Grafos Representaci´on Matricial

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(1)

UNSL MATEMATICA DISCRETA 2018

TRABAJO PRACTICO

Grafos

Representaci´ on Matricial

1. Calcular las matrices de adyacencia e incidencia de cada uno de los grafos de la figura 1

a

b

d c

(b)

e

a b c d

e f g h i

j

(a)

a b c

d e f g

(d)

a b

c

d e

(c)

Figura 1

2. Calcular las matrices de adyacencia e incidencia de cada uno de los siguientes grafos (a) C

4

.

(b) P

4

.

(c) K

5

. (d) K

2,4

.

(e) Sea X  t1, 2, 3, 4, 5u y G  pV, Eq donde V  ttx, yu | x, y P X ^ x  yu y E  ttta, bu, tc, duu | a, b, c, d P X ^ ta, bu X tc, du  ∅u.

3. Sea A la matriz de adyacencia para el grafo del ejercicio 1(b).

(a) ¿Cu´ al es entrada correspondiente a la fila a y columna d de A

3

? Responder sin calcular el producto matricial,

(b) ¿Cu´ antas trayectorias de longitud 4 hay entre los v´ ertices a y d? Responder prescindiendo del dibujo.

4. Dado el grafo G  pV, Eq con V  tv

1

, v

2

, v

3

, v

4

, v

5

, v

6

u y E  ttv

1

, v

2

u, tv

1

, v

3

u, tv

1

, v

4

u, tv

1

, v

5

u, tv

2

, v

4

u, tv

5

, v

6

u, tv

2

, v

5

u, tv

3

, v

6

u, tv

4

, v

6

u, tv

3

, v

4

uu.

(a) Representarlo.

(b) Decir cu´ antas caminatas de longitud 2, 3 y 4 hay del v´ ertice v

1

al v

5

. (c) Decir cu´ antas caminatas de longitud 2, 3 y 4 tiene G.

(d) Calcular la matriz de adyacencia de G.

(e) Calcular las potencias adecuadas de la matriz de adyacencia de G para responder los items anteriores.

5. Dibujar el grafo G representado por las siguientes matrices de adyacencia. En cada caso el conjunto de v´ ertices es V pGq  t1, 2, . . . , nu, donde n es el tama˜no de la matriz de adyacencia.

(a) A pGq es de tama˜no 7 x 7 y ApGq

i,j

 1 si i 1 divide a j 1 o j 1 divide a i 1 y ApGq

i,j

 0 en cualquier otro caso.

(b) A pGq es de tama˜no 4 x 4 y ApGq

i,j

 1 si y s´olo si j k es par.

(c) A pGq es de tama˜no 5 x 5 y ApGq

i,j

 1 si y s´olo si j k es impar.

(d) A pGq es de tama˜no 7 x 7 y ApGq

i,j

 1 si y s´olo si jk es par.

(e) A pGq es de tama˜no 7 x 7 y ApGq

i,j

 1 si y s´olo si jk es impar.

(f) A pGq es de tama˜no 5 x 5 y ApGq

i,j

 1 si y s´olo si j  k es divisible por 3.

1

(2)

UNSL MATEMATICA DISCRETA 2018

(g)



 

 



0 0 0 1 0

0 0 1 0 1

0 1 0 1 1

1 0 1 0 0

0 1 1 0 0



 

 

 (h)



 

 



0 1 0 0 0

1 0 0 0 0

0 0 0 1 1

0 0 1 0 1

0 0 1 1 0



 

 



6. Dibujar el grafo G representado por las siguientes matrices de incidencia

(a)



 

 

 



0 0 1 0 0 1

0 0 0 1 1 0

1 0 0 0 0 1

0 1 0 0 1 0

0 1 0 1 0 0

1 0 1 0 0 0



 

 

 



(b)



 

 

 



1 0 0 0 0 1

1 1 0 0 0 0

0 1 1 0 0 0

0 0 1 1 0 0

0 0 0 1 1 0

0 0 0 0 1 1



 

 

 



7. Calcular el n´ umero de caminatas de longitud 4 entre cualquier par de v´ ertices del grafo K

5

usando la matriz de adyacencia.

