lo tanto, usamos elLema 6, aplicado a (e^u, e^p)∈V×Qy obtenemos

√ν|e^u|1,Ω+ 1

√νke^pk0,Ω ≤Cm´ax

1,kak∞,Ω

ν 2

sup

(v,q)∈V×Q−{0}

A((e^u, e^p),(v, q))

√ν|v|1,Ω+^√1_νkqk0,Ω

≤Cm´ax

1,kak∞,Ω

ν 3

sup

(v,q)∈V×Q−{0}

{ν|v|²1,Ω+ ¹_νkqk²0,Ω}^1/2

η

√ν|v|1,Ω+^√1_νkqk0,Ω

≤C1m´ax

1,kak∞,Ω

ν 3

η

, lo que demuestra (4.8).

Cota inf erior:

Para todo K ∈ Th y F ∈ Eh, sean bK y bF las funciones burbuja por elemento y por lado, respectivamente. Sea adem´asb_K :=bKR_K. Entonces se tiene los siguientes resultados

CkR_Kk²0,K ≤(RK,b_K)K ≤ kR_Kk²0,K (4.11) CkR_Fk²0,F ≤ (RF, bFR_F)F ≤ kR_Fk²0,F. (4.12) Las cotas superiores son claras, sabiendo quebK ≤ 1, quebF ≤1 y usando la desigualdad

de Cauchy-Schwarz. Para las cotas inferiores citamos el trabajo realizado en el Lema 3.3 de [45] o en el Teorema 19 de [3], para el caso escalar y su extensi´on vectorial. As´ı, usando el hecho que b_K ∈H₀¹(K)², obtenemos

(RK,b_K)K = X

K^′∈Th

(RK^′,b_K)K^′ =A((u−u₁, p−p1),(bK,0))

=ν(∇(u−u₁),∇b_K)K+ ((∇(u−u₁))a,b_K)K−(p−p1,∇ ·b_K)K

≤ν|u−u₁|^1,K|b_K|^1,K +|u−u₁|^1,Kkak∞,Kkb_Kk^0,K +kp−p1k^0,K|b_K|^1,K

≤C (

νh⁻¹_K |u−u₁|1,Kkb_Kk0,K+

kak0,K

18|K|^1/2ν

ν|u−u₁|1,Kkb_Kk0,K

+h⁻_K¹kp−p1k0,Kkb_Kk0,K

)

≤C (

ν|u−u₁|^1,K +kp−p1k^0,K )

m´ax

kak^0,K 18|K|^1/2ν, h⁻_K¹

kb_Kk^0,K

≤C √

ν|u−u₁|1,K + 1

√νkp−p1k0,K

√

νh⁻_K¹m´ax{P eK,1}kR_Kk0,K, lo que implica que

αhK

√νkR_Kk^0,K ≤C √

ν|u−u₁|^1,K+ 1

√νkp−p1k^0,K

, (4.13)

y tambi´en hK

√νkR_Kk0,K ≤Cm´ax

1,kak0,ωK

ν

√ν|u−u₁|1,K+ 1

√νkp−p1k0,K

. (4.14) Por otro lado, como u ∈ H₀¹(Ω)² tenemos que ∇ ·u ∈ L²₀(Ω) de donde, por (2.14),

∇ ·u= 0 ctp en Ω. Usando este hecho, (4.11) y b_K ∈H₀¹(K), obtenemos:

k∇ ·u₁k²0,K = (∇ ·u₁,∇ ·u₁)K

≤C(∇ ·u₁, bK∇ ·u₁)K

=C(∇ ·u₁, bK∇ ·u₁)Ω

=C(∇ ·(u1−u), bK∇ ·u₁)Ω

=C(∇ ·(u1−u), bK∇ ·u₁)K

≤C|u−u₁|^1,KkbK∇ ·u₁k^0,K

≤C|u−u₁|1,Kk∇ ·u₁k0,K, de donde

√νk∇ ·u₁k0,K ≤Cm´ax{1,kak0,ωK

ν }√

ν|u−u₁|1,K. (4.15) Finalmente, seaF ∈ Eh. Usando (4.12), la definici´on de P_F , y el hecho quebF ∈H₀¹(ωF), se tiene

kR_Fk²0,F ≤C(RF, bFR_F)F

≤C (

X

K⊆ωF

(RK, bFP_F(RF))K−A((u−u₁, p−p1),(bFP_F(RF),0)) )

