Colorear un gráfico (con los colores S) es lo mismo que construir una lista (con los símbolos S) con ciertas restricciones sobre los símbolos que se pueden usar en sus posiciones. Definición 10.2.2 El número cromático de una gráfica G, que denotaremos por χ(G), es el número mínimo de colores necesarios para colorear G. Si una gráfica tiene un número cromático alto (pensará el lector), es porque el gráfico en cuestión tiene muchos bordes (muchas restricciones de color), bordes que también están dispuestos de forma inconveniente para nuestro propósito de guardar colores.
En cualquier caso, el cálculo real del número cromático de un gráfico general es un asunto delicado y se considera un problema computacionalmente difícil. Y viceversa: si un gráfico se puede colorear con un solo color, entonces es un gráfico vacío. Como el número cromático de un grafo no puede ser mayor que el número de sus vértices, χ(Kn) ≤ n.
Tenga en cuenta, lector, que por su definición, un gráfico vacío es bipartito, pero tiene un número . cromático 1). El algoritmo aproximado toma como entrada un gráfico G y una paleta de colores y produce una coloración de (los vértices de) G. Ejemplo 10.2.3 Consideremos un gráfico bipartito con 2n vértices en el que cada vértice más a la izquierda está unido por todos los del derecho excepto el que está directamente frente a él.
Si así hemos formado un grafo G con n vértices y con aristas que codifican las restricciones, PG(k) nos informa del número de listas.
Polinomio crom´ atico y n´ umero crom´ atico
Dado que, como hemos indicado, podemos tratar listas de restricciones utilizando el lenguaje de los gráficos de colores, el polinomio cromático nos permitirá contar listas de restricciones. Este lenguaje de polinomios cromáticos permite la codificación eficiente de cálculos con el principio de inclusión/exclusión. El principio de inclusión/exclusión requiere considerar conjuntos (uno por borde) de listas: las n-listas con el mismo símbolo en las dos primeras posiciones, las que tienen el mismo símbolo en la segunda y tercera, etc.; luego restando de las listas totales, kn, los tamaños de todos estos conjuntos, y luego sumando las intersecciones de dos en dos, etc.
Sin embargo, utilizando el lenguaje y los algoritmos que presentaremos a continuación, descubriremos (Ejemplo 10.2.9) que la respuesta que buscamos, que no es otra que PCn(k), es el valor del polinomio cromático de Cn en k, viene dada por la siguiente fórmula simple: En las secciones restantes de esta introducción presentaremos algunas observaciones generales sobre los polinomios cromáticos, sobre su cálculo en algunos casos especiales y sobre los polinomios cromáticos en algunas familias de grafos particularmente representativas. En la Sección 10.2.4 daremos una regla de repetición/cálculo para polinomios cromáticos.
Finalmente, la Sección 10.2.5 contiene un análisis del polinomio cromático como un objeto matemático en sí mismo, en particular la información contenida en sus coeficientes. El número cromático χ(G) del gráfico es el valor entero más pequeño k en el que PG(k) no desaparece (el de la imagen tiene un número cromático de 5). Aunque, por supuesto, este procedimiento para calcular χ(G) requiere conocimientos de PG(k), que en principio es un objeto más complejo.
Subgrafos y polinomios crom´ aticos
Coloraciones usando todos los colores
La razón (una de ellas) por la que esto no es cierto es que cuando se pasa de losk a losk−1 colores, sería necesario al menos elegir qué color se descarta, ¿no? Podemos clasificar estos colores según el número exacto de colores que utilizan: con (exactamente) un color, con (exactamente) dos colores, incluso aquellos que utilizan exactamente kcolors. Ahora analizamos una de esas clases, digamos aquellos colores en los que se utilizan exactamente j colores de la paleta original.
