Representaci´ on matricial de una forma bilineal

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Representaci´ on matricial de una forma bilineal

Objetivos. Definir la matriz asociada a una forma bilineal respecto a una base. Estudiar la correspondencia entre formas bilineales y matrices.

Requisitos. Formas bilineales, matriz de cambio de base, matriz transpuesta.

1. Definici´on (matriz asociada a una forma bilineal con respecto a una base).

Sea V un espacio vectorial sobre un campo F de dimensi´on finita n, sea B = (b1, . . . , b_n) una base de V y sea f ∈ BL(V ). Entonces la matriz asociada a la forma bilineal f respecto a la base B se define como

fB :=f (b_i, b_j)n i,j=1.

La matriz asociada a una forma bilineal sirve para expresar el valor f (u, v) a trav´es de las coordenadas de u y v. Para demostrar la f´ormula correspondiente, necesitamos dos lemas.

2. Lema (representaci´on de una forma bilineal en coordenadas). Sea V un espacio vectorial sobre un campo F, dim(V ) = n, sea B = (b1, . . . , b_n) una base de V y sea f ∈ BL(V ). Entonces para todos u, v ∈ V ,

f (u, v) =

n

X

i=1 n

X

j=1

x_iy_if (b_i, b_j), (1)

donde x = uB, y = vB.

Demostraci´on. Por la definici´on de las coordenadas de un vector con respecto a una base,

u =

n

X

i=1

xibi, v =

n

X

j=1

yjbj.

Aplicando la linealidad de f con respecto al primer argumento y luego con respecto al segundo argumento, obtenemos (1):

f (u, v) = f

n

X

i=1

x_ib_i,

n

X

j=1

y_jb_j

!

=

n

X

i=1

x_if b_i,

n

X

j=1

y_jb_j

!

=

n

X

i=1

xi n

X

j=1

yjf (bi, bj) =

n

X

i=1 n

X

j=1

xiyjf (bi, bj).

3. Observación. La fórmula (1) implica, en particular, que la forma bilineal f se deter- mina de manera única por los números f (b_i, b_j), esto es, por sus valores en los pares de los vectores básicos.

Representaci´on matricial de una forma bilineal, p´agina 1 de 3

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4. Lema (producto de un rengl´on por una matriz por una columna). Sean x, y ∈ Fⁿ, A ∈ M_n(F). Entonces

x^>Ay =

n

X

i=1 n

X

j=1

A_i,jx_iy_j.

Demostraci´on. Notemos que x^>Ay es una matriz de tama˜no 1 × 1 y se identifica con un escalar.

x^>Ay =

n

X

i=1

xi(Ay)j =

n

X

i=1

xi n

X

j=1

Ai,jyj =

n

X

i=1 n

X

j=1

Ai,jxiyj.

5. Teorema (representaci´on matricial de una forma bilineal). Sea V un espacio vectorial sobre un campo F, sea B una base de V y sea f ∈ BL(V ). Entonces para todos u, v ∈ V

f (u, v) = u^>_Bf_Bv_B. Demostraci´on. Sigue de los lemas.

6. Teorema (unicidad de la matriz que representa una forma bilineal). Sea V un espacio vectorial sobre un campo F, dim(V ) = n, sea B una base en V y sea f ∈ BL(V ).

Supongamos que A ∈ M_n(F) y para todos u, v ∈ V f (u, v) = u^>_BAv_B. Entonces fB = A.

Demostraci´on. Sean p, q ∈ {1, . . . , n} ´ındices arbitrarios. Mostremos que f (bp, bq) = Ap,q. Recordamos que

(b_p)B = e_p =δ_p,in

i=1, (b_q)B = e_q =δ_q,jn j=1. Aplicando la definici´on del producto de matrices, tenemos lo siguiente:

f (b_p, b_q) = (b_p)^>_BA(b_q)_B =

n

X

i=1 n

X

j=1

δ_p,iA_i,jδ_q,j = A_p,q.

7. Ejercicio (construcci´on de una forma bilineal con la matriz asociada dada).

Sea V un espacio vectorial de dimensi´on n sobre un campo F, sea B una base de V y sea A ∈ M_n(F). Muestre que existe una ´unica forma bilineal f ∈ BL(V ) tal que f^B = A.

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Cambio de la matriz asociada a una forma bilineal al cambiar la base del espacio

8. Proposici´on (del cambio de la matriz asociada a una forma bilineal al cambiar la base del espacio). Sea V un espacio vectorial de dimensi´on finita, sea f ∈ BL(V ) una forma bilineal en V y sean A y B bases de V . Entonces

f_B = P_A,B^> f_AP_A,B. (2)

9. Corolario (el rango de la matriz de una forma bilineal no depende de la base). Sea V un espacio vectorial de dimensi´on finita, sea f ∈ BL(V ) una forma bilineal en V y sean A y B bases de V . Entonces

r(fA) = r(fB).

Demostraci´on. Recordemos que el rango de una matriz de se cambia al multiplicarla por una matriz invertible del lado izquierdo o derecho. Formalmente, si A es una matriz, B y C son matrices invertibles, entonces

r(BAC) = r(A).

Ahora de la f´ormula (2) obtenemos que r(fA) = r(fB) porque la matriz PA,B y su transpuesta son invertibles.

10. Definici´on (el rango de una forma bilineal). Sea V un EV/F y sea f ∈ BL(V ).

El rango de f se define como el rango de la matriz asociada a f con respecto a cualquier base. El corolario anterior justifica que la definici´on es correcta.

11. Ejercicio (isomorfismo entre formas bilineales y matrices). Sea V espacio vectorial V de dimensi´on finita n sobre un campo F. Demuestre que el espacio vectorial BL(V ) es isomorfo a M_n(F). Construya isomorfismos correspondientes (directo e inverso).

Como un corolario se obtiene de aqu´ı que

dim(BL(V )) = n².

12. Ejercicio. Enuncie y demuestre el criterio de que una forma bilineal sea simétrica o antisimétrica en términos de su matriz en alguna base.

13. Tarea adicional. Construya bases de los espacios vectoriales de matrices simétricas y matrices antisimétricas. Calcule las dimensiones de los espacios de formas bilineales simétricas y antisimétricas.