3 horas. Primera Parte: Examen de Cálculo 1. Sea f(x) = x2

Examen de Admisi´on al Programa de Posgrado Convocatoria de Ingreso 2007

Duraci´on m´axima: 3 horas.

Primera Parte: Examen de C´alculo

1. Sea f(x) = _x2^x−1² . Dar un bosquejo de la gr´afica def.

2. Sea

g(x) =





x

2 +x²sin ¹_x

si x6= 0

0 si x= 0

a) Demuestre queg es derivable enR y g⁰(0)>0

b) Demuestre que g no es creciente en ning´un intervalo abierto que contiene al cero.

3. ¿Cu´al es el valor de la derivada en el punto x= 1 de la funci´on

f(x) = sin Z x²

1

√

s⁴+ 3sds

!

?

4. Intercambie el orden de integraci´on en la siguiente integral iterada Z 1

0

Z y y²

f(x, y)dxdy

5. Demuestre que si 0 < r <1, entonces X∞

k=0

ar^k = a 1−r

Segunda Parte: Examen de Algebra Lineal

1. Sea V =Mn×n(R) y sean W1 ={A∈V :A=A^t} y W2={A∈V :A=−A^t}. a) Demuestre que W1 y W2 son subespacios deV.

b) Pruebe que V =W1⊕W2.

2. Sea V un espacio vectorial sobre R de dimensi´on finita n y sea α = {x1, ..., xn} una base ordenada paraV. Sea P una matriz invertible den×ncon entradas Pij ∈R. Def´ınase para j = 1, ..., n

yj =P1jx1+P2jx2+...Pnjxn

y seaβ ={y1, ..., yn}.

a) Demostrar queβ es base para V.

b) Pruebe que si Q es la matriz de cambio de coordenadas que transforma coordenadas de β en coordenadas de α, entonces Q=P.

3. Considere el operador lineal T :R² →R² definido comoT (x, y) = (−2y, x+ 3y).

a) Demuestre que T es diagonalizable y encuentre una base β tal que [T]_β sea diagonal.

b) Si γ es la base can´onica de R², encuentre una matriz invertible Q tal que [T]_β = Q⁻¹[T]_γQ.

c) Si A= [T]_γ, use b) para calcular Aⁿ para todo n∈N.

4. Demuestre la Identidad de Parseval, esto es: Si (V,h · i) es un espacio con producto interior y {x1, ..., xn} es una base ortonormal para V, entonces para cualesquiera x, y ∈ V se tiene que

hx, yi= Xn

i=1

hx, xii hy, xii.