(1)(2)
(3)
UNSL MATEMATICA DISCRETA 2018
TRABAJO PRACTICO
Grafos
Representaci´ on Matricial
1. Calcular las matrices de adyacencia e incidencia de cada uno de los grafos de la figura 1
a
b
d c
(b)
ea b c d
e f g h i
j
(a)
a b c
d e f g
(d)
a b
c
d e
(c)
Figura 1
2. Calcular las matrices de adyacencia e incidencia de cada uno de los siguientes grafos (a) C
4.
(b) P
4.
(c) K
5. (d) K
2,4.
(e) Sea X t1, 2, 3, 4, 5u y G pV, Eq donde V ttx, yu | x, y P X ^ x yu y E ttta, bu, tc, duu | a, b, c, d P X ^ ta, bu X tc, du ∅u.
3. Sea A la matriz de adyacencia para el grafo del ejercicio 1(b).
(a) ¿Cu´ al es entrada correspondiente a la fila a y columna d de A
3? Responder sin calcular el producto matricial,
(b) ¿Cu´ antas trayectorias de longitud 4 hay entre los v´ ertices a y d? Responder prescindiendo del dibujo.
4. Dado el grafo G pV, Eq con V tv
1, v
2, v
3, v
4, v
5, v
6u y E ttv
1, v
2u, tv
1, v
3u, tv
1, v
4u, tv
1, v
5u, tv
2, v
4u, tv
5, v
6u, tv
2, v
5u, tv
3, v
6u, tv
4, v
6u, tv
3, v
4uu.
(a) Representarlo.
(b) Decir cu´ antas caminatas de longitud 2, 3 y 4 hay del v´ ertice v
1al v
5. (c) Decir cu´ antas caminatas de longitud 2, 3 y 4 tiene G.
(d) Calcular la matriz de adyacencia de G.
(e) Calcular las potencias adecuadas de la matriz de adyacencia de G para responder los items anteriores.
5. Dibujar el grafo G representado por las siguientes matrices de adyacencia. En cada caso el conjunto de v´ ertices es V pGq t1, 2, . . . , nu, donde n es el tama˜no de la matriz de adyacencia.
(a) A pGq es de tama˜no 7 x 7 y ApGq
i,j1 si i 1 divide a j 1 o j 1 divide a i 1 y ApGq
i,j0 en cualquier otro caso.
(b) A pGq es de tama˜no 4 x 4 y ApGq
i,j1 si y s´olo si j k es par.
(c) A pGq es de tama˜no 5 x 5 y ApGq
i,j1 si y s´olo si j k es impar.
(d) A pGq es de tama˜no 7 x 7 y ApGq
i,j1 si y s´olo si jk es par.
(e) A pGq es de tama˜no 7 x 7 y ApGq
i,j1 si y s´olo si jk es impar.
(f) A pGq es de tama˜no 5 x 5 y ApGq
i,j1 si y s´olo si j k es divisible por 3.
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(g)
0 0 0 1 0
0 0 1 0 1
0 1 0 1 1
1 0 1 0 0
0 1 1 0 0
(h)
0 1 0 0 0
1 0 0 0 0
0 0 0 1 1
0 0 1 0 1
0 0 1 1 0
6. Dibujar el grafo G representado por las siguientes matrices de incidencia
(a)
0 0 1 0 0 1
0 0 0 1 1 0
1 0 0 0 0 1
0 1 0 0 1 0
0 1 0 1 0 0
1 0 1 0 0 0
(b)
1 0 0 0 0 1
1 1 0 0 0 0
0 1 1 0 0 0
0 0 1 1 0 0
0 0 0 1 1 0
0 0 0 0 1 1
7. Calcular el n´ umero de caminatas de longitud 4 entre cualquier par de v´ ertices del grafo K
5usando la matriz de adyacencia.
8. Sea n P N y sea A la matriz de adyacencia de K
5. Explicar por qu´ e todos los elementos en la diagonal de A
nson iguales entre s´ı y, por otro lado, todos los elementos fuera de la diagonal son iguales entre s´ı.
9. (a) En A ApK
5q, sean d
nel valor com´ un de los elementos de la diagonal de A
ny a
nel valor com´ un de los elementos fuera de la diagonal. Hallar una relaci´ on de recurrencia que exprese los valores de estas entradas.
(b) Extender el resultado anterior a la matriz de adyacencia del grafo K
n. (c) Deducir resultados similares a los del ´ıtem anterior para la matriz A pK
p,qq.
10. (a) ¿Qu´ e puede decirse de un grafo simple G si alg´ una fila de A pGq tiene s´olo ceros?
(b) ¿Qu´ e puede decirse de un grafo simple G si alg´ una fila de Q pGq tiene s´olo ceros?
11. Sea G un grafo simple y sean A y Q sus matrices de adyacencia e incidencia, respectivamente.
(a) ¿Qu´ e valor tiene la suma de las entradas de cualquier fila de la matriz A?
(b) ¿Qu´ e valor tiene la suma de las entradas de cualquier columna de la matriz A?
(c) ¿Qu´ e valor tiene la suma de las entradas de cualquier fila de la matriz Q?
(d) ¿Qu´ e valor tiene la suma de las entradas de cualquier columna de la matriz Q?
12. Considerar una matriz M subdividida en 4 submatrices A, B, C, D:
M
A B
C D
Denotando con O una matriz de cierto tama˜ no cuyas entradas son todas nulas,
(a) ¿qu´ e se puede decir acerca de G, si en su matriz de adyacencia M , son A O y D O?
(b) ¿qu´ e se puede decir acerca de G, si en su matriz de adyacencia M , son B O y C O?
(c) ¿qu´ e se puede decir acerca de G, si en su matriz de incidencia M , son A O y B O?
(d) ¿qu´ e se puede decir acerca de G, si en su matriz de incidencia M , son B O y C O?
13. Sea A la matriz de adyacencia de un grafo G de orden n y sea Y °
n1k1
A
k. Si alguna entrada de Y , no perteneciente a la diagonal es cero, ¿qu´ e se puede decir del grafo G?
14. (a) Sea Q la matriz de incidencia del ejercicio 6(a), sea A la matriz de adyacencia del grafo representado por Q y sea D la matriz diagonal de grados del grafo (i.e., para cada v P V pGq:
D
v,vdegpvq). Verificar que QQ
tD A.
(b) Demostrar que para un grafo simple G con A ApGq y Q QpGq se tiene que QQ
tD A
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15. Dado un grafo G, sea A ApGq y sean u, v P V pGq distintos. Se define Aru, vs
Au,uAu,v Av,u Av,v
. Probar que u y v son adyacentes si y s´ olo si det pAru, vsq es no nulo.
16. Dado un grafo G, sea A ApGq y sean x, y, z P V pGq distintos. Definir A rx, y, zs
Ax,xAx,yAx,z Ay,xAy,yAy,z Az,xAz,y Az,z
.
Probar que x, y, z forman un tri´ angulo en G si y s´ olo si det pArx, y, zsq es no nulo.
17. Sea G un grafo de orden n y sea A ApGq; demostrar que
¸
IPFpV pGq,3q
