Introducció
Aleatorietat en la calculadora CASIO fx-82ms
Què és l’aleatorietat?
Bo o dolent per a algú que vulgui trobar patrons en una sèrie de calculadores. La proporció de dades per sobre i per sota de la mitjana passa la prova de normalitat, de manera que la sèrie es pot considerar aleatòria en aquest sentit. A causa d'aquesta relació que existeix entre un nombre de la seqüència i el següent, no podem dir que es generen números completament aleatoris.
Per visualitzar les propietats de la sèrie obtinguda, observarem la distribució dels resultats en un gràfic. Ara estudiarem la distribució de les dades creades per un generador de la forma Xi+1=(aXi2+bXi+c)mod m. ESTEU BASANT EN QUIN GENERADOR GENERADOR DE LA CALCULADORA.
Algoritmes de mesura de l’aleatorietat
Història de l’aleatorietat
Com a anècdota, Juli Cèsar va llançar els daus abans de creuar el riu Rubicó a Itàlia de camí a Roma. Però aquesta creença popular no va trobar el seu lloc en la ciència fins molts segles més tard, quan cap al 1700 Isaac Newton va formular un model físic teòric determinista, suggerint que les petites discrepàncies entre el model i els valors obtinguts de la veritat es deuen a errors de mesura. . Es tracta de sistemes físics deterministes que depenen molt sensiblement de les variables inicials, com en el problema dels n cossos, que intenta determinar les trajectòries d'un nombre de n cossos que es mouen només per les forces gravitatòries creades per les seves masses.
A part del joc i de prendre decisions "justes", l'aleatorietat no s'ha explotat en els darrers segles. El modelatge i la simulació són els dos usos principals de l'estadística actual i s'utilitzen sovint en física i economia. Un altre ús és el càlcul aproximat d'equacions diferencials i la integració de funcions, que tractarem amb més detall més endavant.
Test de runs
Que algunes dades estiguin distribuïdes de manera normal o d'una altra manera significa que quan es mostren dibuixen un gràfic característic. Cadascun dels dos gràfics ens ajuda a veure que les dades de la calculadora superen la prova rúnica perquè s'acosten bastant al que s'esperaria d'un conjunt de dades sense cap patró o peculiaritat que el defineixi. Això es coneix com el nivell de confiança i per a una distribució normal aquests valors estan estandarditzats.
En el nostre cas, el nivell de confiança és la probabilitat corresponent a qualsevol nombre de tirades segons la distribució normal. En la majoria d'anàlisis estadístiques, s'accepta com a bo que el resultat es troba entre el 95% dels resultats més probables. Per tant, confirmem que les sèries que hem analitzat no presenten cap singularitat en la relació entre dades més grans i més petites que la mitjana de la sèrie, com s'esperaria d'una sèrie aleatòria.
El mètode Montecarlo
- Càlcul aproximat de π
- Aplicació del mètode Montecarlo com a prova estadística
Tot i que en principi no és tan bona com la sèrie pseudoaleatoria, podem considerar que un error inferior al 5% és bo, ja que també és el nombre de punts utilitzats en el càlcul, que és significativament menor en la sèrie de calculadores. , afectat. Però els números no han de venir de la calculadora: la natura està plena de fonts d'aleatorietat (anomenades TRNG, True Random Number Generation). El que sí comparteix amb el generador de calculadora és que retorna tots els nombres enters d'un rang determinat: [0,1000] en el cas de la calculadora i [0,m] en el cas de la GCL.
En altres paraules, podem relacionar un augment de dos nombres de la sèrie amb l'augment entre els dos nombres anteriors. Per tant, si trobem un valor de a que és vàlid per a tots els increments de l'interval i després trobem el valor de b, haurem confirmat que el generador és un GCL. Finalment, vaig suposar que l'algoritme de la calculadora era un GCL i vaig provar dues maneres de trobar una seqüència que s'assemblava a l'obtinguda de la calculadora.
La calculadora genera números pseudoaleatoris
Aleatorietat i pseudoaleatorietat
L'exemple més comú és el llançament d'un dau o una moneda, ja que són esdeveniments prou senzills però sense absolutament cap manera de predir el resultat, però tots dos tenen el mateix problema: els números són massa lents. Hi ha altres maneres de ser iguals. bona i ens ofereix un ventall més ampli de resultats, com l'anàlisi del soroll de fons, o el nombre d'electrons emesos en un procés de desintegració radioactiva, que es considera un dels millors mètodes per obtenir resultats purament aleatoris. Nombres. Font: captura de pantalla de Random Numbers – Numberphile https://www.youtube.com/watch?v=SxP30euw3-0.
Aquests mètodes són útils per a determinats usos, com ara el modelatge, però de vegades la taxa de generació d'aquests sistemes no és suficient i, per tant, les dades obtingudes de la natura no són viables. En aquests casos, s'utilitzen els PRNG (Generadors de números pseudoaleatoris), on s'utilitzen números generats per una fórmula matemàtica coneguda. Però el fet que s'hagin generat amb un mètode conegut no vol dir que no puguem considerar-los una mica aleatoris: com hem comprovat en el càlcul de π, hem aconseguit una bona aproximació per un conjunt de punts de ' utilitzant un PRNG.