8. Sea n P N y sea A la matriz de adyacencia de K

5

. Explicar por qu´ e todos los elementos en la diagonal de A

n

son iguales entre s´ı y, por otro lado, todos los elementos fuera de la diagonal son iguales entre s´ı.

9. (a) En A  ApK

5

q, sean d

n

el valor com´ un de los elementos de la diagonal de A

n

y a

n

el valor com´ un de los elementos fuera de la diagonal. Hallar una relaci´ on de recurrencia que exprese los valores de estas entradas.

(b) Extender el resultado anterior a la matriz de adyacencia del grafo K

n

. (c) Deducir resultados similares a los del ´ıtem anterior para la matriz A pK

p,q

q.

10. (a) ¿Qu´ e puede decirse de un grafo simple G si alg´ una fila de A pGq tiene s´olo ceros?

(b) ¿Qu´ e puede decirse de un grafo simple G si alg´ una fila de Q pGq tiene s´olo ceros?

11. Sea G un grafo simple y sean A y Q sus matrices de adyacencia e incidencia, respectivamente.

(a) ¿Qu´ e valor tiene la suma de las entradas de cualquier fila de la matriz A?

(b) ¿Qu´ e valor tiene la suma de las entradas de cualquier columna de la matriz A?

(c) ¿Qu´ e valor tiene la suma de las entradas de cualquier fila de la matriz Q?

(d) ¿Qu´ e valor tiene la suma de las entradas de cualquier columna de la matriz Q?

12. Considerar una matriz M subdividida en 4 submatrices A, B, C, D:

M 

 A B

C D



Denotando con O una matriz de cierto tama˜ no cuyas entradas son todas nulas,

(a) ¿qu´ e se puede decir acerca de G, si en su matriz de adyacencia M , son A  O y D  O?

(b) ¿qu´ e se puede decir acerca de G, si en su matriz de adyacencia M , son B  O y C  O?

(c) ¿qu´ e se puede decir acerca de G, si en su matriz de incidencia M , son A  O y B  O?

(d) ¿qu´ e se puede decir acerca de G, si en su matriz de incidencia M , son B  O y C  O?

13. Sea A la matriz de adyacencia de un grafo G de orden n y sea Y  °

n1

k1

A

k

. Si alguna entrada de Y , no perteneciente a la diagonal es cero, ¿qu´ e se puede decir del grafo G?

14. (a) Sea Q la matriz de incidencia del ejercicio 6(a), sea A la matriz de adyacencia del grafo representado por Q y sea D la matriz diagonal de grados del grafo (i.e., para cada v P V pGq:

D

v,v

 degpvq). Verificar que QQ

t

 D A.

(b) Demostrar que para un grafo simple G con A  ApGq y Q  QpGq se tiene que QQ

t

 D A

2

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15. Dado un grafo G, sea A  ApGq y sean u, v P V pGq distintos. Se define Aru, vs  

Au,uAu,v Av,u Av,v

 . Probar que u y v son adyacentes si y s´ olo si det pAru, vsq es no nulo.

16. Dado un grafo G, sea A  ApGq y sean x, y, z P V pGq distintos. Definir A rx, y, zs 



A

x,xAx,yAx,z Ay,xAy,yAy,z Az,xAz,y Az,z

 .

Probar que x, y, z forman un tri´ angulo en G si y s´ olo si det pArx, y, zsq es no nulo.

17. Sea G un grafo de orden n y sea A  ApGq; demostrar que

¸

IPFpV pGq,3q

det pArIsq  2 veces n´umero de tri´angulos de G.

donde FpV pGq, 3q es la familia de subconjutos de V pGq de cardinalidad 3.

3

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