4.2 Algunas aplicaciones a la Teor´ıa de N´ umeros
Sabemos que podemos encontrar n´umeros racionales tan cerca como quer- amos de un n´umero irracional dado. En general, six∈R, podemos encontrar un par de enteros aybtales que
x−a b
sea tan peque˜no como deseemos. Si x es racional, ´el mismo sirve como (inmejorable)aproximaci´on, claro; as´ı que el problema que nos interesa es el de la aproximaci´on de irracionales por racionales. Una manera habitual de hacer esto es la de truncar el desarrollo decimal del n´umero.
Por ejemplo, si escribimos el n´umeroπ,
π= 3,141592a7a8. . .
y nos quedamos con las primeras seis cifras del desarrollo, estamos aproxi- mando π por la fracci´on
3141592 1000000. Y, por supuesto,
π−3141592 1000000
= 0,000000a7a8. . .
Obs´ervese que el error cometido con esta aproximaci´on es, desde luego, menor que 10−6 (pi´ensese en el peor caso, que los d´ıgitosa6,a7, etc., fueran casi todos nueves). Para conseguir tal grado de precisi´on, hemos tenido que manejar un racional de denominador 106 (quiz´as menor, si simplific´aramos la fracci´on). Si quisi´eramos mayor exactitud, tendr´ıamos que recurrir a racionales de denominadores cada vez m´as grandes.
En esta discusi´on nos estamos limitando a racionales cuyo denominador es una potencia de 10. ¿Podemos aproximarπ m´as eficientemente con otro tipo de racionales? Arqu´ımedes ya sab´ıa que
223
71 < π < 22 7 .
Y ambas aproximaciones coinciden con π en las dos primeras cifras deci- males; la fracci´on 22/7, cuyo denominador es del orden de 10, se acerca aπ con un error del orden de 10−2. M´as impresionante a´un es la aproximaci´on de Tsu Chung Chih, del siglo V, la fracci´on 355/113, que coincide conπ en las primeras seis cifras decimales:
π−355 113
< 1 106 .
Y obs´ervese que el denominador es del orden de 102 (por cierto, se tard´o casi un milenio en mejorar esta estimaci´on).
Planteemos el problema en general: tenemos un cierto n´umero irracional x que queremos aproximar con racionales a/b; el denominador b ser´a el par´ametro que utilizaremos para medir la “bondad” de la estimaci´on. La aproximaci´on ser´a lineal si
x−a b
≤ 1 C b,
dondeCes una cierta constante positiva (que por ahora no nos preocupar´a).
Esto es lo que consegu´ıamos truncando el desarrollo decimal (para obtener, por ejemplo, seis cifras decimales, nuestra fracci´on ha de tener, en general, un denominador del orden de 106).
Sea x un cierto irracional y fijemos el valor de b: queremos encontrar una fracci´on a/btal que, por ejemplo,
x− a b
< 1 2b.
El n´umerob xestar´a entre dos enteros; llamemos aal m´as cercano a ´el:
b x a
Este enteroaes el que busc´abamos, porque
|b x−a|< 1
2 =⇒ x−a b
< 1 2b.
Con un argumento un poco m´as cuidadoso, se puede sustituir la constante 2 de la estimaci´on por cualquier otro n´umero natural. As´ı es que este tipo de aproximaci´on lineal no presenta ning´un problema.
Ejemplo 4.2.1 Encontrar aproximaciones por racionales (lineales con constante 2) al n´umero √
3 para cada valor b= 1,2, . . .
Siguiendo la idea expuesta antes, basta encontrar los enteros m´as cercanos a√
3, 2√ 3, 3√
3, etc. Calculamos los primeros casos:
√3 = 1,7320. . . −→ 1 2√
3 = 3,4641. . . −→ 3 3√
3 = 5,1961. . . −→ 5 4√
3 = 6,9282. . . −→ 7 5√
3 = 8,6602. . . −→ 9 6√
3 = 10,3923. . . −→ 10
As´ı, por ejemplo, parab= 6, tendr´ıamos que
|6√
3−10|= 0,3923. . . =⇒ √
3− 10 6
= 0,3923. . . 6 < 1
2×6 = 1 12. Obs´ervese que las fracciones que obtenemos en este proceso (10/6 en este caso)podr´ıan no ser irreducibles (de hecho, el resultado ser´ıa falso si exi- gi´eramos que las fraccionesa/blo fueran). M´as adelante seremos m´as cuida-
dosos con esto. ♣
Nos interesa encontrar aproximaciones m´as eficientes. Por ejemplo, ¿nos podemos acercar a un irracionalxcon una fracci´ona/bcon un error de 1/b2?