Com que la calculadora és de gamma baixa, podem suposar que no conté cap sensor i, per tant, considerarem que el generador és un PRNG.
Generadors congruencials
- Generador congruencial lineal
- Generador congruencial quadràtic
De vegades s'utilitza el valor c = 0, ja que excloure una operació en l'algorisme augmenta la seva velocitat sense reduir significativament la qualitat de la seqüència resultant. Utilitzarem m=2g ja que aquest és el terme més utilitzat per a la velocitat calculada que proporciona. En aquest cas, no dibuixarem els períodes sencers, sinó que utilitzarem els primers nombres per facilitar el càlcul de la sèrie.
Però si prenem valors molt grans de m, com en els gràfics m = 510 i m = 710, aquestes rectes no es noten, ja que només estem davant d'una part molt petita del període total de la sèrie. En general, podem concloure que com més petita sigui la fracció del període total, més "atzar" serà la sèrie resultant. Aquest és un cas més interessant, perquè no tots els trams de paràbola es veuen iguals: podrem veure si és el mateix tram repetit un darrere l'altre o si en canvi són intervals regulars d'una paràbola y=mx2 +nx+o de tipus [0,Xp],[Xp+1, Xq],[Xq+1, Xr].
Hem vist que el generador de congruència lineal s'utilitza més sovint per a propòsits on s'utilitzen grans quantitats de nombres, però això no és necessari en el cas d'una calculadora. S'ha de tenir cura en quins valors es trien, ja que el temps necessari per executar l'algorisme és proporcional al nombre de cicles (temps que genera la cadena R i calcula la "distància" entre aquesta i C) i al nombre de cicles. de l'entrada Encara que no podem garantir que no sigui una GCL, ja que aquesta prova només pot provar un nombre finit de combinacions de paràmetres, i la que se suposa que ha de portar la calculadora pot no estar entre elles.
Tenint en compte que si la sèrie fos una GCL tindríem 200 partits, no podem considerar satisfactoris aquests resultats. Basant-me en mètodes d'anàlisi estadística (la prova de runes i el mètode de Montecarlo) vaig intentar trobar algun patró o indici del que podria fer l'algoritme, però totes les proves han portat al fet que la sèrie és homogènia i, per tant, tot indica que això és aleatori. Hem observat que en realitat no és un mitjà per obtenir nombres completament aleatoris, ja que els patrons de dades ja eren visibles a ull nu en el moment de la representació, però que, tanmateix, pot proporcionar sèries de dades força bones, ja que quan es calcula una aproximació de π a partir del fet que els nombres de la fila estan distribuïts de manera homogènia, vaig obtenir un resultat prou bo que confirma la hipòtesi.
Aleshores esperava que la sèrie que fos 'menys llunyana' fos la més semblant a la nostra, però no va ser així. També vaig intentar trobar un GCL similar a la sèrie de la propietat que defineix els números d'aquest generador, però de nou sense èxit. En conclusió, es pot dir que aquest ha estat un treball molt ambiciós, perquè tracta temes matemàtics actuals com la criptografia, i per tant ha de ser necessàriament complicat.
Tests basats en que el generador de la calculadora és un GCL
Test de distància mínima
El programa ho fa diverses vegades depenent del rang de valors per a a, c, m i X0. En resum, el temps que trigarà un ordinador a executar l'algorisme és molt sensible als intervals de valors que hem introduït. Tanmateix, el problema d'aquest mètode és que no té en compte la distribució de les dades.
No s'assembla gens a la nostra sèrie, però és la que té menys distància de totes les sèries que vam provar.
Test del paràmetre a
L'objectiu d'aquest treball era investigar els usos i aplicacions dels nombres generats aleatòriament i intentar derivar l'algorisme que els genera a la calculadora CASIO fx-82MS. Per cert, vaig mirar un dels generadors de nombres aleatoris més importants, el generador lineal congruencial, i el vaig programar en llenguatge Python. En primer lloc, la seqüència es considera com un punt de 200 coordenades i una altra seqüència obtinguda d'un GCL com un altre punt.
Tot i que si mantenim la suposició que la calculadora utilitza un GCL, pot funcionar amb paràmetres amb valors diferents dels que hem provat, tot apunta a una font de nombres diferent. Tot i que l'objectiu inicial està lluny d'haver-se aconseguit, he pogut estudiar per sobre del concepte d'aleatorietat, que és força interessant, i he pogut veure el seu lloc en el món actual en camps tan diversos com els mètodes numèrics o la seguretat informàtica. . Estadística Computacional d'Antonio Salmerón Cerdán i María Morales Giraldo http://www.ual.es/~asalmero/papers/libro.pdf.
Aquí teniu tots els programes que he escrit i les escriptures donades per a la finalització del treball.
Conclusions
Bibliografia
Programes
CD