≤C (

X

K⊆ωF

kR_Kk^0,KkbFP_F(RF)k^0,K+ ((∇(u−u₁))a, bFP_F(RF))Ω

+ν(∇(u−u₁),∇(bFP_F(R_F)))Ω−(p−p1,∇ ·(bFP_F(R_F)))Ω

)

≤C (

X

K⊆ωF

kR_Kk^0,KkbFP_F(RF)k^0,K+ X

K⊆ωF

((∇(u−u₁))a, bFP_F(RF))K

+ν(∇(u−u₁),∇(bFP_F(R_F)))ωF −(p−p1,∇ ·(bFP_F(R_F)))ωF

)

≤C (

X

K⊆ωF

kR_Kk0,Kkb_FP_F(R_F)k0,K+ X

K⊆ωF

kak∞,K|u−u₁|1,Kkb_FP_F(R_F)k0,K

+ν|u−u₁|1,ωF|b_FP_F(R_F))|1,ωF +kp−p₁k0,ωF|(b_FP_F(R_F))|1,ωF

)

≤C (

X

K⊆ωF

hKα

√ν kR_Kk^0,Kα⁻¹√

ν|bFP_F(RF)|^1,K

+ X

K⊆ωF

kak∞,Kh_K ν

√ν|u−u₁|1,K

√ν|bFP_F(RF)|1,K

+ν|u−u₁|1,ωF|bFP_F(R_F)|1,ωF +kp−p1k0,ωF|bFP_F(R_F)|1,ωF

)

≤C (

X

K⊆ωF

h²_Kα²

ν kR_Kk²0,K + X

K⊆ωF

ν|u−u₁|²1,K

+ ν|u−u₁|²1,ωF + 1

νkp−p₁k²0,ωF

1/2( X

K⊆ωF

α⁻²ν|b_FP_F(R_F)|²1,K

+ X

K⊆ωF

kak²_∞,Kh²_K

ν² ν|bFP_F(RF)|²1,K + 2ν|bFP_F(RF)|²1,ωF

)1/2

≤C

ν|u−u₁|²1,ωF + 1

νkp−p1k²0,ωF

1/2

( X

K⊆ωF

α⁻²+kak²_∞,Kh²_K ν²

)1/2

√ν|bFP_F(R_F)|1,ωF

≤C

ν|e^u|²1,ωF + 1

νke^pk²0,ωF

1/2

( X

K⊆ωF

m´ax{1, P eK}²+kak²_∞,Kh²_K ν²

)^1/2

√νh^−1/2_F kR_Fk^0,F

≤C

ν|e^u|²1,ωF + 1

νke^pk²0,ωF

1/2

m´ax

1,kak^0,ωF

ν

√

νh^−1/2_F kR_Fk^0,F.

As´ı, (4.9) es una consecuencia de esta ´ultima desigualdad, sumando sobre F ∈ E(K) y usando (4.14) y (4.15).

Resultados Num´ ericos

En este cap´ıtulo validaremos num´ericamente las estimaciones de error a priori y a posteriori demostradas en cap´ıtulos anteriores, adem´as mostraremos en detalle la imple- mentaci´on del m´etodo RELP, para el caso P²

1×P₁.

5.1. Implementaci´ on

5.1.1. Resultados b´ asicos

Para la implementaci´on del m´etodo RELP y del estimador de error a posteriori utiliza- remos las siguientes definiciones y resultados. Sea Th una tri´angulaci´on cualquiera de Ω y sea K ∈ Th un tri´angulo cualquiera de esa triangulaci´on, entonces denotamos sus v´ertices por

n₁ := x¹ y¹

!

,n₂ := x² y²

!

,n₃ := x³ y³

! . Sea ˆK el tri´angulo de referencia, es decir, el tri´angulo de v´ertices

ˆ

n₁ := 0 0

!

,nˆ₂ := 1 0

!

,ˆn₃ := 0 1

! .