¿Y de 1/b3? Ser´ıa magn´ıfico: con un “esfuerzo” del orden de b, obtenemos estimaciones del orden de 1/b2, 1/b3, etc.
Veremos que la respuesta es afirmativa en el primer caso, paracualquier irracional, mientras que no lo es en el segundo caso. Estos resultados nos ayudar´an a entender en profundidad la naturaleza de los n´umeros irra- cionales; curiosamente, s´olo necesitaremos el “sencillo” principio del aplomar para obtenerlas.
4.2.1 El teorema de Dirichlet
Figura 4.1: Dirichlet
Estamos entonces con el problema de la aprox- imaci´on de n´umeros irracionales por racionales;
nos interesa saber si siempre vamos a tener aprox- imaciones de tipo cuadr´atico. La respuesta a este problema es el resultado, fundamental como ver- emos, conocido como el teorema de Dirichlet5.
Fijaremos un par´ametro, un n´umero natural Q, que nos dar´a el orden de esta aproximaci´on. Y tendremos cuidado con que las fracciones que ob- tendremos, que llamaremosp/q, sean irreducibles (esto es, p y q ser´an primos entre s´ı, aunque no necesariamente n´umeros primos).
Teorema 4.1 (Teorema de Dirichlet) Para to- do n´umero real x y todo entero Q > 1, existen
5Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859), nacido cerca de Colonia (entonces parte del Imperio franc´es), estudi´o en la Universidad de Par´ıs, donde tuvo como profe- sores a personajes tan destacados como Laplace, Legendre, Poisson, Fourier o Cauchy.
En Berl´ın, donde trabaj´o durante 30 a˜nos, contribuy´o a la formaci´on de una potente es- cuela matem´atica, junto con ilustres matem´aticos como Kronecker o Riemann (alumnos suyos ambos). Sus aportaciones resultaron fundamentales en la Teor´ıa de N´umeros (tanto anal´ıtica como algebraica), en el estudio de la convergencia de las series de Fourier o en la Teor´ıa del Potencial (el conocido problema de Dirichlet sobre funciones arm´onicas con ciertas condiciones de contorno).
enterosp y q, con 0< q < Q, tales que
|qx−p| ≤ 1 Q.
En particular, podemos encontrar enteros p y q, primos entre s´ı, para los
que
x−p q
< 1 q2 .
Demostraci´on. Vamos con la primera parte del teorema: dados el n´umero realx y el n´umero naturalQ, empecemos dividiendo el intervalo [0,1)enQ intervalos del tipo [j/Q,(j+ 1)/Q), para cada 0≤j < Q:
0 Q1 Q2 Q3 Q−1Q 1
Estos ser´an nuestros Q “nidos”; definamos ahora las “palomas”. Con- sideremos losQ−1 n´umeros siguientes:
{x},{2x},{3x}, . . . ,{(Q−1)x},
donde {a} significa la parte fraccionaria de a (obs´ervese que tenemos m´as nidos que palomas). Distinguiremos tres casos:
(a)Si alguno de esos n´umeros, digamos {kx}, pertenece al ´ultimo inter- valo, se tendr´a que
|1− {k x}| ≤ 1 Q. Pero{kx}=kx− kx, as´ı que
kx−(1− kx)≤ 1
Q, donde 0< k < Q.
Y tendr´ıamos el resultado que buscamos tomandoq=kyp= 1−kx. (b)Si uno de los n´umeros, {kx}, estuviera en el primer intervalo, ten-
dr´ıamos que
|{kx}| ≤ 1
Q =⇒ kx− kx≤ 1
Q, donde 0< k < Q.
Ahora,q=k yp=kx.
(c)Si, por el contrario, ninguno de esos Q− 1 n´umeros estuviera en ninguno de los intervalos extremos, por el principio del palomar al menos dos de ellos tendr´ıan que coincidir en uno de losQ−2 interva- los interiores. Existir´ıan entonces 1≤j < k≤Q−1 tales que
1
Q ≥ |{kx} − {jx}|=(k−j)x−(kx − jx). Ahoraq =k−j (que cumple que 0< q < Q) yp=kx − jx. La segunda parte del enunciado del teorema es una consecuencia inmediata de la primera; hemos probado que existen py q, conq < Q, tales que
|qx−p| ≤ 1
Q, de donde
x−p q
≤ 1 q Q < 1
q2, porqueq < Q.
Falta un peque˜no detalle, el que podemos suponer que la fracci´onp/qes irreducible. N´otese que, desde el punto de vista de la aproximaci´on, ´ese es el peor caso (si fuera reducible, con un denominador m´as peque˜no seguir´ıamos consiguiendo el error de 1/q2).