Para contar cuántos hay, primero elegimos qué j colores se usan (hayk .. j . posibilidades), y luego contamos cuántos colorantes hay con esos j colores; este número es lo que llamamos QG(j). Esto nos dice, después de la aplicación pertinente de la regla de la suma y el producto, que PG(k). Y luego nótese (con placer) que la expresión anterior, que vincula las sucesiones PG(k) y QG(k), se presta a una aplicación (clara) del procedimiento de inversión binomial que describimos en la Sección 5.1.7.
Como ejemplo de la aplicación de la Proposición 10.2.6, volvemos al cálculo de QL5(4) y de QL5(5) como hicimos antes con los argumentos combinatorios.
C´ alculo de polinomios crom´ aticos
Recursi´ on/algoritmo “come-aristas”
Allí observamos dos casos: en uno la primera y tercera posiciones llevaban el mismo símbolo, y en el otro símbolos diferentes. En el lenguaje de los gráficos, construir las listas anteriores es lo mismo que colorear un gráfico C4. Obtendremos mucho de esta identidad en el análisis de las propiedades de (los coeficientes de) polinomios cromáticos en la sección 10.2.5.
Y también se puede convertir en un procedimiento para calcular el polinomio cromático PG(k) de un grafo G. Escucha, y si no se te ocurre nada más para calcular el polinomio cromático de un grafo en particular, no dejes de usar eso . Pero al menos permite resolver un ejemplo particularmente relevante que ha existido durante algunas páginas, como calcular el polinomio cromático de gráficos circulares.
Sin embargo, tenga en cuenta que el vértice central es especial porque el color que se le aplica no se puede aplicar a ningún otro. Excepto en casos particularmente simples como p = 1 (lo que nos daría un árbol), el cálculo del polinomio cromático Kp,q no parece realizable por las técnicas descritas anteriormente: ni por conteo directo, ni por técnicas de separación, ni por un algoritmo recursivo. Dado que los gráficos isomorfos tienen los mismos polinomios cromáticos, los coeficientes del polinomio cromático deben codificar información intrínseca sobre la estructura del gráfico.
Tenga en cuenta que no es suficiente para denotarlo ya que existen gráficos no isomorfos con el mismo polinomio cromático. Por ejemplo, como vimos antes, todo árbol con n nodos tiene un polinomio cromático ak(k−1)n−1. Varias propiedades de los polinomios cromáticos, que enunciaremos a continuación, se mostrarán por inducción, apoyándonos en la recursividad del Lema 10.2.9, que conecta el polinomio cromático de un grafo G con los polinomios cromáticos G\{a}inGa, que son gráficos que tienen, recuerda lector, (ambos) menos bordes y los otros menos nodos.
Querremos probar que el polinomio cromático del grafo G situado en la celda de coordenadas n y m satisface tal o cual propiedad. El resultado es que podemos escribir PG(k) como una combinación lineal de polinomios cromáticos de grafos vacíos Nt, para diferentes valores de t; es como una combinación lineal de términos del tipo atkt, donde at es un número que cuenta cuántas veces aparece cada gráfico vacío Nt (con signos + o −) en el resultado del algoritmo. Ahora podemos escribir que si G tiene n vértices, su polinomio cromático es de la forma
El polinomio cromático se escribe, con la información que tenemos hasta ahora, como donde m, recuerda, es el número de aristas del gráfico. De hecho, para concluir que la afirmación anterior es cierta, necesitamos verificar que en el resto del polinomio cromático, que hemos mostrado arriba con puntos suspensivos. y correspondiente a configuraciones de 4 o más aristas), no aparecen más términos en kn−2.
Coda de asombro
El lector debe notar que la inducción no parece ser un método adecuado ahora, ya que no tenemos información sobre el número de triángulos que tienen los gráficos G\ {a} y Ga. La parte a) es sencilla, ya que cada componente conectado debe tener al menos dos puntos. Para la segunda parte, sit≥6, se cumple quet/2≤t−3 y la parte a) nos permite concluir el resultado;.