54

Denotemos por xy ˆxlos sistemas coordenados dados por:

x:= x y

!

y xˆ := xˆ ˆ y

! ,

y consideremos la transformaci´on af´ın invertibleF : ˆK →K tal queF(ˆn_i) =n_i,i= 1,2,3.

(Ver Figura 5.1). Es claro que

F( ˆx) := Cˆx+c=x Donde la matrizCy el vector c est´an dados por:

C:= x²−x¹ x³−x¹ y²−y¹ y³−y¹

!

c:= x¹ y¹

!

Figura 5.1: Transformaci´on af´ın F.

Nota 5. Es claro que la transformaci´on F es invertible y que F⁻¹ : K → Kˆ est´a dada por

F⁻¹(x) = C⁻¹x−C⁻¹c= ˆx.

Adem´as

J_F =C

|J_F|= det(C) = 2|K|. Dado u:K →R, sea uˆ: ˆK →R definido por

ˆ

u:=u◦ F. Usando la regla de la cadena obtenemos

∇ˆuˆ:=C^T∇u, de donde

∇u:=C^−T∇ˆu.ˆ Por ´ultimo recordamos la siguiente f´ormula de integraci´on

Z

K

u dx=|J_F| Z

Kˆ

ˆ u dx.ˆ

5.1.2. Esquema Matricial

En esta secci´on veremos c´omo calcular la matriz elemental asociada a cada uno de los elementos de la triangulaci´on. Recordemos que la soluci´on aproximada estar´a dada por funciones continuas y lineales sobre cada elemento. En general esta forma de calcular la matriz elemental puede ser r´apidamente extendida a ´ordenes de interpolaci´on mayores as´ı como a 3D.

Para los c´alculos sobreK se usan las siguientes notaciones:

[P] := [p1 p2 p3]1×3,

[DP] :=





∂1p1 ∂1p2 ∂1p3,

∂2p1 ∂2p2 ∂2p3





2×3

,

dondepi, i = 1,3 son las funciones de base de Vh sobre cada tri´angulo K y ∂1, ∂2 son las derivadas con respecto a cada variable. Notemos que para el tri´angulo de referencia, las funciones de base son:

[ ˆP] := [1−xˆ−yˆ xˆ y]ˆ1×3

As´ı podemos escribir:

u_|K = [P][u], p_|K = [P][p], x_|K = [P][x], donde

[P] :=





[P] 0 0 [P]





2×6

,

[u] :=













u₁(n₁) u1(n2) u1(n3) u2(n1) u2(n2) u2(n₃)













6×1

=





[u1]3×1

[u₂]_3×1



,

[p] :=



 p(n1) p(n2) p(n3)





3×1

,

y

[x] :=











 x¹ x² x³ y¹ y² y³













6×1

.

Adem´as

∇u_|K = [DP] [u], donde

[DP] :=





[DP] 0 0 [DP]





4×6

.

Para la construcci´on de las matrices locales, notemos primero que

x·(∇u)a=x·





∂₁u₁ ∂₂u₁

∂1u1 ∂2u2







 a₁ a2





=x·





a1∂1u1+a2∂2u1

a1∂1u1+a2∂2u2





= [x]^T_1×6[P]^T_6×2[P]_2×6[ab]_6×4[DP]_4×6[u]_6×1, y que

(a·x)(∇ ·u) = (a1x+a2y)(∂1u1+∂2u2)

= [P]_1×3[a^a]_3×2[P]_2×6[x]_6×1[Z]_1×4[DP]_4×6[u]_6×1, donde:

[Z]_1×4 = [1 0 0 1]

[aa]_3×2 =





a1(n1) a2(n1) a₁(n₂) a₂(n₂) a₁(n₃) a₂(n₃)





[ab]_6×4 =





[a^a]3×2 0 0 [a^a]3×2



.

Nota 6. Otra forma de implementar el campo advectivo, en vez de interpolar sobre cada tri´angulo, es calcular la proyecci´on de a sobre las constantes, es decir

[P]_2×6[ab]_6×4 ≈[a]2×4 = ΠK(a1) ΠK(a2) 0 0 0 0 ΠK(a1) ΠK(a2)

! .

Los resultados obtenidos de esta forma no presentan diferencias significativas con respecto a interpolar a.