Supongamos entonces que los p y q para los que tenemos la aproxi- maci´on cuadr´atica no son primos entre s´ı, y escribamos p = mcd(p, q)p y q =mcd(p, q)q; obs´ervese que q < q. Ahora reescribamos nuestra aproxi- maci´on:
1 q2 >
x− p q
= x−p
q .
Pero claro, comoq < q, obtenemos que podemos encontrar (a partir de los p yq originales)dos enterosp yq, primos entre s´ı, tales que
x−p q
< 1 q2 ,
lo que afirmaba la segunda parte del teorema. ✷
Las siguientes subsecciones est´an dedicadas a extraer (jugosas)conse- cuencias de este resultado. Hacemos notar que el teorema de Dirichlet es v´alido para cualquier n´umero real, tanto racional como irracional.
4.2.2 Otra prueba de la identidad de Bezout
Recordemos la identidad de Bezout: si a y b son dos enteros primos entre s´ı, entonces podemos encontrar enterosx e y tales que
ax+by = 1.
En su momento dimos una prueba constructiva, v´ıa el algoritmo de Eu- clides; ahora podremos dar un elegante argumento, basado en el teorema de Dirichlet.
Consideremos dos enteros a y b primos entre s´ı (supongamos6 b ≥ 2) y apliquemos el teorema de Dirichlet para x = a/b y Q = b. Podremos encontrar enterosp yq, con 0< q < b tales que
a
b q−p≤ 1 b. Esto es, se cumplir´a que
|a q−b p| ≤1.
La cantidadaq−bp no puede valer 0, porque eso supondr´ıa que a
b = p
q conq < b,
algo contrario a la hip´otesis de que a y b eran primos entre s´ı. As´ı que tendremos que
a q−b p=±1.
En el caso en que el segundo miembro sea 1, tomamos x=q e y =−p. Si fuera−1, tomar´ıamosx=−q e y=p.
4.2.3 Una caracterizaci´on de los n´umeros irracionales
Sabemos que en el conjunto de los n´umeros realesRhay n´umeros racionales e irracionales. El conjunto de los racionalesQ tiene cardinalℵ0, porque se puede poner en biyecci´on con los naturales,N, y eso es algo que no podemos hacer con los irracionales. Es decir, con las precauciones que hay que tomar a la hora de entender tama˜nos infinitos, hay muchos m´as irracionales que racionales. Si tom´aramos un n´umero real al azar, entonces con probabili- dad 1 encontrar´ıamos un irracional7. Sorprendentemente, mientras que dar ejemplos de n´umeros racionales es una labor trivial, decidir si un n´umero es irracional es un problema muy dif´ıcil, en general.
Hasta ahora, un n´umero irracional era aqu´el cuyo desarrollo decimal ni era finito ni era recurrente; y claro, no es una definici´on muy ´util a la hora de decidir si un cierto n´umero es racional o no. Algunos argumentosad hoc nos permit´ıan demostrar la irracionalidad de n´umeros como √
2, √ 5, √3
2, etc. Pero se basaban en la forma especial de esos n´umeros (ra´ıces cuadradas, ra´ıces c´ubicas). ¿Qu´e podemos decir de n´umeros comoe´o π?
El teorema de Dirichlet nos proporciona una caracterizaci´on alternativa.
6Sib= 1, la ecuaci´onax+y= 1 tiene una soluci´on inmediata,x= 0 ey= 1.
7Obs´ervese que ahora el tener un suceso de probabilidad nula, como es el de obtener un racional, no quiere decir que no haya racionales.
Teorema 4.2 El n´umero x es irracional si y s´olo si existen infinitas frac- ciones pn/qn, con mcd(pn, qn) = 1, tales que
x−pn qn
< 1 q2n.
Demostraci´on. Supongamos que x es un irracional. Por el teorema de Dirichlet (en la versi´on que exhib´ıamos en la demostraci´on del teorema), sabemos que para cada n existe una fracci´on pn/qn (podemos suponer que pn yqn son primos entre s´ı)que cumple que
x−pn qn
≤ 1
qnn, con 0< qn< n . Y, por tanto,
x−pn qn
≤ 1
qn2 , con 0< qn< n .
Pero ahora supongamos que, en realidad, en la sucesi´on de fraccionespn/qn s´olo hay un n´umero finito de ellas distintas; queremos llegar a una contradic- ci´on.
El principio del palomar, en su versi´on infinita, nos dice que al menos una de esas fracciones distintas, que llamaremos p/q, se repite un n´umero infinito de veces. Esto es, hay infinitos valores den para los que se cumple
que
x−p q
≤ 1 q n.
Pero el que esta desigualdad sea cierta para n arbitrariamente grande s´olo deja una posibilidad: que x coincida con p/q; y eso contradice el que x sea irracional.
En el otro sentido, supongamos que existen infinitas fraccionespn/qn(pn yqn primos entre s´ı)tales que
x−pn qn
< 1 q2n.
Supongamos que, a pesar de eso, x es un n´umero racional, digamos x = a/b (podemos suponer que mcd(a, b) = 1 y que x es positivo); de nuevo, queremos llegar a una contradicci´on.
Se tendr´ıa que 1 q2n >
a b −pn
qn
= |a qn−b pn|
b qn ≥ 1
b qn,
porquea qn−b pn es un entero distinto de 0 (excepto, quiz´as, para un valor de n). Es decir, que
1 b qn ≤ 1
q2n ⇒ b≥qn.
Y si todos losqn han de ser menores o iguales queb, entonces es imposible que haya infinitas aproximacionespn/qn distintas. ✷ 4.2.4 El n´umero e es irracional
Vamos a aplicar el resulatdo anterior a un n´umero famoso: el n´umero e. Y empecemos con una caracterizaci´on alternativa de los n´umeros irracionales, que se deduce de la anterior.
Corolario 4.1 El n´umero xes irracional si y s´olo si para cada ε >0 pode- mos encontrar enterosp y q tales que
0<|q x−p|< ε .
Demostraci´on. El teorema anterior garantiza que podemos encontrar in- finitas fraccionespn/qn tales que
x−pn qn
< 1 q2n,
y donde los denominadoresqn forman una sucesi´on estrictamente creciente.
Dado un ε > 0, elegimos un n lo suficientemente grande como para que qn>1/ε. Y entonces
|qnx−pn|< 1 qn < ε .
Rec´ıprocamente, aceptemos que, dado el n´umero x, para cada ε >0 pode- mos encontrar enterosp yq tales que 0<|qx−p|< ε. Y supongamos que x es de la forma a/b, con b un n´umero natural. Tomando como ε = 1/b, encontrar´ıamos un par de enteros p1 yq1 tales que
0<q1 a
b −p1< 1
b =⇒ 0<|a q1−b p1|<1.
Y esto no puede ocurrir sip1 yq1 son enteros. ✷ Apliquemos esta caracterizaci´on a probar que el n´umero e es, efectiva- mente, un n´umero irracional. La base de los logaritmos naturales, e, se define como el valor de la serie
e= ∞ n=0
1 n!.
Consideremos, para cada valor deN, las sumas parciales de esta serie, que escribimos de una forma conveniente:
N n=0
1 n! = 1
N!
N! +N! 2! +N!
3! +· · ·+ N! (N−1)!+ 1
pN
= pN
N!
(n´otese que todos los pN son enteros). Entonces, utilizando que sabemos sumar la serie geom´etrica,
0<
e−N
n=0
1 n!
=
∞ n=N+1
1 n!
=
1
(N+ 1) ! + 1
(N+ 2) ! +· · ·
= 1
(N+ 1) ! 1 + 1
(N+ 2) + 1
(N + 2) (N + 3)+· · ·
< 1
(N+ 1) ! 1 + 1
(N+ 1) + 1
(N + 1)2 +· · ·
= 1
(N+ 1) ! ∞ j=0
1
(N+ 1)j = 1 (N + 1) !
1
1−N+11 = 1 N N!, de donde
0<e−pN N!
< 1
N N! =⇒ 0<|e N!−pN|< 1 N .
Para cadaε >0 podemos encontrarN lo suficientemente grande como para que 1/N < ε. Los enteros N! y pN correspondientes son los que ped´ıa obtener el criterio de irracionalidad expuesto antes.
La demostraci´on de que el n´umeroπ es irracional, aunque m´as compli- cada, puede hacerse siguiendo estas ideas. Pero, como ya hemos advertido varias veces, probar la irracionalidad de un n´umero determinado puede ser un problema arduo. Por ejemplo, un n´umero famoso, la llamadaconstante de Euler,
γ = lim
k→∞
k
k=1
1
n−logk
,
todav´ıa no se sabe si es irracional. Otro caso importante son los n´umeros ζ(k) =
∞ n=1
1 nk,
los valores de la funci´on zeta de Riemann en los enteros positivos. Parakes par, ya Euler sab´ıa sumar esta serie , y el resultado es un n´umero irracional;
pero sikes impar, apenas se sabe nada. De hecho, s´olo en el caso deζ(3)se ha podido establecer la irracionalidad (y es un resultado de Ap´ery de 1978).