Previo al c´alculo de las matrices locales debemos calcular las matrices de proyecci´on sobre cada elemento, es decir

ΠK(p) = ΠK([P][p])

= 1

|K| Z

K

[P]

| {z }

Πp

[p],

ΠK(x·(∇u)a) = ΠK

[x]^T[P]^T[P][ab][DP][u]

= 1

|K| Z

K

[x]^T[P]^T[P][a_b][DP]

| {z }

Πx

[u],

ΠK((a·x)(∇ ·u)) = ΠK

[P][a^a] [P] [x] [Z] [DP] [u]

= 1

|K| Z

K

[P][a^a] [P] [x] [Z] [DP]

| {z }

Πdiv

[u],

as´ı obtenemos las identidades siguientes:

χh(p) = [P −Πp] [p]

χ_h(x·(∇u)a) =

[x]^T[P]^T[P][a_b][DP]−Π_x [u]

χh((a·x)(∇ ·u)) = [[P][a^a] [P] [x] [Z] [DP]−Πdiv] [u].

Luego podemos calcular las matrices locales para el m´etodo RELP, de la siguiente forma (∇u,∇v)_K = [v]^T

Z

K

[DP]^T_6×4[DP]_4×6dx

| {z }

K1

[u]

((∇u)a,v)_K = [v]^T Z

K

[P]^T_6×2[P]2×6[ab]6×4[DP]4×6dx

| {z }

K2

[u]

(p,∇ ·v)_K = [v]^T Z

K

[DP]^T_6×4[Z]^T_4×1[P]1×3dx

| {z }

K3

[p]

(∇ ·u, q)_K = [q]^T Z

K

[P]^T_3×1[Z]_1×4[DP]_4×6dx

| {z }

K4

[u]

(χ_h(p), χ_h(q))_K = [q]^T Z

K

[P −Π_p]^T[P −Π_p]dx

| {z }

K5

[p]

(χh(p), χh(x·(∇v)a))K = [v]^T Z

K

[x]^T[P]^T[P][ab][DP]−Πx

T

[P −Πp]dx

| {z }

K6

[p]

(χh(x·(∇u)a), χh(q))K = [q]^T Z

K

[P]−Πp

T

[x]^T[P]^T[P][ab][DP]−Πx

dx

| {z }

K7

[u]

(χh(x·(∇u)a), χh(x·(∇v)a))K =

= [v]^T Z

K

[x]^T[P]^T[P][a_b][DP]−Πx

T

[x]^T[P]^T[P][a_b][DP]−Πx

dx

| {z }

K8

[u]

(χh((a·x)(∇ ·u)), χh((a·x)(∇ ·v)))K =

= [v]^T Z

K

[P][a^a] [P] [x] [Z] [DP]−Πdiv

T

[P][a^a] [P] [x] [Z] [DP]−Πdiv

dx

| {z }

K9

[u],

es claro que K₄ =K₃^T y que K₇ =K₆^T lo que facilita el c´alculo de ´estas matrices.

As´ı la matriz elemental est´a dada por:

K_K =





νK1+K2+K8+K9 −K3+K6

K4+K7 K5





9×9

. (5.1)

Para el caso de los saltos, sobre cada tri´angulo, se tiene

∂nu=n·(∇u)|K = [n]^T_2×4[DP]_4×6[u]_6×1

[n] :=

"

n 0 0 n

#

4×2

,

donden es la normal exterior a K. Sea F =K⁺∩K⁻, entonces obtenemos que

[∂ⁿu^℄ =∂n⁺u+∂n⁻u

=h [n]^T

DP⁺

−[n]^T

DP⁻i [u], de donde

(^[∂ⁿu^℄,^[∂ⁿv^℄)_F = [v]^T Z

F

h [n]^T

DP⁺

−[n]^T

DP⁻i^T h [n]^T

DP⁺

−[n]^T

DP⁻i [u]

= [v]^T Z

F

hDP⁺T

[n] [n]^T

DP⁺i

| {z }

KF1

[u]

−[v]^T Z

F

hDP⁺T

[n] [n]^T

DP⁻i

| {z }

KF2

[u]

−[v]^T Z

F

hDP⁻T

[n] [n]^T

DP⁺i

| {z }

KF3

[u]

+ [v]^T Z

F

hDP⁻T

[n] [n]^T

DP⁻i

| {z }

KF4

[u],

y as´ı tenemos las matrices correspondientes a los saltosK_F1, K_F2, K_F3, K_F4.

5.1.3. Vector de fuerza elemental

Siguiendo pasos an´alogos a lo anterior, obtenemos x·f = [x]^T[P]^T[P][f],

donde utilizamos la interpolaci´onP₁ def sobre el tri´angulo K. As´ı Π_K(x·f) = Π_K

[x]^T[P]^T[P][f]

= 1

|K| Z

K

[x]^T[P]^T[P][f]

| {z }

Πf

,

y luego

χh(x·f) = [x]^T[P]^T[P][f]−Πf. Por lo tanto, los vectores locales del m´etodo RELP est´an dados por

(f,v)K = [v]^T [P]^T[P][f]

| {z }

F1

(χh(x·f), χh(q))K = [q]^T Z

K

[P −Πp]^T

[x]^T[P]^T[P][f]−Πf

| {z }

F2

(χh(x·f), χh(x·(∇u)a))K = [v]^T Z

K

[x]^T[P]^T[P][ab][DP]−Πx

T

[x]^T[P]^T[P][f]−Πf

| {z }

F3

,

as´ı el vector elemental del lado derecho est´a dado por:

F =

"

[F1 +F3]_6×1 [F2]_3×1

#

9×1

. (5.2)

5.2. Experimentos num´ ericos

En esta seccion, presentamos cuatro validaciones num´ericas del an´alisis de error a priori y de la calidad del estimador a posteriori. Realizaremos pruebas de convergencia

del m´etodo planteado y lo compararemos con los resultados obtenidos usando el m´etodo SUPG. Adem´as, usando el estimador residual, refinaremos mallas utilizando la informaci´on local que entrega.

5.2.1. Caso anal´ıtico

En este caso el dominio es Ω = (0,1)×(0,1) y el campo advectivo est´a dado por a= (1,1)^t. Consideramos la funci´on f y las condiciones de borde de modo que la soluci´on del problema est´a dada por:

u(x, y) = e^xsin(y) e^xcos(y)

! ,

p(x, y) =−e^x(sin(y) + cos(y))−(e−1)(cos(1)−1−sin(1)).

En la Figuras5.2 y 5.3 podemos ver los gr´aficos del comportamiento de los errores, tanto para la velocidad como para la presi´on. Los resultados muestran en ambos casos, el orden de convergencia esperado.

10⁻³ 10⁻² 10⁻¹ 10⁰

10⁻⁶ 10⁻⁵ 10⁻⁴ 10⁻³ 10⁻² 10⁻¹ 10⁰

h

error

h h²

||u−u

1||

0,Ω

|u−u1|

1,Ω

Figura 5.2: Convergencia de ku−u_hk^0,Ω y |u−u_h|^1,Ω para ν = 10⁻⁶.

10⁻³ 10⁻² 10⁻¹ 10⁰ 10⁻⁶

10⁻⁵ 10⁻⁴ 10⁻³ 10⁻² 10⁻¹

h

error

h²

||p−p

1||_0,Ω

Figura 5.3: Convergencia dekp−p1k0,Ω para ν = 10⁻⁶.

Definamos ahora la siguiente norma, llamada norma de la energ´ıa k(u−u₁, p−p1)k^E,Ω:=

ν|u−u₁|²1,Ω+ 1

νkp−p1k²0,Ω

1/2

, (5.3)

con esta norma, podemos comparar la convergencia del presente m´etodo contra previas alternativas como el m´etodo SUPG [22], lo que se ve en la Figura 5.4

Adem´as podemos evaluar el comportamiento del estimador con respecto al error en esta norma. Definiremos tambi´en, para evaluar nuestro estimador, el´ındice de efectividad global, como sigue,

θ := η

k(u−u_h, p−p1)k^E,Ω. (5.4) Este ´ındice entrega una idea de la calidad del estimador cuando aproxima al error. En general, se busca queθ se mantenga acotado cuandoh tiende a 0.

Los resultados de convergencia del estimador y del error los podemos ver en laFigura 5.5, donde tanto el estimador como el error tienen el mismo comportamiento asint´otico. En la Tabla 5.1mostramos la efectividad del estimador cuando h→0 y vemos que el ´ındice de efectividad se mantiene acotado.

10⁻³ 10⁻² 10⁻¹ 10⁻³

10⁻² 10⁻¹

h

error

||(u−u₁,p−p₁)||_E,Ω − Metodo SUPG

||(u−u₁,p−p₁)||_E,Ω − Metodo RELP

Figura 5.4: Convergencia dek(u−u₁, p−p1)kE,Ω para los m´etodos RELP y SUPG, para ν= 1.

10⁻³ 10⁻² 10⁻¹ 10⁰

10⁻³ 10⁻² 10⁻¹ 10⁰

h

error

h

||(u−u₁,p−p₁)||_E,Ω η

Figura 5.5: Convergencia de k(u−u₁, p−p1)k^E,Ω y deη para ν = 1

h k(u−u₁, p−p1)k^E,Ω η θ

0.1250 7.813E-002 0.273 3.492

6.2500E-002 3.776E-002 0.138 3.648

3.1250E-002 1.828E-002 6.777E-002 3.707 1.5625E-002 9.089E-003 3.394E-002 3.734 7.8125E-003 4.544E-003 1.700E-002 3.742

Cuadro 5.1: Indice de efectividad cuando h →0

La siguiente prueba tiene que ver con la sensibilidad del estimador cuandoν →0 lo que se ve en laTabla 5.2donde vemos que el estimador no varia significativamente comparado con la variacion deν.

ν 1 10⁻¹ 10⁻² 10⁻³ 10⁻⁴ 10⁻⁵ 10⁻⁶ θ 3.7339 3.7345 3.8029 5.1375 7.9599 8.0374 8.0378

Cuadro 5.2: Indice de efectividad cuando ν→0

5.2.2. Capas l´ımite

En el siguiente caso el dominio es Ω = (0,1)×(0,1) y el campo advectivo est´a dado por a = (1,1)^t. Consideramos la funci´on f y las condiciones de borde de modo que la soluci´on del problema est´a dada por:

u(x, y) =









e^yν −e^1ν 1−e^1ν e^xν −e^1ν

1−e^1ν









(5.5)

p(x, y) =x−y (5.6)

En este caso, cuando ν es cercano a cero, se producen capas l´ımites en los bordes del dominio y = 1 y x = 1, d´ıficiles de capturar por el m´etodo de elementos finitos. Como el estimador a posteriori se calcula a nivel local, podemos mejorar la soluci´on refinando la malla donde el estimador tiene valores mayores, para ello escogemos los tri´angulos que

cumplen ηR,K ≥ δm´ax{ηR,K : K ∈ T^h}, para alg´un 0 < δ < 1, en nuestro caso elegimos δ= ¹₂.

(a) Malla original, 775 elementos (b) Malla adaptada, 38390 elementos

Figura 5.6: Mallas original y adaptada, para ν = 10⁻².

(a) Soluci´on original (b) Soluci´on adaptada

Figura 5.7: Primera componente de la velocidad, para ν= 10⁻²

Esperamos que los m´as altos valores se encuentren en tri´angulos presentes en zonas de capas l´ımite, lo que vemos en las mallas originales y refinadas de la Figura 5.6. Adem´as en la Figura 5.7 mostramos la soluci´on de la primera componente de la velocidad, tanto para la malla original como para la malla adaptada.

Si disminuimos el valor deν a 10⁻⁶, la capa l´ımite es m´as cercana al borde y notamos en el corte de la Figura 5.8 que se producen oscilaciones controladas por el m´etodo.

(a) Malla adaptada, 37832 elementos (b) Presi´on adaptada

(c) Corte de la primera componente de la velocidad

Figura 5.8: Malla refinada, soluci´on de la presi´on y corte enx= 0,5, con la malla refinada, para ν= 10⁻⁶

5.2.3. El cilindro

En este caso el dominio es Ω := (−3,9)× (−3,3) al cual se le remueve un c´ırculo centrado en (x0, y0) = (0,0) de radior = 1, el campo advectivo est´a dado pora = (1,0)^t, ν= 10⁻⁶ y f =0. Adem´as un perfil parab´olico para la velocidad tangencial se impone en la entrada x = −3 y una presi´on nula a la salida x = 9. En el resto del contorno de Ω, (inclu´ıdo el borde del c´ırculo) la velocidad en ambas componentes es igual a cero.

Con todo lo anterior, es natural esperar la existencia de capas l´ımite, tanto en la frontera del dominio como al interior, en especial el borde del c´ırculo, lo cual es corroborado por la adaptaci´on realizada con el estimador, lo que se ve en laFigura 5.9 en la malla adaptada, adem´as realizamos un zoom alrededor del c´ırculo, para ver en detalle la zona de mayor refinamiento.

(a) Malla adaptada, 106939 elementos

(b) Zoom

Figura 5.9: Malla adaptada, y zoom correspondiente.

Tambi´en en la Figura 5.10 podemos ver la magnitud de la velocidad en el dominio, y en laFigura 5.11 vemos un corte de la primera componente de la velocidad,

Figura 5.10: Magnitud de la velocidad

Figura 5.11: Corte enx = 3 de la primera componente de la velocidad

5.2.4. Dominio en forma de L

En este caso tratamos de ver el comportamiento de un flu´ıdo en un dominio en forma de L, para ello consideramos el dominio Ω = (0,3)×(0,3)−(0,2)×(1,3). Aqu´ıf =0, el

campo advectivo est´a dado pora = (1,0)^t y ν = 10⁻⁴.

En la entrada x = 0 imponemos la velocidad u = (1,0) cuando 0 ≤ y ≤ 1/2, adem´as fijamos la presi´on a cero en la salida y = 3, por ´ultimo fijamos la velocidad a cero en el resto del contorno.

En este caso notamos capas l´ımite, tanto internas como en el borde, y como vemos en la Figura 5.12el refinamiento es mayor en estas zonas.

Figura 5.12: Malla final, 49970 elementos

En laFigura 5.13 vemos los isovalores de la presi´on y adem´as las l´ıneas de corriente de la velocidad, donde notamos una recirculaci´on en la esquina inferior derecha, capturada por el m´etodo.

(a) Presi´on (b) Velocidad

Figura 5.13: Isol´ıneas de la presi´on (a) y l´ıneas de corriente para la velocidad (b).

Finalmente realizamos cortes para ver la soluci´on en puntos importantes del dominio, en la Figura5.14 podemos ver los distintos resultados.

(a) Velocidad tangencial enx= 1 (b) Velocidad normal eny= 2

(c) Presi´on enx= 3

Figura 5.14: Cortes de la primera componente de la velocidad (a), segunda componente (b) y presi´on (c)

Los mismos cortes fueron realizados en [24] donde se obtuvieron similares resultados, tanto para las velocidades como para la presi´on.

Conclusiones y Trabajo Futuro

Durante este trabajo se introdujo el nuevo m´etodo de elementos finitos estabilizados RELP aplicado a la ecuaci´on de Oseen, para espacios de interpolaci´on del tipo P²₁ ×P₁ y P²

1 ×P₀. Se demostr´o el buen planteamiento del mismo y por lo tanto la estabilidad requerida, junto a la convergencia de m´etodo. Adem´as, para este esquema, se defini´o y se analiz´o un estimador de error a posteriori residual que permite la adaptaci´on de mallas, lo que mejora la calidad de la soluci´on discreta. Este esquema junto con el estimador residual fueron validados por medio de experimentos num´ericos.

Dentro de las posibles extensiones de este trabajo podemos nombrar

Extender el m´etodo RELP a ´ordenes de interpolaci´on superiores, donde el t´ermino

∆u_h formar´ıa parte de los t´erminos extras a˜nadidos.

El an´alisis de la derivaci´on y del error del m´etodo para el caso en 3D.

Analizar el m´etodo para la ecuaci´on general de Oseen y tambi´en el caso no estacio- nario.

Usar las ventajas de este m´etodo a la hora de trabajar en r´egimen turbulento para tratar de encontrar soluciones a las ecuaciones de Navier-Stokes bajo esas condicio- nes.

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In document 2.1. Definici´ on del problema y notaciones (página 35-44)